第2章常用邏輯用語（舉一反三講義·培優(yōu)篇）【蘇教版（2019）】題型1題型1命題與集合交匯1．（2425高一上·上海楊浦·期中）對任意集合A和集合B，下列兩個(gè)命題（

）①A∩B②A∩BA．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題【答案】B【解題思路】根據(jù)集合交并運(yùn)算，判斷集合間包含關(guān)系，進(jìn)而判斷命題的真假.【解答過程】①因?yàn)锳∩B?A，A?A∪B，所以②當(dāng)B=?時(shí)，A∩B=A,A∪B=A，此時(shí)A∩B=A=故選：B.2．（2425高一上·上?！るA段練習(xí)）設(shè)全集U=R，集合A，B是R的兩個(gè)子集，對于任意x∈R，定義m=0①對于任意x∈R，都有m+n=1?A=②對于任意x∈R，都有mn=m?A?B則（

）A．①②都是真命題 B．①②都是假命題C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是真命題【答案】A【解題思路】根據(jù)題意確定m，n的取值，得出x與集合A，B的關(guān)系，判斷命題是否正確.【解答過程】命題①對于任意x∈R，都有m+n=1?A=B若m+n=1，則m=1n=0即x∈A，x?B,或m=0n=1，x?A，x∈B，即若A=?UB，則x∈A時(shí)x?B即m=1或x?A時(shí)x∈B即m=0n=1即m+n=1，故總有m+n=1故命題①為真命題；命題②對于任意x∈R，都有mn=m?A?B.若x∈A，則m=1，而mn=m，故n=1即x∈B，故A?B；若A?B，則當(dāng)x∈A，x∈B一定成立，即m=n=1，此時(shí)mn=m，當(dāng)x?A時(shí)，m=0，此時(shí)mn=m也成立，故命題②為真命題；故選：A.3．（2425高一上·上海·隨堂練習(xí)）分析下列語句：①空集是任何集合的子集．②任何集合都有真子集嗎？③一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)．④德國數(shù)學(xué)家康托是集合論的創(chuàng)始人．⑤公共場所請戴好口罩！其中為假命題的序號是，真命題的序號為．【答案】③；①④【解題思路】首先根據(jù)命題是可以判斷真假的陳述句，來判斷出是否為命題，如果判斷為真，即為真命題，如果判斷為假，即為假命題．【解答過程】①空集是任何集合的子集，是真命題；②任何集合都有真子集嗎？不是陳述句，不是命題；③一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)，還可以是0，是假命題；④德國數(shù)學(xué)家康托是集合論的創(chuàng)始人，是真命題；⑤公共場所請戴好口罩！不是陳述句，不是命題；故答案為：③；①④．4．（2425高一上·安徽·階段練習(xí)）設(shè)集合A=x?4≤x≤3，(1)若m=1，命題：p:x∈A，命題q:x∈B，若命題p,q都為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若A∪B=A，求m的取值范圍.【答案】(1)2<x<3(2)m?1≤m≤1或【解題思路】（1）當(dāng)m=1時(shí)，B=x2<x<3，再根據(jù)條件，求集合A與集合（2）根據(jù)條件，得到B?A，再分B=?和B≠?兩種情況討論，即可求解.【解答過程】（1）若m=1時(shí)，B=x2<x<3，又若p為真，則?4≤x≤3，若q為真，則2<x<3，因?yàn)閜,q都為真命題，所以x的取值范圍為2<x<3.（2）因?yàn)锳∪B=A，所以B?A.當(dāng)B=?時(shí)，有3m?1≥m+2，即m≥3當(dāng)B≠?時(shí)，有3m?1≥?4m+2≤33m?1<m+2，解得綜上可知，m的取值范圍為m?1≤m≤1或m≥5．（2425高一上·上海·階段練習(xí)）命題甲：集合A=x?2<x<6,B=xx+a?1>0，且A∪B=(1)若命題甲是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若命題乙是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若命題甲和乙中有且只有一個(gè)真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)?5<a≤3(2)a>?4(3)?5<a≤?4或a>3【解題思路】（1）根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算結(jié)果得到?2≤1?a<6，即可求解；（2）利用A∩B=?，將問題轉(zhuǎn)化成A=?或集合A中元素是非正數(shù)，從而通過方程x2+a+2（3）利用（1）和（2）中結(jié)果，分命題甲是真命題，命題乙是假命題和命題甲是假命題，命題乙是真假命題兩種情況，即可求解.【解答過程】（1）因?yàn)锳=x?2<x<6,B=所以?2≤1?a<6，解得?5<a≤3，所以當(dāng)命題甲是真命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍為?5<a≤3.