第05講數列求和

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：數列求和常用方法......................................................4

解題方法總結...................................................................5

題型一：通項分析法.............................................................8

題型二：公式法.................................................................9

題型三：錯位相減法............................................................10

題型四：分組求和法............................................................11

題型五：裂項相消法之等差型....................................................13

題型六：裂項相消法之根式型....................................................15

題型七：裂項相消法之指數型....................................................16

題型八：裂項相消法之三角型....................................................18

題型九：倒序相加法............................................................20

題型十：分段數列求和..........................................................21

題型■一.并項求和法之an+i+(—I^M=An+b型................................22

題型十二：并項求和法之即=(-1)，5)型........................................23

題型十三：先放縮后裂項求和....................................................24

04真題練習?命題洞見............................................................25

05課本典例?高考素材............................................................26

06易錯分析?答題模板............................................................28

易錯點：用錯位相減法求和時項數處理不恰當出錯..................................28

答題模板：錯位相減法求前n項和................................................28

考情透視.目標導航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

高考對數列求和的考查相對穩(wěn)定，考

（1）公式法查內容、頻率'題型、難度均變化不

（2）奇偶討論、并項分類2023年甲卷（理）第17題，12分大.數列的求和主要考查等差、等比數列

（3）倒序相加法2023年U卷第18題，12分的前項和公式及非等差、等比數列的求和

（4）裂項相消法2023年I卷第20題，12分方法，其綜合性較強.數列求和問題以解

（5）錯位相減法答題的形式為主，偶爾出現在選擇填空題

當中，常結合函數'不等式綜合考查.

復習目標：

（1）熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式.

（2）掌握非等差數列'非等比數列求和的幾種常見方法.

老占空硒■題測探室3

知識固本

知識點1:數列求和常用方法

一.公式法

（1）等差數列｛風｝的前〃項和幽"推導方法：倒序相加法.

nax,q=l

（2）等比數列｛4｝的前〃項和S“=%（1一q"）,推導方法：乘公比，錯位相減法.

.i-q'X

（3）一些常見的數列的前"項和：

n]〃

①￡/:=1+2+3H----\-n=-n（n+1）；^2k=2+4+6-\------\-2n=n（n+1）

k=l2k=l

②￡（2左-1）=1+3+5+...+（2〃-1）=“2；

k=l

（3）=l2+22+32+.?-+M2=-M（77+l）（2n+1）；

k=\6

④/3=P+23+33+...+〃3=[K』

k=\2

二.幾種數列求和的常用方法

(1)分組轉化求和法：一個數列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數列組成的，則求和

時可用分組求和法，分別求和后相加減.

(2)裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n

項和.

(3)錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那

么求這個數列的前n項和即可用錯位相減法求解.

(4)倒序相加法：如果一個數列｛〃.｝與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么

求這個數列的前九項和即可用倒序相加法求解.

【診斷自測】已知等差數列｛4｝的前"項和為%S6=9S2,且%=2q,+l.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

14

⑵設a=4+---------，數列也｝的前〃項和為此，定義因為不超過X的最大整數，例如[1.6]=1,

an'an+\

[5,4]=5,求數列｛[%]｝的前"項和

2222W+12，1+1

(說明：1+2+3+---+W=^^^)

6

解題方法總結

常見的裂項技巧

積累裂項模型1:等差型

1_1__1_

(1)

n{n+1)nn+1

]

(2)

n(n+k)n+k

(3)

]j_ri]

(4)

n(ji+l)(n+2)2n(ji+1)(ji+l)(n+2)

2

幾(n—1)n(n-l)(n+1)2(〃—V)nn(n+1)

4萬—1-4(2〃+l)(2〃—1)

3n+l4(n+l)-(n+3)“11.,11

------------------------=-------------------------=4(-----------------)—(----------------

(n+l)(n+2)(〃+3)(〃+1)(H+2)(〃+3)〃+2n+3n+1n+2

n(n+1)=—[n(n+l)(n+2)—(n—l)n(n+1)].

n(n+l)(n+2)=；[n(n+l)(n+2)(〃+3)—(n—l)n(n+l)(n+2)]

