第02講解一元二次方程

出『,內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

號(hào)S-Z教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

5大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知漢

⑸知識(shí)點(diǎn)1解一元二次方程-直接開平方

（1）如x°=P（P?0）或（nx+^y=P（P20）的一元二次方程可直嫁用直接開平方解

一元二次方程。

（2）如果化成x2=P的形式，那么可徵=±萬(wàn)

⑶如果方程能化成（］1\；+冽）2=。5之。）的形式，那么nx+〃z=±7F，進(jìn)而得出方程的根

易混易錯(cuò)

（1）等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)常數(shù)

（2）降次的實(shí)質(zhì)是有一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程

（3）方法是根據(jù)平方根的意義開平方

⑤知識(shí)點(diǎn)2解一元二次方程-配方法式

用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0（k^0）的一般步驟是：

①化為一般形式；

②移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

③化二次項(xiàng)系數(shù)為1,即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；

④配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；化原方程為（x+a）2=b的形式;

⑤如果bNO就可以用兩邊開平方來(lái)求出方程的解；如果bWO,則原方程無(wú)解.

總結(jié):

依據(jù)：平方根的定義

面乙直接開手方法：產(chǎn)=〃3'0）1.二次項(xiàng)系數(shù)化為1

關(guān)刊2.方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方

方Y(jié)=p（pNO）

3.降次，轉(zhuǎn)化為一元一次方程

\酉己方5去：（X++7）2=〃（"三O）

重點(diǎn)：［配成完全平方式

⑸知識(shí)點(diǎn)3解一元二次方程-公式法

用公式法求一元二次方程的一般步驟：

（1）把方程化成一般形式a%2+笈+c=O,確定a、b、c的值（注意符號(hào)）

（2）求出判別式A=b?-4ac的值，判斷根的情況

（3）在A=b2-4ac?0（注：此如讀“德爾塔”）的前提F,把a(bǔ)、b、c的值代入公式

*=*①二b±J/―4ac進(jìn)行計(jì)算,求出方程的限。

2a2a

向知識(shí)點(diǎn)4解一元二次方程-因式分解法

因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：

（1）移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；

（2）將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次多項(xiàng)式的乘積；

（3）令每個(gè)因式分別為零；

（4）兩個(gè)因式分別為零的解就都是原方程的解。

2

如：X+（P+q）x+pq=0——分.后一>（x+p）（x+q）=O

@知識(shí)點(diǎn)5一元二次方程的判別式

①b?-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相加實(shí)數(shù)根。

②b2-4ac=0Ht,方程有兩個(gè)相等修數(shù)根。

③b'4acV0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根°

教材習(xí)題01解題方法

1.解下列方程：直接開方

(1)x2=16;(2)(x-4)2-25=0;

【解答】

(1)直接開平方:*=士詬=±4,解為：xi=4,x2=-4o

(2)移項(xiàng)得:開平方:x-4=士5

分情況求解：

當(dāng)x-4=5時(shí)，x=9;

當(dāng)x-4=-5時(shí),x=-l.

解為:x=9,x=-l.

解題方法

教材習(xí)題02

①配方法-系數(shù)為1

解下列方程：

②配方法-系數(shù)不為1

(1)x2+2x=3;(2)2x2-8x+l-0;

【答案】

(1)步驟1：一次項(xiàng)系數(shù)為2,其一半為1,平方為「=1.

方程兩邊同時(shí)加l:x2+2x+l=3+l

左邊化為完全平方式：(x+l)2=4

步驟2:開平方求解

x+l=±V4,x十1=士2

步驟3:分情況討論

當(dāng)x十1=2時(shí)，x=2-l=l:

當(dāng)x十1=-2時(shí),x=-2-l=-3o

答案：X1=1,X2=-3o

(2)

2

系數(shù)化為1,X-4X+1=0

91

移項(xiàng),X-4x=—,

A2

配方得，x2-4x+22=-g+22

(x-2)2=：

解方程得，x-2=±—

2

.V一獷+2V-S2

■-X1-T+2，X2--T-2

教材習(xí)題03解題方法

用公式法解下列方程：公式法

(l)x2-3x-4=0;(2)4x(x-l)=l.;

