§3全稱量詞與存在量詞§3全稱量詞與存在量詞eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P8])全稱量詞與全稱命題在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿全城．我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉．我對(duì)各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人．可是，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉．這就是著名的“羅素理發(fā)師悖論”問題．問題1：文中理發(fā)師說：“我將給所有的不給自己刮臉的人刮臉”．對(duì)“所有的”這一詞語，你還能用其他詞語代替嗎？提示：任意一個(gè)，全部，每個(gè)．問題2：上述詞語都有什么含義？提示：表示某個(gè)范圍內(nèi)的整體或全部．全稱量詞與全稱命題(1)“所有”“每一個(gè)”“任何”“任意一條”“一切”都是在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞．(2)含有全稱量詞的命題，叫作全稱命題.存在量詞與特稱命題觀察語句①②：①存在一個(gè)x∈R，使3x＋1＝5；②至少有一個(gè)x∈Z，x能被2和3整除．問題1：①②是命題嗎？若是命題，判斷其真假．提示：是，都為真命題．問題2：①②中的“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”有什么含義？提示：表示總體中“個(gè)別”或“一部分”．問題3：你能寫出一些與問題2中具有相同意義的詞語嗎？提示：某些，有的，有些．存在量詞與特稱命題(1)“有些”“至少有一個(gè)”“有一個(gè)”“存在”都有表示個(gè)別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞．(2)含有存在量詞的命題，叫作特稱命題.全稱命題與特稱命題的否定觀察下列命題：①被7整除的整數(shù)是奇數(shù)；②有的函數(shù)是偶函數(shù)；③至少有一個(gè)三角形沒有外接圓．問題1：命題①的否定：“被7整除的整數(shù)不是奇數(shù)”對(duì)嗎？提示：不對(duì)，命題①是省略了量詞“所有”的全稱命題，其否定應(yīng)為“存在被7整除的整數(shù)不都是奇數(shù)”．問題2：命題②的否定：“有的函數(shù)不是偶函數(shù)”對(duì)嗎？提示：不對(duì)，應(yīng)為每一個(gè)函數(shù)都不是偶函數(shù)．問題3：判斷命題③的否定的真假．提示：命題③的否定：所有的三角形都有外接圓，是真命題．全稱命題與特稱命題的否定全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題．1．判斷一個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題時(shí)，首先要分析命題中含有的量詞，含有全稱量詞的是全稱命題，含有存在量詞的是特稱命題．2．要說明一個(gè)全稱命題是錯(cuò)誤的，只需找出一個(gè)反例即可，實(shí)際上就是說明這個(gè)全稱命題的否定是正確的；要說明一個(gè)特稱命題是錯(cuò)誤的，就要說明所有的對(duì)象都不滿足這一性質(zhì)，即說明這個(gè)特稱命題的否定是正確的．eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P9])全稱命題與特稱命題的判斷[例1]判斷下列命題哪些是全稱命題，哪些是特稱命題．(1)對(duì)任意x∈R，x2>0；(2)有些無理數(shù)的平方也是無理數(shù)；(3)正四面體的各面都是正三角形；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)對(duì)任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．[思路點(diǎn)撥]先觀察命題中所含的量詞，根據(jù)量詞的意義來判斷命題的類別．不含量詞的命題要注意結(jié)合命題的語境進(jìn)行分析．[精解詳析](1)(5)含全稱量詞“任意”，(3)雖不含有量詞，但其本義是所有正四面體的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)為全稱命題；(2)(4)(6)為特稱命題，分別含有存在量詞“有些”、“存在”、“存在”．[一點(diǎn)通]判斷一個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題時(shí)，需要注意以下兩點(diǎn)：(1)若命題中含有量詞則直接判斷所含量詞是全稱量詞還是存在量詞；(2)若命題中不含有量詞，則要根據(jù)命題的實(shí)際意義進(jìn)行判斷．1．下列命題為特稱命題的是()A．奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．正四棱柱都是平行六面體C．棱錐僅有一個(gè)底面D．存在大于等于3的實(shí)數(shù)x，使x2－2x－3≥0解析：A、B、C中命題都省略了全稱量詞“所有”，所以A、B、C都是全稱命題；D中命題含有存在量詞“存在”，所以D是特稱命題，故選D.答案：D2．下列命題中，全稱命題的個(gè)數(shù)是()①任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)；②所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；③有的等差數(shù)列也是等比數(shù)列；④三角形的內(nèi)角和是180°.A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)解析：命題①②含有全稱量詞，而命題④可以敘述為“每一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°”，故有三個(gè)全稱命題．