熱點(diǎn)題型專題(一)代數(shù)推理問題代數(shù)推理側(cè)重于數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)等內(nèi)容的運(yùn)算、變形、證明,抽象程度較高,并且不同的代數(shù)推理中涵蓋著不同的推理思想,大致的解題策略如下:(1)對(duì)于“數(shù)與式”相關(guān)的問題,關(guān)鍵在于能夠發(fā)現(xiàn)圖形或者數(shù)字中的規(guī)律、能夠用字母表示數(shù),將問題“符號(hào)化”;(2)對(duì)于“方程與不等式”問題,能夠進(jìn)行有效變形,借助消元法簡(jiǎn)化運(yùn)算;(3)對(duì)于“函數(shù)”問題,能夠數(shù)形結(jié)合,同時(shí)結(jié)合函數(shù)中的對(duì)稱性、增減性綜合進(jìn)行問題判斷和解決.題型解讀1.(2024溫州鹿城區(qū)二模)在二維碼中常用黑白方格表示數(shù)碼1和0,若圖R1-1表示1011,則表示0110的圖是 (

)類型一歸納推理圖R1-1圖R1-2D2.(2023廣元)在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中,用如圖R1-3所示的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律,因此我們稱這個(gè)三角形為“楊輝三角”,根據(jù)規(guī)律第八行從左到右第三個(gè)數(shù)為

.

圖R1-321[解析]找規(guī)律發(fā)現(xiàn)(a+b)3的第三項(xiàng)系數(shù)為3=1+2;(a+b)4的第三項(xiàng)系數(shù)為6=1+2+3;(a+b)5的第三項(xiàng)系數(shù)為10=1+2+3+4;不難發(fā)現(xiàn)(a+b)n的第三項(xiàng)系數(shù)為1+2+3+…+(n-2)+(n-1).因?yàn)榈诎诵袑?duì)應(yīng)的是(a+b)7的系數(shù)規(guī)律,∴(a+b)7展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)是1+2+3+…+6=21,∴第八行從左到右第三個(gè)數(shù)為21.3.(2024北京)聯(lián)歡會(huì)有A,B,C,D四個(gè)節(jié)目需要彩排,所有演員到場(chǎng)后節(jié)目彩排開始.一個(gè)節(jié)目彩排完畢,下一個(gè)節(jié)目彩排立即開始.每個(gè)節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時(shí)長(zhǎng)(單位:min)如下:節(jié)目ABCD演員人數(shù)102101彩排時(shí)長(zhǎng)30102010已知每位演員只參演一個(gè)節(jié)目.一位演員的候場(chǎng)時(shí)間是指從第一個(gè)彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時(shí)間間隔(不考慮換場(chǎng)時(shí)間等其他因素).若節(jié)目按A-B-C-D的先后順序彩排,則節(jié)目D的演員的候場(chǎng)時(shí)間為

min;若使這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和最小,則節(jié)目應(yīng)按

的先后順序彩排.

60C-A-B-D[解析]若節(jié)目按A-B-C-D的先后順序彩排,節(jié)目D的演員的候場(chǎng)時(shí)間為30+10+20=60(min).由題意得節(jié)目A和節(jié)目C的演員人數(shù)一樣,彩排時(shí)長(zhǎng)不一樣,那么時(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)的節(jié)目應(yīng)該放在后面,因此節(jié)目C在節(jié)目A的前面;節(jié)目B和節(jié)目D的彩排時(shí)長(zhǎng)一樣,人數(shù)不一樣,那么人數(shù)少的應(yīng)該放在后面,因此節(jié)目B在節(jié)目D前面.①若節(jié)目按C-B-A-D的先后順序彩排,則這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和為(10+2+1)×20+(10+1)×10+1×30=400(min);②若節(jié)目按C-B-D-A的先后順序彩排,則這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和為(10+2+1)×20+(10+1)×10+10×10=470(min);③若節(jié)目按C-A-B-D的先后順序彩排,則這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和為(10+2+1)×20+(2+1)×30+1×10=360(min);④若節(jié)目按B-C-A-D的先后順序彩排,則這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和為(10+10+1)×10+(10+1)×20+1×30=460(min);⑤若節(jié)目按B-C-D-A的先后順序彩排,則這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和為(10+10+1)×10+(10+1)×20+10×10=530(min);⑥若節(jié)目按B-D-C-A的先后順序彩排,則這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和為(10+10+1)×10+(10+10)×10+10×20=610(min).所以節(jié)目按C-A-B-D的先后順序彩排,這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和最小.故答案為60,C-A-B-D.

