第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年四川省成都市養(yǎng)馬高級中學高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=x2在x=1處的導數(shù)f′(1)等于(

)A.2 B.1 C.12 D.2.等比數(shù)列{an}中，a4=4，則A.4 B.8 C.16 D.323.記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a5=7，A.49 B.63 C.70 D.1264.函數(shù)f(x)=2x?4lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)A.(?∞,2) B.(0,2) C.(2,+∞) D.(e,+∞)5.數(shù)列{an}滿足a1=5，an+1A.1 B.2 C.4 D.86.已知函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f′(x)圖象如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的大致圖象是(

)A.B.

C.D.7.在數(shù)列{an}中，a1=1，n(n+1)(A.40432022 B.40412021 C.202020218.若a=12ln12，b=2A.c<b<a B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知數(shù)列1,3,5,A.此數(shù)列的通項公式是2n?1 B.35是它的第23項

C.此數(shù)列的通項公式是2n+1 D.10.已知函數(shù)f(x)=x3,x<0lnx,0<x<1，若f′(a)=12，則實數(shù)aA.2 B.?2 C.112 D.11.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1A.an=2n?1 B.Sn=2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn=3n213.已知函數(shù)f(x)=4x2?3xf′(1)，則f′(1)=14.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知在等差數(shù)列{an}中，a5=3，a9=?5．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；16.(本小題15分)

在①Sn=n2+2n；②a3=7，a2+a6=18；③a1=3，S5=35這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．

問題：已知等差數(shù)列{an}，Sn為其前n項和，若_____．

17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=13x3?12ax2，a∈R．

(1)當a=2時，求曲線y=f(x)18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x2+lnx?ax．

(1)當a=3時，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，求a19.(本小題17分)

已知數(shù)列{1an+1?1an}是以公比為3，首項為3的等比數(shù)列，且a1=1．

(1)求{1an+1?1an}的通項公式；

(2)求出{an答案解析1.【答案】A

【解析】解：函數(shù)f(x)=x2，

根據(jù)函數(shù)的求導公式可得，f′(x)=2x，f′(1)=2．

故選：A．

求出函數(shù)f(x)的導數(shù)，進而求出導函數(shù)的值．2.【答案】C

【解析】解：a2?a6=a42=16

故選：C．

由3.【答案】B

【解析】解：因為等差數(shù)列{an}中，a5=7，a10=2，

則d=a10?a510?5=?1，a1=11，4.【答案】B

【解析】解：函數(shù)的定義域為(0,+∞)，

f′(x)=2?4x=2x?4x=2(x?2)x，

令f′(x)<0，得0<x<2，

所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)．

故選：5.【答案】C

【解析】解：由a1=5，an+1=3an+1,an為奇數(shù)an2,an6.【答案】D

【解析】解：由導函數(shù)圖象可知在(?∞,0)上f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

