教案教學(xué)基本信息課題向量的數(shù)乘運(yùn)算學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高中年級(jí)一年級(jí)教材書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)A版出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)本節(jié)課類比數(shù)的乘法，定義向量的數(shù)乘運(yùn)算，驗(yàn)證向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律．在這個(gè)過(guò)程中，體會(huì)類比研究的方法，從數(shù)與形兩方面對(duì)向量的數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行認(rèn)識(shí)，感受向量數(shù)與形的雙重屬性，同時(shí)體會(huì)研究運(yùn)算的一般過(guò)程，提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)．教學(xué)過(guò)程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖引入這節(jié)課我們一起來(lái)學(xué)習(xí)向量的數(shù)乘運(yùn)算．前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法和減法運(yùn)算．我想一定有同學(xué)思考過(guò)，向量有沒(méi)有乘法運(yùn)算呢？如果你也考慮過(guò)這樣的問(wèn)題，說(shuō)明你已經(jīng)有了類比的意識(shí)．在向量的學(xué)習(xí)中，我們不止一次與數(shù)量進(jìn)行類比或?qū)Ρ?，今天我們也不妨從?shù)量的乘法說(shuō)起．新課環(huán)節(jié)1類比數(shù)量乘法定義向量的數(shù)乘運(yùn)算以特殊的數(shù)量乘法為例：3a＝a＋a＋a；－3a＝(－a)＋(－a)＋(－a)．類比到向量：3a＝a＋a＋a；－3a＝(－a)＋(－a)＋(－a)．由于向量加法運(yùn)算的結(jié)果仍為向量，進(jìn)而分別作出對(duì)應(yīng)的有向線段，觀察結(jié)果的長(zhǎng)度和方向．再將類比得到的結(jié)論，由特殊推廣到一般，給出向量數(shù)乘運(yùn)算的定義．一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向相反．這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘．特例的點(diǎn)明當(dāng)λ＝0時(shí)，，所以，0a＝0．這說(shuō)明0與任意向量數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果均為零向量．當(dāng)a＝0時(shí)，，所以，λ0＝0．這說(shuō)明零向量與任意實(shí)數(shù)數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果均為零向量．小練習(xí)：已知向量a如圖所示，求作向量b＝0.5a，向量c＝－2a．(1)通過(guò)類比，使學(xué)生更容易理解，也更容易接受向量數(shù)乘運(yùn)算的定義方式．(2)從給定實(shí)數(shù)與向量數(shù)乘，到任意實(shí)數(shù)與向量數(shù)乘的定義，從特殊過(guò)渡到一般，學(xué)生更容易接受和理解．(3)了解對(duì)該運(yùn)算的命名原因也有助于學(xué)生對(duì)定義的理解，同時(shí)為后面數(shù)量積運(yùn)算的學(xué)習(xí)做了鋪墊．這兩個(gè)特殊情況在數(shù)乘相關(guān)辨析以及定理的推倒過(guò)程都有著重要的作用．這個(gè)練習(xí)一方面是對(duì)定義的直接應(yīng)用．另一方面也為后面對(duì)幾何意義進(jìn)行理解所做的鋪墊．環(huán)節(jié)2加深向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義的理解給定非零向量a，并分別對(duì)λ＞1，λ＝1，λ∈(0,1)，λ＝0，λ∈(－1,0)，λ＝－1，λ＜－1幾種情況下，λa的長(zhǎng)度與方向進(jìn)行分析．模擬λ連續(xù)變化時(shí)，數(shù)乘向量隨λ變化而變化的情況，從幾何直觀上感受數(shù)乘運(yùn)算的效果：非零向量的數(shù)乘運(yùn)算，相當(dāng)于對(duì)向量a，延其所在直線方向的拉伸或壓縮，其中，當(dāng)λ＜0時(shí)，可以看作是反向的伸縮．本環(huán)節(jié)的意圖是幫助學(xué)生從形上加深對(duì)向量數(shù)乘運(yùn)算的理解．其中第2小部分如果用動(dòng)畫(huà)展示，更容易看出“伸縮”．環(huán)節(jié)3猜想并驗(yàn)證向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律類比數(shù)量乘法的運(yùn)算律，寫(xiě)出向量數(shù)乘運(yùn)算可能滿足的運(yùn)算律．通過(guò)幾何作圖的方式逐一驗(yàn)證上述運(yùn)算律．總結(jié)3條運(yùn)算律并點(diǎn)明特例向量數(shù)乘運(yùn)算律：λ(μa)＝(λμ)a＝(μλ)a＝μ(λa)；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb．特別的，λ(－a)＝(－λ)a＝－(λa)；(λ－μ)a＝λa＋(－μ)a＝λa－μa；λ(a－b)＝λa＋λ(－b)＝λa－λb．定義了新的運(yùn)算以后，考察它的運(yùn)算律是一個(gè)自然的問(wèn)題．希望學(xué)生經(jīng)歷并內(nèi)化研究運(yùn)算的一般過(guò)程．通過(guò)類比的方式猜想向量數(shù)乘的運(yùn)算律，類比是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的重要方法．運(yùn)算律的證明難度較大，故本課只對(duì)運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)單的作圖驗(yàn)證．這也相當(dāng)于運(yùn)算律的幾何意義．作圖驗(yàn)證的過(guò)程也是對(duì)向量數(shù)乘運(yùn)算定義的再鞏固．驗(yàn)證運(yùn)算律之后，還需要對(duì)運(yùn)算律進(jìn)行再認(rèn)識(shí)．“特別的”是從一般再到特殊的過(guò)程，特殊的結(jié)論也有特殊的價(jià)值．第一條結(jié)論使得我們對(duì)負(fù)號(hào)的處理更加靈活，最后兩條說(shuō)明向量數(shù)乘運(yùn)算對(duì)于數(shù)量和向量的減法也都滿足分配律．這些都與數(shù)量的乘法類似．環(huán)節(jié)4定義向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．