專題03分式

內(nèi)容導(dǎo)航

應(yīng)考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+高考考點(diǎn)，有的放矢

'口重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

難點(diǎn)強(qiáng)化：難點(diǎn)內(nèi)容標(biāo)注與講解，能力提升

:國復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破

???考點(diǎn)聚焦

翳核心考點(diǎn)聚焦

1、分式有意義的條件

2、分式化簡求值

3、解分式方程

4、分式的求值

5、根據(jù)分式方程解的情況求值

6、分式方程的應(yīng)用

舞中考考點(diǎn)聚焦

常考考點(diǎn)真題舉例

分式有意義的條件2024?安徽?中考真題

分式化簡求值2024?寧夏?中考真題

分式方程的其它實(shí)際問題2024?寧夏?中考真題

解分式方程2024?江蘇徐州?中考真題

分式方程的經(jīng)濟(jì)問題2024?江蘇宿遷?中考真題

分式的求值2024?四川雅安?中考真題

根據(jù)分式方程解的情況求

2024?黑龍江牡丹江?中考真題

值

試卷第1頁，共10頁

???重點(diǎn)速記<<<

IJ

一.解分式方程的步驟

解分式方程基本步驟：①去分母；②解整式方程；③驗(yàn)根

分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知數(shù)的值；

分式方程會(huì)無解的幾種情況

①解出的X的值是增根，須舍去，無解

②解出的x的表達(dá)式中含參數(shù)，而表達(dá)式無意義，無解

③同時(shí)滿足①和②，無解

求有增根分式方程中參數(shù)字母的值的一般步驟：

①讓最簡公分母為0確定增根；

②去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；

③將增根帶入（當(dāng)有多個(gè)增根時(shí)，注意分類，不要漏解）；

④解含參數(shù)字母的方程的解.

二.與分式方程的解有關(guān)的問題

1.由分式方程的解的情況求字母系數(shù)的取值范圍，一般解法是：

①根據(jù)未知數(shù)的范圍求出字母的范圍；

②把使分母為0的未知數(shù)的值代入到去分母后的整式方程中，求出對(duì)應(yīng)的字母系數(shù)的值;

③綜合①②，求出字母系數(shù)的范圍.

2.依據(jù)分式方程的增根確定字母參數(shù)的值的一般步驟：

1）先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；

2）由題意求出增根；

3）將增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母參數(shù)的值.

三.分式方程的應(yīng)用

用分式方程解決實(shí)際問題的步驟：

審：理解并找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系；

設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)；

列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程；

解：求解方程；

驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義；+

試卷第2頁，共10頁

1）檢驗(yàn)所求的解是否是所列分式方程的解.

2）檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義.

答：實(shí)際問題的答案.

/\

???難點(diǎn)強(qiáng)化<<<

IJ

【題型1解分式方程】

（2025八年級(jí)下?全國?專題練習(xí)）

1.解方程:

x8

⑴+1;

x—2x2—4

4-x1

⑵-2

x—33—x

（2025八年級(jí)下?江蘇?專題練習(xí)）

2.解方程.

23

⑴一=-r

xx-1

2x

⑵=1.

X2-42—x

（2025八年級(jí)下?全國?專題練習(xí)）

3.解方程:

⑵x-1x+1x2-1-

【題型2分式化簡求值】

（2025?山東濟(jì)寧?二模）

4.若關(guān)于x的方程W+4=l的解為正數(shù)，則根的值可以為（）

x-22-x

A.1B.2C.3D.4

（2025?重慶?一模）

1+%+x2+x+2-2工

5.先化簡再求值:x—1J-2x+1x2—1其中x是從一1,0,2中選取的一個(gè)合適

的數(shù).

（2025?江西贛州?二模）

試卷第3頁，共10頁

6-先化簡，再求值：-高）4—1

其中〃=2.

q2+4。+4

（2025?廣東深圳?二模）

7.先化簡，再求值：（」彳+一工2、2—4x

。薯,再從一2,°,L2中,選個(gè)合適的值作

\x+2x-2

為x代入求值.

（2025?廣東深圳?二模）

8.下面是小甜化簡分式,+上的過程，請認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

X+1X+1X—1

他；

化/1/間--1--+--X--——X—X

X+1X+1X—1

解：原式=八一十三①

X+1X—1

“7中②

-1)

X+1

=-③

X

（1）化簡過程中，從第（填序號(hào)）步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤.錯(cuò)誤的原因是

（2）請寫出正確的化簡過程，并求出當(dāng)x=-2時(shí)，該代數(shù)式的值.

【題型3根據(jù)分式解的情況求值】

（24-25八年級(jí)下?河南周口?階段練習(xí)）

9.已知關(guān)于x的分式方程9-4=勺.

⑴若方程的解為X=-l,求優(yōu)的值.