在(0,2)上f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

在(2,+∞)上f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．

故選：D．

由導函數(shù)圖象可知f′(x)的符號，f(x)單調(diào)性，即可得出答案．

本題考查導函數(shù)的圖象，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中檔題．7.【答案】A

【解析】解：∵數(shù)列{an}中，a1=1，n(n+1)(an+1?an)=1(n∈N^)，

∴an+1?an=1n(n+1)=1n?1n+1，

∴8.【答案】C

【解析】解：易知c=?1e=1eln1e，

構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx，x∈(0,+∞)，則f′(x)=lnx+1；

令f′(x)=0，解得x=1e，

當x∈(0,1e)時，f′(x)<0，

當x∈(1e,+∞)時，f′(x)>0；

所以f(x)在(0,1e)上單調(diào)遞減，在(1e,+∞)上單調(diào)遞增，

又易知1e9.【答案】AB

【解析】【分析】本題考查數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．

先由數(shù)列的前幾項，歸納得出數(shù)列的通項公式，再假設35是數(shù)列的第n項，根據(jù)通項公式解出【解答】

解：由數(shù)列1，3，5，7，…，可得an=2n?1，

由an=2n?1=310.【答案】BC

【解析】解：當x<0時，f(x)=x3，

則f′(x)=3x2，

當a<0時，f′(a)=12，

則3a2=12，解得a=?2；

當0<x<1時，f(x)=lnx，

則f′(x)=1x，

當0<a<1時，f′(a)=12，

則1a=12，解得a=112，

綜上所述，實數(shù)a11.【答案】AB

【解析】解：數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，an+1=2an+1，

可得an+1+1=2(an+1)，

即有數(shù)列{an+1}是首項和公比均為2的等比數(shù)列，

則an+1=2n，即有an=2n?1，

Sn12.【答案】6n?3

【解析】解：當n=1時，a1=S1=3；

當n≥2時，an=Sn?Sn?1=3n2?3(n?1)2=6n?3，

13.【答案】2

【解析】解：f′(x)=8x?3f′(1)，

令x=1，

則f′(1)=8?3f′(1)，

解得f′(1)=2，

故答案為：2．

對函數(shù)求導，再求f′(1)即可．

本題考查導數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】an【解析】解：對an+1=an2nan+1兩邊取倒數(shù)得1an+1=2nan+1an=1an+2n，即1an+1?1an=2n，

當n≥2時，1an?115.【答案】an=13?2n．

S【解析】(1)在等差數(shù)列{an}中，a5=3，a9=?5，

設等差數(shù)列{an}的公差為d，則4d=a9?a5=?5?3=?8，

解得d=?2，

∴a16.【答案】(Ⅰ)解：方案一：選擇條件①

由題意，當n=1時，a1=S1=12+2×1=3，

當n≥2時，an=Sn?Sn?1=n2+2n?(n?1)2?2(n?1)=2n+1，

∵當n=1時，a1=3也滿足上式，

∴an=2n+1，n∈N?．

方案二：選擇條件②

由題意，設等差數(shù)列{an}的公差為d，

則a3=a1+2d=7，

a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=18，

聯(lián)立a1+2d=72a1+6d=18，

解得a1=3d=2，

∴an【解析】(Ⅰ)在選擇條件①的情況下，根據(jù)題干已知條件并結(jié)合公式an=S1,n=1Sn?Sn?1,n≥2進行運算即可得到等差數(shù)列{an}的通項公式；在選擇條件②的情況下，由題意，設等差數(shù)列{an}的公差為d，再根據(jù)題干已知條件列出關(guān)于首項a1與公差d的方程組，解出a1與d的值，即可計算出等差數(shù)列{an}的通項公式；在選擇條件③的情況下，由題意，設等差數(shù)列{an}的公差為d，再根據(jù)等差數(shù)列的前17.【答案】解：(1)當a=2時，f(x)=13x3?x2，則f′(x)=x2?2x，∴f′(3)=9?6=3，

又f(3)=9?9=0，∴f(x)在點(3,f(3))處的切線方程為：y=3(x?3)，即3x?y?9=0．

(2)由題意得：f(x)定義域為R，f′(x)=x2?ax=x(x?a)；

當a=0時，f′(x)=x2≥0，∴f(x)在R上單調(diào)遞增；

當a<0時，若x∈(?∞,a)∪(0,+∞)，則f′(x)>0；

若x∈(a,0)，則f′(x)<0；∴f(x)在(?∞,a)，(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(a,0)上單調(diào)遞減；

當a>0時，若x∈(?∞,0)∪(a,+∞)，則f′(x)>0；

若x∈(0,a)，則f′(x)<0；∴f(x)在(?∞,0)，(a,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,a)上單調(diào)遞減；

綜上所述：當a=0時，f(x)在R上單調(diào)遞增；

當a<0時，f(x)在(?∞,a)，(0,+∞)【解析】(1)由導數(shù)幾何意義可求得切線斜率f′(3)，結(jié)合f(3)=0可得切線方程；

(2)求導后，分別在a=0、a<0和a>0的情況下，根據(jù)f′(x)正負得到函數(shù)單調(diào)性．

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查運算求解能力，屬于中檔題．18.【答案】解：(1)當a=3時，f(x)=x2+lnx?3x；

∴f′(x)=2x+1x?3，由f′(x)>0得，0<x<12或x>1，

故所求f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,12)，(1,+∞)；

(2)f′(x)=2x+1x?a，

∵f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，

∴2x+1x?a>0在(0,1)上恒成立，即a<2x+1x恒成立，

∵2x+1x≥22(當且僅當x=【解析】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力．

(1)求單調(diào)增區(qū)間，先求導，令導函數(shù)大于0即可；

(2)已知f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)，即f′(x)≥0在區(qū)間(0,1)上恒成立，然后用分離參數(shù)求最值即可．19.【答