答案：D全稱命題與特稱命題的真假判斷[例2]指出下列命題中，哪些是全稱命題，哪些是特稱命題，并判斷其真假．(1)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)；(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)；(3)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，若x1<x2，都有tanx1<tanx2；(4)存在一個(gè)函數(shù)，既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)．[思路點(diǎn)撥]本題可由命題中所含量詞的特點(diǎn)或命題的語境判斷命題的類別，再結(jié)合相關(guān)知識(shí)判斷真假．[精解詳析](1)(3)是全稱命題，(2)(4)是特稱命題．(1)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，所以該命題是真命題．(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)零，它的絕對(duì)值不是正數(shù)，所以該命題是真命題．(3)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，所以該命題是假命題．(4)存在一個(gè)函數(shù)f(x)＝0，它既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)，所以該命題是真命題．[一點(diǎn)通]1．要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定條件中的每一個(gè)元素x，驗(yàn)證命題成立．而要判斷它是假命題，只要能舉出限定條件中的一個(gè)x，使命題不成立即可．2．要判斷一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定條件中，至少能找到一個(gè)x，使命題成立即可，否則這一特稱命題就是假命題．3．下列命題的假命題是()A．有些不相似的三角形面積相等B．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋x＋1≤0C．存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大D．有一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是它本身解析：以上4個(gè)均為特稱命題，A，C，D均可找到符合條件的特例；對(duì)B，任意x∈R，都有x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0.故B為假命題．答案：B4．判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)對(duì)任意x∈R，都有x2－x＋1＞eq\f(1,2)成立；(2)存在實(shí)數(shù)α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ成立；(3)對(duì)任意x，y∈N，都有(x－y)∈N；(4)存在x，y∈Z，使eq\r(2)x＋y＝3成立．解：(1)法一：當(dāng)x∈R時(shí)，x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞eq\f(1,2)，所以該命題是真命題．法二：x2－x＋1＞eq\f(1,2)?x2－x＋eq\f(1,2)＞0，由于Δ＝1－4×eq\f(1,2)＝－1＜0，所以不等式x2－x＋1＞eq\f(1,2)的解集是R，所以該命題是真命題．(2)當(dāng)α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,2)時(shí)，cos(α－β)＝cos(eq\f(π,4)－eq\f(π,2))＝cos(－eq\f(π,4))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，cosα－cosβ＝coseq\f(π,4)－coseq\f(π,2)＝eq\f(\r(2),2)－0＝eq\f(\r(2),2)，此時(shí)cos(α－β)＝cosα－cosβ，所以該命題是真命題．(3)當(dāng)x＝2，y＝4時(shí)，x－y＝－2∈/N，所以該命題是假命題．(4)當(dāng)x＝0，y＝3時(shí)，eq\r(2)x＋y＝3，即存在x，y∈Z，使eq\r(2)x＋y＝3，所以該命題是真命題.全稱命題、特稱命題的否定[例3]判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定．(1)三角形的內(nèi)角和為180°；(2)每個(gè)二次函數(shù)的圖像都開口向下；(3)有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；(4)某些平行四邊形是菱形．[思路點(diǎn)撥]先判斷是全稱命題還是特稱命題，再對(duì)命題否定．[精解詳析](1)是全稱命題且為真命題．命題的否定：三角形的內(nèi)角和不全為180°，即存在一個(gè)三角形的內(nèi)角和不等于180°.(2)是全稱命題且為假命題．命題的否定：存在一個(gè)二次函數(shù)的圖像開口不向下．(3)是特稱命題且為真命題．命題的否定：所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)．(4)是特稱命題，且為真命題．命題的否定：每一個(gè)平行四邊形都不是菱形．[一點(diǎn)通]1．全稱命題的否定為特稱命題，特稱命題的否定為全稱命題．2．寫全稱(特稱)命題的否定時(shí)，先把全稱(存在)量詞改為存在(全稱)量詞，然后再否定結(jié)論．5．