【解答】

(1)a==-3,c=-4

△=b?-=(―3)2-4x1x(-4)=27

-(-3)±V273±373

x=----------------=----------

2x12

_3+V3_3-V3

X1-2，%―2

(2)化為一般式4*2-41-1=0

a=4,b=-4,c=-1

△=(-4)2-4x4x(-1)=32

_4土卮_4±4拒_]±五

X———

2x482

1+V21-V2

為=2，乂=2

教材習(xí)題04解題方法

k取什么值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程x2-kx+4-0有兩個(gè)相等的實(shí)判別式

數(shù)根?求此時(shí)方程的根

【解答】

a=l,b=-k,c=4

A=b?—4〃c=(—k)—4x1x4=k2一16

當(dāng)上2—4二伏+4)(左一4)二o

鼠=4或％2=-4.

當(dāng)k=4時(shí),x?-4%+4=0,解得Xi=X2=2

當(dāng)k=-4時(shí),x?+4%+4=0,解得X]=%=-2

教材習(xí)題05

用因式分解法解下列方程：解題方法

因式分解法

(l)x2-3x=0;(2)2(x-l)+x(x-l)=0;

【解答】(1)x(x-3)=0,xi=0,X2=3

(2)(x-l)(2+x)=0,xi=1,xz=-2

考點(diǎn)一解一元二次方程-直接開平方

1(24-25九年級(jí)上.四川南充?期中)(1)解方程：2(x2-x)=x2

(2)解方程：(x+I)2=(2%+1)2

【答案】(1)%1=0,%2=2：(2)久1=0,%2=—|

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：

(1)先把原方程化成一般式，然后根據(jù)因式分解法求解即可；

(2)根據(jù)直接開平方法求解即可.

【詳解】解：(1)原方程可化為——2%=0,

x(x—2)=0,

'.X=0或％—2=0,

??%1—0,%2=2；

(2)???(％+1)2=(2%+1)2,

???％+1=±(2x+1),

.*.%+1=2%+1或％+1=—(2%+1),

?n2

?=0,x2=---

2.(23-24九年級(jí)上?廣西河池?期中)解方程：(%+1)2=16

【答案】=3,x2=一5

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方

法，公式法，因式分解法等.

利用直接開方法解一元二次方程即可.

【詳解】解：0+1)2=16

x+1=+4

x+1=4或x+1=—4

解得%1=3,%2=—5.

3.(24-25八年級(jí)上?廣東佛山?期中)解方程：

(I)%2=7；

(2)(%—1尸=9.

【答案】(1比1=近，%2=-V7

(2)Xi=4,x2=-2

【分析】本題主要考查了解一元二次方程-直接開平方法，熟知直接開平方法解一元二次方程的步驟

是解題的關(guān)鍵.

（1）利用直接開平方法對(duì)所給一元二次方程進(jìn)行求解即可.

（2）利用直接開平方法對(duì)所給一元二次方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：%2=7,

解得X1=V7,久2=-V7.

（2）解：（%-I）2=9,

則％一1=±3,

解得久1=4,*2=-2.

考點(diǎn)二解一元二次方程-配方法

1.（24-25八年級(jí)上?上海?期中）用配方法解方程：2x2-4x-5=0

【答案】/=1-緣乂2=1+9

【分析】本題考查了解一元二次方程-配方法，先利用配方法得到（x-I）2=然后利用直接開平方

法解方程.熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：2/一4%-5=0,

2Q5

???—LX-2

則/—2x+l=|+l,

(x-l)2=I，

直接開平方得x—1=士當(dāng)，

.V14..V14

=1-------，=1H-----.

12z2

2.（24-25九年級(jí)上?陜西西安?期中）用配方法解方程：/一5%+6=0

【答案】=2,%2=3

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)

系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方，再解方程即可.

【詳解】解；?.“2一5%+6=0,

.*.%2—5x=-6,

."一5久+（一|）=—6+（一|）,即（久一|）=［，

?5_.1

??X--=+一,

2—2

解得%1=2,上=3.

3.（24-25八年級(jí)下?江蘇蘇州?期中）用配方法解一元二次方程方程：-3/+4%+1=0.