1]1

(10)--------------------------

n(n+1)(〃+2)(〃+3)3n(n+l)(n+2)(〃+1)(〃+2)(〃+3)

2H+111

(11)

/(〃+l)2n2(n+1)2

/(〃+2/4|_/(〃+2『_

積累裂項模型2：根式型

(1)/----{幾+1-yfti

yjn+l

(2)/1---L=L"n+k一冊)

yjn+k+vnk

IIk-------；-------

(3)/.—工——==—6/2n+l72n—1)

V2H-1+V2H+12

,八~]n(n+l)+li11

yn(〃+1)n(n+1)nn+1

(5)，-———，

I"+2幾+1+Rn2-1+yjn2-2n+1

A/H+1-y/n

=^T+T-^4(而+2〃+l+而-1+而一2九+1)=

2

________1________(n+I)y/n—ny/n+1(n+l)Vn-n《n+1_11

(6)

(〃+l)Vn+小/++1n(n+1)4nJ〃+l

積累裂項模型3：指數型

2〃(2n+1-l)-(2n-l)_11

(1)

(2〃+i—1)(2〃-1)(2向-1)(2"-1)-2"-12n+1-1

--------------------=——(-------------------)

(3"-l)(3"+1-l)23"-13"+1-1

7+22(〃+1)-"/2__1_A__1________[

“(“+1)2-/(〃+1)21I'n+i)'2"^n-2"~l(M+1)-2"

(47Z-1>3“T_j_F9_J_

(4)

n{n+2)2(〃+2)n

(2〃+]).(-D"_(-1)/]嚴

n(ji+1)nn+1

(6)an="-3"T,設a,=(a〃+b)3"-m("-1)+切-3"T,易得a=g,6=-；,

于是q,=((2n-1)3"-；(2n-3)-3"-1

⑺(-1)”(〃2+4〃+2)2"(-I)"。？+4〃+2)(-I)"”+〃+2("+l)+〃]

n-2"-(n+l)2"+1~n-(n+l)2"+,~~n-(n+l)2"+,

(—D"11(—1嚴

+(-ir---------1----------------7

2〃+in-r(n+l)-2,,+1(n+l)-2n+1

積累裂項模型4：對數型

積累裂項模型5：三角型

11

(1)(tana-tan/?)

cosacos夕sin(a-(3)

11

(2)-[tan(n+1)°-tan叫

cosn°cos(n+l)°sinl

1

tanatanJ3=(tancr-tan/?)-1

tan(cr-/7)

tann-tan(n-1)

(4)an=tan-tan(n-1);tan1=tan[n-(n-1)]=

1+tanH-tan(n-1)

tann—tan(w—1)tann—tan(n—1)

則tann?tan(w-1)=--------------------------1

tanltanl

積累裂項模型6：階乘

(1),11

(幾+l)!n\(n+1)!

n+2〃+21n+1_11

(2)

n!+(n+1)!+(n+2)!-n\(n+2)2~n\(n+2)(n+2)!(n+1)!(n+2)!

常見放縮公式:

1111/小

(1)=------------(n>2]；

n-1n'

1111

(2)

+nn+1

14411

—=-----<----------=2

n24〃24n2-12n-i2〃+1

n\1111

(4)-------------<—<—<-----------

r!(n-r)!nrr!r(r—1)r-1

<1+1+—+—,—+???+1

(5)1+-<3；

n1x22x3

122

(6)2^—^Jn—l+(n>2)；

y/n冊+JnJ〃-1+G

122

(7)=2卜6++；

y/n+品品++l

1222夜

(8)=yfl+,2幾+1)；

yfn+^/nT_,TJ2.-1+J2〃+1

n------1-Jn+—

22

2〃TT2,T11

(9)(n>2)；

2〃T—12W-1

(10)-^=1yjn+1-y/n-11

n-n2

-2n-L-7n22

(AZ>2)；

111222

(12)-------------<---------------------------------

2n-l(1+1)"-1C"C；+C；-1n(n+l)nn+1

2“T11

(13)J-<(n>2).

2〃一12〃T-12n-l

212

(14)2(4n+1—石)==2(赤—Jn—1).

題型一：通項分析法

111111111111

【典例7】觀察如下規(guī)律：丁丁丁,，w，m，…，該組數據的前2025項和

為.

