教案教學(xué)基本信息課題隨機事件與概率（第一課時）學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：中學(xué)年級高一教材書名：人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊出版社：人教社出版日期：教學(xué)目標及教學(xué)重點、難點教學(xué)目標：結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義；會用集合語言與樣本點描述一個隨機事件.結(jié)合具體實例，以隨機現(xiàn)象數(shù)學(xué)化為導(dǎo)向，以不同語言的相互轉(zhuǎn)化為手段，經(jīng)歷從隨機試驗到有限樣本空間，再到隨機事件這一概念抽象的過程，體現(xiàn)具體到抽象思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)；在概念抽象的過程中，經(jīng)歷從文字到符號的過渡，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)語言表達與交流的能力.教學(xué)重點：隨機試驗的樣本空間及隨機事件的概念.教學(xué)難點：對于不同背景的隨機試驗，用適當?shù)姆柋硎倦S機試驗的結(jié)果，列舉試驗的樣本空間.教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖引入引入今天開始我們一起來學(xué)習(xí)第十章《概率》，初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了概率的一些知識，比如隨機事件、必然事件、不可能事件，并且學(xué)習(xí)了在試驗結(jié)果等可能的情形下求簡單隨機事件的概率，今天我們就來回顧并進一步的研究概率.現(xiàn)實中，像日出東方，日落西方，這樣的現(xiàn)象在一定條件下能預(yù)知結(jié)果稱為確定性現(xiàn)象.同時有一些現(xiàn)象，例如買彩票，可能中獎也可能不中獎；拋擲骰子，出現(xiàn)3點可能發(fā)生也可能不發(fā)生，這樣的現(xiàn)象，在一定條件下事先不能預(yù)知結(jié)果，稱它為不確定現(xiàn)象.生活中，不確定現(xiàn)象很多，有些過于復(fù)雜，以目前人類的能力，許多毫無規(guī)律，無法認知；而有一些不確定現(xiàn)象，現(xiàn)有的能力是可以研究它的規(guī)律的，那么如何研究呢？上一章我們學(xué)習(xí)的用樣本推斷總體，當樣本量較小時,每次得到的結(jié)果往往不同，但如果有足夠多的數(shù)據(jù)，就可以從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律.比如拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次,出現(xiàn)的結(jié)果是具有偶然性的，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，但是歷史上有人做過這樣的試驗，大量重復(fù)地拋擲一枚硬幣，記錄下數(shù)據(jù).用折線圖直觀表示，不難發(fā)現(xiàn)，隨著試驗次數(shù)的增多，正面向上的比例在0.5處波動，具有穩(wěn)定性.像這樣就一次觀測而言，出現(xiàn)哪種結(jié)果具有偶然性，但在大量重復(fù)觀測下，各個結(jié)果出現(xiàn)的頻率卻具有穩(wěn)定性的現(xiàn)象叫做隨機現(xiàn)象.概率論就是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支.概率是對隨機事件發(fā)生可能大小的度量.今天我們在初中的基礎(chǔ)上，結(jié)合具體實例，繼續(xù)研究刻畫隨機事件的方法.讓學(xué)生了解到隨機現(xiàn)象在我們身邊是大量存在的,我們學(xué)習(xí)有關(guān)概率知識的目的之一就是要了解和描述類似的現(xiàn)象；增加學(xué)生學(xué)習(xí)概率的興趣,了解數(shù)學(xué)在解決實際問題中的廣泛應(yīng)用；提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識提出問題、分析問題和解決問題的能力。新課引例1.（1）體育彩票搖獎時，將10個質(zhì)地和大小完全相同，分別標號0，1，2，…,9的球放入搖獎器中，經(jīng)過充分攪拌后搖出一個球，觀察這個球的號碼；（2）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它落地時哪一面朝上；（3）在一批燈管中任意抽取一只，測試它的壽命；二．新課(一)隨機試驗.我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗（randomexperiment），簡稱試驗，常用字母E表示.問題1.請同學(xué)們觀察，這三個隨機試驗具備哪些共同特點？