武漢市第四十九中學高一五月月考數(shù)學試卷

總分：150分時間：120分鐘

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知直線相，“，平面a,P，若a/",wca,nc/3,則直線相與"關系是（）

A.平行B.異面

C.相交D.平行或異面

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)兩平面平行的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】若a/?,則a內(nèi)的直線與月內(nèi)的直線沒有交點，

所以當〃zua,wu￡,則直線機與〃的關系是平行或異面.

故選：D

2.下面描述中，不是棱錐的幾何結構特征的為

A.三棱錐有四個面是三角形

B.棱錐都有兩個面是互相平行的多邊形

C.棱錐的側面都是三角形

D.棱錐的側棱交于一點

【答案】B

【解析】

【詳解】根據(jù)棱錐的定義可知B錯誤，棱錐的任何兩個面都不平行.

考點：棱錐的結構特征.

3.如圖所示，如果菱形ABC。所在的平面，那么腸1與8。的位置關系是

A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直

【答案】C

【解析】

【分析】由題意結合線面垂直的判定定理和線面垂直的定義即可確定MA與BD的位置關系.

【詳解】是菱形A8C￡＞的一條對角線，菱形對角線互相垂直，

：.AC±BD.

平面ABCD,

：.MC±BD,

和AC相交于點C,

平面ACM,

平面AMC,

：.MA±BD.

又：MA與8。是異面直線，

：.MA與BD的位置關系是垂直但不相交.

故選C.

【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理及其應用，異面直線的概念等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力

和計算求解能力.

4.如圖，四棱錐尸―A3CD,ACC\BD=O,M是PC的中點，直線40交平面P3Z）于點N,

則下列結論正確的是

A.O,N,P,M四點不共面B.O,N,M,D四點共面

C.三點共線D.P,N,O三點共線

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)公理一、二、三逐一排除即可.

【詳解】直線AC與直線P0交于點。，所以平面PCA與平面PBD交于點0,所以必相交于直線P0,直

線AM在平面PAC內(nèi)，點NeAM故Ne面PAC,故O,N,P,M四點共面，所以A錯.

點D若與M,N共面，則直線BD在平面PAC內(nèi)，與題目矛盾，故B錯.

0,M為中點，所以OM//PA,ONnPA=P,故ONcOM=O,故C錯.

故選D.

【點睛】本題屬于中檔題，考查公理一、二、三的應用，學生不易掌握，屬于易錯題.

5.已知圓錐的底面半徑為3,其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為()

A.6島B.9扃C.12石兀D.276兀

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐側面展開圖的形狀先求出圓錐的母線，然后求出半徑，再由圓錐的體積公式進行求解.

【詳解】設母線長為/，依題意得，4=271x3,解得/=6,于是圓錐的高為,62—32=36，

根據(jù)圓錐的體積公式，其體積為：71X32X3T3X1=9A/3TI.

6.在正方體ABC。—A與G。中，E,尸分別為8月，3c的中點，則直線所與AG所成的角為

()

兀7T兀兀

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】c

【解析】

【分析】取A3的中點G,連接GE、GF,連接AC,可得或其補角為異面直線所與AG所成的

角，由AEEG為正三角形，即可求得直線所與4G所成的角.

如圖，取A3的中點G,連接GE,GF,連接AC,

因為GF分別為A3,5c的中點，

所以GE//AC,

又在正方體A3CD—4片。12中，AC//AC1，

所以GF//AG，

則NEFG或其補角為異面直線跖與AC所成的角，

因為ABC。-A4G2為正方體，

7T

則△EFG為正三角形，所以NEfG=—,

3

TT

故直線所與AG所成的角為孑.

故選：c.

7.在邊長為1的正方體ABCD-AgGA中，點”，N分別為AB，3c的中點，則直線MN與平面

所成角的大小為（）

【答案】A

【解析】

【分析】由正方體性質(zhì)可得A，J_平面。賓，可得NACO為直線與平面所成角，即求.

【詳解】如圖，連接AC,A￡）］交4。于。，連接。C,

:點/，N分別為AB,5c的中點，

C.MN//AC,

由正方體的性質(zhì)可知。。，平面4。24，

CD,A￡>i又AR，4?？?。。=。，

/.A，_1_平面。*,

：.NACO為直線AC與平面DC\所成角，也即為直線MN與平面DC\所成角，

在直角三角形ACO中，AO=—,AC=42

2

71

：.ZACO=-.

6

故選：A

8.如圖，在正方體—中，M,N,P分別是GA，BC，AA的中點，有四個結論:

①AP與CM是異面直線;

②AP,MN,￡>A相交于一點；

③過A,M,P的平面截正方體所得的圖形為平行四邊形;

④過A,M,N的平面截正方體所得的圖形為五邊形；

其中錯誤的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由空間中直線與直線，直線與平面的位置關系依次判斷即可.