【典例1,2］求和5；=(3+2)+(32+3?2+22)+…+(3"+3〃T?2+3〃—2.22+…+2〃)

【方法技巧】

先分析數列通項的特點，再選擇合適的方法求和是求數列的前項和問題應該強化的意識.

【變式1-1】數列9,99,999,…的前〃項和為()

A.—(10"-1)+MB.10"-1C.—(10"-1)D.—(10/1-1)-?

【變式1-2]求數列1,(1+2),(1+2+2?),…，(1+2+2?+...+2吁1),…的前〃項之和.

【變式1-3](2024?上海徐匯?模擬預測)如圖，在楊輝三角中，斜線/上方，從1開始箭頭所示的數組

成一個鋸齒數列：1,3,3,4,6,5,10,記其前〃項和為S“，貝I]岳9等于—.

題型二：公式法

【典例2-1】(2024湖北黃岡?一模)已知等比數列｛4｝的前〃項和為且。用=2+S”對一切正整數

?恒成立.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)求數列｛Sj的前“項和&

【典例2-2](2024?高三?四川?學業(yè)考試)已知等差數列｛q｝的前"項和為S.，％=2,$3=12.

(1)求數列｛a“｝的通項公式。“；

⑵設b?=2a?(aeN*),求也｝的前〃項和卻

【方法技巧】

針對數列的結構特征，確定數列的類型，符合等差或等比數列時，直接利用等差、等比數列相應公式

求解.

【變式2-1］已知等差數列｛%｝的前四項和為10,且。2，%，%成等比數列

(1)求通項公式％

(2)設bn=23，求數列勿的前，項和S“

【變式2-2】已知數列｛%｝為等差數列，數列也,｝為等比數列，且b“eN*,若

%=b2=2,q+〃2+/=4+2+&+=15.

⑴求數列｛%｝,凡｝的通項公式；

⑵設由｛4｝,也｝的公共項構成的新數列記為￡｝,求數列｛%｝的前5項之和S5.

題型三：錯位相減法

【典例3-1］設S“為數列｛《,｝的前〃項和，且2s“=3鳳-4〃.

⑴九為何值時，｛4+可是等比數列；

⑵若「4+2),求數列低｝的前“項和卻

【典例3-2】(2024?陜西西安?模擬預測)記5“為等差數列｛%｝的前幾項和，已知§3=15,S5=35.

(1)求｛%｝的通項公式；

⑵設b“告求數列也｝的前“項和1.

【方法技巧】

錯位相減法求數列｛%｝的前"項和的適用條件

若｛%｝是公差為d(dwO)的等差數列，電｝是公比為4(gwl)的等比數列，求數列｛斯也｝的前"項和S”.

【變式3-1](2024?青海海南?二模)已知數列｛%｝的各項均為正數，其前”項和為是等比數列,

=dyCL^,.

(1)求數列電｝的通項公式；

⑵設bn=a?-log3S?,求數列他,｝的前"項和Tn.

【變式3-2】已知在等差數列｛%｝中，公差大于0,%=2,且%，%+2,R成等比數列，數列｛%｝

的前”項和為S”.

(1)求數列｛〃“｝的通項公式；

(2)若bn=T-'an,求數列也｝的前〃項和T”.

【變式3-3](2024?浙江?三模)已知等比數列｛4｝和等差數列也｝,滿足%>q，%=4=1,a2=b2,

3%=4b3.

⑴求數列M3低｝的通項公式；

(2)記數列｛4?%｝的前，項和為■，數列的前〃項和為月.證明：Pn<--\.

也n+1

【變式3-4](2024?河北衡水?三模)已知數列｛%｝滿足：al=l,a2=2,an+an+l=2an+2.

⑴請寫出。3-％，。4-。4的值，給出一個你的猜想，并證明；

(2)設a=3〃%〃+1,求數列也｝的前〃項和S”.

題型四：分組求和法

9

【典例4-1]已知數列｛?！埃那啊椇蜑?滿足S“=1(q「l),"eN*.

⑴求數列｛4｝的通項公式;

(2)記么=an-cos—,求數列也｝的前100項的和加.

【典例4-2】在等比數列｛。"｝中，ax+a2=5a2=1.