:體育彩票搖獎時，將10個質(zhì)地和大小完全相同，分別標號0，1，2，…,9的球放入搖獎器中，經(jīng)過充分攪拌后搖出一個球，觀察這個球的號碼；:拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它落地時哪一面朝上；:在一批燈管中任意抽取一只，測試它的壽命；隨機試驗的特點：（1）試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；（2）試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.問題2.你能寫出下面隨機試驗所有的可能結(jié)果嗎？:體育彩票搖獎時，將10個質(zhì)地和大小完全相同，分別標號0，1，2，…,9的球放入搖獎器中，經(jīng)過充分攪拌后搖出一個球，觀察這個球的號碼；所有結(jié)果：“搖出0號球”，“搖出1號球”，…，“搖出9號球”共有10種:拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它落地時哪一面朝上.所有結(jié)果：“正面朝上”，“反面朝上”共有2種師：研究對象是試驗的結(jié)果，根據(jù)集合的定義，可以用集合來表示試驗的所有結(jié)果所有的結(jié)果：{搖出0號球，搖出1號球，…,搖出9號球}.所有的結(jié)果：{正面朝上，反面朝上}.（二）樣本點與樣本空間.1.把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間.一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點.2.有限樣本空間：如果一個隨機試驗有個可能結(jié)果則稱樣本空間為有限樣本空間.師：前面的隨機試驗和，它們的樣本空間就是有限樣本空間.當前，我們只討論為有限集的情況，將來我們學(xué)習(xí)選修的內(nèi)容時，會遇到樣本空間為無限集的情況.問題3：你能將前面的試驗和的樣本空間中的樣本點利用符號表示么？解：（1）設(shè)數(shù)字表示“搖出的球的號碼為”，則解：（2）隨機試驗的樣本空間：{正面朝上，反面朝上}.用數(shù)字1表示“正面朝上”，0表示“反面朝上”，則樣本空間.解：（2）用表示“正面朝上”，表示“反面朝上”，則樣本空間.師：通過上面的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)寫出試驗的樣本空間一般經(jīng)歷兩步：（1）把樣本點先用文字語言描述，并用集合形式表示；（2）對文字語言描述的結(jié)果用更簡潔的符號（字母、數(shù)字）表示.后續(xù)的學(xué)習(xí)中，對只有兩個可能結(jié)果的試驗，用0和1表示試驗結(jié)果是有很多好處的..例1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察它落地時朝上的面的點數(shù)，寫出試驗的樣本空間.分析：所有可能的結(jié)果是出現(xiàn)1點，出現(xiàn)2點，…，出現(xiàn)6點，共6種；可以將樣本點“朝上面的點數(shù)”用字母表示，的可能結(jié)果是1，2，3，4，5，6.解：用表示朝上面的“點數(shù)為”，試驗的樣本空間可以表示為.例2.（1）將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲兩次，觀察它落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間.分析：根據(jù)試驗的描述，我們分析出，連續(xù)拋擲兩次硬幣是一次隨機試驗，將兩次拋擲的結(jié)果放在一起，就是這個試驗的樣本點，這兩次拋擲的結(jié)果有順序之分，因此，將第一次拋擲可能的基本結(jié)果用表示，第二次拋可能的基本結(jié)果用表示，那么試驗的樣本點可用有序?qū)Ρ硎荆@里可以利用樹狀圖幫助我們分析（如圖）：解：（1）第一次拋擲可能的基本結(jié)果用表示，第二次拋擲可能的基本結(jié)果用表示，那么試驗的樣本點可用表示，則樣本空間={（正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，則樣本空間.（2）將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲兩次，觀察它落地時正面朝上的次數(shù)，寫出試驗的樣本空間.分析：不難發(fā)現(xiàn)，同樣是連續(xù)拋擲一枚硬幣兩次，但是這一次試驗的樣本點是正面朝上的次數(shù)，所以解：（2）用表示“落地時正面朝上的次數(shù)”，則樣本空間為數(shù)集.師：這兩問的隨機試驗條件相同，但是由于觀察的角度不同，結(jié)果是不同的，所以要關(guān)注隨機試驗是如何描述的，分析出試驗的目的，準確的表達樣本點.師：有了樣本空間，我們就清晰簡潔的表示了隨機試驗的所有可能結(jié)果.但往往我們更關(guān)注的是隨機試驗的一些特定的結(jié)果，例如，前面討論的體育彩票搖獎的試驗，這10個可能搖出的號碼中，我們更加關(guān)注哪些是能使我們中獎的號碼？中獎的概率有多大？也就是我們更加關(guān)心隨機事件和它發(fā)生的可能性大小，接下來我們來進一步研究隨機事件.問題4：在體育彩票搖號試驗中：搖出“球的號碼為奇數(shù)”是隨機事件嗎？