彈性力學講義

——byChenping第4章平面問題的極坐標解答圓環(huán)和圓筒受均布壓力壓力隧洞圓孔的孔邊應力集中半平面體在邊界上受法向集中力及法向分布力等問題。第4章平面問題的極坐標解答本章主要內容

本章主要討論采用極坐標時平面問題的解法。內容分為兩大部分,首先推導極坐標中平面問題的基本方程,然后介紹幾個典型問題的極坐標解答,如：平面問題公式小結(直角坐標)A靜力學方程式2.邊界條件

1.平衡微分方程式B幾何方程2.相容方程用應變表示的相容方程

1.位移與應變關系常體力用應力表示的相容方程〈平面應力情況)（平面應變情況）C物理方程1.平面應力問題

2.平面應變問題

變換公式D由應力函數求解時所用公式相容方程為

應力為

§4-1極坐標中的平衡微分方程例如,對于圓盤(如汽輪機的葉輪)、圓環(huán)、輸油管、炮筒等構件,圓孔應力集中問題及楔形體之類構件,如果采用極坐標來解,顯然要比直角坐標系方便得多。在第3章我們研究了平面問題的直角坐標解答,在許多情況下,求解問題的難易程度,與我們所用坐標系有很大關系,坐標系選得合適,就能使運算過程大為簡化。直角坐標和極坐標平面內任一點的位置是用兩個數表示

單元體徑向坐標(極徑)環(huán)向坐標

(極角)直角坐標單元體——長方體

x方向

dx

y方向

dyz方向設為1極坐標——分割為扇形單元體

徑向正應力環(huán)向正應力切應力單元坐標極坐標——分割為扇形單元體

單元坐標將微分體所受各力投影到微分體中心的徑向軸上,列出徑向的平衡方程：

§4-1極坐標中的平衡微分方程很小§4-1極坐標中的平衡微分方程將微分體所受各力投影到微分體中心的切向軸上,列出切向的平衡方程

用τρ

代替τ

ρ,簡化以后,除以ρd

dρ,再略去微量

平衡微分方程——對比直角坐標（4-1）§4-2極坐標中的幾何方程及物理方程

在極坐標中,用

ρ

代表徑向正應變(徑向線段的正應變),用

代表環(huán)向正應變(環(huán)向線段的正應變),用

ρ

代表切應變(徑向與環(huán)向兩線段之間的直角的改變);用uρ代表徑向位移,用u

代表環(huán)向位移。極坐標扇形單元位移描述（a）各點環(huán)向坐標不變（b）各點徑向坐標不變徑向線段PA的正應變?yōu)?/p>

a.各點環(huán)向坐標不變環(huán)向線段PB的正應變?yōu)?/p>

徑向線段PA的轉角為

環(huán)向線段PB的轉角為

切應變?yōu)?/p>

b.各點徑向坐標不變徑向線段PA的正應變?yōu)?/p>

環(huán)向線段PB的正應變?yōu)?/p>

徑向線段PA的轉角為

環(huán)向線段PB的轉角為

切應變?yōu)?/p>

如果沿徑向和環(huán)向都有位移，分別疊加而得

幾何方程物理方程(平面應力)(4-2)(4-3)各點環(huán)向坐標不變各點徑向坐標不變平衡方程（4-1）形式和直角坐標一致

直角坐標和極坐標是兩種常用的坐標系,我們常常需要將物理量從一種坐標系轉換到另一種坐標系。另一方面,極坐標系中的一切公式,當然可以如同直角坐標系中一樣從頭導出。但是我們也可以簡化公式的推導,直接通過坐標變換關系,從直角坐標系中的公式轉換成極坐標中的公式。為此,我們來建立直角坐標系和極坐標系之間的變換關系。直角坐標

極坐標坐標變量的變換位移（矢量）等的變換應力分量的坐標變換式導數的變換變量變換1.坐標變量的變換2.位移（矢量）等的變換§4-3極坐標中的應力函數和相容方程極坐標應力函數(4-5)不計體力極坐標中的相容方程——用坐標變換方法推導直角坐標相容方程導數的變換Φ