5.(2024寧波鄞州區(qū)一模)觀察前后兩個(gè)差為4的整數(shù)的平方差:①52-12=8×3;②62-22=8×4;③72-32=8×5;….(1)寫出第

個(gè)等式,并進(jìn)行證明.(2)2024是否可以寫成兩個(gè)差為4的整數(shù)的平方差?如果可以,請(qǐng)寫出這兩個(gè)整數(shù);如果不可以,請(qǐng)說明理由.解:(1)第

個(gè)等式為(n+4)2-n2=8(n+2).證明:左邊=n2+8n+16-n2=8n+16,右邊=8n+16,∴左邊=右邊,即(n+4)2-n2=8(n+2).(2)可以.∵2024÷8=253,即n+2=253,∴n=251,n+4=255,∴2024=2552-2512.因此2024可以寫成兩個(gè)差為4的整數(shù)的平方差,這兩個(gè)整數(shù)是255,251.6.“字母表示數(shù)”的系統(tǒng)化闡述是16世紀(jì)提出的,被后人稱為從“算術(shù)”到“代數(shù)”的一次飛躍,從而大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.經(jīng)過初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),我們知道了用字母表示數(shù)可以分析從特殊到一般的數(shù)學(xué)規(guī)律,字母與數(shù)一樣,也可以參與運(yùn)算.請(qǐng)同學(xué)們觀察下列關(guān)于正整數(shù)的平方拆分的等式:第1個(gè)等式:22=1+12+2;第2個(gè)等式:32=2+22+3;第3個(gè)等式:42=3+32+4;第4個(gè)等式:52=4+42+5.(1)請(qǐng)用此方法拆分20242;(2)請(qǐng)你用上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論(用含n的等式表示,n為正整數(shù)),并運(yùn)用有關(guān)知識(shí)說明這個(gè)結(jié)論是正確的.(1)請(qǐng)用此方法拆分20242;(2)請(qǐng)你用上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論(用含n的等式表示,n為正整數(shù)),并運(yùn)用有關(guān)知識(shí)說明這個(gè)結(jié)論是正確的.解:(1)20242=2023+20232+2024.(2)根據(jù)題意,可知一般的結(jié)論為(n+1)2=n+n2+(n+1).理由:∵左邊=(n+1)2,右邊=n+n2+(n+1)=n2+2n+1=(n+1)2,左邊=右邊,∴這個(gè)結(jié)論是正確的.

類型二演繹推理C[解析]t2+5-4t=t2-4t+4-4+5=(t-2)2+1.∵(t-2)2+1>0,∴t2+5>4t.當(dāng)t>0時(shí),點(diǎn)P和點(diǎn)Q均在第一象限,∴m>0,n>0,∴m+n>0.∵k>0,t2+5>4t,∴m>n,∴|m|>n.當(dāng)t<0時(shí),點(diǎn)P在第三象限,點(diǎn)Q在第一象限,∴m<0,n>0,|m|>n,∴m+n<0.故選C.8.(2024安慶一模)已知a,b,c為非零實(shí)數(shù),且滿足a+b+c=0,4a+2b+c<2,則下列結(jié)論一定正確的是 (

)A.2a-c>2 B.3a-b-3c<4C.3a<2 D.a+3b+4c>0B[解析]∵非零實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,∴b=-a-c,代入4a+2b+c<2,得4a+2(-a-c)+c<2,即2a-c<2,故選項(xiàng)A不正確;∵非零實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,∴a=-b-c.∵4a+2b+c<2,∴8a+4b+2c<4,∴3a+5(-b-c)+4b+2c<4,∴3a-b-3c<4,故選項(xiàng)B正確;∵a+b+c=0,∴b+c=-a,代入4a+2b+c<2,得4a+b-a<2,即3a<2-b.∵b為非零實(shí)數(shù),當(dāng)b<0時(shí),2-b>2,∴3a<2不一定成立.故選項(xiàng)C不正確;∵a+b+c=0,∴5a+5b+5c=0.∵4a+2b+c<2,∴-4a-2b-c>-2,∴a+3b+4c>-2,故選項(xiàng)D不正確.故選B.

10.(2023麗水)已知點(diǎn)(-m,0)和(3m,0)在二次函數(shù)y=ax2+bx+3(a,b是常數(shù),a≠0)的圖象上.(1)當(dāng)m=-1時(shí),求a和b的值;(2)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(n,3)且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上,當(dāng)-2<m<-1時(shí),求n的取值范圍;(3)求證:b2+4a=0.(1)當(dāng)m=-1時(shí),求a和b的值;

(2)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(n,3)且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上,