2024學年第二學期奉賢區(qū)高二數(shù)學練習卷

一,填空題(本題共12小題,1-6每小題4分,7-12每小題5分，共54分.)

1.拋物線爐=4〉的焦點坐標是.

2.在等差數(shù)列｛%｝中，已知名=59+%=11廁/=.

3.在平面直角坐標系中,Z=(L2)石=(-2,2),則&母=

4.已知函數(shù)〃尤)=。則曲線y=在點(1,1)處的切線的方程為.

5.已知直線>=無+2與圓f+y=4相交于兩點，則卜.

6.某班要選舉班干部，現(xiàn)有10名候選人，從這10名候選人中任選5人組成班委，有種不同的選法.(結果用數(shù)字表

示)

7.在(1+3尤？的二項展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)是(結果用數(shù)字表示)

8.某公司生產(chǎn)的糖果每包標識質量是500g,但公司承認實際質量存在誤差，已知每包糖果的實際質量服從〃=500,

4=2.5z的正態(tài)分布，隨意買一包該公司生產(chǎn)的糖果，其質量誤差超過5g(即1%)的可能性為.(結果精確到0.1%)

(參考數(shù)據(jù)：若則尸(〃一crWXW〃+b)268.3%,尸(〃—2bWXW〃+2b)a95.4%,

尸(〃-3crVXW〃+3cr卜99.7%)

9.若點P在曲線G上,點。在曲線G上，定義〃G-G=|尸Q|最小值.已知有兩條直線分別為4：x+2y-l=o,l2：2x+4y-3=0,

10.設函數(shù)y=/(x),其中/(力=6+$加,左上1,左€11,定義域為。=(-00,y).對于3￡),定義％)=｛中(%)<〃。｝廁

q二

7(2025)-...................

11.已知|￡|=出1=12|=2，對于任意的實數(shù)2，都有IZ+國￡+"|恒成立，則I"一2Z|+12"-引的最小值是.

22

12.點尸1,F?是雙曲線C：=1(“>0,6>0)的左,右焦點，過點尸|的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于A,B兩點.

若,忸必|組成一個直角三角形，且其中兩條直角邊的長度分別為3和4,則滿足條件的雙曲線的離心率有

種情況.

二，單項選擇題(本題共4小題,13-14每小題4分,15-16每小題5分，共18分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.)

13.已知變量x與y負相關，且由觀測數(shù)據(jù)得到樣本的平均數(shù)7=3,5=2.7,則由觀測數(shù)據(jù)得到的回歸方程可能是()

A._y=0.4x+1.5B.y=-0.2尤+3.3C.y=2x+3.3D.y=-2x+8.6

14.如圖，在邊長為2的正四面體P-ABC中,N是VABC的中心，則下列正確的是()

p

A.PABC=4B.PAAB=2

C.PN=-PB+-BC+-BAD.PN=-PB+-PC--AP

333333

2

15.函數(shù)y=/(x)圖象上存在點尸(%](%))，使得不等式片+/U0)<1成立，則稱函數(shù)y=/(x)為“向心函數(shù)”，下列四個選

項中，是向心函數(shù)的為()

x2

A.y=x+2B.y=eC.y=Jx+l,lD.y=x+-

X

16.圓錐的母線長為6cm，下面有兩個判斷：

①當圓錐的母線與底面所成角為arccos當時，圓錐的體積最大.

②圓錐的體積可以取到88cm3.

則正確的判斷是()

A.①②都正確B.①正確，②錯誤

C.①②都錯誤D.①錯誤，②正確

三,解答題(本題共5小題,17-19題每題14分,20-21題每題18分，共78分.解答應寫出文字說明，證明過程

或演算步驟.)

17.隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式，為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況，某調

查機構進行了有關網(wǎng)購的調查問卷，并從參與調查的市民中隨機抽取了男女各100人進行分析,從而得到下表(單位:人)

經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計

男性50100

女性70100

合計

⑴完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷是否有99%的把握認為我市市民網(wǎng)購與性別有關？

(2)現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨機選取3人贈送優(yōu)惠券，求選取的3人中至少

有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率.

參考公式./=_______"(ad-bc)2_______

差((a+b)(c+d^a+c)(b+d)

2

P（X^X0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

九2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.如圖，已知點尸為VA3C所在平面外一點，若24,平面ABC,BC，AB.

⑴求證：面「3。_1面乃".

(2)若P8與面ABC所成的角的大小為g,E4=l,求點A到平面PBC的距離.

