河北省保定市2023-2024學年高二下學期期末調(diào)研考試數(shù)學試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合A=[x\1-x<0},B={x\x2<2},貝!J力nB=（）

A.B.（-VZ1）C.（-VZ—1）D.（1,V2）

2.用數(shù)字0比2,3組成三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字允許重復，則滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)為（）

A.12B.24C.48D.64

3.若曲線y=/（%）在％=1處的切線的斜率為—3,則lim'⑴△乃=（）

A.—6B.C.1D.6

4.為了研究某產(chǎn)品的年研發(fā)費用支（單位：萬元）對年利潤y（單位：萬元）的關(guān)系，該公司統(tǒng)計了最近8

年每年投入該產(chǎn)品的年研發(fā)費用與年利潤的數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與％之間有線性相關(guān)關(guān)

X~~18

系，設(shè)其回歸直線方程為9.已知=%=200,務=2.若該公司對該產(chǎn)品預投入的

年研發(fā)費用為25萬元，則預測年利潤為（）

A.55萬元B.57萬元C.60萬元D.62萬元

5.已知正實數(shù)a,b,貝！J“a+bW2”是“a2+必<2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.要安排4名學生（包括甲）到A,B兩個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有1

名志愿者，且甲不去A鄉(xiāng)村，則不同的安排方法共有（）

A.7種B.8種C.12種D.14種

7.已知/■（久+5）為偶函數(shù)，若函數(shù)y=|無一5|與y=f（K）圖象的交點為（久2，%），…，（%9,兀），則

￡篙々=（）

A.45B.-45C.90D.-90

8.在平面直角坐標系中，如果將函數(shù)y=/（%）的圖象繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)f后，所得曲線仍然是某個

函數(shù)的圖象，那么稱/（%）為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.下列四個函數(shù)中“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的個數(shù)為（）

①y=-%；②y=ex-1；③y=Zn（x+1）；④y=V%+1-1（%>0）.

A.1B.2C.3D.4

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.對于（正一與『的展開式，下列說法正確的是（）

A.展開式共有5項

第1頁

B.展開式的各項系數(shù)之和為-32

C.展開式中的常數(shù)項是15

D.展開式的各二項式系數(shù)之和為32

10.甲和乙兩個箱子中各裝有10個球，其中甲箱中有5個白球、5個紅球，乙箱中有8個紅球、2

個白球.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若點數(shù)為5或6,則從甲箱中隨機摸出1個球不放回；若點數(shù)為

1,2,3,4,則從乙箱中隨機摸出1個球不放回.下列結(jié)論正確的是（）

A.擲骰子一次，摸出的是紅球的概率為我

B.擲骰子一次，若摸出的是紅球，則該球來自甲箱的概率為言

C.擲骰子兩次，摸出的2個球都來自甲箱的概率為:

D.擲骰子兩次，摸出2個紅球的概率為黑

11.已知函數(shù)/（%）=（%-ae%）（ln%-恰好有三個零點，分別為％%2?%3，且％則下列說法

正確的是（）

A.%2=e/B.%1，%2，%3成等差數(shù)列

3

C.X1，K2,％3成等比數(shù)列D.^<1

ln%3e

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.已知函數(shù)f。）的定義域和值域均為[-3,3],則函數(shù)。（%）=2〃2%+1）的定義域和值域分別

為.

13.已知必和無2分別是函數(shù)f（久）=a/+/+ax+1的極大值點和極小值點.若句>久2，則a的取值范

圍是.

14.如圖，一只螞蟻從正四面體。/BC的頂點。出發(fā)，每一步（均為等可能性的）經(jīng)過一條邊到達另一頂

點，設(shè)該螞蟻經(jīng)過n步回到點。的概率Pn，則P2=，Pn=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟.

15.某校為了解學生閱讀文學名著的情況，隨機抽取了校內(nèi)200名學生，調(diào)查他們一年時間內(nèi)的文學名著閱

讀的達標情況，所得數(shù)據(jù)如下表：

閱讀達標閱讀不達標合計

女生7030100

第2頁

男生4060100

合計11090200

(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認為閱讀達標情況與性別有關(guān)聯(lián)?

