15.1.2線段的垂直平分線第1課時(shí)線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定教師備課素材示例●歸納導(dǎo)入通過(guò)幾何畫(huà)板課件的演示，探索線段垂直平分線的性質(zhì)．探究（一）演示課件：如圖，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，測(cè)量PA，PB的長(zhǎng)度，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？PA＝PB.eq\a\vs4\al()PAPB1.90cm1.90cm1.48cm1.48cm1.75cm1.75cm1.57cm1.57cm1.80cm1.80cm0.75cm0.75cm0.50cm0.50cm探究（二）證明結(jié)論：利用幾何畫(huà)板中的圖形證明所得結(jié)論．線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．【教學(xué)與建議】教學(xué)：利用幾何畫(huà)板的測(cè)量功能能表明PA＝PB，但需要證明．建議：學(xué)生獨(dú)立觀察教師演示的課件，很容易歸納結(jié)論．證明過(guò)程可以指定學(xué)生板演證明過(guò)程，其余同學(xué)在練習(xí)本上完成．●類(lèi)比導(dǎo)入1.前面我們學(xué)習(xí)了角的平分線的性質(zhì)和判定，具體內(nèi)容是什么？2．我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線，既然“角的平分線”與“線段的垂直平分線”都是“平分線”，那么它們之間有哪些相似之處呢？3．你能證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是正確的嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：利用角的平分線與線段的垂直平分線的相似之處猜想結(jié)論．建議：?jiǎn)l(fā)學(xué)生畫(huà)圖觀察，仿照角的平分線從定義、性質(zhì)和判定三個(gè)角度思考，類(lèi)比角的平分線定義可以得出倍半關(guān)系，類(lèi)比角的平分線性質(zhì)與判定分別得到線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定．·命題角度1利用線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算與證明(1)利用線段垂直平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題，一般需要連接直線上某一點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)的線段（常用的添加輔助線的方法），從而由性質(zhì)可以直接得到相等的兩條線段；(2)把未知的線段通過(guò)線段的垂直平分線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知的線段．【例1】如圖，在△ABC中，AC＝12，BC＝8，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則△BCE的周長(zhǎng)是20．【例2】如圖，已知CD垂直平分AB，若AC＝4cm，AD＝5cm，則四邊形ADBC的周長(zhǎng)是18cm.【例3】如圖，AB＝CD，線段AC的垂直平分線與線段BD的垂直平分線相交于點(diǎn)E.求證：∠ABE＝∠CDE.證明：如圖，連接AE，CE.∵線段AC的垂直平分線與BD的垂直平分線相交于點(diǎn)E，∴AE＝CE，BE＝DE.在△ABE和△CDE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,AE＝CE，,BE＝DE，))∴△ABE≌△CDE(SSS).∴∠ABE＝∠CDE.·命題角度2線段垂直平分線的判定一點(diǎn)與一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，可判定該點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．【例4】如圖，在△ABC中，AB＞AC＞BC，邊AB上存在一點(diǎn)P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正確的是(D)A.點(diǎn)P是∠ACB的平分線與AB的交點(diǎn)B．點(diǎn)P是以點(diǎn)B為圓心，AC長(zhǎng)為半徑的弧與邊AB的交點(diǎn)C．點(diǎn)P是AC的垂直平分線與AB的交點(diǎn)D．點(diǎn)P是BC的垂直平分線與AB的交點(diǎn)【例5】如圖，AB＝AC，MB＝MC.求證：直線AM是線段BC的垂直平分線．證明：∵AB＝AC，∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上．∵M(jìn)B＝MC，∴點(diǎn)M在線段BC的垂直平分線上．∴直線AM是線段BC的垂直平分線．·命題角度3綜合運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定(1)利用線段垂直平分線的性質(zhì)可證明兩線段相等；(2)利用線段垂直平分線的判定可證明垂直關(guān)系和線段相等關(guān)系．【例6】如圖，已知AB＝AC，DB＝DC，P是AD上的一點(diǎn)．求證：∠ABP＝∠ACP.證明：連接BC.∵AB＝AC，∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上．∵DB＝DC，∴點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上．∴直線AD是線段BC的垂直平分線．∵點(diǎn)P在直線AD上，∴PB＝PC.在△ABP和△ACP中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,PB＝PC，,AP＝AP，))∴△ABP≌△ACP(SSS).∴∠ABP＝∠ACP.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．掌握線段垂直平分線的概念．2．理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理．3．運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理解決幾何問(wèn)題．▲重點(diǎn)掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，并學(xué)會(huì)運(yùn)用．▲難點(diǎn)運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理解決幾何問(wèn)題．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入1．經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線．2．由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，無(wú)論是成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，還是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸都是任意一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．◆活動(dòng)2探究新知1．教材P65探究．提出問(wèn)題：(1)比較點(diǎn)P1，P2，P3……到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？(2)你能否通過(guò)理論驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P66第1個(gè)思考．提出問(wèn)題：(1)線段垂直平分線的性質(zhì)的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？(2)如果把線段垂直平分線的結(jié)論和題設(shè)反過(guò)來(lái)，得到的命題是什么？(3)此命題是真命題嗎？能否通過(guò)證明驗(yàn)證此命題？學(xué)生完成并交流展示．3．教材P66第2個(gè)思考．提出問(wèn)題：(1)互逆命題、原命題、逆命題的定義分別是什么？(2)舉例說(shuō)一說(shuō)原命題與逆命題的真假關(guān)系？(3)互逆定理的定義是什么？互逆定理是真命題還是假命題？(4)舉例幾何中的互逆定理．學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.2．與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.3．兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把具有這種關(guān)系的兩個(gè)命題叫作互逆命題，如果把其中一個(gè)叫作原命題，那么另一個(gè)叫作它的逆命題.4．如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理，其中一個(gè)定理叫作另一個(gè)定理的逆定理.◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1如圖，AD⊥BC，BD＝CD，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的長(zhǎng)．解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC.∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，∴AC＝CE.∵AB＝5cm，BD＝3cm，∴CE＝AC＝AB＝5cm，CD＝BD＝3cm，∴BE＝BD＋DC＋CE＝3＋3＋5＝11(cm).例2如圖，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度數(shù)；(2)若△APQ的周長(zhǎng)為12，BC的長(zhǎng)為8，求PQ的長(zhǎng)．解：(1)設(shè)∠PAQ＝x，∠CAP＝y(tǒng)，∠BAQ＝z.∵M(jìn)P和NQ分別垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ.由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y.∵∠BAC＝80°，∴∠B＋∠C＝100°，即x＋y＋z＝80°，x＋z＋x＋y＝100°.∴x＝20°.∴∠PAQ＝20°；(2)∵△APQ的周長(zhǎng)為12，∴AQ＋PQ＋AP＝12.∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ＋PQ＋PB＝12，即CQ＋BQ＋2PQ＝12.∴BC＋2PQ＝12.又∵BC＝8，∴PQ＝2.例3寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否成立．(1)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(2)若a＝b，則a2＝b2；(3)如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么兩個(gè)銳角互余．解：(1)如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行，真命題；(2)如果a2＝b2，那么a＝b，假命題；(3)如果在一個(gè)三角形中的兩銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形，真命題．練習(xí)1．教材P67練習(xí)第1，2，3題．2．如圖，△ABC的周長(zhǎng)為30cm，把△ABC的邊AC對(duì)折，使頂點(diǎn)C和點(diǎn)A重合，折痕交邊BC于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E.若△ABD的周長(zhǎng)是22cm，則AE的長(zhǎng)為(C)A．2cmB．3cmC．4cmD．5cmeq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))3．如圖，在△ABC中，