第11講平行線的性質(zhì)

善思維導(dǎo)圖

兩直線平行，同位角相等

平行線的性質(zhì)兩直線平行，內(nèi)錯角相等

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

，核心考點聚焦

1.兩直線平行，同位角相等

2.兩直線平行，內(nèi)錯角相等

3.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

4.根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度

5.平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用

6.平行線的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用

7.根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定探究角的關(guān)系

?s@?

平行線的性質(zhì)：

(1)文字表達(dá)：

①兩條平行線被第三條直線所截，同位角±1笠，內(nèi)錯角相笠，同旁內(nèi)角互補;

②簡單說成：

兩直線平行，同位角相等;

兩直線平行，內(nèi)錯角相等;

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補;

(2)幾何語言表述：

已知，如圖所示，若AB〃CD,

E

I

則①同位角：Nl=/5（或N2=N6，Z4=Z8,Z3=Z7）；

②內(nèi)錯角：/2=/*（或/3=N5）；

③同旁內(nèi)角：N2+/￡=180。（或/3+/葬180。）.

1.平行線的性質(zhì)是由平行得到角的關(guān)系，即同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補.

2.根據(jù)兩直線平行的關(guān)系去探究角的數(shù)量關(guān)系.

?考點剖析

考點一、兩直線平行，同位角相等

例題：如圖，AB//CD,ZCEF=85°,則NA的度數(shù)是（）

AE

BD

A.85°B.95°C.105°D.115°

【答案】B

【解析】-.-ZCEF=85°,

ZDEF=180°-ZCEF=180°-85°=95°,

■.■AB//CD,

ZA=ZDEF=95°,

故選B.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，直線直線若4=50。，貝吐2=()

2a

A

A.30°B.40°C.50°D.60°

2.如圖，a〃心點B在直線6上，且XI=36°,那么N2=()

考點二、兩直線平行，內(nèi)錯角相等

例題：如圖，直線?！ㄘ埃本€/與直線。相交于點P,直線/與直線b相交于點Q,正河，/于點。若/1=55。,

貝1/2=°.

【解析】如圖，,??直線?！ㄈ耍??.N3=N1=55。，

又于點P,.,.NMPQ=90。，Z2=90°-Z3=90°-55°=35°.故答案為：35.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知a〃8，直角三角板的直角頂點在直線。上，若/1=40。，則/2等于

2.如圖，點8是△ADC的邊AD的延長線上一點,1把〃AC,若NC=50。，NBDE=60°,則/CD8的度

數(shù)等于.

考點三、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

例題：如圖，已知A5〃C。，若4=30。，則ND的度數(shù)為

【解析】如圖，；AB〃CD，；.N2+NO=180。，

VZl=Z2=30°,AZD=180o-Z2=180°-30o=150°,故答案為：150°.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知AB〃CD,ZABD^40°,BE平分/ABC,且交CO于點。，則/C的度數(shù)為

2.如圖，直線AC〃雙入AE平分ZBAC交直線8￡＞于點E,若4=62。，則NA￡E＞的度數(shù)為度.

考點四、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度

例題：如圖，8是/ACB的平分線，DE//BC,ZA￡D=80°,求/ECD的度數(shù).

A

【解析】-.-DE//BC,

:.ZACB=ZAED=80°,

?.?CD平分NACB,

.-.Z￡CD=-ZACB=40°.

2

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，AB//CD,直線E尸分別交A3、CD于點E、F,EG平分/AEF,Zl=3°5,求N2的度數(shù).

2.已知：AB//CD,OE平分ZAOD,。尸,底于。，"=60。，求NBOF的度數(shù).

考點五、平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用

例題：一條古稱在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知4=80°,貝!)/2=

【答案】100

【解析】如圖,

AC

1

2

B

AD

由題意可得:AB//CD,4=80°,

ZBCZ)=Z1=80°,

.".Z2=180o-80°=100o,

故答案為：100.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖為一盞可折疊臺燈及其平面示意圖，其中支架AO與底座OE垂直，支架AB,為固定支撐桿,

當(dāng)燈體與底座OE平行時，/840=138。，/BCD=154。,則—3的度數(shù)為

2.光在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當(dāng)光線從空氣射向水中時，會發(fā)生折射，如圖，在空氣中平行的

兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的，若水面和杯底互相平行，且Nl=122。，則N2=.

考點六、平行線的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用

例題：如圖，點E在上，點尸在CO上，CE、SF分別交AO于點G、H,已知ZA=ZAGE,ZD=ZDGC.

(1)A8與平行嗎？請說明理由；

⑵若N2+4=180。，且/3￡C=2/3+30。，求NC的度數(shù).

【解析】(1)AB//CD,理由如下：

VZA=ZAGE,ZD=ZDGC,又,：ZAGE=NDGC,：.ZA=ZD,：.AB//CD■,

(2)VZ2+Z1=18O°,ZCGD+Z2=180°,

AZi=ZCGD,：.CE//BF,：.ZC=ZBFD,NBEC+NB=180。,

,?NBEC=2/3+30°,/.NBEC+ZB=2ZB+30°+ZB=3NB+30°=180°,AZB=50°,

'：AB//CD,；.ZB=ZBFD,/.ZC=ZB=50°.

【變式訓(xùn)練】

1.已知AB〃C?，點E是A3上一點，EM平分—MD交8于點Af.