（2）因?yàn)锽=xx>0，且A∩B=?，則A=?或集合又A=xx2+a+2當(dāng)A=?時(shí)，Δ=(a+2)2當(dāng)集合A中元素是非正數(shù)時(shí)，設(shè)x1,x因?yàn)閤1x2=1，則Δ=所以當(dāng)命題乙是真命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>?4.（3）當(dāng)命題甲是真命題，命題乙是假命題時(shí)，?5<a≤3a≤?4，得到?5<a≤?4當(dāng)命題甲是假命題，命題乙是真命題時(shí)，a≤?5a>?4或a>3a>?4，得到所以命題甲和乙中有且只有一個(gè)真命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍為?5<a≤?4或a>3.題型2題型2充分條件與必要條件中的含參問題1．（2425高一上·廣東廣州·期中）已知p:x<?2或x>0，q:x>a，且q是p的充分不必要條件，則a的取值范圍是（A．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)≤0 C．a(chǎn)>0 D．a(chǎn)≥0【答案】D【解題思路】令A(yù)={xx<?2或x>0}，B=xx>a，q是p的充分不必要條件可得【解答過程】令A(yù)={xx<?2或x>0}，因q是p的充分不必要條件，可得B真包含于A，可得a≥0.故選：D.2．（2425高一上·遼寧大連·階段練習(xí)）若不等式x+1?x?2<a成立的充分條件是0<x<1，則實(shí)數(shù)aA．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)<?1 D．a(chǎn)≤?1【答案】B【解題思路】當(dāng)0<x<1時(shí)，求出x+1?x?2=2x?1<1【解答過程】根據(jù)題意，當(dāng)0<x<1時(shí)，x+1?則x+1?因?yàn)閤+1?x?2<a所以a≥1.故選:B.3．（2425高一上·上海·階段練習(xí)）已知α:x<?m或x>3m?1，β:x≤2或x>4，若α是β的必要非充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】?【解題思路】根據(jù)必要非充分條件，轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，即可求解.【解答過程】因?yàn)棣潦铅碌谋匾浅浞謼l件，設(shè)集合B={xx≤2或x>4}，A={xx<?m或x>3m?1}，B當(dāng)?m>3m?1，得m<14時(shí)，此時(shí)成立，當(dāng)?m≤3m?1時(shí)，即m≥14時(shí)，再滿足?m>23m?1≤4，得：m<?2，此時(shí)m所以m<故答案為：?∞4．（2425高一上·廣東珠海·階段練習(xí)）已知p：x>3或x<?12，q：x>a，r：(1)若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍；(2)若?p是r的必要條件，求m的最大值．【答案】(1)3,+(2)1【解題思路】（1）根據(jù)充分條件與必要條件的定義列不等式，即可得參數(shù)范圍；（2）寫出?p，再結(jié)合必要條件的定義列不等式，即可得參數(shù)最值.【解答過程】（1）設(shè)命題p與q表示的集合分別為A和B，即A=xx<?12或又p是q的必要不充分條件，則A?B，所以a≥3，即a∈3,+（2）設(shè)命題r表示的集合為C，則C=x又命題?p表示的集合為?R?p是r的必要條件，所以C??則?m≥?1又m>0，所以0<m≤1即m的最大值為145．（2425高一上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知p:x<a(1)若p是q的充要條件，求a的值；(2)若p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍.【答案】(1)?3(2)?3,+【解題思路】（1）根據(jù)充要條件知，不等式的解集相同，建立方程得解；（2）由充分不必要條件可化為a2【解答過程】（1）因?yàn)閜是q的充要條件，所以a2解得a=?3.（2）因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以?∞,a即a2?2a?1<a所以a的取值范圍?3,+∞題型3題型3充分、必要條件與集合交匯1．（2425高一上·山東泰安·階段練習(xí)）已知集合A=x?2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m?1.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則A．m|m≤3 B．m|2≤m≤3 C．? D．m|2<m≤3【答案】A【解題思路】分集合B是否為空集討論即可，當(dāng)B≠?時(shí)，由集合間的包含關(guān)系求出；【解答過程】由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則B是A的真子集，當(dāng)B=?