(2)從閱讀不達標的學生中按男、女生人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法抽取6人進行座談，再從這6人

中任選2人，記這2人中女生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

2

附:4團黑搬E其中"=a+b+c+d.

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

2

16.已知函數(shù)/(%)=W五+a是奇函數(shù).

(1)求a；

(2)求不等式2丁(久)］2—久)的解集.

17.已知函數(shù)/(%)=e*+mx.

(1)若fO)在［0,3］上單調(diào)遞增，求m的取值范圍；

(2)若m=1且經(jīng)過點(l,a)只可作/(x)的兩條切線，求a的取值范圍.

18.某校為激發(fā)學生對天文、航天、數(shù)字科技三類知識的興趣，舉行了一次知識競賽(三類題目知識題量占

比分別為31.甲回答這三類問題中每道題的正確率分別為4I.

(1)若甲在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率.

(2)知識競賽規(guī)則：隨機從題庫中抽取2n道題目，答對題目數(shù)不少于n道，即可以獲得獎勵.若以獲得

獎勵的概率為依據(jù)，甲在九=5和九=6之中選其一，則應選擇哪個？

19.若存在實數(shù)a,對任意久C。，使得函數(shù)〃久)>a久，則稱“久)在。上被a控制.

(1)已知函數(shù)/(久)=+2a在［2,+8)上被a控制，求a的取值范圍.

(2)⑴證明：函數(shù)g(x)=2%m(x+1)+在［1,+8)上被1控制.

力_-1-1

(ii)設(shè)71eN*,證明：ITI2+ITL3+仇4+…++1)>一?—0—

zzn+z

第3頁

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：集合A={%|1—x<0}={x|x>1},B—(x\x2<2}—[x\—V2<%<V2},

則4cB={久門<x<V2}.

故答案為：D.

【分析】先解不等式求得集合A、B,再根據(jù)集合的交集運算求解即可.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：用數(shù)字0,123組成三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字允許重復，則百位數(shù)字可選1,2,3有3種選

法；十位數(shù)字可選0,1,2,3有4種選法；個位數(shù)字可選0,1,2,3有4種選法，故滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)有3X

4x4=48個.

故答案為：C.

【分析】由題意，先排百位，再排十位、個位，按照分步乘法計數(shù)原理求解即可.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：因為曲線y=/(x)在久=1處的切線的斜率為—3,所以f(l)=—3,

■⑴⑻

則媽/_/(l+2Ax)/(I)—/(1+2

△%—2媽-2/(1)=6.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)導數(shù)的定義和性質(zhì)求解即可.

4.【答案】A

88

【解析】【解答】解：已知￡?=iXt=80,￡?%=200,則無=勺=]0,歹=士氣尢=25,

=181178

因為。=y-bx―25-2X10=所以y關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程為夕=2%+5,

故當久=25時，y=2x25+5=55,即若該公司對該產(chǎn)品預投入的年研發(fā)費用為25萬元，

預測年利潤為55萬元.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求得元歹，再由@=歹-故求得。以及回歸方程，最后令％=25求解預測年利潤即可.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：正實數(shù)a,b,取a=*b=滿足a+bW2,但02+戶=|>2，即充分性不成

立;

層#，可得

a2+b2<2,由生gi0+b<2,當且僅當a=b=1時等號成立，即必要性成立,

2-

則a+b<2是a?+b2<2必要不充分條件.

故答案為：B.

第4頁

【分析】利用基本不等式，結(jié)合充分、必要條件的定義判斷即可.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：先把4名學生分成2組，分別為2、2,1、3,

若為2、2時，由于甲不去A鄉(xiāng)村，則從另外3人中選一人和甲一起去B村，有回種，

若為1、3時，可能甲單獨去B村，或者甲與另外2人去B村，有1+鬣種，

故共有C1+l+C|=7種.

故答案為：A.