命題“存在實(shí)數(shù)x，使x>1”的否定是()A．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x>1 B．不存在實(shí)數(shù)x，使x≤1C．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1 D．存在實(shí)數(shù)x，使x≤1解析：利用特稱命題的否定為全稱命題可知，原命題的否定為：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有x≤1.答案：C6．若“對(duì)任意x∈R，ax2－2ax－1＜0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：依題意，問題等價(jià)于對(duì)任意x∈R，ax2－2ax－1＜0恒成立．當(dāng)a＝0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)a≠0時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＝4a2＋4a＜0，))解得－1＜a＜0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－1,0]答案：(－1,0]7．判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并寫出其否定形式．(1)對(duì)數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；(2)至少有一個(gè)整數(shù)能被2整除且能被5整除；(3)存在x∈R，使log2x＞0成立；(4)對(duì)任意m∈Z，都有m2－3＞0成立．解析：(1)命題省略了全稱量詞“所有”，所以是全稱命題；否定形式：有的對(duì)數(shù)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)．(2)命題含有存在量詞“至少”，所以是特稱命題；否定形式：所有整數(shù)不能被2整除或不能被5整除．(3)命題含有存在量詞，所以是特稱命題；否定形式：對(duì)任意x∈R，都有l(wèi)og2x≤0.(4)命題中含有全稱量詞“任意”，所以是全稱命題；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．1．判斷命題是全稱命題還是特稱命題主要是看命題中含有的量詞．有些命題沒有明顯的量詞或省略了量詞，可以根據(jù)命題的實(shí)際含義作出判斷．2．對(duì)含有一個(gè)量詞的命題的否定要注意以下幾個(gè)問題：(1)確定命題類型，是全稱命題還是特稱命題；(2)改變量詞；(3)否定結(jié)論；(4)無量詞的全稱命題要先補(bǔ)上量詞再否定．eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練三])1．將命題“x2＋y2≥2xy”改寫成全稱命題為()A．對(duì)任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．對(duì)任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立解析：本題中的命題僅保留了結(jié)論，省略了條件“任意實(shí)數(shù)x，y”，改成全稱命題為：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．答案：A2．“關(guān)于x的不等式f(x)＞0有解”等價(jià)于()A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．對(duì)任意x∈R，使得f(x)＞0成立D．對(duì)任意x∈R，f(x)≤0成立解析：“關(guān)于x的不等式f(x)＞0有解”等價(jià)于“存在實(shí)數(shù)x，使得f(x)＞0成立”，故選A.答案：A3．下列命題為真命題的是()A．對(duì)任意x∈R，都有cosx＜2成立B．存在x∈Z，使log2(3x－1)＜0成立C．對(duì)任意x＞0，都有3x＞3成立D．存在x∈Q，使方程eq\r(2)x－2＝0有解解析：A中，由于函數(shù)y＝cosx的最大值是1，又1＜2，所以A是真命題；B中，log2(3x－1)＜0?0＜3x－1＜1?eq\f(1,3)＜x＜eq\f(2,3)，所以B是假命題；C中，當(dāng)x＝1時(shí)，31＝3，所以C是假命題；D中，eq\r(2)x－2＝0?x＝eq\r(2)∈/Q，所以D是假命題，故選A.答案：A4．給出四個(gè)命題：①末位數(shù)字是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在實(shí)數(shù)x，使x＞0；④對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,2x＋1都是奇數(shù)．下列說法正確的是()A．四個(gè)命題都是真命題B．①②是全稱命題C．②③是特稱命題D．四個(gè)命題中有兩個(gè)假命題解析：①④為全稱命題；②③為特稱命題；①②③為真命題；④為假命題．答案：C5．下列命題中全稱命題是__________；特稱命題是________．①正方形的四條邊相等；②有兩個(gè)角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正數(shù)的平方根不等于0；④至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù)．解析：①③是全稱命題，②④是特稱命題．答案：①③②④6．命題“偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱”的否定是________．解析：本題中的命題是全稱命題，省略了全稱量詞，加上全稱量詞后該命題可以敘述為：所有偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．