⑴求｛凡｝的通項公式；

3

(2)求數歹［］｛a%+2"-1｝的前"項和Sn.

【方法技巧】

(1)分組轉化求和

數列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差數列或等比數列

或可求前”項和的數列求和.

(2)分組轉化法求和的常見類型

%=乩±分,｛%｝,｛%｝為等差或等比數列

分

求

組

QJfb?,n為奇數，求

的4-1外，”為偶數，和

和

｛bj,｛cj為等差或等比數列

【變式4-1］在遞增的等比數列｛《,｝中，a｛-a2=8,aI+a2=6,其中“?N*.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

⑵若bn=2(1n+3,求數列也｝的前"項和L.

【變式4-2］等比數列｛%｝的公比為2,且的,%+2,%成等差數列.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)若4=log2an+an,求數列也｝的前力項和Tn.

【變式4-3］已知等差數列｛4｝滿足4+a1=8〃+2(會2),數列｛或｝是公比為3的等比數列,

。2+62=2。.

(1)求數列｛4｝和｛勿｝的通項公式；

(2)數列｛%｝和［b?］中的項由小到大組成新的數列｛cj,記數列｛c“｝的前〃項和為S“，求S矍.

題型五：裂項相消法之等差型

【典例5-1］已知公比為q的等比數列｛%｝的前〃項和為s“，且滿足%-2%=8,邑=84,4eN,.

⑴求數列｛4｝的通項公式；

⑵若心震”怒？求數列間的前〃項和小

【方法技巧】

工,)

n(n+k)knn+k

1__________]

n(n+l)(n+2)2n(n+1)(n+1)(〃+2)

〃〃(〃一

(3)n(n+1)=g[5+1)(+2)-I)n(n+1)].

(4)n｛n+1)(H+2)=；[n(n+l)(n+2)(〃+3)—(n—I)n(n+l)(n+2)]

/、2n+l11

n2(n+l)2n2(n+1)2

【典例5?21已知數列｛%｝,｛〃｝,其中數列｛%｝是等差數列，且滿足a-q=(-l)〃〃2,%+乙=1,

〃2+52=8,〃￡N*.

(1)求數列也｝和也｝的通項公式；

⑵若%=—J,求數列｛%｝的前〃項和Sn；

anan+l

【變式5-1]已知數列｛?！埃那啊表椇蜑镾,,,S“=g〃2一

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)若4=----,求數列他,｝的前〃項和加

4A+i

【變式5-2](2024.湖北武漢.模擬預測)在等差數列｛%｝(〃eN*)中，a1+a2=H,a3=10.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)若a=--------,數列的他,｝前"項和為1,證明(〈力.

anan+ian+216X

【變式5-3](2024?河北衡水?模擬預測)記各項均為正數的數列｛%｝的前"項和為S“，已知病是

人與"1的等差中項.

⑴求｛0｝的通項公式；

2

⑵設2=軟=+e=，數列他,｝的前”項和為1,證明：T?-4n<2.

【變式5-4］設數列｛%｝為等差數列，前〃項和為5“,%+%=18百。=100.

(1)求數列｛?！埃耐椆剑?/p>

2幾2n1

(2)設〃=——的前幾項和為丁〃，證明：

aa

??+124

題型六：裂項相消法之根式型

【典例6-1］已知數列｛4｝的前〃項和為S“，4=1,$5=25,且3S“+「q,=2S0+S“+2(〃eN*

(1)求數列｛%｝的通項公式；

⑵設b"=-+1'求數列｛a｝的前“項和J

【典例6-2］已知數列｛。“｝的前"項和為S,，且2s“=l-4(〃eN)

U)求數列｛?！埃耐椆?；

,_1_也2+1,、

(2)設"尸誦"￡=內+而，求數列｛?｝的前〃項和

【方法技巧】

(1)/1尸=—(Jn+k-y/n)

y/n+k+\/nk

/C、「力—1〃(〃+l)+l1I1

(2)J1+—+------——--=1+-------------------

yn(〃+1)"(n+1)n〃+1

(3),~——_.

