階段滾動卷（二）（范圍：第一?六單元）

（分值:150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

“2025?合肥模擬］已知復數(shù)z滿足z（l+i）=2i,則z在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.［2025?濰坊模擬］已知集合4={邛。83（2%+1）=2},集合B={2,a},其中a@R.

若AU3=3,則a=（）

A.lB.2

C.3D.4

3.［2025?東北師大附中模擬］已知函數(shù)於）是定義在R上的奇函數(shù),且當x<0時，段）

若火3）=-8,則。=（）

A.13B.3

11

C.gD.—

4.［2024?南京六校聯(lián)考］若非零向量a,b滿足⑷=步|,（a+2&）±a,則向量a與b

的夾角為（）

兀兀

A6B-3

2兀5兀

C.vD."7"

3o

5.［2025?湖北七市聯(lián)考］已知公差為負數(shù)的等差數(shù)列{斯}的前n項和為Sn,若的，

。4,。7是等比數(shù)列，則當5取最大值時，〃=（）

A.2或3B.2

C.3D.4

,1,a-t心3兀171rl1+sin20

6.[2024?九省聯(lián)考]已知6G（z，兀），tan26=—4tan（e+?，則2cosz^+sin2，=（）

1

A-4B-4

3

C.lD，2

7.［2025?北京順義區(qū)模擬］設x,y^l,a>l,b>l,若/=夕=3,a+b=2小,則!+

:的最大值為（）

3

A.2B，2

1

C.lD，2

8.［2025?鎮(zhèn)江模擬］“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指

圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構成的方尺，是古人用來測量、畫圓

和方形圖案的工具.敦煌壁畫就有伏羲女蝸手執(zhí)規(guī)矩的記載（如圖（1））.今有一塊圓

形木板，以“矩”量之，如圖⑵.若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板,

且這塊四邊形木板的一個內角a滿足cos?=|,則這塊四邊形木板周長的最大值

為（）

圖⑴圖⑵

A.20cmB.2（hj2cm

C.2OJ3cmD.30cm

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

7T

9.［2025?煙臺模擬］已知函數(shù)段）=Asin（0x+°）（A>0,co>0,|例<］）的部分圖象如

圖所示，則下列說法正確的是（）

A.A=2,a>=2,9=]

7T

B.函數(shù)人》一壽的圖象關于坐標原點對稱

c.函數(shù)而0的圖象關于直線％=—皆17兀對稱

7T7T

D.函數(shù)火》)在(一五，彳］上的值域為(1,2］

10.［2025?哈爾濱模擬］已知等差數(shù)列｛斯｝的首項m=l,公差d=6,在｛斯｝中每相

鄰兩項之間都插入左個數(shù),使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列｛瓦"

下列說法正確的有()

A.Q〃=6〃一5

B.當&=2時,bn=2n—l

C當左=2時,歷9不是數(shù)列｛%｝中的項

D.若於是數(shù)列｛呢｝中的項，則上的值可能為6

Y

口.［2025?武漢模擬］已知函數(shù)五x)=—萬，則下列說法正確的是()

A./(x)的極值點為(1,—1)

B.7(x)的極值點為1

14-

C.直線丁=.一二是曲線y=/(x)的一條切線

D<x)有兩個零點

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.［2024.北京東城區(qū)一模］已知角a,6的終邊關于直線y=x對稱，且sin(a—份

則a,4的一組取值可以是a=,B=.

13.［2024?廣東六校聯(lián)考］如圖放置的邊長為2的正方形ABCD,頂點A,D分別在

x軸，y軸正半軸(不含原點)上滑動，則猿?沆的最大值是.

e'—x0

14J2024.宜昌模擬］函數(shù)加)=:若關于x的不等式

、(.ci2)x~\2a,X\：0,

五x)20的解集為[―2,+8),則實數(shù)。的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.(13分)[2025?溫州模擬]已矢口函數(shù)加)=%(尤—3>,xG[l,a].

(1)若加0不單調，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若兀r)的最小值為#a),求實數(shù)a的取值范圍.

16.(15分)[2025?開封模擬]記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

bcosA=-\]2asmB.

(1)求sinA.

(2)若。=小，再從條件①、條件②、條件③中選擇一個條件作為已知，使其能夠

確定唯一的三角形，并求△ABC的面積.

條件①：b=y/6c-,

條件②：b=乖;

條件③：sinC=1.