將命題中的全稱量詞“所有”改為存在量詞“有些”，結(jié)論“關(guān)于y軸對(duì)稱”改為“關(guān)于y軸不對(duì)稱”，所以該命題的否定是“有些偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸不對(duì)稱”．答案：有些偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸不對(duì)稱7．寫出下列命題的否定并判斷其真假．(1)有的四邊形沒有外接圓；(2)某些梯形的對(duì)角線互相平分；(3)被8整除的數(shù)能被4整除．解：(1)命題的否定：所有的四邊形都有外接圓，是假命題．(2)命題的否定：任一個(gè)梯形的對(duì)角線不互相平分，是真命題．(3)命題的否定：存在一個(gè)數(shù)能被8整除，但不能被4整除，是假命題．8．(1)若命題“對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式sinx＋cosx>m恒成立”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若命題“存在實(shí)數(shù)x，使不等式sinx＋cosx>m有解”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≥－eq\r(2)，又∵任意x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，∴只要m<－eq\r(2)即可．∴所求m的取值范圍是(－∞，－eq\r(2))．(2)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．又∵存在x∈R，使sinx＋cosx>m有解，eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P8])全稱量詞與全稱命題在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿全城．我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉．我對(duì)各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人．可是，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉．這就是著名的“羅素理發(fā)師悖論”問題．問題1：文中理發(fā)師說：“我將給所有的不給自己刮臉的人刮臉”．對(duì)“所有的”這一詞語，你還能用其他詞語代替嗎？提示：任意一個(gè)，全部，每個(gè)．問題2：上述詞語都有什么含義？提示：表示某個(gè)范圍內(nèi)的整體或全部．全稱量詞與全稱命題(1)“所有”“每一個(gè)”“任何”“任意一條”“一切”都是在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞．(2)含有全稱量詞的命題，叫作全稱命題.存在量詞與特稱命題觀察語句①②：①存在一個(gè)x∈R，使3x＋1＝5；②至少有一個(gè)x∈Z，x能被2和3整除．問題1：①②是命題嗎？若是命題，判斷其真假．提示：是，都為真命題．問題2：①②中的“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”有什么含義？提示：表示總體中“個(gè)別”或“一部分”．問題3：你能寫出一些與問題2中具有相同意義的詞語嗎？提示：某些，有的，有些．存在量詞與特稱命題(1)“有些”“至少有一個(gè)”“有一個(gè)”“存在”都有表示個(gè)別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞．(2)含有存在量詞的命題，叫作特稱命題.全稱命題與特稱命題的否定觀察下列命題：①被7整除的整數(shù)是奇數(shù)；②有的函數(shù)是偶函數(shù)；③至少有一個(gè)三角形沒有外接圓．問題1：命題①的否定：“被7整除的整數(shù)不是奇數(shù)”對(duì)嗎？提示：不對(duì)，命題①是省略了量詞“所有”的全稱命題，其否定應(yīng)為“存在被7整除的整數(shù)不都是奇數(shù)”．問題2：命題②的否定：“有的函數(shù)不是偶函數(shù)”對(duì)嗎？提示：不對(duì)，應(yīng)為每一個(gè)函數(shù)都不是偶函數(shù)．問題3：判斷命題③的否定的真假．提示：命題③的否定：所有的三角形都有外接圓，是真命題．全稱命題與特稱命題的否定全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題．1．判斷一個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題時(shí)，首先要分析命題中含有的量詞，含有全稱量詞的是全稱命題，含有存在量詞的是特稱命題．2．要說明一個(gè)全稱命題是錯(cuò)誤的，只需找出一個(gè)反例即可，實(shí)際上就是說明這個(gè)全稱命題的否定是正確的；要說明一個(gè)特稱命題是錯(cuò)誤的，就要說明所有的對(duì)象都不滿足這一性質(zhì)，即說明這個(gè)特稱命題的否定是正確的．eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P9])全稱命題與特稱命題的判斷[例1]判斷下列命題哪些是全稱命題，哪些是特稱命題．(1)對(duì)任意x∈R，x2>0；(2)有些無理數(shù)的平方也是無理數(shù)；(3)正四面體的各面都是正三角形；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)對(duì)任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．[思路點(diǎn)撥]先觀察命題中所含的量詞，根據(jù)量詞的意義來判斷命題的類別．不含量詞的命題要注意結(jié)合命題的語境進(jìn)行分析．