Un2+2n+l+^n2-\+^ln2-2n+l

=s]n+l—1(V〃2+2〃+l+\Jn2-1+yjn2-2w+l)="，；-

【變式6-1]已知數列｛4｝,%>0,4=1,S.為其前”項和，且滿足(S,,+S“T)(S“-S“T)=1(〃N2).

(1)求數列｛外｝的通項公式；

⑵設勿=(T)”?',求數列也｝的前〃項和「.

an

2

【變式6-2］已知數列｛an｝的前n項和為S“=n,

(1)求數列｛4｝的通項公式氏;

⑵設么=Ji+g+V-,求數列低｝的前〃項和上.

題型七：裂項相消法之指數型

【典例7-1】已知等比數列｛4｝的各項均為正數，2%,%，4%成等差數列，2=4。；，數列｛a｝的

前〃項和S“="\(〃eN*),且4=1.

(D求｛?！埃停?｝的通項公式；

(2)設％=N*),記數列｛c“｝的前，項和為4.求證：

【典例7-2】（2024.新疆.三模）若一個數列從第二項起，每一項和前一項的比值組成的新數列是一個

等比數列，則稱這個數列是一個“二階等比數列”，如：1,3,27,729............已知數列｛%｝是一個二階等

比數列，q=l,%=4,4=64.

⑴求｛%｝的通項公式；

j〃+2

⑵設b"=—"I------------,求數列也｝的前〃項和S?.

Jog?。向

【方法技巧】

-------------=一(------------)

(3K-1)(3,,+1-1)23*-13"一

〃+2_2(1+1)-“_(2__1_>J____1________]

w(n+l>2"一n(n+l)-2M-[二^+1J吩-n-2K~1一(“+1>2”

(472-1)-3,!-11「9111(3-iBLD

n(n+2)2(〃+2)n2(〃+2nj

【變式7-1］（2024?黑龍江雙鴨山?模擬預測）記S.為數列｛0｝的前〃項和，｛鄧』｝是首項與公差均

為1的等差數列.

（1）求數列,“｝的通項公式;

（2）設％=（T）“，+1）,求數列也｝的前2024項的和7M24.

【變式7-2］（2024?全國.模擬預測）已知S“是正項等差數列｛4｝的前〃項和，滿足25“=°必1M.

（1）求數列｛q｝的通項公式.

2

⑵設bn=(n+4n+3)-2%,求數列｛3｝的前〃項和T?.

【變式7-3](2024.云南昆明三模)正項數列｛4｝的前〃項和為九等比數列也｝的前”項和為

45.=d+2%+1,41=昭+2b,+l

(1)求數列｛g｝,｛2｝的通項公式；

(2)已知數列｛%｝滿足c?=bn-^~,求數列｛c“｝的前n項和H?.

anan+\

【變式7-4](2024?福建泉州?二模)已知數列國｝和也｝的各項均為正,且。3=1地，色｝是公比3的

等比數列.數列｛叫的前”項和S“滿足45.=d+2an.

(1)求數列｛g｝,｛%｝的通項公式;

b

⑵設C"=(b_3詁_1)+a"C0Snn，求數列｛g｝的前“項和北?

題型八：裂項相消法之三角型

【典例8-1]數列｛%｝各項均為正數，｛%｝的前〃項和記作5.，已知5=1,25^=0,(/7>2).

(1)求｛%｝的通項公式；

⑵設bn=tan(<??).tan(a?+1),求數列也｝的前2023項和.

【典例8-2]已知數列｛〃“｝中，a2=l,設S“為｛4｝前"項和，25“=”.

(1)求｛%｝的通項公式;

面黑詬而，求數列也｝的前〃項和r.

⑵若"二嬴

【方法技巧】

(1)=----------(tana-tanJ3)

coscrcos/?sin(a一尸)

(2)=---[tan(n+1)0-tann°]

cosn°cos(n+l)°sinl°

(3)tanatan/3=---------(tanor-tan/?)-1

tan(6z-P)

Hltan

(4)an=tan-tan(n-1);tan1=tan[n-(n-l)]=1t__^_

則tann-tan(〃-1)=tani—)_1；^；=tan…n("l)

【變式8-1】已知在數列｛4｝中，q=1，/+i-（〃+l）%=1.