【分析】先將4名學生分為2組，分別為2、2或1、3,采用特殊元素分析法求解即可.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：因為/（久+5）為偶函數(shù)，所以函數(shù)y=/（久）的圖象關(guān)于直線x=5對稱，

又因為函數(shù)y=|尤-5|的圖象關(guān)于直線％=5對稱，所以函數(shù)y=|x-5|與y="光）圖象的交點關(guān)于直線久=5

對稱，又因為函數(shù)y=|久—5|與y=/（%）圖象的有9個交點，所以兩函數(shù)必都過點（5,0）,即^^々=5x9=

45.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)y=-5|與y=外久）圖象的交點關(guān)于直線％=5對稱，由中點公式求解即可.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：由題可知，函數(shù)y=/（久）的圖象與直線y=只能有一個交點；

@y=-x圖象繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)冷后仍是直線，與直線y=只有一個交點，故是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，符合

題意；

②、=蜻-1在X=0處的切線方程為、=久，則y=e久-1的圖象于曠=字久有2個交點，不符合題意；

③y=ln[x+1）在久=。處的切線方程為y=x,同樣不符合題意；

④y=V%+1-1（%>0）在久=0處的切線方程為y=|x,符合題意，

所以“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的個數(shù)有2個；

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意，逐項分析判斷即可.

9.【答案】B,D

【解析】【解答】解：A、（依一用『展開式共有6項，故A錯誤；

B、令久=1,則展開式的各項系數(shù)之和為（i—,j=_32,故B正確；

C、（依_,）展開式中的通項是G+1=麾（一3）『6（5-『）兀2『=產(chǎn),r=0,1,2,3,45令諄r=0，則

r=l,即展開式中的常數(shù)項為星（-3）=—15,故C錯誤；

第5頁

D、展開式的二項式系數(shù)和為25=32,故D正確.

故答案為：BD.

【分析】利用二項式展開式的性質(zhì)即可判斷A；利用賦值法求解即可判斷B；根據(jù)通項特征求解即可判斷

C；由二項式系數(shù)和的性質(zhì)即可判斷D.

10.【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：A、易知擲骰子一次，從甲箱摸球的概率為仁索而從甲箱子中摸出紅球的概率為

63

余從乙箱摸球的概率為2=M而從乙箱子中摸出紅球的概率為親=3

10z63105

則擲骰子一次，摸出的是紅球的概率為界*+|xg=G故A錯誤；

11r

B、擲骰子一次，若摸出的是紅球，則該球來自甲箱的概率為X丫=/，故B正確；

10

C、擲骰子兩次，摸出的2個球都來自甲箱的概率為界卜溫，故C正確；

D、擲骰子兩次，摸出2個紅球包含三種情況，

擲骰子兩次，摸出的2個球都來自甲箱的概率為余X*=^;

擲骰子兩次，摸出的2個球都來自乙箱的概率為恭*恭建祟

擲骰子兩次，摸出的2個球來自甲、乙兩個箱的概率為蝎xgxjx白x?=喘，

擲骰子兩次，摸出2個紅球的概率為吉+祟+余=黑，故D正確.

故答案為：BCD.

【分析】根據(jù)全概率公式，貝葉斯公式計算概率，判斷各個選項；

1L【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：令/(x)=(x-aex)(lnx-ax)=0,

即x—aex=0或Inx—ax—0,解得a=或■或a=竽，

問題轉(zhuǎn)化為直線y=a與曲線y=白、y=也有3個交點，且三個點的橫坐標依次為皿，x,右，

ex2

且光1<犯<%3，

函數(shù)y=竽定義域為(0，+8),y'=上普，

當0<x<e時，y'>0,即函數(shù)y=苧單調(diào)遞增；

當久〉e時，y<0,即函數(shù)y=竽單調(diào)遞減，則當x=e時，函數(shù)y=苧取得最大值，

函數(shù)y=奈定義域為R，爐=營，

第6頁

當x<l時，y'>0,即函數(shù)y=*單調(diào)遞增；當久>1時，y1<0,即函數(shù)y=套單調(diào)遞減,

則當x=1時，函數(shù)y=5取得最大值

作出函數(shù)了=會與”，的圖象，如圖所示:

由a=可得X2=ae82,由a=/包,可得久？=也以，

e乙%2。

又冷=是=a=磬=端’且y=會在（0,1）上單調(diào)遞增‘

又0VV1,1<冗2<巳0<ln&V1，所以比i=ln%2，即％2=?'i，故A正確;

喈=得=。=孕，且丫=叵在9+8）上單調(diào)遞減，

e乙e乙“3x

ee%2X2

又1<%2<>>e,x3>e,所以％3=e,即％2=ln%3，

故％i%3=lnx2?改=ax2?券=城，故C正確，B錯誤;

Xy

因為黃■=0,所以In久1—=Ina,

x

rlnl

固3b=Inq—1%=歷久i—叼=lna1

lnx,故D正確.