【答案】％1=|+1,%2=|一?

【分析】本題考查了解一元二次方程一配方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式.方程整理后,

利用配方法求出解即可.

【詳解】解：方程整理，得/一（％=3

配方，得久2+[=[+￡即卜一|）2=/

開方，得久-|=±y>

AZJ夕日2y/72A/7

解彳寸％1=-+-?x2=-——?

考點(diǎn)三解一元二次方程.公式法

1.（24-25九年級(jí)上?陜西榆林?階段練習(xí)）用公式法解方程4/一6%-3=0.

【分析】此題考查了公式法解一元二次方程.根據(jù)一元二次方程的一般形式得到Q=4"=—6,c=—3,

計(jì)算得到A=84>0,代入求根公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：4%2-6%-3=0

''a=4,b=—6,c=—3,

：.△=(-6)2-4X4X(-3)=84,

_6+V84

,-X—,

2X4

3-V21

解得%1=?產(chǎn),%2=

44

2.（24-25九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）用公式法解方程：2/+%—2=0.

【答案】%!-1+V17-1-V17

4z4

【分析】本題考查解一元二次方程，利用公式法解方程即可.

【詳解】解：2/+%—2=0

a=2,b=l,c=—2,

.'.△=l2-4x2x(-2)=17,

?_-l+y/17_-1±V17

??X——

2X24

._-1+V17_-1-V17

??％i=---,%2~-~?

3.(24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè))用公式法解下列方程:

(l)x2-x-2=0；

(2)-%2-4%--=0；

(3)%2-20-4=0；

(4)(%+1)(%—3)=6.

【答案】⑴Xi=2,x2=-1

c3+V103-V10

(2)X1=,X2=

(3)%i=V5+3,x2=V5—3

(4)%i=1+VlO,x2=l-V1O

【分析】本題考查了公式法求解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求解方法是解題關(guān)鍵.

(1)利用公式法求解一元二次方程即可；

(2)利用公式法求解一元二次方程即可；

(3)利用公式法求解一元二次方程即可；

(4)利用公式法求解一元二次方程即可.

【詳解】(1)解：X2-X-2=0,

■■■a=1,b=-1,c=-2,

b2-4ac=(-1)2-4xlx(—2)=9>0,

-b±Vb2-4ac

???X=---------=--1-±-V-9=——1±3，

2a2X12

，=2,X2=—1;

4c1

(2)-%2—4%——=0,

33

原方程整理，得/-3x-3=0,

4

va=1,b=—3,c=-

4

b2-4ac=(-3)2-4x1x(-?=10>0,

_-b±y/b2-4ac

??X——_-3±V10,

2a2X1

3+V103-V10

%=丁，%2=

(3)尤2—2V5X-4=0,

a=1,b=-2V5,c=-4,

2

???b2-4ac=(-2V5)-4x1x(-4)=36>0,

2

_-b±y/b-4ac_A

,?X——2/5±V36—_2%±6f

2a2x12

A=V5+3,X2=V5—3;

(4)(%+1)(%-3)=6,

原方程整理，得久2一2%-9=0.

???a=1,b=—2,c=—9,

??.b2-4ac=(-2)2-4xlx(-9)=40>0,

-b+Vb2-4ac-2+V40-2+2V10

???X=

2a2x12

=1+Vio,x2=i—VTo.

考點(diǎn)四一元二次方程-判別式

1.（2025年遼寧省錦州市中考二模數(shù)學(xué)試題）關(guān)于x的一元二次方程/-3x+2=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程跟的判別式，根據(jù)△>（）,即可判斷根的情況.

【詳解】解：由題意得a=1,b=—3,c=2,

；.△=（—3）2—4xlx2=l>0,

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：A.

2.（2025?云南文山?三模）關(guān)于x的一元二次方程i+mx-5=0的根的情況是（）

A.沒(méi)有實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

【答案】D

【分析】此題考查了根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程的根的情況.計(jì)算一元二次方程

根的判別式，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：△=m2—4x1x（-5）=m2+20>0,

.?.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：D.