師：初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機事件，我們知道，在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件，很顯然，搖出“球的號碼為奇數(shù)”是隨機事件.追問：如果這個隨機事件發(fā)生，意味著試驗可能出現(xiàn)哪些結(jié)果？師：在一次試驗中，搖出的號碼是1，3，5，7，9中的任何一個，我們就說這個隨機事件發(fā)生.追問：你能否用集合的語言表示這個隨機事件？師：用表示隨機事件“球的號碼為奇數(shù)”，則事件發(fā)生等價于搖出的號碼屬于集合{1，3，5，7，9}；問題5：在體育彩票搖號試驗中：（1）搖出“球的號碼為3的倍數(shù)”是隨機事件嗎？（2）你能否用集合的語言表示這個隨機事件？師：（1）很顯然，這也是一個隨機事件；（2）用表示隨機事件“球的號碼為3的倍數(shù)”，則事件發(fā)生等價于搖出的號碼屬于集合{0，3，6，9}.師：通過這兩個問題，我們發(fā)現(xiàn)，和樣本空間一樣，我們可以用集合的語言來表示一個隨機事件發(fā)生的結(jié)果.問題6：這兩個隨機事件的集合與這個隨機試驗的樣本空間有什么關(guān)系？師：這個隨機試驗的樣本空間為.隨機事件“球的號碼為奇數(shù)”的集合；隨機事件“球的號碼為3的倍數(shù)”的集合,.容易看出，這兩個隨機事件的集合都是這個隨機試驗的樣本空間的子集，即.因此，我們推斷出：一個隨機試驗中的任何一個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集表示，接下來我們用集合語言來刻畫隨機事件.（三）隨機事件.1.定義:一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件.隨機事件一般用大寫字母,,…表示.2.把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.3.在每次隨機試驗中，當且僅當隨機事件的集合中的某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件發(fā)生.師：根據(jù)隨機事件與樣本點的關(guān)系，你能說說必然事件與不可能事件如何用集合語言表示嗎？4.必然事件：作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件.5.不可能事件：空集不包含任何樣本點,在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱為不可能事件.我們看出，可以將必然事件和不可能事件作為隨機事件的極端情形，這樣每個事件都是樣本空間的一個子集.舉出身邊熟悉的隨機試驗例子,為進一步的深入學(xué)習(xí)、研究隨機事件的概率積累素材,引燃學(xué)生的思維火花?！驹O(shè)計意圖】鼓勵學(xué)生先用“正”“反”、再用“1”“0”來描述對應(yīng)的樣本空間，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的層次性，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).例題例3.如圖,一個電路中有A,B,C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效.把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.寫出試驗的樣本空間；用集合表示下列事件：=“恰好兩個元件正?！?；=“電路是通路”；=“電路是斷路”.分析：（1）這個電路一共有三個電器元件，試驗的結(jié)果是將三個元件是否正常的結(jié)果放到一起，如果用文字語言表示比較麻煩，可以這個試驗結(jié)果可以抽象成一個三元數(shù)組.用1表示每個元件正常，用0表示每個元件不正常.這里情況較多，因此可以利用樹狀圖來幫助我們列舉，詳細解答過程為：解：（1）分別用和表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用表示.進一步地，用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，則樣本空間.分析：(2)事件發(fā)生等價于中恰有“兩個1，一個0”的樣本點出現(xiàn)解：（2）“恰好兩個元件正?！钡葍r于，且中恰有兩個為1，所以.分析：事件發(fā)生意味著元件A一定正常，而元件B和C是并聯(lián)關(guān)系，因此只要一個正常就可以，也就是說B和C至少有一個正常.解：=“電路是通路”：“電路是通路”等價于，,且中至少有一個是1，所以.分析：（3）事件發(fā)生，可能情況分為兩類，第一類是元件A失效，這時無論B和C是否正常，電路都為斷路，第二類是元件A正常，此時B和C都不正常.解：=“電路是斷路”：“電路是斷路”等價于，，或,.所以.練習(xí)：如圖，拋擲一紅一藍兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記下骰子朝上面的點數(shù).(1)寫出試驗的樣本空間；(2)用集合表示事件A=“兩個點數(shù)之和等于8”，B=“至少有一顆骰子的點數(shù)為5”，C=“紅色骰子上的點數(shù)大于4”.