【詳解】對于①，連接AC,PM，AG，如圖所示：

由",p分別是GA,42的中點，可得尸河//AG//AC，

可得AP與CM共面，故①錯誤；

對于②，因為APu平面平面ACMP,M?AP,N?平面AQV0,

所以由異面直線的定義可得，

AP與是異面直線，則AP,MN,D￡>i不相交于一點，故②錯誤；

對于③，由①知，過A,M,P的平面截正方體所得的圖形為四邊形ACMP,

而1PMi=g|AC|,故四邊形ACMP不是平行四邊行，故③錯誤；

對于④,取|3=3《目,|4耳=3%耳,

則過A,M,N的平面截正方體所得的圖形為五邊形4VEMF7,故④正確.

故選：c

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.

9.下列說法正確的是（）

A.過平面外一點作這個平面的平行線是唯一的B.過平面外一點作這個平面的垂線是唯一的

C.過直線外一點作這條直線的垂面是唯一的D.過直線外一點作這條直線的平行平面是唯一的

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)線面位置關系逐一判斷各個選項即可.

【詳解】對于A,過平面外一點作這個平面的平行線有無數(shù)條，故A錯誤

對于B,過平面外一點作這個平面的垂線是唯一的，故B正確；

對于C,過直線外一點作這條直線的垂面是唯一的，故C正確；

對于D,過直線外一點作這條直線的平行平面有無數(shù)個，故D錯誤.

故選：BC.

10.如圖，正方體ABC。-44G2的棱長為1，線段BQ上有兩個動點E、F,且所=；,則下列結論

中正確的是（）

A.ACVBEB.EF〃平面48c。

C.AE//BFD.三棱錐A-應尸的體積為定值

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)線線、線面垂直、線面平行、錐體體積、異面直線概念等知識對選項進行分析，從而確定正

確答案.

【詳解】A選項，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知AC1友）；又平面ABCD,ACu平面

故ACL54，由于BDcBg=3,3D,u平面冉，所以AC_L平面臺小2片,

由于5Eu平面,所以ACLBE,所以A選項正確.

B選項，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知跖〃皿，

由于跖平面ABCD,&）u平面ABCD,所以瓦〃平面ABCD,所以B選項正確.

C選項，由于砰u平面,石￡平面3。。14,且EeBE,A在平面8。。1月外,

故AE,5尸為異面直線，C錯誤；

D選項，對于三棱錐A—3上反，三角形5環(huán)的面積為工xLxl=！，為定值，

224

A到平面BEF的距離即為A到平面BDD[B]的距離，為定值1，

2

所以三棱錐A-班下的體積為定值，所以D選項正確.

故選：ABD

11.某學校課外社團活動課上，數(shù)學興趣小組進行了一次有趣的數(shù)學實驗操作，課題名稱“不用尺規(guī)等工具，

探究水面高度”.如圖甲，P-A5CO是一個水平放置的裝有一定量水的四棱錐密閉容器（容器材料厚度不

計），底面A3CD為平行四邊形，設棱錐高為〃，體積為V,現(xiàn)將容器以棱為軸向左側傾斜，如圖乙,

這時水面恰好經(jīng)過CDEb,其中瓦E分別為棱PAP3的中點，則（）

【答案】AC

【解析】

【分析】將四棱錐補成平行六面體，利用棱柱和棱錐的體積公式逐項分析即可.

【詳解】如圖將四棱錐補成平行六面體，設平行四面體的體積為

根據(jù)E,F分別為棱PA,PB的中點，

則S四邊形BCMQ=4S.G，而三棱柱5CG—ADE與平行六面體的高相同,

則VgCG-ADE=WV總

N

根據(jù)四棱錐P—MCD與平行六面體底和高均相同，則總，則3V=丫總

易知Vp-BCG=T匕CG-ADE，

O

則匕K二~7^BCG-ADE=-x-x3V=-V,故A正確，B錯誤,

oo4

/、3V__V3/7

圖甲中上方的小四棱錐高為九，則(&)_K__8__3,則九二上",

7,\7Q2

BC

（甲）

故圖甲中的水面高度為h,故C正確,D錯誤;

故選：AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在正方體ABC。-AgGA中，異面直線4。與所成的角為.

TI

【答案】一

2

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體特征得出線面垂直進而得出線線垂直即可解題.

【詳解】因為ABC?！狝gGA是正方體，所以A3,平面ADu平面AD2A，

7T

所以A3,4。，所以異面直線4。與所成的角為

TT

故答案為：一.

2

13.正方體ABC。-AgG。中，直線AB1與平面A&GC所成的角的大小為.