時(shí)，m+1>2m?1，解得m<2；當(dāng)B≠?時(shí)，m+1≥?22m?1≤5m+1≤2m?1，前兩個(gè)等號不能同時(shí)取得，解得綜上m的取值范圍是m|m≤3，故選：A.2．（2425高一上·上?！て谥校┰O(shè)集合M=xx=m2?n2,m,n∈ZA．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要【答案】B【解題思路】先舉反例說明充分性不成立，再證必要性成立即可.【解答過程】先看充分性：若m=4，n=2，則t=42?所以“t∈M”是“t∈T”的不充分條件；再證必要性：因?yàn)閠=2k+1=k+12?k2，所以t∈M綜上：“t∈M”是“t∈T”的必要非充分條件.故選：B.3．（2425高一上·天津西青·階段練習(xí)）已知集合A={x∣0<x<2}，B={x∣?1<x<a+1}，若x∈A是x∈B成立的一個(gè)充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】1,+【解題思路】通過集合A,B關(guān)系即可求解.【解答過程】由x∈A是x∈B成立的一個(gè)充分不必要條件，可知：A?B，所以a+1≥2，解得a≥1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,+∞故答案為：1,+∞4．（2425高一上·浙江溫州·階段練習(xí)）已知集合A=xx≤1?a或x>1+a，B={x|x<?1或(1)當(dāng)a=?1時(shí)，求A∪B；(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若“x∈B”是“x∈A”的充分不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)R(2)(2,+(3)(?【解題思路】（1）當(dāng)a=?1時(shí)，得到A=R（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為A是B的真子集，結(jié)合集合的包含關(guān)系，列出不等式組，即可求解；（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為B是A的真子集，分a≤0和a>0，兩種情況討論，列出不等式組，即可求解.【解答過程】（1）解：當(dāng)a=?1時(shí)，A=xx≤2或x>0}=R（2）解：因?yàn)閤∈B是x∈A的必要不充分條件，可得A是B的真子集，則滿足1?a<?11+a≥2，解得a>2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+（3）解：因?yàn)閤∈B是x∈A的充分不充分條件，可得B是A的真子集，①當(dāng)1?a≥1+a時(shí)，即a≤0時(shí)，此時(shí)A=R②當(dāng)1?a<1+a時(shí)，即a>0時(shí)，則滿足a>01?a≥?11+a<2，即a>0a≤2綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?∞5．（2425高一上·福建福州·期中）已知集合A=x|m?1≤x≤2m，B=(1)當(dāng)m=3時(shí)，求A∩B，A∪?(2)從①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；②A∩?RB=?問題：若_______，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)A∩B={x|2≤x≤3}，A∪?R(2)答案見解析【解題思路】（1）由集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算求解即可；（2）選①，由題意得到A是B的真子集，再分集合A是否為空集討論即可；選②，因?yàn)锳∩?RB=?，所以A?B，再分集合A是否為空集討論即可；選③，A∪B=B，所以A?B【解答過程】（1）當(dāng)m=3時(shí)，A=x|2≤x≤6，又B=∴A∩B={x|2≤x≤3}，又?RB=x|x<0∴A∪?RB=（2）選①，因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，所以A是B的真子集，若A=?，則m?1>2m，解得m<?1；若A≠?，則m?1≤2mm?1≥02m≤3且等號不能同時(shí)成立，解得綜上，m<?1或1≤m≤32，即m選②，因?yàn)锳∩?RB=?選③，A∪B=B，所以A?B，下同選①.題型4題型4全稱量詞與存在量詞中的含參問題1．（2425高一上·湖北·階段練習(xí)）已知集合A=x0≤x≤a，集合B=xm2+3≤x≤m2+4A．{aa<3} B．{a0≤a<3} C．【答案】A【解題思路】由題命題“?m∈R，A∩B=?”為真命題，進(jìn)而分A=?和A≠?兩種情況討論求解即可.【解答過程】因?yàn)槊}“?m∈R，A∩B≠?”為假命題，所以，命題“?m∈R，A∩B=?”為真命題；因?yàn)榧螦=x0≤x≤a，集合所以，當(dāng)A=x0≤x≤a=?