人」lnx3lnx?3aae

z3

故答案為：ACD

【分析】將函數(shù)〃久）的零點問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題，即問題轉(zhuǎn)化為直線y=a與曲線y=*和丫=苧交

于三個點，且三個點的橫坐標依次為久1，K2,％3,且％1<犯<%3,利用導數(shù)研究兩個函數(shù)的單調(diào)性和最值,

逐項判斷即可.

12.【答案】[—2,1],[—6,6]

【解析】【解答】解：函數(shù)〃久）的定義域和值域均為[-3,3],

則g（x）=2/（2K+1）要有意義，只需—3<2%+1<3,解得—2<x<l,

即函數(shù)g（x）的定義域為[-2,1],

因為—3<2x+l<3,所以—3<f（2久+1）<3,所以g（x）=2f（2x+1）e[-6,6],

即值域為[—6,6].

故答案為：[—6,6].

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域的求法以及函數(shù)值域的概念求解即可.

13.【答案】（-孚,0）

【解析】【解答】解：函數(shù)/'（久）=a/+/+。久+1定義域為R,/（無）=3a/+2久+a，

第7頁

因為和冷分別是函數(shù)fO）的極大值點和極小值點，所以巧,久2是方程/'（久）=3ax2+2x+a=0的兩個不等

實根，即A=4-12a2>0,解得一空<a<*，

又因為%1>%2，所以/（%）=3ax2+2%+a為開口向下的二次函數(shù)，即a<0,

而當。=0時，原函數(shù)只有一個極值點，矛盾，

當a>0時，/（%）在（一8,%2）單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

在（久1，+8）單調(diào)遞增，這與題干矛盾，即a的取值范圍（-孚,0）.

故答案為:（-孚,o）

【分析】求導，根據(jù)導函數(shù)與原函數(shù)的極值間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

14.【答案qi-ic-F1

【解析】【解答】解：由題可知，在第1步后螞蟻位于B、C、4點的概率分別為%

則經(jīng)過2步回到點0的概率P2Xj+jxj+=

因為pn+i巖（i_pn）,所以P"+i—]=—<（pn—3，則N?=T，

卜九4

即數(shù)列｛匕-3是公比為T的等比數(shù)列，

又因為PLAV，PLA（T）（T『，所以P—APT尸

故答案為：*Mc-F1-

【分析】根據(jù)獨立事件的概率乘法公式求解P2；根據(jù)遞推關(guān)系可知｛2-3是公比為-/的等比數(shù)列，由等比

數(shù)列通項求解即可.

15.【答案】（1）解：零假設(shè)為Ho：閱讀達標情況與性別無關(guān)，

2200x（70x60—30x40）/2001Q1Q?inQQQ

*=100x100x110x90=TT^18.182>10,828=Xo.ooi）

根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，推斷/不成立，

即認為閱讀達標情況與性別有關(guān)聯(lián)；

（2）解：根據(jù)分層抽樣可知：抽取的女生人數(shù)為d^x6=2,男生人數(shù)為溜x6=4,

60+3U6U+3U7T

X的可能取值為0,1,2,

P（X=0）=q=|,P（X=1）=^R=白20=2）=4=總，

則X的分布列如下：

X012

第8頁

P281

51515

no-1n

E(X)=0x^+lx+2xYG=W

【解析】【分析】(1)先進行零假設(shè)，再計算必，根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗判斷即可;

(2)由分層抽樣得出男女生人數(shù)，再由超幾何分布求出概率，列出分布列，求期望即可.

(1)零假設(shè)為Ho：閱讀達標情況與性別無關(guān)，

200x(70x60-30x40)2200

X27=?CC?CC?Tc7775=?T~18,182>10.828—X1

100X100X110X9011o00

根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，推斷Ho不成立，

即認為閱讀達標情況與性別有關(guān)聯(lián).