[精解詳析](1)(5)含全稱量詞“任意”，(3)雖不含有量詞，但其本義是所有正四面體的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)為全稱命題；(2)(4)(6)為特稱命題，分別含有存在量詞“有些”、“存在”、“存在”．[一點(diǎn)通]判斷一個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題時(shí)，需要注意以下兩點(diǎn)：(1)若命題中含有量詞則直接判斷所含量詞是全稱量詞還是存在量詞；(2)若命題中不含有量詞，則要根據(jù)命題的實(shí)際意義進(jìn)行判斷．1．下列命題為特稱命題的是()A．奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．正四棱柱都是平行六面體C．棱錐僅有一個(gè)底面D．存在大于等于3的實(shí)數(shù)x，使x2－2x－3≥0解析：A、B、C中命題都省略了全稱量詞“所有”，所以A、B、C都是全稱命題；D中命題含有存在量詞“存在”，所以D是特稱命題，故選D.答案：D2．下列命題中，全稱命題的個(gè)數(shù)是()①任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)；②所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；③有的等差數(shù)列也是等比數(shù)列；④三角形的內(nèi)角和是180°.A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)解析：命題①②含有全稱量詞，而命題④可以敘述為“每一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°”，故有三個(gè)全稱命題．答案：D全稱命題與特稱命題的真假判斷[例2]指出下列命題中，哪些是全稱命題，哪些是特稱命題，并判斷其真假．(1)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)；(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)；(3)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，若x1<x2，都有tanx1<tanx2；(4)存在一個(gè)函數(shù)，既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)．[思路點(diǎn)撥]本題可由命題中所含量詞的特點(diǎn)或命題的語境判斷命題的類別，再結(jié)合相關(guān)知識(shí)判斷真假．[精解詳析](1)(3)是全稱命題，(2)(4)是特稱命題．(1)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，所以該命題是真命題．(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)零，它的絕對(duì)值不是正數(shù)，所以該命題是真命題．(3)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，所以該命題是假命題．(4)存在一個(gè)函數(shù)f(x)＝0，它既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)，所以該命題是真命題．[一點(diǎn)通]1．要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定條件中的每一個(gè)元素x，驗(yàn)證命題成立．而要判斷它是假命題，只要能舉出限定條件中的一個(gè)x，使命題不成立即可．2．要判斷一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定條件中，至少能找到一個(gè)x，使命題成立即可，否則這一特稱命題就是假命題．3．下列命題的假命題是()A．有些不相似的三角形面積相等B．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋x＋1≤0C．存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大D．有一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是它本身解析：以上4個(gè)均為特稱命題，A，C，D均可找到符合條件的特例；對(duì)B，任意x∈R，都有x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0.故B為假命題．答案：B4．判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)對(duì)任意x∈R，都有x2－x＋1＞eq\f(1,2)成立；(2)存在實(shí)數(shù)α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ成立；(3)對(duì)任意x，y∈N，都有(x－y)∈N；(4)存在x，y∈Z，使eq\r(2)x＋y＝3成立．解：(1)法一：當(dāng)x∈R時(shí)，x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞eq\f(1,2)，所以該命題是真命題．法二：x2－x＋1＞eq\f(1,2)?x2－x＋eq\f(1,2)＞0，由于Δ＝1－4×eq\f(1,2)＝－1＜0，所以不等式x2－x＋1＞eq\f(1,2)的解集是R，所以該命題是真命題．(2)當(dāng)α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,2)時(shí)，cos(α－β)＝cos(eq\f(π,4)－eq\f(π,2))＝cos(－eq\f(π,4))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，cosα－cosβ＝coseq\f(π,4)－coseq\f(π,2)＝eq\f(\r(2),2)－0＝eq\f(\r(2),2)，此時(shí)cos(α－β)＝cosα－cosβ，所以該命題是真命題．