【答案】30°

【解析】

【分析】根據(jù)線面角的定義作出線面角后求解.

【詳解】如圖，在正方體鉆8-4片￡。中，連接交AC于0,則

又由A4，平面AgC]。],5]2u平面A]gG2,得44,用2,而AG.AAu平面AMC12,且

A41c4G=4,所以與已，平面4442,

所以ZB.AO是直線ABt與平面A&GC所成的角,

正方體ABC?！狝用GA中，△A耳2是正三角形，。是8a中點，

所以N4AO=gNB]ADi=30°,

故答案：30°.

14.已知三棱錐S-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，點A在側面SBC上的射影X是aSBC的垂

心，三棱錐S-ABC的體積為A,則三棱錐S-ABC的外接球半徑等于.

31

【答案】—

18

【解析】

【分析】做輔助線，根據(jù)題意結合垂直關系可證BCJ_AG,同理可得AC，5GA5,CG,可知點G為

VA3C的垂心，即可知點G為VA3C的中心，根據(jù)體積可得PG=3,結合外接球的性質(zhì)列式求解即可.

【詳解】延長S/f交3c于點。，連接AD，

因為點H是ASBC的垂心，則SDLBC,

又因為平面SBC,BCu平面SBC,則AHJ_6C,

且SDIAH=H,SD,AHu平面5AQ,可得BC，平面5A￡>,

由S4,ADu平面5AZ),可得BC，S4,BC±AD,

且底面ABC是邊長為2的正三角形，則點。為5c的中點，

過點S作SG_L平面ABC,垂足為點G,

且3Cu平面ABC,可得SG_L5C,

且ASISG=S,AS,SGu平面&1G,可得3C_L平面&4G,

由AGu平面S4G,可得BCJ_AG,

同理可得AC±BG,ABLCG,可知點G為7ABe的垂心，

因為VA3C為等邊三角形，可知點G為VA3C的中心，

則GeAD,且AG=2AD=^，

33

因為三棱錐S—ABC的體積為，SGxLx2x6=豆，可得SG=3,

32

可知三棱錐S-ABC的外接球的球心OeSG,設三棱錐S-ABC的外接球的半徑為R,

則氏2=3+(3—A)?,解得R=①，

318

31

所以外接球半徑為一.

18

31

故答案為：一.

18

【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法

1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把

空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；

2.正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；

3.球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；

4.利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置,

弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且人？+02一A=".

(1)求角A的大小；

(2)若b=2,sinC=—.

7

(i)求sin5的值；

(ii)求VA8C的面積.

JT

【答案】(1)A=-

3

7->、/.、-n13...、2y/3

(2)(1)sinB=—；(ii)------.

1413

【解析】

【分析】(1)結合余弦定理，即可求解；

(2)(i)結合三角函數(shù)的同角公式，以及正弦兩角和公式，即可求解；

(ii)結合正弦定理，以及三角形的面積公式，即可求解.

【小問1詳解】

已知從+c2-bc=a2，由余弦定理/+02—20ccosA=a2，

則COSA=5，又Ae(O,兀)，則A=§.

【小問2詳解】

171

(i)sinC=—<sinA,由正弦定理有cva,得C<A=—,

73

故cosC=^1-sin2C=，

7

DA

.?/人人?人廠4734/31113

sm3=smA+C=smAcosC+cosAsmC=——x------F—x—=——.

v7272714

(ii)由正弦定理可知，。=史世2=—^2_=曳1,

sin51313

14

故VABC的面積為S=—absmC=—xx2x—=.

入AR,r2213713

16.如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，分別是AB,PC的中點.

(1)求證：〃平面HV)；

(2)設平面PBCn平面24。=/,求證：WBC.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)通過構造平行四邊形的方法證得肱V〃平面K4Z).

(2)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證得〃/3C.

【小問1詳解】

取尸。的中點E,連接AE,NE,如圖所示，

由NEIIDC,且NE=，DC,

2

AM//DC，aAM=-DC,

2

所以NE//AM,且NE=AM,

所以四邊形肱VEA是平行四邊形，

所依MNIIAE,

又AEu平面？AD,ACVcZ平面？AD,

所以MN〃平面BLD；

【小問2詳解】

因為3C〃AD,8C<z平面？A。，ADu平面？AD,

所以BC〃平面K4O,

又因為平面PBCn平面B4D=/，

所以〃/3C.

17.如圖，四棱錐P—A5C。中，面ABCD是正方形，.

（1）若平面ADP，求證：AD,平面ABP；

（2）若A5=P5=*AP,E點為PC的中點，求證：ABLPC.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由5P,平面ADP得出5PLAD，再結合AD工A3應用線面垂直判定定理證明；

（2）由正方形得5CLA6,根據(jù)勾股定理可證人5，依，即可證明ABJ_平面尸3C,從而證明

ABLPC.