（2）若方程的解為非負(fù)數(shù)，求優(yōu)的取值范圍.

（24-25八年級(jí)上?廣西防城港?階段練習(xí)）

10.關(guān)于x的分式方程：上=了.

x-33-x

（1）當(dāng)7〃=2時(shí)，求此時(shí)方程的解.

（2）若這個(gè)方程二三=亨的解為正數(shù)，求俏的取值范圍.

x-33-x

【題型4分式方程的應(yīng)用】

（2025?山東濟(jì)南?二模）

11.人工智能被稱為世界三大尖端技術(shù)之一，近年來得到了迅猛發(fā)展，取得了豐碩成果.2024

年12月26日，中國人工智能公司發(fā)布。%pSee左-憶3模型，引發(fā)了科技行業(yè)高度關(guān)注.某

試卷第4頁，共10頁

校積極響應(yīng)國家“科教興國”戰(zhàn)略，開設(shè)智能機(jī)器人編程的校本課程，學(xué)校購買了，，8兩種

型號(hào)的機(jī)器人模型，/型機(jī)器人模型單價(jià)比2型機(jī)器人模型單價(jià)多200元，用4000元購買工

型機(jī)器人模型和用2400元購買8型機(jī)器人模型的數(shù)量相同.

（1）求/型，3型機(jī)器人模型的單價(jià)分別是多少元？

（2）學(xué)校準(zhǔn)備再次購買A型和B型機(jī)器人模型共40臺(tái)，購買8型機(jī)器人模型不超過A型機(jī)

器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號(hào)機(jī)器人模型均打八折的優(yōu)惠.問購買/型和2型

機(jī)器人模型各多少臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少？最少花費(fèi)是多少元？

（2025?遼寧盤錦?一模）

12.據(jù)燈塔專業(yè)版數(shù)據(jù)，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童鬧?！房偲狈窟_(dá)123.2億元，

登頂全球動(dòng)畫電影票房榜，是亞洲首部票房過百億的影片，并創(chuàng)造了全球單一電影市場最高

票房紀(jì)錄.該片來源于哪吒鬧海的傳統(tǒng)故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊兒

郎當(dāng)，實(shí)則勇敢堅(jiān)毅，強(qiáng)烈反差引發(fā)情感共鳴；“我命由我不由天”的不屈精神，讓觀眾淚

目.為滿足兒童對(duì)哪吒的喜愛，某玩具店決定各用300元購進(jìn)了A、8兩種哪吒玩偶.己知

一個(gè)3種哪吒玩偶是一個(gè)A種玩偶價(jià)格的2倍，且購進(jìn)兩種玩偶的數(shù)量共15個(gè).

AB

（1）求購進(jìn)A、8兩種哪吒玩偶的單價(jià)各是多少元？

（2）因銷售效果不錯(cuò)，該玩具店決定再次購進(jìn)A、B兩種哪吒玩偶共80個(gè)，且A種哪吒玩偶

的數(shù)量不多于8種哪吒玩偶數(shù)量的3倍，問此次購進(jìn)最少要花多少錢？

（2025?山東煙臺(tái)?一模）

13."低碳生活，綠色出行”的理念已逐漸深入人心，某自行車專賣店有8兩種規(guī)格的自

行車，/型車的售價(jià)為。元/輛，8型車的售價(jià)為6元/輛，該專賣店十月份前兩周銷售情況

如下：

A型車銷售（輛）8型車銷售量（輛）總銷售額（元）

第一周101236600

第二周121545000

試卷第5頁，共10頁

⑴求a,b的值；

（2）已知一輛/型車比一輛3型車進(jìn)價(jià)少花300元，老板在第三個(gè)周進(jìn)貨時(shí)，用48000元購

進(jìn)N型自行車數(shù)量與用60000元購進(jìn)8型自行車數(shù)量相等，求N、8兩種的自行車進(jìn)貨單價(jià)

分別是多少元？

（3）若計(jì)劃第四周售出/、8兩種型號(hào)自行車共25輛，其中8型車的銷售量大于N型車的銷

售量，且不超過/型車銷售量的2倍，該專賣店售出/型、2型車各多少輛才能使第四周

總銷售額最大，最大總銷售額是多少元？

（2025?廣東深圳?二模）

14.綜合實(shí)踐

隨著我國科技事業(yè)的不斷發(fā)展，國產(chǎn)無人機(jī)越來越多應(yīng)用于實(shí)際生活，為人們的生

背景

…'活帶來了便利.

某農(nóng)業(yè)公司預(yù)購進(jìn)8兩種型號(hào)的植保無人機(jī)用來噴灑農(nóng)藥,

素材

/型機(jī)比2型機(jī)平均每小時(shí)少噴灑2公頃農(nóng)田，A型機(jī)噴灑40

1

公頃農(nóng)田所用時(shí)間與B型機(jī)噴灑50公頃農(nóng)田所用時(shí)間相等.