3.（2025?江蘇淮安?二模）關(guān)于x的一元二次方程/+2x+zn-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則小的取值

范圍是（）

A.m<3B.m<3且ni72C.ni>3且m42D.m>3

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)A=F—4ac>0解答即可求解，掌握一元二次方

程根的判別式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：方程/+2x+zn—2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

=22-4x1x（m-2）>0,

解得m<3,

故選：A.

考點(diǎn)五解一元二次方程-因式分解法

1.（23-24九年級(jí)?江蘇?假期作業(yè)）解關(guān)于x的方程（因式分解方法）：

(l)3x2-V5x=0；

(2)7x(%—3)=3x-9.

【答案】⑴%i=0,x2=y

(2)%i=3,x2=7

【分析】(1)用提公因式法進(jìn)行因式分解，再解方程即可；

(2)移項(xiàng)后，用提公因式法進(jìn)行因式分解，再解方程即可.

【詳解】⑴解：x(3x-V5)=0

①x=0②3x-V5=0

?AV5

??%-￡=0,%2=,

(2)解：7x(%-3)=3(%-3)

7x(%-3)-3(%-3)=0

(%—3)(7%—3)=0

①九一3=0②7汽-3=0

?o3

??%■￡—3,%2一~,

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程.其中找到合適的公因式是解題的關(guān)鍵.

2.(24-25九年級(jí)下?廣東深圳?期中)解方程

(1)%2-3%-5=0

(2)x2-4%-12=0

3+V293-V29

【答案】⑴石

2z2

(2)Xi=—2,x2=6

【分析】此題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是關(guān)鍵.

(1)利用公式法進(jìn)行求解即可；

(2)利用因式分解法解方程即可.

【詳解】(1)解：%2-3%-5=0

a=1,b=—3,c=—5,

???A=b2-4ac=(-3)2-4x1x(-5)=29

同

???原方程的解為:3-

2

(2)vx2-4%-12=0,

??.(%+2)(%—6)=0,

*,?%]——2,%2=6,

故原方程的根為久1=—2,X2=6

3.(23-24九年級(jí)上.四川瀘州.階段練習(xí))解方程：%2-4%-5=0(因式分解).

【答案】無(wú)］=5,&=一1

【分析】利用因式分解法解方程即可.

【詳解】解：..“2—4%-5=0

(%—5)(%+1)=0,

%—5=。或％+1=0,

??%1=5,%2=-1.

【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握利用因式分解的方法解方程是解題的關(guān)鍵.

9串知識(shí)識(shí)框架

知識(shí)導(dǎo)圖記憶

ix'p（P>O）或（nx+my=p（pN0）i

①化為一般形式：

②移項(xiàng),將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；?

步驟:③化二次項(xiàng)系數(shù)為1,即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；

④配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a)M)的形式;

⑤如果b20就可以用兩邊開平方來(lái)求出方程的解：如果bWO,則原方程無(wú)解.

(1)把方程化成一般形式ax，fcr+c=0,確定a、b、c的值(注意符號(hào)).

(2)求出判別式A=b'4ac的值，判斷根的情況

牛q取.0

少3家?(3)&=b’4acN0(注：此處A讀“德爾塔”)的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式

逆二士正三進(jìn)同具制方程MH.

2a2a

①bL4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

判別式：②?bJ4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。.

③4acV0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。?

(I)移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；.

(2)將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元次多項(xiàng)式的乘積：.

步驟:(3)令每個(gè)因式分別為零；“

(4)兩個(gè)因式分別為零的解就都是原方程的解.，

如：X?+(p+q)x+pq0—因式分解后>(x+p)(x+q)=0

知識(shí)目標(biāo)復(fù)核

1.解一元二次方程-直接開平方。

2.解一元二次方程-配方法。

3.解一元二次方程-公式法。

4.一元二次方程判別式

5.解一元二次方程-因式分解法

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升

一、單選題

1.(23-24九年級(jí)上?河南新鄉(xiāng)?期中)下列一元二次方程最適合用因式分解來(lái)解的是()

A.x2=4B.(x-2)2=(2x+3)(x-2)

C.(x+4)(5—%)=5D.x2—4x+2=0

【答案】B

【分析】本題主要考查解一元二次方程根據(jù)解一元二次方程的方法直接開平方法、因式分解法、公式法、

配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適的方法，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.，=4適合用直接開平方法，符合題意；

B.(%-2)2=(2%+3)(%-2),適合用因式分解法，符合題意；

C.(x+4)(5-%)=5適合用公式法，符合題意；

D.%2-4%+2=0適合用配方法法，符合題意；

故選：B.

