13.3.2等邊三角形第1課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)和判定教學(xué)目標(biāo)課題13.3.2第1課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)和判定授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.探索等邊三角形的性質(zhì)和判定方法，提高推理能力.2.合理利用等邊三角形的性質(zhì)和判定方法解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識.教學(xué)重點(diǎn)探究等邊三角形的性質(zhì)與判定方法,并進(jìn)行簡單的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)等邊三角形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用.教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：創(chuàng)設(shè)情境，引入新知設(shè)計(jì)意圖通過回顧等腰三角形的知識，為后面的探究學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】我們知道，等邊三角形是三邊都相等的特殊的等腰三角形.回顧前面課時(shí)的內(nèi)容，試著填一填下面的表格.那等邊三角形又有什么特殊的性質(zhì)呢？讓我們開始今天的學(xué)習(xí).【教學(xué)建議】回顧完等腰三角形的相關(guān)知識后，可任意畫一個(gè)等邊三角形，讓學(xué)生說說它的腰和底，讓學(xué)生體會等邊三角形的特殊性.活動二：運(yùn)用舊知，推理新知設(shè)計(jì)意圖由等腰三角形的性質(zhì)得出等邊三角形的性質(zhì)，加強(qiáng)推理能力.探究點(diǎn)等邊三角形的性質(zhì)和判定問題1把等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形，能得到什么結(jié)論？（1）從邊的角度比較兩者，等邊三角形的三條邊有什么數(shù)量關(guān)系？由定義可知：等邊三角形的三條邊都相等.幾何語言：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC.（2）從角的角度比較兩者，等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角有什么數(shù)量關(guān)系？角度是多少？你能得到什么結(jié)論？試著證明下.【教學(xué)建議】等邊三角形的每一條邊都可以作為底或腰，每一個(gè)角都可以作為頂角或底角，讓學(xué)生根據(jù)不同的劃分方式，自然地找出更多的等量關(guān)系，推理出等邊三角形的各種特殊性質(zhì).教學(xué)步驟師生活動設(shè)計(jì)意圖探索等邊三角形的判定方法，加強(qiáng)推理能力.結(jié)論：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.已知：AB＝AC＝BC，求證：∠A＝∠B＝∠C＝60°.證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等邊對等角)．同理∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.(3)從“三線合一”的角度比較兩者，等邊三角形的“三線”有怎樣的關(guān)系？等邊三角形有幾條對稱軸？等邊三角形每條邊上的中線、高和所對角的平分線都“三線合一”．等邊三角形有三條對稱軸．(4)結(jié)合以上幾點(diǎn)，請你完成下面的表格內(nèi)容.問題2通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道從邊的角度可以判斷一個(gè)三角形是等邊三角形，那么從角的角度如何判斷呢？(1)通過上面性質(zhì)的學(xué)習(xí)，我們很容易聯(lián)想到：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．已知：如圖，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.求證：△ABC是等邊三角形．證明：由∠A＝∠B，得BC＝AC.由∠B＝∠C，得AC＝AB.所以AB＝AC＝BC.所以△ABC是等邊三角形．(2)對于一個(gè)等腰三角形，如果有一個(gè)角是60°，那么它是等邊三角形嗎？有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝60°，求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝60°，∴60°＋2∠B＝180°.∴∠B＝60°.∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.由(1)中結(jié)論可知，△ABC是等邊三角形.【教學(xué)建議】為了說明有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，除了由頂角∠A＝60°證得結(jié)論外，還需由底角∠B＝60°(或∠C＝60°)證得△ABC是等邊三角形，教師可根據(jù)課堂教學(xué)情況，選2位學(xué)生分別上臺板演另外兩種情況的證明．教學(xué)步驟師生活動【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P80練習(xí)第1～2題．活動三：鞏固提升，綜合運(yùn)用設(shè)計(jì)意圖與其他知識結(jié)合，加強(qiáng)對等邊三角形的性質(zhì)和判定的掌握.例(教材P80例4)如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴∠A＝∠ADE＝∠AED.∴△ADE是等邊三角形.追問：想一想，本題還有其他證法嗎？證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C，∠A＝60°.∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED.∴∠ADE＝∠AED.∴AD＝AE(等角對等邊).∴△ADE是等腰三角形.又∠A＝60°，∴△ADE是等邊三角形.【變式訓(xùn)練】變式1若點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC的延長線上，且DE∥BC，結(jié)論還成立嗎？解：成立．理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°.∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED.∴∠A＝∠ADE＝∠AED.∴△ADE是等邊三角形.變式2若點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC的反向延長線上，且DE∥BC，結(jié)論依然成立嗎？