(2)由題可知抽取的女生人數(shù)為市備x6=2,抽取的男生人數(shù)為不備x6=4,

60+3U60+3U

則X的可能取值為0,1,2,

P(X=0)=q=I，P(X=1)=支f=白,P(x=2)=冬=去,

所以X的分布列如下:

X012

P281

51515

2o-1Q

故E(X)=0x,=1+1x+2x

JYEJYEJ=?J

16.【答案】(1)解：易知/(x)的定義域為R,

72

因為函數(shù)/(久)=舌+。是奇函數(shù)，所以/(0)=舟+a=0,解得a=—1,

D十J*J十_L

22*3”一3=一1_3*-1_3*+1-22

則函數(shù)/(久)=普一1,滿足〃一久)=-11----=―/(%)，

3-x+13X+1—3X+1-3“+13x+1

則a=-1；

(2)解：因為函數(shù)/(%)是奇函數(shù)，所以/(—%)=—/(%),

由2[/(久)]2</(-%)，可得2[/(久)]2<-/(%),即fQ)[2f(久)+1]<0,解得—/</(%)<0,

即_*W3久1]-1W°，貝“3+1，解得

''("TWO

則不等式2[/(久)]2—久)的解集為[0,1].

【解析】【分析】(1)根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，利用"0)=0求值，再檢驗即可；

(2)利用奇偶性轉(zhuǎn)化為求f(x)[2〃￡)+1]<0的解集，代入解析式求解即可.

(1)因為3"+1。0,所以/(久)的定義域為XCR,

第9頁

72

函數(shù)〃%)=—+a是奇函數(shù)，所以/(0)=冢一;+a=0,

1十人3十J.

2

解得a=—l,可得fO)=套五一1，

2x3久一3"一1_3久-1_3久+1-2

當xER時，f（—%）=—=Y----1=

）''3X+13X+1~~―3X+1―3久+1

2

=1-=-AO），

3久+1

所以/'(久)是奇函數(shù)，故a=-1；

（2）因為/（%）是奇函數(shù)，所以/（—久）=—/（久）,

由2［/（%）］2</（-尤）得2［/（久）］2<-/（%）,

可得〃久）［2〃久）+1］<0,解得—2W/（%）<0,

-上號-1

即w3*；i—1,3可得

----1<0

3+1

解得0<x<1,

所以不等式2丁(久)產(chǎn)久)的解集為［0,1］.

17.【答案】(1)解：因為八支)在［0,3］上單調(diào)遞增，所以,(久)20在［0,3］上恒成立，

即"+血20,m>—ex在［0,3］恒成立，

設(shè)9(x)=-e%,易知gO)在［0,3］上單調(diào)遞減，

則gOOmax=9(。)=一L血2-1，即血的取值范圍為［一1,+8)；

(2)解：若m=1,貝!Jf(%)=靖+x,/(%)=ex+1>

設(shè)切點坐標為8〃+ri),則切線方程y-(en+n)=(en+l)(x-n),

把(l,a)代入切線方程得：a-(en+n)=(en+1)(1—九)=a—1=(2—n)en,

設(shè)h(7i)—(2—n)en,則％(n)=(1—n)en?令h(n)=0得九—1>

當n<l時，h'(n)>0，當n>l時，h'(n)<0，

所以無01)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減，所以/l(71)max=旗1)=e,

當nr-8時，h(n)=0,當nr+8時，h(n)->-oo,

依題意過(1,a)存在兩條切線，即方程a-1=(2-九加71有兩解，根據(jù)八(九)的圖象可得:

0<a-1<e,即l<a<e+l.

第10頁

【解析】【分析】(1)/(%)N0在［。，3］上恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解即可；

(2)設(shè)切點坐標，寫出切線方程，問題轉(zhuǎn)化為方程a-1=(2-n)〃有兩個解的問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的

性質(zhì)畫出無5)=(2-九)〃圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.

(1)因為八支)在［0,3］上單調(diào)遞增，所以，(乃20在［0,3］上恒成立，

即e*+m>0=>m>—ex在［0,3］恒成立，

設(shè)g(x)=-ex,顯然g(K)在［0,3］上單調(diào)遞減，

所以g(K)max=9(°)=一L所以5?2-1.