注：如果選擇的條件不符合要求，第⑵問得0分；如果選擇多個符合要求的條件

分別解答，按第一個解答計分.

17.(15分)[2025?三明模擬]定義Gn=

生土四土用二土以為數(shù)列｛為｝的“勻稱值”，若數(shù)列｛斯｝的“勻稱值”為2.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式;

2

nan,n為奇數(shù),

⑵設bn=\Qn｛仇｝的前幾項和為S",求S20.

〃為偶數(shù),

yz+2'

18.(17分)[2025?西安質檢]已知函數(shù)八x)=lnx+af+(a+2)龍.

(1)討論人x)的單調性；

2

(2)當。＜0時，證明：2.

19.(17分)[2024.杭州模擬]平面內的“向量列”｛詼｝,如果對于任意的正整數(shù)n,

均有an+x-an=d,則稱此“向量列”為“等差向量列”，d稱為“公差向量”.

平面內的“向量列”｛瓦｝,如果岳W0且對于任意的正整數(shù)n,均有bn+i=

切瓦(qWO),則稱此“向量列”為“等比向量列”，常數(shù)q稱為“公比”.

⑴如果“向量列”｛?｝是“等差向量列”，用⑶和“公差向量”d表示ai+公+…

(2)已知｛斯｝是“等差向量列”，“公差向量"d=(3,0),?i=(l,1),an=(xn,

%)；｛瓦｝是“等比向量列”，“公比"q=2,Z>i=(l,3),—底).求的?歷+

。2?岳H---\~an-bn.

參考答案

l.A［=3=二;=l+i,即復數(shù)z對應的點為(1,1),在第一象

1+1(1(+二1)、(1—1)

限.故選A.］

2.D［法一(直接法)由2x+l=32,得x=4,所以A={4}.由AUBMB,得AG3,

所以a=4,故選D.

法二(排除法)由2x+l=32,得x=4,所以A={4},。=1時，AU3={1,2,

4}#B,排除A；a=2時不滿足集合元素的互異性，排除B；a=3時，A^B={2,

3,4}W&排除C.故選D」

3.B［因為函數(shù)人x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以五3)=一五-3),又五3)=—8,

所以五—3)=8,又當x<0,火%)=f+3,所以五一3)=(—3)2+喂=8,解得。=

3.故選B.］

4.C［因為(a+2〃)_La,所以(a+2b>a=a2+2a.b=|aF+21M叫cos(a,b)=0,

又|a|=|Z>|,所以MF(1+2COS(a,b))=0.

因為a,8均為非零向量，

所以cos(a,b)=一；,

2兀

則向量a與8的夾角為竽故選C」

5.B［設等差數(shù)列的公差為d(d<0),則由的，。4,。7是等比數(shù)列，得3+342=3

+2①(〃i+6①，整理得d(2〃i+3①=0,所以2〃i+3d=0,即QI=—/d,所以*

72(九—1)dd

=nai+—F——2=呼2—2而=5(九一2)2—2d.因為d<0,所以當九=2時，S”取得

最大值一2d.故選BJ

6.A［因為。￡(金5i),所以tan6G(—l,0).由tan20=TtanG+g)得］_：*2°=

-3"?化簡整理得2tan26+5tan8+2=0,

1—tan0

解得tan0=-2(舍去)或tan9=—

l+sin2。_______(sin8+cos9)2sin8+cos6tan)+11

2cos2。+sin2。2cos0(sin8+cos8)2cos024,JA.］

7.C[Vx,a>l,b>l,爐=夕=3,.*.x=log?3,y=log/73,

11a~\~b92\/37

2

?--+-=logstz+log3Z?=log3ab<log3(-^-)=log3(2)=1，

當且僅當a=Z?=#,x=y=2時取等號，.,.(：+；)max=l.故選c.]

8.D[由題圖(2)得，

圓形木板的直徑為

■\/102+52=5小(cm).

設截得的四邊形木板為ABCD,ZA=a,AB=c,BD=a,AD=b,BC=n,CD

=m,如圖所示.

3

由cosa=5且0<a<兀

可得sin1—cos2a=5,

在△A3。中，由正弦定理得小々=54，

解得<2=4^5.