(2)如圖2,若平分NEMC,ENLEM,ZBEN=30°,判斷與DE之間的位置關(guān)系，并說明理由.

2.如圖，己知AB〃OC,AD〃BC,"CE=90。，點￡在線段AB上，N/CG=90°,點尸在直線AT)上,

ZAHG=90°.ZECF=6Q°.

⑴求證：ZB=ZD；

(2)如圖，當(dāng)點尸在線段AD上時，求N3CD的度數(shù)；

(3)在點C運動過程中，點C(點C不與點2、反重合)從點B出發(fā)，沿射線BG的方向運動，其他條件不

變，請求出ZBAb的度數(shù).

考點七、根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定探究角的關(guān)系

例題：如圖，已知加0〃8N,NA=64。.點P是射線AM上一動點(與點A不重合)，BC、8。分別平分

ZABP^ZPBN,分別交射線AM于點C,D.

⑴NABN的度數(shù)是

⑵求/C8O的度數(shù)；

(3)當(dāng)點尸運動時，/AP8與/AOB之間的數(shù)量之比是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系,

并說明理由：若變化，請寫出變化規(guī)律.

【解析】(1)\'AM//BN,ZA=64°,：.ZABN=1SO0-ZA=116°,故答案為116。；

(2)'CAM//BN,：.ZABN+ZA=]S0°,

：./ABN=180°-64°=116°,Z.ZABP+ZPBN^U60,

平分NABP,BD平分■/PBN,；./ABP=2/CBP,ZPBN=2ZDBP,

：.2ZCBP+2ZDBP=116°,/.NCBD=NCBP+/DBP=58°；

(3)不變，ZAPB=2ZADB,理由如下：

'JAM//BN,：.ZAPB=ZPBN,ZADB=ZDBN,

,:BD平分NPBN,：.ZPBN=2ZDBN,：.ZAPB=2ZADB.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，己知連接AD,8c.AE,CE分別是NBAANBC。的角平分線(點E在平行線鉆、CD

之間)，已知4DC=54。，

2.把一塊含60。角的直角三角尺EFG(其中NEFG=90。，NEGb=60。)按下圖所示的方式擺放在兩條平

行線AB,CD之間.

(1)如圖1,若三角形的60。角的頂點G落在8上，且N2=N1,則N1的度數(shù)為.

(2)如圖2,若把三角尺的直角頂點產(chǎn)放在CD上，30。角的頂點E落在上，則/AEG與尸G的數(shù)量

關(guān)系為.

?過關(guān)檢測

一、選擇題

1.如圖，直線轉(zhuǎn),。被直線E尸所截，AB//CD,Zl=61°,則N2的度數(shù)為()

E

\2

C------------V-D

A.109°B.119°C.129°D.139°

2.如圖，已知AB〃CD,Zl=109°,Z2=120°,則/EFC的度數(shù)是（）

3.如圖，AC//DF,AB〃EF,點、D、E分別在A3、AC上，若N2=50。，則N1的大小是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.如圖，直線加〃明點A在直線〃上，點B在直線機上，連接AB,過點A作ACLAfi,交直線，"于點C.若

/1=50。，則N2的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

5.如圖，一條街道有兩個拐角/ABC和ZB8,已知AB〃CD,若ZABC=150°,則NBCD的度數(shù)是（）

C.130°D.150°

二、填空題

6.如圖，若IJAJJ/L，若Nl=116。，則N2的度數(shù)為

ZC=40°,BE//CD,則

9.如圖，含有30。角的直角三角板的兩個頂點區(qū)尸放在一個長方形的對邊上，點E為直角頂點,

Z￡FG=30°,延長EG交8于點P,如果/1=65。，那么/2的度數(shù)是

10.一副直角三角尺如圖1疊放，現(xiàn)將含45。的三角尺ADE固定不動，將含30。的三角尺A3C繞頂點A順

時針轉(zhuǎn)動，要求兩塊三角尺的一組邊互相平行.如圖2,當(dāng)/BAD=15。時，有一組邊BC〃DE,再繼續(xù)轉(zhuǎn)

動三角尺ABC的過程中，請你寫出符合要求的13AD（15。＜/區(qū)4。＜180。）的度數(shù)是,.度.

A

圖2

11.如圖，EF//AD,Z1=Z2,ZBAC=1O°,將求ZAGD的過程填寫完整.

因為￡F〃AD,所以N2=(),

又因為Nl=/2,

所以/1=N3(),

所以ABP(),

所以/BAC+=180°(),

因為ZB4C=70。，所以/AG￡)=.

12.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZBAD=102°.

⑴求23的度數(shù)；

⑵若AE平分1540交BC于點E,/BCD=51。,試說明AE〃DC.

13.已知：如圖，AB//DC,AC和80相交于點。，E是CD上一點，尸是0D上一點，且4=44.

(1)求證：FE//OC；

⑵若ZB=40°,Z1=60°,求ZOFE的度數(shù).

14.如圖，已知點￡、P在直線AB上，點G在線段8上，ED與FG交于點H,ZD+ZAED=180°,

NC=NEFG.

M

⑴求證：AB//CD；

(2)若NCED=75。，求ZfWD度數(shù).

15.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線AB〃CD,E是A5與8之間的一點，連接BE,CE,可以發(fā)現(xiàn)

NB+NC=NBEC.

請把下面的證明過程補充完整：