（1）求數列｛〃“｝的通項公式;

⑵若數列也｝滿足bn=sing%.)+cos(7r(7?),求數列｛blt｝的前2024項和T2O24.

【變式8-2]（2024?高三?江西?開學考試）同余定理是數論中的重要內容.同余的定義為：設

a,beZ,〃zeN+且加>1.若初（a-6）,則稱。與6關于模m同余，記作a三優(yōu)mod機）（“『為整除符號）?

（1）解同余方程：x2+2j：=0（mod3）（j：eZ）；

⑵設（1）中方程的所有正根構成數列｛%｝,其中%<%<%:?,<””.

①若%=%+]-4（〃eN+）,數列｛或｝的前〃項和為S“，求S4048；

②若C,=tan%+3-tan求數列｛C.｝的前”項和T?.

【變式8-3］已知數列｛4“｝的前〃項和為S“，%=1,g=3,S“M+S“T=2(S“+1)522)

⑴求九

(2)若2=4"8S("+1)兀，求數列也｝的前1012項和小2.

an'an+l

題型九：倒序相加法

【典例9-1】(2024.高三?浙江.開學考試)已知函數“X)滿足/卜)=/。-為“X)的導函數，

g(x)=/'(無)+；,xeR.若=g［喘則數列｛q｝的前2023項和為.

【典例9-2】德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學界的王子.在其年幼時，對1+2+3+L+100的

求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規(guī)律生成.因此,

此方法也稱為高斯算法.現有函數/"卜4尤"?,則

199017oniQ

/(—^)+/(^)+/(^)+-■?+/(^2)的值為.

20192019201920192019------

【方法技巧】

將一個數列倒過來排列，當它與原數列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數列求和時

可用倒序相加法(等差數列前n項和公式的推導即用此方法).

【變式9-1］在數列｛4｝中，an=［+2；g”，則S=%+g+…+a2010的值是.

【變式9-2】已知函數/1為奇函數，且g(x)=〃x)+l,=則數列｛4｝的前

2022項和為.

【變式9-3］若函數/(x)=s濟？+/二，且數列｛%｝滿足：%=/(一=］+7(/)+…+/(佇則數列

24+25+2J

｛q,｝的通項公式為。“=—;以巴,。用，氏+2(〃eN*)為三角形三邊的長，作一系列三角形，若這一系列

三角形所有內角的最大值為A,則tanA=___.

題型十：分段數列求和

【典例10-1］在數列｛4｝中，q=8,%=2,且滿足%+2—2%+i+a“=0（〃eN*）.

⑴求數列｛4｝的通項公式；

⑵設（=閻+同+…+|4|,求北.

【典例10-2］已知數列｛4｝的前〃項和S“滿足S“=2%-1,則儂―叫+區(qū)―18|+…0―18|=

【方法技巧】

（1）分奇偶各自新數列求和

（2）要注意處理好奇偶數列對應的項：

①可構建新數列；②可“跳項”求和

【變式10-1】（2024.山西?三模）已知等差數列｛0｝的公差d>0,前〃項和為S",且%4=-5,

Sg=-16.

⑴求數列｛《,｝的通項公式；

⑵若d=；；（此N）,求數列也｝的前2〃項和

【變式10-2］已知數列｛瑪｝是公差不為0的等差數列，其前〃項和為S.，邑=3,%，的，必成等比

數列.

（1）求｛%｝的通項公式；

+3,〃=2k,（、

⑵若2=<_0,］，左eN*,求數列圾｝的前100項和加.

I1,n—ZK—1,

【變式10-3】(2024?陜西安康?模擬預測)記5.為數列｛%｝的前，項和，已知

al=l,nSn+l-(n+l)S?=iV+n.

(1)求｛0｝的通項公式；

(2)若2=(-1)"??+［(-1)"+1］2\求數列也｝的前2n項和勤.

【變式10-4］(2024?山東?二模)已知｛%｝是公差不為0的等差數列，其前4項和為16,且%%，%成

等比數列.

(1)求數列｛?！埃耐椆?；

2%,〃為奇數

⑵設bn=<］〃為偶數,求數列也｝的前2〃項和七.

n

題型d■一：并項求和法之即+1+(-l)an=々n+b型

【典例11-1】數列｛叫滿足%+2+(-1)"%=4〃-1,前12項的和為298,則％=—.