解：依然成立．理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠B＝∠D，∠C＝∠E.∴∠D＝∠E＝∠BAC＝∠DAE.∴△ADE是等邊三角形.【教學(xué)建議】給學(xué)生說明，等邊三角形中角的等量關(guān)系經(jīng)常與平行線的性質(zhì)結(jié)合，通過同位角(內(nèi)錯(cuò)角)相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而得到新的等量關(guān)系，以此來判定其他三角形是等邊三角形.活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.等邊三角形有什么特殊性質(zhì)？2.怎樣判定一個(gè)三角形是等邊三角形？【知識結(jié)構(gòu)】教學(xué)步驟師生活動【作業(yè)布置】1.教材P83習(xí)題13.3第12，14題.2.《》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)13.3.2等邊三角形第1課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)和判定 1.等邊三角形的性質(zhì). 2.等邊三角形的判定.教學(xué)反思本節(jié)課利用等腰三角形的知識，推出等邊三角形的特殊性質(zhì)和判定方法，鞏固了學(xué)生舊知的同時(shí)，也提升了學(xué)生的推理能力，并讓他們掌握了有關(guān)等邊三角形的新知識．部分學(xué)生在推導(dǎo)等邊三角形的性質(zhì)和判定方法時(shí)，依靠直觀感受，欠缺用數(shù)學(xué)知識嚴(yán)格推理的理念，今后要對他們的思維習(xí)慣進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo).解題大招一利用等邊三角形求角度等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都為60°.解題時(shí)要仔細(xì)觀察圖形特點(diǎn)，結(jié)合其他條件靈活解題．看到垂直可想到互余，看到三角形可想到三角形內(nèi)角和定理及外角．有時(shí)題目未直接給出等邊三角形，需要先判定三角形是等邊三角形再解題．例1如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)C在直線b上，若∠1＝42°，則∠2的度數(shù)為（B）A．92°B．102°C．112°D．114°解析：如圖，設(shè)AB，AC分別交直線a于點(diǎn)D，E.∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°.又∠ADE＝∠1＝42°，∴∠DEC＝∠ADE＋∠A＝102°.又a∥b，∴∠2＝∠DEC＝102°.故選B.例2如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點(diǎn)A，再以點(diǎn)A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)B，畫出射線OB，則∠AOB＝（C）A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如圖，連接AB，根據(jù)題意得OB＝OA＝AB，∴△AOB是等邊三角形．∴∠AOB＝60°.故選C.解題大招二利用等邊三角形求線段長等邊三角形的三條邊相等．實(shí)際解題時(shí)，常常需將等邊三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合起來，先判定三角形是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解．判定等邊三角形的關(guān)鍵是找出題中的相等線段和60°角．例3由于木質(zhì)衣架沒有柔性，所以在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作．小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，套進(jìn)衣服后松開即可．如圖①，衣架桿OA＝OB＝18cm.若衣架收攏時(shí)，∠AOB＝60°，如圖②，則此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是（C）A．9cmB．16cmC．18cmD．20cm解析：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形．∴AB＝OA＝OB＝18cm，故選C.例4如圖是一個(gè)殘缺不全的三角形紙片，小明通過測量發(fā)現(xiàn)AB＝10cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，則三角形紙片破損前的周長為30cm.解析：如圖，延長AC，BD相交于點(diǎn)E.∵∠CAB＋∠DBA＋∠E＝180°，∠CAB＝∠DBA＝60°，∴∠E＝60°.∴∠CAB＝∠DBA＝∠E.∴△ABE為等邊三角形．∴AE＝BE＝AB＝10cm.∴△ABE的周長＝AE＋BE＋AB＝30cm，即三角形紙片破損前的周長為30cm.例5將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點(diǎn)B，C對應(yīng)的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為2cm.解析：∵直尺的兩對邊相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－60°－60°＝60°.∴∠A＝∠ABC＝∠ACB.∴△ABC是等邊三角形．∴AB＝BC＝3－1＝2(cm)．例6如圖，在△ABC與△DBC中，AB＝AC＝10cm，DB＝DC，連接AD交BC于點(diǎn)E.若∠ABC＝60°，求BE的長．解：∵AB＝AC＝10cm，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴BC＝AB＝AC＝10cm.∵AB＝AC，DB＝DC，∴點(diǎn)A，D都在BC的垂直平分線上．∴AD是BC的垂直平分線．∴BE＝eq\f(1,2)BC＝5cm.培優(yōu)點(diǎn)等邊三角形、全等三角形的綜合問題例1如圖，C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E，BM交NC于點(diǎn)F.求證：(1)AN＝BM；(2)△CEF為等邊三角形．分析：證明：(1)∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°.∴∠ACM＋∠MCN＝∠NCB＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB.在△ACN和△MCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝MC，,∠ACN＝∠MCB，,NC＝BC，))∴△ACN≌△MCB(S