【小問1詳解】

因為平面ADP,ADu平面ADP,所以

因為4。，4545口5。=&筋,5「＜=平面的尸，所以AD,平面ABP；

【小問2詳解】

「面ABCD是正方形，.?.5CLAB,

■.■AB=PB=—AP,:.AB2+PB-=AP2,:.AB1PB，

2

又因為3CnPfi=3,且BCu平面P6C,P5u平面P5C,所以AB,平面P3C,

?.?PCu平面PBCAB±PC.

18.如圖，正方體ABCD—4瓦G2的棱長為1，E，E分別為A',CQ的中點.

(1)證明：EF//平面ABCD.

(2)求異面直線所與BG所成角的大小.

(3)求直線與平面REP所成角的正切值.

【答案】(1)證明見解析

(2)60°

⑶V2.

【解析】

【分析】(1)利用線線平行證明線面平行即得；

(2)利用平移得到所與BG所成角為NRAC,解三角形即得;

(3)連接。。，過。作DG，，。于點G,先證AC，平面。。。，再證DG,平面ACR,即得直

線8。與平面1EF所成角,結合ADOD］即可求得.

【小問1詳解】

D,C,

如圖，連接AC交BD于點。，

因為E，E分別為A，，C2的中點，所以EF〃AC.

因為ACu平面ABCD,且班4平面ABC。，

所以歷//平面ABCD.

【小問2詳解】

因AB//CD//Z）C],且AB=CD=2G，易得口ABCR,

則有3￡//42，由⑴得EF〃AC,故所與BG所成角為ND/C（或其補角）.

因為AC=AR=CD]，所以ZDjAC=60°,

即所與BG所成角大小為60°.

【小問3詳解】

連接2。，過。作于點G.

因為“>i，平面ABCD,且ACu平面ABCD,

所以DDi^AC,又BDLAC且。DJBD=D,

所以ACJL平面2。。.

因為。Gu平面所以。G,AC,

又DG上DQ,且ACc￡）0=0,AC,DQu平面ACp,

所以。G,平面ACQ,

所以直線3D與平面A所所成角為ND02（或其補角）.

因為正方體的邊長為1,所以DD]=1,DO=—，

2

所以tanZDOD.二也s

1DO

【點睛】思路點睛：解決異面直線的夾角問題，大多通過平移將兩直線集中到一個三角形中，利用三角函

數(shù)定義或正弦定理，余弦定理求解；對于線面所成角，一般需要作出并證明直線在平面上的射影，借助于

直角三角形求解.

19.閱讀數(shù)學材料：“設尸為多面體Af的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為

1—［（NQf+NQ/03+NQ3PQ4+…+NQJPQ*+NQj。），其中Q（，=L2,…，匕左23）為多

面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面。田。2,平面2尸。3,…，平面以一FQA和平面2PQ為多面

體加的所有以p為公共點的面.”已知在直四棱柱中，底面ABC。為菱形，

AA=AB.（角的運算均采用弧度制）

（I）若人。=班）,求四棱柱ABC?！诟鱾€頂點處的離散曲率的和；

（2）若2。與平面ACG的夾角的正弦值為Y2,求四棱柱A3CD-AgGA在頂點A處的離散曲率；

4

7

（3）截取四面體A-A3。，若該四面體在點A處的離散曲率為一，AG與平面43。交于點G,證

【答案】（1）2（2）-

3

（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件得到菱形ABCD為正方形，再根據(jù)在頂點A處的離散曲率的定義計算即可；

JT

（2）結合立體幾何知識，求得8。與平面ACG的夾角為NBG。，求得=再根據(jù)在頂點A處

的離散曲率的定義計算即可；

7兀

（3）根據(jù)四面體A-ABD在點A處的離散曲率為正求得NBAD=-,再結合立體幾何知識，證得AQ±

平面43。，用等體積法求三棱錐A-43。的體積，求得AG,即可得證.

【小問1詳解】

若4。=加），則菱形ABCD為正方形，即

因為A4，平面ABC。，AB,ADu平面ABCD,所以A^IAD,

所以直四棱柱ABCD-yljBjCjD；,在頂點A處的離散曲率為1一二[7+7+7]=：,

2兀<222)4

所以四棱柱A3CD-44G2在各個頂點處的離散曲率的和為2.

【小問2詳解】

：ABC。為菱形，/加).

又直四棱柱ABCD-，

CG，平面ABC。，

又AC,CC]u平面ACC],ACnCCi=C,；.BDJ,平面4。。「

設AC口5。=O