素材

若農(nóng)業(yè)公司共購進(jìn)20架無人機(jī)，/型無人機(jī)5萬元/架，8型無人機(jī)6萬元/架.

2

問題解決

任務(wù)

'A,3兩種型號(hào)無人機(jī)平均每小時(shí)分別噴灑多少公頃地?

1

任務(wù)若公司要求這批無人機(jī)每小時(shí)至少噴灑180公頃農(nóng)田，那么該公司如何購買/型和2

2型無人機(jī)，才能使總成本最低？并求出最低成本.

〔一復(fù)習(xí)提升

驀真題感知

（2024?四川雅安?中考真題）

15.已知2+,=1（。+6*0）.貝（

aba+b

試卷第6頁，共10頁

A?-2B.1C.2D.3

（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）

16.已知關(guān)于x的分式方程---2=--無解，則左的值為（）

x-33-x

A.左=2或左=—1B.k=—2C.左=2或左=1D.k=—1

（2024?安徽?中考真題）

17.若分式一二有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

（2024?重慶?中考真題）

-------<x+l

18.若關(guān)于x的不等式組3至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于丁的分式方程

2（x+1）之—x+u

a-\3

—-=2---的解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和為____.

y-li-y

（2024?黑龍江大慶?中考真題）

19.先化簡，再求值：［1+^-/-9

其中尤=—2.

vx-3x~—6x+9

（2024?山東日照?中考真題）

20.【問題背景】2024年4月23日是第18個(gè)“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀

環(huán)境，學(xué)校決定擴(kuò)大圖書館面積，增加藏書數(shù)量，現(xiàn)需購進(jìn)20個(gè)書架用于擺放書籍.

【素材呈現(xiàn)】

素材一：有48兩種書架可供選擇，/種書架的單價(jià)比3種書架單價(jià)高20%；

素材二：用18000元購買N種書架的數(shù)量比用9000元購買2種書架的數(shù)量多6個(gè)；

素材三：/種書架數(shù)量不少于3種書架數(shù)量的

【問題解決】

⑴問題一：求出43兩種書架的單價(jià)；

（2）問題二：設(shè)購買。個(gè)/種書架，購買總費(fèi)用為w元，求w與。的函數(shù)關(guān)系式，并求出費(fèi)

用最少時(shí)的購買方案；

（3）問題三：實(shí)際購買時(shí)，商家調(diào)整了書架價(jià)格，/種書架每個(gè)降價(jià)加元，3種書架每個(gè)漲

價(jià)卜”元，按問題二的購買方案需花費(fèi)21120元，求加的值.

（2024?四川雅安?中考真題）

21.某市為治理污水，保護(hù)環(huán)境，需鋪設(shè)一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施

試卷第7頁，共10頁

工對(duì)城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增加25%,結(jié)果提前15天完

成鋪設(shè)任務(wù).

(1)求原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各多少米？

(2)負(fù)責(zé)該工程的施工單位，按原計(jì)劃對(duì)工人的工資進(jìn)行了初步的預(yù)算，工人每天人均工資

為300元，所有工人的工資總金額不超過18萬元，該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排多少名工人施

工？

(2024?廣西?中考真題)

22.綜合與實(shí)踐

在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略.

【洗衣過程】

步驟一：將校服放進(jìn)清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二：將擰干后的校服放進(jìn)清水中，充分漂洗后擰干.重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留

洗衣液濃度達(dá)到洗衣目標(biāo).

假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%,每次擰干后校服上都?xì)埩?.5kg水.

濃度關(guān)系式：金=等上.其中喝、?后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w

為單次漂洗所加清水量(單位：kg)

【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%

【動(dòng)手操作】請按要求完成下列任務(wù)：

(1)如果只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要多少清水？

⑵如果把4kg清水均分，進(jìn)行兩次漂洗，是否能達(dá)到洗衣目標(biāo)？

(3)比較(1)和(2)的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法.

(2024?重慶?中考真題)

23.某工程隊(duì)承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務(wù)，選派甲、乙兩人分

別用A、8兩種外墻漆各完成總粉刷任務(wù)的一半.據(jù)測算需要A、8兩種外墻漆各300千克,

購買外墻漆總費(fèi)用為15000元，已知A種外墻漆每千克的價(jià)格比B種外墻漆每千克的價(jià)格多

2元.