分析：試驗是拋擲一紅一藍兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，試驗結(jié)果是兩枚骰子朝上的點數(shù)放到一起，用表示紅色骰子的點數(shù)，用表示藍色骰子的點數(shù)，用表示一次試驗的結(jié)果,兩顆骰子的點數(shù)分別都有六種，因為結(jié)果較多，可以用表格來表示如圖：第一行表示紅色骰子可能出現(xiàn)的點數(shù)，第一列表示藍色骰子可能出現(xiàn)的點數(shù)，中間部分表示的是每一次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果，例如有序數(shù)對（3，2）表示紅色骰子點數(shù)為3，藍色骰子點數(shù)為2的試驗結(jié)果.利用表格我們可以將所有結(jié)果清晰的表達出來.1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）師：我們看到，這個試驗共有36種可能結(jié)果，如果要一一列舉出來是非常麻煩的，我們也可以嘗試用描述法來表示這個集合.解：（1）樣本空間包含36個樣本點，即.第二問：事件A“兩個點數(shù)之和等于8”，可以分類討論，=2,3,4,5,6幾種可能，觀察表格可以挑選出滿足條件的樣本點，如圖1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）解：（2）事件.事件.事件小結(jié)：我們認識到，當試驗的結(jié)果數(shù)較多時，采用樹狀圖或者列表表示結(jié)果，更加直觀清楚，在表示集合的時候可以采用描述法，更加簡潔，抽象.練習(xí):在某屆世界杯足球賽上，a,b,c,d四支球隊進入了最后的比賽.在第一輪的兩場比賽中，a對b,c對d,然后這兩場比賽的勝者將進入冠亞軍決賽，這兩場比賽的負者比賽，決出第三名和第四名.比賽的一種最終可能結(jié)果記為acbd(表示a勝b,c勝d,a勝c,b勝d).（1）寫出比賽所有可能結(jié)果構(gòu)成的樣本空間；（2）設(shè)事件A表示a隊獲得冠軍，寫出A包含的所有可能結(jié)果；（3）設(shè)事件B表示a隊進入冠亞軍決賽，寫出B包含的所有可能結(jié)果.分析：根據(jù)描述，比賽分為兩輪，第二輪的比賽受到第一輪結(jié)果的影響，先來看第一輪的情況：第一輪包含a,b和c,d兩場比賽，各有兩種結(jié)果，分別為a勝b,b勝a,c勝d,d勝c，因此第一輪的比賽結(jié)果有四種，分別是a勝b，c勝d；a勝b，d勝c；b勝a,c勝d；b勝a，d勝c.接下來進行第二輪比賽的情況討論，問題比較復(fù)雜，為了更加清晰地展示所有情況，我們可以用表格表示，我們不妨以a和b兩隊的比賽結(jié)果分類，分為a勝b和b勝a兩類.每一類又包含c勝d,d勝c兩種結(jié)果，這時第一輪比賽結(jié)束,開始第二輪的比賽，前一輪的勝者爭奪冠亞軍，負者決出第三名和第四名，用字母的前后順序代表勝負，因此第二輪的比賽有四種對陣情況，如表格所示，每一種情況下又對應(yīng)四種比賽的結(jié)果，例如：a對c，b對d的可能結(jié)果有四種，分別為acbd，acdb，cabd，cadb，其他的幾種對陣結(jié)果可以類似的寫出，因此樣本空間包含16個樣本點，可以將其一一列舉出來.(PPT展示樣本空間)解：（1）第一輪比賽的對陣及勝負情況第二輪比賽的對陣情況可能結(jié)果a勝bc勝da對c,b對dacbd,acdb,cabd,cadbd勝ca對d,b對cadbc,adcb,dabc,dacbb勝ac勝db對c,a對dbcad,bcda,cbad,cbda,d勝cb對d,a對cbdac,bdca,dbac,dbca所以樣本空間包含16個樣本點.第二問分析：設(shè)事件A表示a隊獲得冠軍，寫出A包含的所有可能結(jié)果；a隊獲得冠軍的意思是結(jié)果中a排在第一位，事件A的集合的樣本點是由所有結(jié)果中a排在第一位的結(jié)果構(gòu)成的，因此解：（2）.第三問分析：第一輪比賽的勝者爭奪冠亞軍，因此，這個事件的發(fā)生代表著a在第一輪比賽中獲勝，對應(yīng)著表格中第一行和第二行的所有結(jié)果（用文本框畫出），因此，可以寫出事件B的集合.解：（3）.師：由這道小題我們看出，寫出試驗的樣本空間需要將隨機試驗分析清楚，每次試驗要分為幾個不同的步驟，每一步有幾種不同的結(jié)果，并用表格或者樹狀圖等清晰的表達出來，注意表示的時候有條理，有邏輯，不重不漏.總結(jié)師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們能談?wù)勛约涸谥R和方法上的收獲嗎？師：第一，這節(jié)課我們認識了隨機試驗、樣本點與樣本空間、有限樣本空間、隨機事件的概念，我們用有限樣本空間、隨機事件來描述一個隨機試驗，并且我們把隨機事件看作樣本空間的子集，這樣，我們就能夠用數(shù)學(xué)語言與方法研究隨機現(xiàn)象了.第二，在寫出樣本空間時我們經(jīng)歷了從文字語言到符號語言的過渡，理解了利用符號語言，也就是字母數(shù)字等表示樣本點的簡潔性，這一過程體現(xiàn)具體到抽象的方法，同時，在寫出樣本空間時需要借助樹狀圖和表格等方法，體現(xiàn)分類討論的思想。課堂小結(jié)：1.隨機試驗、樣本點與樣本空間、有限樣本空間、隨機事件；2.具體到抽象（文字語言到符號語言的轉(zhuǎn)化），分