在△A3。中，由余弦定理，

得a2=b2-\-c2—2Z?ccosa,

22

業(yè)29.96.916..916(Z?+c)(b+c)

所以80=/?2+C2~~^bc=(b+c)2—~^bc2(b+c)2—5X---------=---------,

即3+C)2W400,可得0VZ?+CW20,

當且僅當b=c=10時等號成立.

在△5CD中，NBCD=7i—a,

由余弦定理可得

80=a2=/+〃2—2nmeos(?！猘)

=m2-\-n2

44(m+n)24(m+n)2

=(m+?)2—5mn^(m+n)2—

45

即（m+〃）2W100,即0<M+MW10,

當且僅當m=n=5時等號成立，

因此，這塊四邊形木板周長的最大值為30cm.故選D.]

9.ABC[A選項：設火x）的最小正周期為T,

由圖象知A=2,五一

所以7=77=兀，得①=2.

CO

77T77171

當兄=記時，函數(shù)八工）取得最小值，則2義記+e=2E—]（左￡Z）,

即夕=2也一,兀（炸Z）,

7T7T

又則當左=1時，9=]符合題意.

7T

所以A=2,8=2,（p=y所以A正確；

JIJI'\I

B選項：Hx—d）=2sin[2（x—d）+w]=2sin2x為奇函數(shù)，所以B正確；

7T7T

C選項：令2x+1=for+]（左GZ）,解得

x=5^+75'（^ez）,所以函數(shù)次x）圖象的對稱軸方程為x=W+^a?Z）,

17兀

當％=—3時，％=一五，所以C正確；

JT7T

D選項：因為xG（一記，浦，

入7in

2無￡（z一不可

_,兀，兀5兀

2X+]?（4，y],

兀1

所以sin（2x+w）?1],

所以2],所以D不正確.

故選ABC.]

=

10.ABD[對A,an1+6（n—1）=6〃-5,故A正確；

對B,當左=2時，｛d｝公差d=|=2,此時為=1+2（〃一1）=2〃一1,故B正確；

對C,當k=2時兒=2〃一1,此時"9=2X19—1=37,07=6X7—5=37,即加9

是數(shù)列｛斯｝中的項，故C錯誤；

對D,當％=6時，bi=ai,又。2=歷+6+1=。8,故D正確.故選ABD.]

Y%----]

H.BC[對A：因為火x）=一3，所以〃x）=h，令〃x）<°，得工<1；令/（x）>。，

得x>l,

所以/（X）在（一8,1）上單調遞減；在（1,+8）上單調遞增.

可知7U）在x=l處取得唯一極小值，也是Hx）的最小值，所以Hx）的極值點為x=

1,故A錯誤，B正確；

2171

對C：因為火2）=一空，/（2）=空，所以火工）在x=2處的切線方程為丁+二=空（%一

14

2）,即:y=/x—故C正確.

對D：因為人0）=0,火1）=—；<0,結合人勸在（一8,1）上的單調性，可知尤=0

一x

是兀0在（一8,1）上的唯一零點；當X>1時，廿>0恒成立，故人x）=—￡<0恒成

立.

所以Xx）在（1,+8）上沒有零點；綜上：五X）只有一個零點，故D錯誤.故選BC.]

12宗答案不唯一）全答案不唯一）[因為角a,4的終邊關于直線尸x對稱，則

兀兀

a+￡=]+2E,則?=2—￡+2%兀，

|_7171I

因為sin（a—夕）=1,所以sin（5—￡+2hr—.）=sin（5—2￡+2hi）=cos2￡=萬，

TTTTTTTT

則2￡=1+2防I或2s=—1+24兀，解得夕=5+左兀或￡=一不+防i,左QZ,

TT7T

取左=0,4的一個值可以為不a的一個值可以為手答案不唯一）.]

13.8[法一設A（x,0）,￡）（0,y）,x>0,y>0,則x2+y2=4,B（x+y,x）,C（y,

x+y）,

于是05。。=(%+丁，%＞(y,x+^)=x2+2xy+^2^2(x2+^2)=8,

當且僅當x=y=加時等號成立.

7T

法二令/。4。=仇0＜。＜5),

71

則N5Ax=1—6.

由于AO=2,

故。4=2cos/OD=2sin9.

由于AB=2,

兀兀

則XB=2COS。+2cos(］—。)=2cos0+2sin仇”=2sin(1—e)=2cos0,

故OB=(2cos。+2sin仇2cos8).