時(shí)，即a<0當(dāng)A=x由“?m∈R，A∩B=?”得a≥0a<m2綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a故選：A.2．（2425高一上·浙江·階段練習(xí)）已知命題p:?x∈0,1,x2?2x?2+a>0；命題q:?x∈R,A．?1,3 B．?1,2 C．0,2 D．?【答案】B【解題思路】求出p,q為真命題時(shí)a的范圍，進(jìn)一步可得答案．【解答過程】由?x∈0,1,x?x2+2x+2=?則當(dāng)x=0時(shí)，?x2+2x+2命題q:?x∈R,x2?2x?a≠0若命題p,q均為假命題，則a≤2且a≥?1，即?1≤a≤2，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為?1,2．故選：B.3．（2425高一上·山東泰安·期中）已知命題p:?x∈R,x2?2x+m=0，命題q:?x∈R,x2【答案】m≤?2或1<m<2【解題思路】先求出命題p、q分別為真命題時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍，然后分p真q假，或p假q真兩種情況可求得結(jié)果.【解答過程】由命題p:?x∈R,x2?2x+m=0由命題q:?x∈R,x2?mx+1>0因?yàn)槊}p、q一真一假，所以p真q假，或p假q真，當(dāng)p真q假時(shí)，m≤1m≤?2或m≥2當(dāng)p假q真時(shí)，m>1?2<m<2，得1<m<2綜上，m≤?2或1<m<2.故答案為：m≤?2或1<m<2.4．（2425高一上·湖北黃岡·期中）已知命題p:關(guān)于x的方程mx2+2x?1=0有實(shí)數(shù)根.命題q:?x∈(1)若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若命題p與命題q一真一假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)?1(2)?1【解題思路】（1）p為真命題，則方程mx2+2x?1=0有實(shí)數(shù)根，分m=0（2）由一元二次不等式恒成立求得當(dāng)命題q為真命題時(shí)m的范圍，利用交集運(yùn)算求解即可.【解答過程】（1）若命題p為真命題，則關(guān)于x的方程mx當(dāng)m=0時(shí)，2x?1=0有實(shí)數(shù)根，當(dāng)m≠0時(shí)，則Δ=4+4m≥0，解得m≥?1且m≠0綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為?1（2）命題q為真命題，則?x∈1，4當(dāng)x∈1，4則m2?4m≤?3當(dāng)p真q假時(shí)，有{m≥?1m>3或m<1，則當(dāng)p假q真時(shí)，有m<?11≤m≤3，則解集為：綜上，?1≤m<1或m>3，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為?15．（2425高一上·重慶·階段練習(xí)）已知集合A=x1<x≤2，集合B=xx2?a<0，命題(1)若命題r是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若命題“p和q有且僅有一個(gè)是真命題”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)a>1(2)1<a≤4【解題思路】（1）由題意確定B≠?，即可求解；（2）通過p真q真和p假q假兩種情況討論即可求解.【解答過程】（1）因?yàn)槊}r為真命題，所以A∩B≠?，故B≠?，故a>0，于是B={x|?a<x<a}．因?yàn)锳∩B≠?，所以（2）①p:?x∈A,x∈B為真命題時(shí)，則A?B，由于A≠?，所以B≠?，故a>0，于是B={x|?a<x<a}．由A?B知②命題q:?x∈R,ax（i）a=0時(shí)，x=?1（ii）a≠0時(shí)，Δ=4?4a≥0，即a≤1，此時(shí)a≤1且a≠0故命題q為真命題時(shí)，有a≤1；由命題“p和q有且僅有一個(gè)是真命題”是假命題可知，由兩種情況：p真q真和p假q假，所以，當(dāng)p真q真時(shí)a不存在；當(dāng)p假q假時(shí)1<a≤4．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍1<a≤4．題型5題型5全稱量詞、存在量詞命題與集合交匯1．（2425高一上·湖北·階段練習(xí)）已知集合A=x0≤x≤a，集合B=xm2+3≤x≤m2+4A．{aa<3} B．{a0≤a<3} C．【答案】A【解題思路】由題命題“?m∈R，A∩B=?”為真命題，進(jìn)而分A=?和A≠?兩種情況討論求解即可.【解答過程】因?yàn)槊}“?m∈R，A∩B≠?”為假命題，所以，命題“?m∈R，A∩B=?”為真命題；因?yàn)榧螦=x0≤x≤a，集合所以，當(dāng)A=x0≤x≤a=?時(shí)，即a<0當(dāng)A=x由“?m∈R，A∩B=?”