2.(2025?湖北武漢?三模)一元二次方程x(x-5)=5-%的根是()

A./=肛=-1B.xr=l,x2=-5C.=—L%2=5D.=汽2=5

【答案】c

【分析】本題考查了一元二次方程的解法，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵；

原方程變形后，利用因式分解法求解即可.

【詳解】解：方程x(x-5)=5-x可變形為：%(%-5)+(%-5)=0,

即為(x—5)(%+1)=0,

x-5=0或x+1=0,

??%?￡——1,%2=5?

故選：C.

3.(24-25八年級(jí)下廣西賀州?期中)用配方法解一元二次方程％2-6尤-7=0,配方正確的是()

A.(x—3)2=16B.(x+3)2=16C.(x—3)2=2D,(%+3)2=2

【答案】A

【分析】本題主要考查了配方法，靈活運(yùn)用完全平方公式成為解題的關(guān)鍵.

直接根據(jù)配方法變形即可解答.

【詳解】解：/—6x=7

%2—6%+9=7+9

（x—3）2=16.

故選A.

4.（24-25八年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?期中）一元二次方程--7%+5=0的根的情況為（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式的計(jì)算是關(guān)鍵.

根的判別式：A=b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；A=b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等

的實(shí)數(shù)根；4=爐-4ac<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根；由此即可求解.

【詳解】解：X2-7X+5=0,

"=b2-4ac=（—7）2-4x1x5>=49-20=29>0,

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：B.

5.（24-25八年級(jí)下?安徽淮北?階段練習(xí)）已知一個(gè)三角形兩邊的長(zhǎng)是3和5,第三邊的長(zhǎng)是方程/—12x+

32=0的根，則該三角形的形狀為（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.直角三角形或鈍角三角形

【答案】C

【分析】本題考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，能根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出三角

形的形狀是解題的關(guān)鍵.先求出方程/-12%+32=0的解，結(jié)合2〈第三邊<8,得到第三邊的邊長(zhǎng),

再根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：%2-12%+32=0,

（%—4）（%—8）=05

.,.X-4=0,x—8=0,

=

解得：久1=4,%28，

一個(gè)三角形兩邊的長(zhǎng)是3和5,

2（第三邊<8,

三角形的第三邊為4,

42+32=52,

該三角形的形狀是直角三角形.

故選：c.

6.(2025?安徽宣城?二模)若關(guān)于x的一元二次方程zn/-4%-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)小的取

值范圍為()

44

A.m>-B.m>—

33

C.m>—1且小力0D.巾</且640

【答案】C

【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解.

【詳解】解：,??關(guān)于久的一元二次方程徵/-4x-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A=(-4)2-4x(―3)m>0,且m。0,

解得：m>—：且？n^O,

故選：C.

二、填空題

7.(24-25九年級(jí)上?廣東廣州?階段練習(xí))關(guān)于x的一元二次方程a/+6%+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則a的取值范圍是.

【答案】a<9且a豐0

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式以及一元二次方程根的定義，根據(jù)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根，得出a力0,A>0,再代入數(shù)值計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程a/+6%+1=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

a70,A>0,

A=62-4a=36—4a>0,

即a<9,

a<9且a豐0.

故答案為：a<9且a豐0.

8.(23-24八年級(jí)下?浙江杭州?階段練習(xí))如果/+b久+c=0的兩個(gè)根為匕=3,x2=5,則因式分解/+

bx+c=.

【答案】0—3)0—5)

【分析】本題考查了解一元二次方程的因式分解法：先把方程的右邊化為0,再把左邊通分因式分解化

為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解,

這樣也就把原方程進(jìn)行了將次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題.根據(jù)因式分解方程，

兩個(gè)根為久1=3,叼=5的一元二次方程為0-3)0—5)=0,即可得到答案.