是ρ,φ

的函數，也是x,y的函數Φ

是ρ,φ

的函數，也是x,y的函數極坐標中的相容方程——用坐標變換方法推導極坐標中的相容方程——用坐標變換方法推導(a)(b)(c)極坐標中的相容方程——用坐標變換方法推導將（a）(b)兩式相加，便得到：極坐標中的相容方程極坐標中的相容方程——用坐標變換方法推導應力分量用應力函數表示：將下圖中的x、y軸轉到的方向ρ,

極坐標中的相容方程極坐標應力分量（不計體力）§4-4

應力分量的坐標變換式直角坐標極坐標根據三角板A的平衡條件,可以寫出平衡方程

簡化§4-4

應力分量的坐標變換式根據三角板A的平衡條件,可以寫出平衡方程

根據三角板B的平衡條件§4-4

應力分量的坐標變換式(4-7)(4-8)§4-4

應力分量的坐標變換式§4-5平面軸對稱應力和相應的位移軸對稱——指物體的幾何形狀或某物理量是繞一軸對稱的，凡通過對稱軸的任何面都是對稱面。若應力是繞z軸對稱的，則在任一環(huán)向線上的各點，應力分量的數值相同，方向對稱于z軸。§4-5軸對稱應力和相應的位移應力軸對稱：即在一個半徑的圓周上,各點應力狀態(tài)是相同的。從對稱條件可知,剪應力

ρ

=0,只有正應力為σρ和σ

,且它們僅是坐標ρ的函數,與

無關。軸對稱應力幾何方程物理方程(平面應力)平衡微分方程應力軸對稱位移軸對稱逆解法與φ

無關§4-5軸對稱應力和相應的位移軸對稱應力應力只是ρ的函數!推導見下頁附前頁軸對稱應力相對應的應變和位移將應力分量代物理方程§4-5軸對稱應力和相應的位移§4-5軸對稱應力和相應的位移應力分量代幾何方程軸對稱應力相對應的應變和位移代入求積分系數§4-5軸對稱應力和相應的位移軸對稱應力相對應的應變和位移代入代幾何3§4-5軸對稱應力和相應的位移軸對稱應力相對應的應變和位移§4-5軸對稱應力和相應的位移軸對稱應力相對應的應變和位移移項左邊是的函數，右邊是的函數，兩邊必為同一常數上式解為常微分方程常系數齊次線性微分方程單重實根單重復根r重實根r重復根特征根情況相應的線性無關解§4-5平面軸對稱應力和相應的位移軸對稱應力相對應的應變和位移平面軸對稱問題基本方程

平衡幾何協(xié)調平面應力平面應變物理方程軸對稱應力軸對稱應力相對應的位移§4-6圓環(huán)或圓筒受均布壓力壓力隧洞圓筒——半徑為r，外半徑為R，受內壓力q1及外壓力q2——軸對稱問題邊界條件(b)圓筒體是多連體——考察位移單值條件§4-6(7)

圓環(huán)或圓筒受均布壓力壓力隧洞拉梅(G.Lame)解答

§4-6(7)

圓環(huán)或圓筒受均布壓力壓力隧洞如果只有內壓力作用

具有圓孔的無限大薄板，或具有圓形孔道的無限大彈性體§4-6(7)圓環(huán)或圓筒受均布壓力壓力隧洞如果只有外壓力作用

應力分布§4-6(7)

圓環(huán)或圓筒受均布壓力壓力隧洞如果圓筒是埋在無限大彈性體中,受有均布壓力q

無限大彈性體圓筒首先,在圓筒的內面,有邊界條件

其次,在距離圓筒很遠之處,按照圣維南原理,應當幾乎沒有應力,于是有

再次,在圓筒和無限大彈性體的接觸面上,應當有

§4-6(7)

圓環(huán)或圓筒受均布壓力壓力隧洞§4-6(7)

圓環(huán)或圓筒受