得a≥0a<m2綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a故選：A.2．（2425高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）若“?x∈M,3x?x2>0”為真命題.“?x∈M,x<2”為假命題，則集合MA．{x|x<0} B．{x|0≤x≤1}C．{x|1<x<3} D．{x|x≤1}【答案】C【解題思路】根據(jù)命題的真假確定集合M中的元素具有的性質(zhì)，得正確結(jié)論．【解答過程】“?x∈M,3x?x2>0因此做這個(gè)M中含有(0,3)上的數(shù)，“?x∈M,x<2”為假命題，則M中有不小于2的元素，只有C選項(xiàng)的集合M滿足題意.故選：C．3．（2425高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知命題p:“?x∈x|?3≤x≤2，都有x∈x|a?4≤x≤a+5”，且?p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】?3≤a≤1【解題思路】根據(jù)?p是假命題，則p是真命題.進(jìn)而得到x|?3≤x≤2?【解答過程】?p是假命題，則p是真命題.由于?x∈x|?3≤x≤2，都有x∈則x|?3≤x≤2?可得?3≥a?42≤a+5實(shí)數(shù)a的取值范圍是?3≤a≤1.故答案為：?3≤a≤1.4．（2425高一上·四川成都·期末）已知集合A=x∣x2(1)若“命題p:?x∈B,x∈A”是真命題，求m的取值范圍；(2)若“命題q:?x∈A,x∈B”是真命題，求m的取值范圍.【答案】(1)2≤m≤3(2)2≤m≤4【解題思路】（1）根據(jù)B?A且B≠?列不等式組求解；（2）由A∩B≠?求解．【解答過程】（1）解x2?3x?10≤0得?2≤x≤5，則∵“命題p:?x∈B,x∈A”是真命題，∴B?A且B≠?，∴m+1≤2m?1m+1≥?22m?1≤5（2）∵B≠?,∴m+1≤2m?1,∴m≥2,m+1≥3；由q為真，則A∩B≠?，∴?2≤m+1≤55．（2425高一上·廣西南寧·期中）已知集合A=x∣6≤x≤20，集合B=x∣x≤2a，命題p:?x∈A,x∈B，命題q:?x∈R(1)若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若命題p和命題q至少有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)a≥3.(2)aa<?1或a≥3【解題思路】（1）根據(jù)p為真命題列不等式，由此求得a的取值范圍.（2）求得p,q均為假命題時(shí)a的取值范圍，進(jìn)而求得命題p和命題q至少有一個(gè)為真命題時(shí)a的取值范圍.【解答過程】（1）若p為真命題，則A∩B≠?，所以2a≥6，所以a≥3.（2）當(dāng)q為假命題時(shí)，即“?x∈R,所以Δ=4+4a≥0，所以a的取值范圍為a由（1）知命題p為假命題時(shí)，a的取值范圍為aa所以當(dāng)p,q均為假命題時(shí)a的取值范圍為aa所以當(dāng)命題p和命題q至少有一個(gè)為真命題時(shí)a的取值范圍為aa<?1或a≥3題型6題型6充分、必要條件與全稱量詞、存在量詞命題交匯1．（2425高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）命題“?x∈x|1≤x≤3，x2?a≤0A．a(chǎn)≥8 B．a(chǎn)≤9C．a(chǎn)≥9 D．a(chǎn)=9.5【答案】A【解題思路】利用全稱命題為真命題求出a≥9，再利用必要不充分條件性質(zhì)即可求解.【解答過程】由命題“?x∈x|1≤x≤3，x2?a≤0即可得a≥9；a≥9可推得a≥8，而a≥8推不出a≥9，即只有A符合題意；故選：A.2．（2425高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知A={x|1≤x≤2}，命題“?x∈A，x2?a≤0”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是（A．a(chǎn)≥0 B．a(chǎn)≥2 C．a(chǎn)≤0 D．a(chǎn)≤2【答案】B【解題思路】先根據(jù)“?x∈A，x2?a≤0”求【解答過程】因?yàn)椤?x∈A，x2?a≤0”，所以a≥x2min結(jié)合選項(xiàng)及充分不必要條件知“a≥2”是“a≥1”的充分不必要條件.故選：B.3．（2425高一上·云南·階段練習(xí)）已知命題p:?x∈R，使x2?4x+m≠0為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值集合為B，若A=x3a<x<a+4為非空集合，且x∈A是x∈B的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】4【解題思路】先求出集合B，再利用充分不必要條件轉(zhuǎn)化為A是B的真子集，利用集合關(guān)系解題即可.【解答過程】由題意，可知關(guān)于x的方程x2所以Δ=16?4m<0，解得m>4，