(2)若zn=1,則/'(久)=ex+x,/(%)=ex+

設(shè)切點坐標為(弭出+n),則切線方程y-(en+n)=(en+1)(%-n),

把(1,a)代入切線方程得：a-(en+n)=(en+1)(1—n)=a—1=(2—n)en,

設(shè)/i(n)=(2-ri)en,則/i(n)=(1—n)en)令h(n)=0得九—1,

當n<l時，h'(n)>0，當n>l時，>(冗)<0，

所以八(71)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在。+8)上單調(diào)遞減，所以h(7i)max=旗1)=e,

當nr—8時，h(n)=0,當n—+8時，h(n)-oo,

依題意過(La)存在兩條切線，即方程a-1=(2-九加71有兩解，根據(jù)八(九)的圖象可得：

0<a-1<e,即l<a<e+l.

18.【答案】(1)解：設(shè)甲所選的題目為天文、航天、數(shù)字科技相關(guān)知識的題目分別為事件Ai，A2,A3,所

選的題目回答正確為事件B,

則P⑻=P(&)P(B|4i)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BIA3)=X|+1X1Xj=

即該同學在該題庫中任選一題作答，他回答正確的概率為:；

(2)解：當n=5時，X為甲答對題目的數(shù)量，則X?B(10,p),

第工1頁

故當幾=5時，甲獲獎勵的概率Pi=P(X=5)+P(X>6),

當n=6時，甲獲獎勵的情況可以分為如下情況:

①前10題答對題目的數(shù)量大于等于6,

②前10題答對題目的數(shù)量等于5,且最后2題至少答對1題,

③前10題答對題目的數(shù)量等于4,且最后2題全部答對，

故當九=6時，甲獲獎勵的概率

111

P2=P(X26)+P(X=5)Xl-ll-2Ixll+p(x=4)x2x2

=P(X>6)+*2P(X=5)+^1P(X=4),

P2—P1=〃P(X=4)—〃P(X=5)=/卜0Q)10-日0Q)10]<0,即P2<Pi，

所以甲應選n=5.

【解析】【分析】(1)由題意，由全概率公式求解即可；

(2)當九=5時，X為甲答對題目的數(shù)量，則X?B(10,p),求出概率，當n=6時，分情況分析，求出概率,

再比較大小.

(1)設(shè)所選的題目為天文、航天、數(shù)字科技相關(guān)知識的題目分別為事件41，A2,人3，

所選的題目回答正確為事件B,

則P(B)=P(4)P(B|4)+P(A2)P(BIA2)+P(&)P(B|4)

12,11121

=4X3+2X3+4X3=2，

所以該同學在該題庫中任選一題作答，他回答正確的概率為今

(2)當九=5時，X為甲答對題目的數(shù)量，則X?B(10,p),

故當n=5時，甲獲獎勵的概率Pi=P(X=5)+P(X>6),

當幾=6時，甲獲獎勵的情況可以分為如下情況：

①前10題答對題目的數(shù)量大于等于6,

②前10題答對題目的數(shù)量等于5,且最后2題至少答對1題,

③前10題答對題目的數(shù)量等于4,且最后2題全部答對，

故當九=6時，甲獲獎勵的概率

11

P2=P(X>6)+P(X=5)x+P(X=4)x,x,

=P(X>6)+#3(X=5)+41P(X=4),

[1[/[、10、1°

P2-P1=3P(X=4)/P(X=5)=W一臉⑥<0,即P2<Pi，

所以甲應選n=5.

19.【答案】(1)解：令F(久)=〃%)一ax=3e”一。久+2a,%G[2,+oo),=3ex-a，

第工2頁

當aM3e2時，F(xiàn)(X)>0，則F(x)在［2,+8)上單調(diào)遞增，因為F(2)=3e?>0,所以F(久)>0恒成立；

當a>3e2時，令尸'(%)=3d—a=0，解得％=1琮>2,則FQ)在(2,嗚)上單調(diào)遞減，在(嗚,+8)上單調(diào)

遞增，

且F(無)min=F(in蜀=3a-aln^>0,解得3e2<a<3e3,

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(-8,3e3)；

(2)證明：(i)要證明函數(shù)g(x)=2而i(%+l)+擊在［1,+8)上被1控制,

11

只需證明2%仇(％+1)+—j-r>X,XE［1,+00),即證2bl(%+1)+丫77*［、一1>。，

X~r1