【典例11-2］已知數列｛%｝的前〃項和為S“，q=1.當“22時，a“+2S,i=〃，貝I］邑。"=

【方法技巧】

四四并項求和.

【變式11-1］(2024?浙江?模擬預測)已知數列｛叫滿足％+2=。，am+(T苧%=2,則數列｛%｝

的前2020項的和為—.

【變式11-2］已知數列｛%,｝滿足.+(-1)%“="，則數列｛%｝的前4〃項和為.

【變式11-3］數列｛%｝滿足見+2+(-1)"。,=3"+1,前8項的和為106,則％=

【變式11-4］數列｛4｝滿足%+(-1嚴4=3吁1,前16項和為540,則的=_.

【變式11-5］已知數列｛%｝中，S“為前w項和，且％=1,a?+a?+1=3,則S2017=

題型十二：并項求和法之a聯=(-1)，(用型

【典例12-1］已知數列｛4｝的通項公式為見=(2"-l)cos，｛%｝的前"項和為5“，則

3

(,rmn

n\sin---1-cos——兀、

【典例12-2】(2024?云南保山?二模)數列｛%｝的通項公式?！?I33)其前〃項和為S,,

則$2018

【方法技巧】

兩兩并項求和.

【變式12-1】(2024?遼寧沈陽?模擬預測)已知數列｛《,｝滿足弓=1,%>0,S”是數列｛q｝的前〃項和,

對任意〃eN*,有2s“=2a；+a“-l

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)設或=(-1產?！?，求也｝的前100項的和.

【變式12-2］在數列｛%｝中，4=5,且an+1=2a?-l(?eN*).

(1)求｛%｝的通項公式；

⑵令4,求數列低｝的前?項和s..

【變式12-3】已知等差數列｛%｝中的前”項和為S“，且%，%%成等比數列，$5=25.

(1)求數列｛?！埃耐椆?；

⑵若數列｛%｝為遞增數列，記〃=(-!)"5"，求數列也｝的前40項的和盤.

【變式12-4】數列⑷通項為%=〃cos4+)〃eN*),S.為其前〃項的和，則%=

題型十三：先放縮后裂項求和

【典例13-1]設數列｛叫前”項和為S“，且滿足2(S“—2)=(〃+1)(4-2),“eN*,q=。，數列也｝

滿足4%=an+lan+2.

(1)求｛%｝、也｝的通項公式;

、_13

(2)1己=舊_§2，求證：+。2+…〈萬?

【典例13-21記S.為數列包“｝的前〃項和，已知，11是首項為3,公差為1的等差數歹U.

⑴求｛%｝的通項公式；

111a-\1

(2)證明：當"22時，—+—+?■■+—<—―---.

,2’3〃〃十1/

【方法技巧】

先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標.

【變式13-1](2024?河南?模擬預測)若數列｛%｝滿足％=1,%+「4=2”.

⑴求｛%｝的通項公式；

111c

⑵證明:—+—+…+—<2

【變式13-2](2024?天津河北?二模)已知｛%｝是等差數列，其前n項和為%也｝是等比數列，已知

4=1,S3=694=%,。8是。4和“4的等比中項.

⑴求｛%｝和也｝的通項公式;

(2)求數列的前”項和

、-,b-ln11/n11

（3）記％=小n'求證：5一己+西<1°,<5一^+尸.

【變式13-3]如圖，已知點列4(乙,％)在曲線y=》上，點列功(4,0)在X軸上，A(14).4(。,0),

△紇4/用為等腰直角三角形.

以

(1)求%,a2,a3.(直接寫出結果)

(2)求數列,“｝的通項公式;

⑶設〃"*,證明：嚶L/5+2)

【變式13-4】(2024?山東煙臺?三模)在數列｛%｝中，已知2%=%+]+%%+],q=g.

⑴求數列｛4｝的通項公式；

(2)若b,=a；-a”,S”為數列也｝的前”項和，證明：

1.(2021年浙江省高考數學試題)已知數列｛%｝滿足％=1，4+1=式方("6N*).記數列｛%｝的前n項和為

%則()

399

（

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