0

19.已知無窮數(shù)列｛4｝,也｝.若對任意的正整數(shù)”，都有問-引V1，則稱｛%｝與也｝“伴隨”.

⑴若瑪=弓嚴也=cos"^，判斷?｝與也｝是否“伴隨”，說明理由.

(2)已知數(shù)列｛4｝的前?項和為S,,,S,,滿足S?=l-an，證明：｛%｝與｛S,J“伴隨”.

22222222

20.如下圖所示：曲線r是1+提=1卜2刈與十號=1儼41)組成的9+方=l(f川與2+/=1(f41)其中

ab

的兩個交點分別記作Qt,Q3，點Qt在第一象限，點。3在第三象限.

(2)如圖2,設四邊形A耳4鄉(xiāng)的四條邊都與曲線r相切,°=V3時，求四邊形A44層的面積.

22

(3)如圖3,在y軸右側的曲線「上有兩點M,N,直線肱V經(jīng)過點0(點N在a+方=1(/叫上).當。=2時，是否存在

直線MN，使得Q.M所在直線與QN所在直線關于直線Q3Q對稱？若存在，求直線MN的方程，若不存在請說明理由.

21.己知函數(shù)y=/(X)，數(shù)列優(yōu)｝滿足X?+1=〃匕),〃21且"eN.對任意正整數(shù)?，匕+Z+2>2%恒成立時，則稱函數(shù)

丫=〃同具有性質1.

(1)任意取一個不eR,判斷函數(shù)g(X)=x+b是否具有性質T.

(2)函數(shù)y=m(x)在定義域D=(TO,y)上嚴格減，任意取一個玉e￡),說明函數(shù)y=切⑺不具有性質T.

⑶求函數(shù)M尤)=欣+工的單調區(qū)間，并判斷當石?0,1)時，函數(shù)Mx)=lnx+，是否具有性質T,說明理由.

XX

L(0,1)

【分析】由拋物線的標準方程，可直接寫出其焦點坐標.

【詳解】因為拋物線方程為r=4y,所以焦點在y軸上，且焦點為(0,1).

故答案為(0,1)

【點睛】本題主要考查由拋物線的方程求焦點坐標的問題，屬于基礎題型.

2.6

【分析】利用等差數(shù)列的性質計算即可.

【詳解】由等差數(shù)列的性質可知%+%=%+%=11=%=6.

故答案為：6.

a樂

3.arccos-----

10

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角公式求解.

【詳解】由Z=(l,2),B=(-2,2),得7B=lx(_2)+2x2=2，i|=6,|,|=2&.

一方2

因此cos〈a,B〉=--=/l=---，而0W〈2石〉V無.

|川|加45-2^210

所以〈￡,行〉=arccos.

故答案為：arccos

10

4.y=3x-2

【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可得出答案.

【詳解】解：r(x)=3x2.

則廣⑴=3.

所以曲線y=〃x)在點(L1)處的切線的方程為V-l=3(x-l).

即y=3尤一2.

故答案為：y=3%-2.

5.20

【分析】利用圓的弦長公式計算得解.

2

【詳解】圓f+V=4的圓心為(0,0)泮徑廠=2,則圓心到直線y=X+2的距離d==0

7I2+(-D2

所以|腦V|=2jr-/=2忘.

故答案為：2夜

6.252

［分析】根據(jù)給定條件，利用組合計數(shù)問題列式計算.

【詳解】從這10名候選人中任選5人組成班委，不同選法種數(shù)是C：。=252.

故答案為：252

7.20412

81

【分析】根據(jù)二項展開式得到第廠+1項系數(shù)為C；3'=邳二子3］再利用二項式系數(shù)最大項的求法得出「的值即可求最

大項的系數(shù).

81

r

【詳解】（1+3尤）8的展開式通項為Tr+l=（3x）'/eN,0<r<8,則系數(shù)為C；3=叫心廣）產(chǎn).

Q|8!

C：3r=3r>CI+13r+1=3用

8r!(z8-r)x!8(r+l)!(7-r)!

設第廠+1項系數(shù)最大，則

Qf8!

C；3’3'T

r!(8-r)!8(r-l)!(9-r)!

13

---->----

8—rF+1々刀/日2327p匚匚..,

即《,]，斛得丁4廠4丁，又reN,所以r=6.

3>144

「一9一r

所以最大項系數(shù)為第7項，最大系數(shù)為C；36=20412.

故答案為：20412.

8.4.6%

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質，先確定〃，的值,再結合已知的概率公式計算質量誤差超過5g的可能性.