(3)當(dāng)x＝2，y＝4時(shí)，x－y＝－2∈/N，所以該命題是假命題．(4)當(dāng)x＝0，y＝3時(shí)，eq\r(2)x＋y＝3，即存在x，y∈Z，使eq\r(2)x＋y＝3，所以該命題是真命題.全稱命題、特稱命題的否定[例3]判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定．(1)三角形的內(nèi)角和為180°；(2)每個(gè)二次函數(shù)的圖像都開口向下；(3)有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；(4)某些平行四邊形是菱形．[思路點(diǎn)撥]先判斷是全稱命題還是特稱命題，再對(duì)命題否定．[精解詳析](1)是全稱命題且為真命題．命題的否定：三角形的內(nèi)角和不全為180°，即存在一個(gè)三角形的內(nèi)角和不等于180°.(2)是全稱命題且為假命題．命題的否定：存在一個(gè)二次函數(shù)的圖像開口不向下．(3)是特稱命題且為真命題．命題的否定：所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)．(4)是特稱命題，且為真命題．命題的否定：每一個(gè)平行四邊形都不是菱形．[一點(diǎn)通]1．全稱命題的否定為特稱命題，特稱命題的否定為全稱命題．2．寫全稱(特稱)命題的否定時(shí)，先把全稱(存在)量詞改為存在(全稱)量詞，然后再否定結(jié)論．5．命題“存在實(shí)數(shù)x，使x>1”的否定是()A．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x>1 B．不存在實(shí)數(shù)x，使x≤1C．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1 D．存在實(shí)數(shù)x，使x≤1解析：利用特稱命題的否定為全稱命題可知，原命題的否定為：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有x≤1.答案：C6．若“對(duì)任意x∈R，ax2－2ax－1＜0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：依題意，問題等價(jià)于對(duì)任意x∈R，ax2－2ax－1＜0恒成立．當(dāng)a＝0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)a≠0時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＝4a2＋4a＜0，))解得－1＜a＜0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－1,0]答案：(－1,0]7．判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并寫出其否定形式．(1)對(duì)數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；(2)至少有一個(gè)整數(shù)能被2整除且能被5整除；(3)存在x∈R，使log2x＞0成立；(4)對(duì)任意m∈Z，都有m2－3＞0成立．解析：(1)命題省略了全稱量詞“所有”，所以是全稱命題；否定形式：有的對(duì)數(shù)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)．(2)命題含有存在量詞“至少”，所以是特稱命題；否定形式：所有整數(shù)不能被2整除或不能被5整除．(3)命題含有存在量詞，所以是特稱命題；否定形式：對(duì)任意x∈R，都有l(wèi)og2x≤0.(4)命題中含有全稱量詞“任意”，所以是全稱命題；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．1．判斷命題是全稱命題還是特稱命題主要是看命題中含有的量詞．有些命題沒有明顯的量詞或省略了量詞，可以根據(jù)命題的實(shí)際含義作出判斷．2．對(duì)含有一個(gè)量詞的命題的否定要注意以下幾個(gè)問題：(1)確定命題類型，是全稱命題還是特稱命題；(2)改變量詞；(3)否定結(jié)論；(4)無量詞的全稱命題要先補(bǔ)上量詞再否定．eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練三])1．將命題“x2＋y2≥2xy”改寫成全稱命題為()A．對(duì)任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．對(duì)任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立解析：本題中的命題僅保留了結(jié)論，省略了條件“任意實(shí)數(shù)x，y”，改成全稱命題為：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．答案：A2．“關(guān)于x的不等式f(x)＞0有解”等價(jià)于()A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．對(duì)任意x∈R，使得f(x)＞0成立D．對(duì)任意x∈R，f(x)≤0成立解析：“關(guān)于x的不等式f(x)＞0有解”等價(jià)于“存在實(shí)數(shù)x，使得f(x)＞0成立”，故選A.答案：A3．下列命題為真命題的是()A．對(duì)任意x∈R，都有cosx＜2成立B．存在x∈Z，使log2(3x－1)＜0成立C．對(duì)任意x＞0，都有3x＞3成立D．存在x∈Q，使方程eq\r(2)x－2＝0有解解析