向量的線性運(yùn)算的結(jié)果仍為向量．對(duì)于任意向量a與b，以及任意實(shí)數(shù)λ,μ1,μ2，λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.體會(huì)向量線性運(yùn)算與數(shù)量運(yùn)算之間的相似性．例題點(diǎn)C在線段AB上，且，則，．分析：作出圖形，依照向量數(shù)乘運(yùn)算的定義，即可得到答案．第一個(gè)空應(yīng)填，第二個(gè)空應(yīng)填．例1本題是對(duì)定義的逆向應(yīng)用，通過(guò)兩向量長(zhǎng)度和方向的關(guān)系，找到二者的運(yùn)算關(guān)系．判斷下列結(jié)論的正誤：①0a＝0；②若λa＝0，則λ＝0或a＝0；③若λa＝λb，則a＝b；④若λa＝μa，則λ＝μ．分析：①題目是數(shù)量0乘以向量a，屬于數(shù)乘運(yùn)算，結(jié)果應(yīng)為向量，而等號(hào)右邊卻是數(shù)量0，因此是錯(cuò)誤的．②λa＝0說(shuō)明|λa|＝0，即|λ||a|＝0，因此λ＝0或a＝0．本小題結(jié)論正確．③本小題結(jié)論錯(cuò)誤．反例：λ＝0．④本小題結(jié)論錯(cuò)誤．反例：a＝0．例2第1小題的設(shè)計(jì)意圖是使學(xué)生明確兩件事：一是向量數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量；二是數(shù)量0與向量0在表示上的區(qū)別．后三個(gè)小題，一方面加深對(duì)數(shù)乘運(yùn)算的理解，另一方面可以與數(shù)量乘法運(yùn)算的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行對(duì)比．總的來(lái)說(shuō)，向量的運(yùn)算與數(shù)量的運(yùn)算之間有著很多相似的性質(zhì)，但也有差別．遇到具體問(wèn)題的時(shí)候，需要準(zhǔn)確把握相關(guān)概念，具體嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治?，不能直接套用?shù)量問(wèn)題的結(jié)論．(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)．解：(1)(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a＝3a＋3b－2a＋2b－a＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b)＝(3－2－1)a＋(3＋2)b＝0a＋5b＝5b；(3)解法1：(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)＝(x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b＝xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb＝－2ya＋2xb．解法2：(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)＝(x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b＝[(x－y)－(x＋y)]a＋[(x－y)＋(x＋y)]b＝－2ya＋2xb．例3本題是從代數(shù)運(yùn)算的角度對(duì)向量線性運(yùn)算進(jìn)行應(yīng)用．具體來(lái)說(shuō)，第1小題是對(duì)結(jié)合律的應(yīng)用．后兩個(gè)小題是對(duì)向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用，但也各有側(cè)重．通過(guò)第2小題的解答過(guò)程，說(shuō)明在向量的線性運(yùn)算中，“合并同類項(xiàng)”和“提取公因式”的方法都是有據(jù)可依的．通過(guò)第3小題的解法1，說(shuō)明數(shù)量和與向量和相乘，可以類比多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的方法進(jìn)行，展開(kāi)式的結(jié)構(gòu)也與多項(xiàng)式運(yùn)算中的對(duì)應(yīng)結(jié)論相似．通過(guò)第3小題的解法2，說(shuō)明在運(yùn)算的過(guò)程中要注意觀察，才能恰當(dāng)?shù)厥褂眠\(yùn)算律，從而簡(jiǎn)化計(jì)算．這3個(gè)題目的解題過(guò)程，嚴(yán)格遵照向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律進(jìn)行，說(shuō)明向量的線性運(yùn)算，與數(shù)和代數(shù)式的運(yùn)算非常相似，去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等方法同樣適用．使學(xué)生在體會(huì)這種相似性帶來(lái)的便利的同時(shí)，理解其中的算理．如圖，□ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，且，，用a，b表示向量和．點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別在線段BD和AC上，且DB＝6DP，AQ＝2QC，用a，b表示向量和．解：(1)在□ABCD中，，．．(2)在△ADP中，在△APQ中，例4本題中的兩個(gè)小問(wèn)，由易到難，層層遞進(jìn)，目的是使學(xué)生體會(huì)借助幾何圖形，用兩個(gè)已知向量的線性運(yùn)算表示同一平面內(nèi)待求向量的一般方法，即把待求向量放在三角形或平行四邊形中，利用三角形法則、平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的定義，逐步完成對(duì)待求向量的表示．本題也是為后面平面向量基本定理的學(xué)習(xí)進(jìn)行的鋪墊．總結(jié)這節(jié)課，我們類比數(shù)量的乘法定義了向量的數(shù)乘運(yùn)算，驗(yàn)證了數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)合律及分配律，并對(duì)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行了應(yīng)用．通過(guò)這節(jié)課，希望同學(xué)們體會(huì)研究一種運(yùn)算的基本過(guò)程，即從運(yùn)算法則（也可以說(shuō)是定義），到運(yùn)算律，再到運(yùn)算的應(yīng)用．感受向量數(shù)與形的雙重屬性，嘗試從數(shù)與形兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)向量的問(wèn)題．同時(shí)，還要體會(huì)類比的研究方法，在類比時(shí)既要關(guān)注共性，又要關(guān)注區(qū)別．對(duì)知識(shí)和方法進(jìn)行