【詳解】因為每包糖果的實際質量服從〃=500,/=2.5?的正態(tài)分布，則。=2.5.

質量誤差不超過5g,即國-500仁5,也就是〃-2b<X<〃+2b.

根據(jù)參考數(shù)據(jù)可知P（〃-2bWXW4+2b）。95.4%.

那么質量誤差超過5g的概率為1一—2bWXW〃+2b）。1一95.4%y4.6%.

故答案為：4.6%.

9.好

10

【分析】根據(jù)給定的定義,利用平行線間距離公式求解即得.

【詳解】直線4的方程化為：2x+4y-2=0,顯然〃叫.

|-2-(-3)|_1

所以

臣+“一發(fā)―10

故答案為：哈

10.(—),2025]

[分析]由導數(shù)可得/（X）單調遞增，然后由S期定義可得答案.

【詳解】注意至u_f（x）=《+cosx3女一120,貝IJ/（無）在R上單調遞增.

則5/（2025）=卜|〃力1（2025）｝O卜|〃尤）</（2025））=（—2025].

故答案為：（f，2025].

11.473

【分析】利用數(shù)量積的運算律，系結合恒成立的不等式求得展B=-2,再利用數(shù)量積的運算律求得然后利

用向量的三角不等式求出最小值.

—?—一—》2],9,,,2—2——?

【詳解】由I區(qū)1。+261，得。+—+a-b<a+萬b+-b,jfj]|o|=|Z?|=|c|=2.

則4才+（2Z?田X-￡?B-120,依題意，對任意的實數(shù)A,422+（2a.&M-a-&-l>0恒成立.

因止匕404）2+1604+1）=4（￡石+2）2<0,貝!|￡/=一2.

又|2C-B|=J4c2-4OB+B~=\Jc2-4c-b+4b=^（c-2&）2=|c-2Z?|?

貝!!|1一22|+|21一加=|5一2￡|+|1—2/閆^一2商一仁一2方）\=2\b-a\

=2\/b2-2b-a+a2=4用，當且僅當"一2之與"-2分反向時取等號?

所以|"-2幻+|2"-的最小值是4g.

故答案為：4A/3

12.3

【分析】由雙曲線的定義得：|隹|-|/閻=2°,忸胤—忸局=|鉆|+|/囪-忸閶=2”,所以|A月卜邑任用也,根據(jù)直

角三角形的三種情況可求|時|,進而利用定義可求。,再利用勾股定理或余弦定理可求閨用,即可得到離心率.

因為兩條直角邊的長度分別為3和4,所以斜邊為5.

由雙曲線的定義得:\AF^-\AF\=2a\BF\-\BF^=\A^+\AF\-\BF^=2a.

所以=|明+|相明解得|9|=應狂用也.

①|=3,忸⑷=4,|陷|=5時,NAB瑪=90°.

又恒司」4瑞用半日4同=3,...忸￡|_忸局=6_4=2=2"=”1.

|fJF,|=J忸周2+忸圖2=136+16=2713=2cnc=岳.

所以此時離心率e=￡=^/^^.

a

②|=4,忸閭=5,|然|=3時,NBA8=N￡A8=90°.

上司」4刃+|71-/同=2,.?.忸用一怛用=6-5=l=2ana=；.

2

\F{F2\=^\AF^+|A/^|=Jl+9==2c=>c=?

所以此時離心率e=-=Vio.

a

③|AB|=5,忸閶=3,|M|=4,cosNABK=1.

M耳上眄土用辿Li,...忸周T叫?=6-4=2=2ana=l.

\F{F2\=yj\BF^+\BF2^-2|Bf；I|B^IcosZABf；==2c^c=半

所以此時離心率e=￡=姬.

a5

綜上，滿足條件的雙曲線的離心率有3種情況.

故答案為：3.

13.B

【分析】利用負相關及回歸直線經(jīng)過樣本中心點，逐項判斷.

【詳解】對于AC,回歸直線y=0.4x+1.5,y=2x+3.3的斜率分別為0.4,2,都為正，變量x與y正相關,AC不是.

對于B,回歸直線y=-0.2X+3.3斜率-0.2<0,變量x與y負相關.

當最=3時,7=-0.2x3+3.3=2.7,B可能是.

對于D,回歸直線y=-2x+8.6斜率-2<0,變量x與y負相關.

當％=3時,y=-2x3+8.6=2.6w2.7,D不是.

故選：B

14.D

【分析】設基底為西，而，無，選項中涉及到的向量都用基底表示出來，再驗證各個選項是否正確.