【詳解】解：+bx+c=0的兩個(gè)根為%】=3,x2=5,

:.原方程為(x—3)(%—5)=0,

因式分解為/+bx+c=(x—3)(%—5).

故答案為：(%—3)Q—5).

9.(24-25八年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?期中)一元二次方程/-2尤=0的根是.

【答案】%i=0,x2=2

【分析】本題考查了因式分解法進(jìn)行解一元二次方程，先把原式整理得x(x-2)=0,再令每個(gè)因式為

0,即可作答.

【詳解】解：—2%=0,

.'.x(x—2)=0,

??%1—0,%2=2.

故答案為：=0,x2=2.

10.(2025?浙江溫州?二模)關(guān)于x的一元二次方程2%2+刀+租=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則7n的值

為.

【答案】i/0.125

8

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程根的判別式是解決本題

的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程根的判別式及方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即可求得.

【詳解】解：???關(guān)于久的一元二次方程2/+x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

.*.Z1=b2—4ac=1—4x2m=0,

解得m

o

故答案為：g.

o

11.(24-25八年級(jí)下?浙江?期中)定義新運(yùn)算:a*b=a2+4ab+1,例如:2*3=22+4x2x3+1=29.若

方程久*1=小有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為.

【答案】-3

【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+入+c=0(aH0)的根與△=b2-4ac有如下關(guān)

系：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0

時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.也考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算和理解能力.利用新運(yùn)算的運(yùn)算法則得到久2+4%+1=小，再

根據(jù)判別式的意義得到小=42-4x1x(1—rn)=0,然后解關(guān)于m的方程即可.

【詳解】解：根據(jù)運(yùn)算法則，由x*l=?n得：%2+4x+1=m,

x2+4x+l—m=0,

.??方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

.,.A=42-4x1x(1-m)=0,

解得：m=-3,

故答案為：-3.

三、解答題

12.(24-25八年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?期中)解方程：

(l)3x(x-l)=2(x-l)

(2)%2-4%-7=0

【答案】(1)%1=1,%2=|

(2必=2+V1T,x2=2-VT1

【分析】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，以及公式法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

(1)方程整理后，利用因式分解法求出解即可；

(2)方程利用公式法求出解即可.

【詳解】(解解:3x(x-1)=2(%-1),

方程整理得：3x(%-1)-2(%-1)=0,

分解因式得：(X-1)(3%-2)=0,

解得：%!=1,X2=|.

(2)解：a=1,b=-4,c=-7,

A=16+28=44,

-■?x=手=2±vn,

則=2+VT1,x2=2-VTi；

13.(24-25九年級(jí)上?廣東廣州?階段練習(xí))請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠?

(1)(%-2)2-9=0；

(2)2/一萬(wàn)一3=o

【答案】(I)%=5,x2=-1

3

(2)%1=5，比2=-1

【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)運(yùn)用因式分解法進(jìn)行解方程，即可作答.

(2)運(yùn)用公式法進(jìn)行解方程，即可作答.

【詳解】(1)解：?.,。一2)2-9=0,

(%-2)2-32=0,

(x—2—3)(x—2+3)=0

則x—5=0或％+1=0,

??%-￡=5,%2=-1；

(2)解：2—一萬(wàn)一3=0,

△=h2-4ac=(-1)2-4x2x(-3)=25,

1±5

則支

2a4

?1+531-5

..%-!=--=一,X=----=-14.

142z?4

14.(24-25八年級(jí)下?重慶?期末)關(guān)于工的一元二次方程式2—3%+k=0有實(shí)數(shù)根.

⑴求人的取值范圍.

(2)如果上是符合條件的最大整數(shù),且一元二次方程(TH-2)%2+%+m-4=0與方程--3x+fc=0有

一個(gè)相同的根，求此時(shí)機(jī)的值.

【答案】(1次

(2)m=|

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式以及方程根的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是利用判別式確定參數(shù)

的取值范圍，并通過(guò)代入相同根求解方程中的未知參數(shù)，同時(shí)要注意一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零

的條件.

(1)利用判別式的意義