同理可求得C(2sina2cos6+2sin0),

即沆=(2sina2cos0+2sin0,

所以礪沆=(2cos8+2sine,2cos8).(2sin仇2cos6+2sin6)=4+4sin20

當時，礪沆取得最大值81

-2-

14.［。，［由題意知，當x?(—8,—2)時，汽x)<0；

當%￡［-2,0］時,?^0；

當%e(0,+8)時,兀c)20.

當xWO時，?=-(X+2)(X-G)^0,

則(x+2)(x—a)WO,因解集為［—2,+℃),

故工+220,則％—oWO,a^x,此時％W0,

故心0；

當x>0時，於)》。?^一〃%22。，

當a=0時，顯然成立；

1v2

當a>0時，?一加三。一三

0ci1e,

x22x—x2

令g(x)=￡(x>0)，則g'(x)=e',

所以g(x)在(0,2)上單調遞增，在(2,+8)上單調遞減,

4

所以g(￡)max=g(2)=E，

142

所以》/今〈。?工e.

7ac0

-2一

綜上，實數(shù)a的取值范圍為[0,7J-]

15.解(1).."0)=/—6/+9x,

：.f(x)=3X2-12X+9=3(X-1)(X-3),

當1<%<3時，/(x)<0,當x>3時，/(x)>0,

...加0在(1,3)上單調遞減，在(3,+8)上單調遞增,

又火工)不單調，工￡[1,〃],?\〃>3.

故實數(shù)。的取值范圍為(3,+8).

(2),?VU)的最小值為八〃)，???由(1)中八外的單調性可知，l<aW3.故實數(shù)a的取值范

圍為(1,3].

16.解(1)由AcosA=d^QsinB,結合正弦定理，

得sinBcosA=^/2sinAsinB,

因為sin5W0,所以tan4=羋>0,所以sinA=當且A為銳角.

(2)若選條件①：

由sinA=坐得cosA=坐，

將已知代入a2=b2+c2—2bccosA,得3=6c2+c2—4c2,解得c=l,則b=y[6,

△A3C唯一確定，

、1A/2

所以S/\A3C=]0csinA=2.

若選條件②：將已知代入‘j=4,得sinB=^宵,

sinAsmB33

因為5=，%>V§=a>5sinA=6，所以三角形有兩個，不符合題目要求.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分.

若選條件③：

,..^3BV6.^3.1

由sinA—3TTCOSA—sinA—>sinC—3,

得A>C,

所以cosc=平,

所以sinB=sin(A+Q=sinAcosC+cosAsinC=^,ZXABC唯一確定,

將已知代入焉=卷，得°=1，

，S"=gacsinB=坐.

471+2。2+3。3+"?+〃。"

17.解(1)因為-----------n----------=2

所以t?i+2a2+3。3+…+〃?！?2〃.

當77=1時，0=2.

=

當時，由m+2a2+3。3+…+”。”=2”得ai+2a2+3的+…+("-V)an-\2(n

—I),

上述兩個等式作差得〃斯=2,

2

即斯=7〃三2),

2

又因為ai=2滿足an=~,

2

所以數(shù)列｛斯｝的通項公式為a“=]”GN*).

2

(2)因為an=~,

2n,〃為奇數(shù),

所以瓦二j2

，力為偶數(shù).

n(n+2)

所以520=(2+6+…+38)+

'222](2+38)X10

=

2X4+4X6HH20X22J24

11,11,,

、2一4+4-6+…+2022)

,112205

=200+2—22=.

18.(1)解；Ax)=ln尤+af+(a+2)x,定義域為(0,+?=),

=

f(x)~X~\~2ax~\~a~\~2

2加+(〃+2)x+1(2x+1)(ox+1)

XX

（x＞0）,

①當〃三。時，/（x）＞0,加0在（0,+8）上單調遞增;

②當。＜0時，當x?（0,一%時，〃x）＞0,

人x）在（0,一%上單調遞增，

當xG（一+8）時，人為＜0,

?￥）在（一：，+8）上單調遞減.

綜上，當時，汽X）在（0,+8）上單調遞增；

當a＜Q時，_Ax）在（0,一%上單調遞增，

在（一5，+8）上單調遞減.

（2）證明由（1）可得，當。＜0時，

Hx）max=/（一5）

1.1〃+2

=皿一產廠丁

11

=ln(x—aa1.

22