7T

【詳解】設基底為西，而，無，由于四面體P-A5c為正四面體，所以可得基底的兩兩夾角都為y.

對于A：^=^-PB,:.PABC=PA(PC-PB^=PAPC-PAPB

=2X2XL-2X2XL=0,故A錯誤.

22

對于B：荏=而_麗,.??麗初=西?(而一麗)=麗.而一麗.而

=2x2x——2x2=-2,故B錯誤.

CN2

對于C,D：延長CN交AB于易得〃為AB的中點，由于N是VABC的中心河得二7=7.

CM3

P

15.B

【分析】根據(jù)給定定義，逐項分析判斷即可.

【詳解】對于A,由君+(%+2尸=2%；+4/+4=2(%+1>+222,得函數(shù)y=x+2不是向心函數(shù),A不是.

對于B,點(0,1)在函數(shù)y=e”圖象上，且02+F=i4i成立，函數(shù)丁=e'是向心函數(shù),B是.

對于C,由片+(也；+1.1)2=2%；+1.121.1,得函數(shù)y=JV+1,1不是向心函數(shù),c不是.

對于D,由X；+(%+,)2=2x；+二+2>2,得函數(shù)y=x+，不是向心函數(shù),D不是.

入0玉)X

故選：B

16.B

【分析】設圓錐的高為xcm,求出該圓錐體積的函數(shù)關系,利用導數(shù)求出最大值，進而判斷得解.

【詳解】設圓錐的底面圓半徑為wm,高為xcm,則r=36-X2,O<X<6.

圓錐的體積/(%)=|nr2x=17T(36X-x3)，求導得f\x)=TT(12-X2).

當0cx<2代時，尸(幻>0,當2君〈尤<6時，尸(%)<0.

函數(shù)/(無)在(0,2石)上單調遞增，在(2后6)上單調遞減,廣(X)1mx=/(2>/3)=16島-

因此當x=2瓜r=2娓時，圓錐的體積取得最大值16島.

此時圓錐的母線與底面所成角區(qū)有cos。J=逅,。=arccos逅，①正確.

633

而16島<16x1.74x3.15=87.696<88，則圓錐的體積不能取到88cm3，②錯誤.

故選：B

17.（1）表格見解析，有

【分析】（1）完成列聯(lián)表，由列聯(lián)表，得力2。8.333>6.635,然后根據(jù)獨立性檢驗判斷即可.

（2）由題知抽取10人中,經(jīng)常網(wǎng)購的有7人,偶爾或不用網(wǎng)購的有3人，由可計算選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概

率.

【詳解】（1）完成列聯(lián)表：

經(jīng)常網(wǎng)偶爾或不用網(wǎng)合

購購計

男

5050100

性

女

7030100

性

合

12080200

計

由列聯(lián)表理①亞四①二空.333>6.635.

120x80x100x1003

.??有99%的把握認為我市市民網(wǎng)購與性別有關.

（2）由題知女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人中.

730

經(jīng)常網(wǎng)購的有10x元=7人,偶爾或不用網(wǎng)購的有10x礪=3人.

選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率尸=半坐=各.

cio60

所以所求概率為4受Q

oO

18.（1）證明見解析.

⑵巨

2

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質判定，面面垂直的判定推理得證.

（2）由線面角求出由（1）的結論，作出點A到平面的垂線段，進而求出長度.

【詳解】（1）由PAJL平面ABC,BCu平面ABC,得3C_LR4,而3C_LAB.

PAcAB=424,鈿（=平面巴45,則BC_L平面又8Cu平面尸8c.

所以平面PBC_L平面上4B.

-7T

（2）由上4_L平面ABC,得ZPBA是尸3與面ABC所成的角，則NPBA=

6

而R4_LAB廁AB=^，在平面R4B內(nèi)過A作AD_LPB于。.

由(1)知,平面尸3C_L平面RW,平面P3CPI平面抬5=尸3,因此AD_L平面尸3c.

所以點A到平面PBC的距離為AD=ABsin-=—.

19.⑴不“伴隨”，理由見解析.

(2)證明見解析.

【分析】(1)取特值計算，結合數(shù)列“伴隨”的定義判斷即可.

(2)給定的遞推公式求出通項公式，再利用定義推理得證.

【詳解】(1)數(shù)列㈤｝與包｝不“伴隨”.

Q3s

^Ln=4,\a4-b41=|--(-1)|=—>1.

所以數(shù)列也,｝與也｝不“伴隨”.

(2)數(shù)列｛%｝中,S“=1-%,則％=1=1-％，解得q=g

an+x=Sn+i-Sn=1-4+1_(1—Q〃)=Q〃_Q〃+i,即%+i=；%.

因此數(shù)列⑷是首項為:，公比為I的等比數(shù)歹U,%=占㈤=1-占.

乙乙22

則|=|1一擊|=1一擊<1.

所以｛%｝與6)“伴隨”.

20.⑴

⑵9.

(3)不存在，理由見解析.

2222_____

【分析】(1)由題可得。1,。3為二+與=1與々+27=1公共點，將兩橢圓方程聯(lián)立，結合題意，可得2,由麗?眠=0,

abba

結合Qi,可得/一〃=1，再將g,代入橢圓方程可得4+占=1，據(jù)此可得答案.

ab

(2)由(1)分析結合。=有,可得橢圓方程，由對稱性可設直線4瓦方程為：x+yT=0(r>0),由直線與橢圓相切，結

合聯(lián)立方程判別式為0,可得f,從而可得A，By4,當四點坐標，據(jù)此可得面積.

(3)由(1)分析結合。=2,可得橢圓方程，設直線=H尤-1)+1=履+1-左,將直線與兩橢圓方程聯(lián)立，設

22

N（%,%）,結合韋達定理，可得出X2關于左的表達式,由M,N在y軸右側,點N在會+%=l（尤221）上）,可得

-34左＜-1.假設相關直線存在，則ZMQ3Q1=ZNQ3Qt，據(jù)此可得關于k的方程，通過判斷方程有無解,可判斷相關直線是否

存在.

2222

【詳解】⑴令“，6＞0,由題可得/＞尸&,0為?+斗=1與，+。=1公共點.

匕212+〃2y2=02/

將1+4=1與W+E=i聯(lián)立，可得

abbaa2x2+b2y2=a2b2,

ab

'abab

解得：

ab、J/+/+12,

y22

~y[a+b

ab

<1

由題可得<',產(chǎn)

ab

>1

y/a2+b2

則潦，=1=。1（1，1）,又斯?西=0,則函，瓶,從而"—〃=1.

將（）代入得—=』+士2a2-1

Ua+%=1,ln=1=>=1=>a4—3a2+1=0.

/-a2

解得或乎

（小于0,舍去）.

故心子

11Q

（2）由（1）分析可知又"抬，則］+至=1=62=/

則兩橢圓方程為：］+茅=1,茅+§=1.設耳（oj）（〉o）.

由對稱性可得A?,0）,則直線&耳方程為：：+：=1=＞尤+y-t=0.

將直線4耳方程與《+空=1聯(lián)立，化簡后可得3/一4"+2/一3=0.

33

因直線與橢圓相切，則判別式A=16/2-24r+36=0nt=述.

2

此時，將尤+y—逑=0與匕+生=1聯(lián)立,化簡后可得：3x2-3A/2.r+|=0.

2332

其判別式也為0,則直線x+y-逑=0也與橢圓上+至=1相切.

233

4，由對稱性可得a

7

則四邊形AAA層的面積為：||AA||^A|=1X3A/2X3A/2=9.

（3）由（1）分析可得又"2,則9+&=ln62==

4b3

則兩橢圓方程為：?+今=1,今+3=1.

從而曲線「與y軸正半軸,無軸正半軸交點為：（0,2）,（2,0）.

設直線MN:y=k（x-1）+1=丘+1-％,將直線MN分別與兩橢圓方程聯(lián)立.

x23y213x2y2

則44，44，化簡后可得：

y=kx+l-k[y=kx+l-k

（1+3左2）/+6左（1一女）尤+3（1—左）2—4=0,4=（6左+2）2之0.

（無？+3）龍」+2無（一1）龍+（1—I）?-4=0,A=（2左+6）2^0.

設”（冷％）,N（X2，%），由韋達定理?

（1一女）2—43（1—左y_4

看%=玉=.+3-2%=3/+1

22

因M,N在y軸右側，點N在3+方=1僅訓上）.

>0

-r+3

則=>—3<A:<—1.

3（1-^）2-4

>1

3二+1

/,2、

（ix）-一43-6k-k?’3（1-"-41—2k-3k2,

則M,N.因。3（T，T）?

k2+3'k2+33/+1'3=J

7\

3-6k-k2l-2k-3k2

+16-6k+12-24

則。=（￡乙3r+11

2k2-2k3（1-4）—6k2-6k3k-

+1+1

F+33r+1

若Q3M所在直線與Q3N所在直線關于直線Q3Q,對稱，則ZMQ3Q,=ZNQ3Q,.

因2（