(1)求A、8兩種外墻漆每千克的價(jià)格各是多少元？

4

(2)已知乙每小時(shí)粉刷外墻面積是甲每小時(shí)粉刷外墻面積的《，乙完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間比

甲完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間多5小時(shí).問甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是多少平方米？

試卷第8頁，共10頁

翳提升專練

（2024?重慶九龍坡?模擬預(yù)測）

[2x—123x—5

24.若關(guān)于x的不等式組2.有且只有3個(gè)偶數(shù)解，且關(guān)于了的分式方程

[―3x+a<2

號(hào)-=1的解為正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)〃的和為______.

y-2y+2

（2024?安徽?模擬預(yù)測）

25.關(guān)于龍的方程3-3=1匚的解為非負(fù)數(shù)，則他的取值范圍是___.

x-11-x

（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測）

x2+3丫

26.已知公+2工一1=0,則上上的值為_______.

X+1

（23-24八年級(jí)下?山東濟(jì)南?期末）

11-x—5xv—V

27.已知——=2,則代數(shù)式一丁—的值為.

（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）

28.先化簡，再求值/-一二〕/7'+4,再從01,2,3這4個(gè)數(shù)中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)膞值代入

Vx-1）x-x

求值.

（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）

29.解方程：3$4=0.

x-3x-9

（2024?山西?模擬預(yù)測）

30.2024年4月底，神舟十七號(hào)載人飛船返回艙順利返回東風(fēng)著陸場，神舟十七號(hào)任務(wù)取

得圓滿成功.某飛箭航模店看準(zhǔn)商機(jī)，購進(jìn)了“神舟”和“天宮”模型.已知每個(gè)“神舟”模型的

進(jìn)價(jià)比“天宮'模型多5元，同樣花費(fèi)200元，購進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多2個(gè).

⑴“神舟”和“天宮”模型的進(jìn)價(jià)各是多少元？

（2）該飛箭航模店計(jì)劃購進(jìn)兩種模型共100個(gè),且每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為35元,每個(gè)“天宮”

模型的售價(jià)為28元.設(shè)購進(jìn)“神舟”模型。個(gè)，銷售這批模型的利潤為w元.若購進(jìn)“神舟”

試卷第9頁，共10頁

模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的;，則購進(jìn)“神舟”模型多少個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲

得最大利潤？最大利潤是多少？

(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)

31.科技改變世界，為提高快遞包裹分揀效率，物流公司引進(jìn)了快遞自動(dòng)分揀流水線，一條

某型號(hào)的自動(dòng)分揀流水線每小時(shí)分揀的包裹量是1名工人每小時(shí)分揀包裹量的4倍，分揀

6000件包裹，用一條自動(dòng)分揀流水線分揀比1名工人分揀少用7.5小時(shí).

(1)一條自動(dòng)分揀流水線每小時(shí)能分揀多少件包裹？

(2)五一勞動(dòng)節(jié)將至，某轉(zhuǎn)運(yùn)中心預(yù)計(jì)每日需分揀的包裹量高達(dá)576000件，該中心原有該型

號(hào)的自動(dòng)分揀流水線5條，進(jìn)行24小時(shí)作業(yè)，還有36名工人，每天分揀8小時(shí).現(xiàn)準(zhǔn)備購

買該型號(hào)的自動(dòng)分揀流水線進(jìn)行24小時(shí)作業(yè)以解決分揀需求，則至少應(yīng)再購買多少條？

試卷第10頁，共10頁

1.⑴無解

(2)x=l

【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法步驟是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)解分式方程的方法步驟(去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1,檢

驗(yàn)，)求解，即可解題;

(2)解題方法與(1)類似.

x81

【詳解】(1)解:------~+1

x—2.x—4

化為整式方程得，X(X+2)=8+--4,

去括號(hào)得，X2+2X=X2+4,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，2x=4,

系數(shù)化為I得，x=2,

檢驗(yàn)：把x=2代入/-4=4-4=0,

??.x=2是原方程的增根，原方程無解;

化為整式方程得，4-x=-l-2(x-3),

去括號(hào)得，4—x=-1—2x+6,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，x=l,

檢驗(yàn)：把x=l代入x-3=l—3=-2w0,

??.x=l是原方程的解.

2.(1)x=—2

(2)x=-3

【分析】本題考查了分式方程的計(jì)算，熟知運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先去分母，再計(jì)算一元一次方程即可；

(2)先去分母，再計(jì)算一元一次方程即可.

23

【詳解】(1)解：—=--)

xX—1

方程兩邊同乘x(x-l),得2(x-l)=3x,

解得：x=-2,

答案第1頁，共19頁

檢驗(yàn)：x=-2時(shí)，X(X-1)NO,

??.x=-2是該分式方程的解;

方程兩邊同乘(x+2)(x-2),得2+x(x+2)=廠-4,

解得：x=-3,

檢驗(yàn)：x=-3時(shí)，(x+2)(x-2)*0,

.』=-3是該分式方程的解.

3.(l)x=l

(2)分式方程無解

【分析】本題考查了解分式方程，熟知分式方程需檢驗(yàn)是解題的關(guān)鍵.

(1)先將分式方程化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后檢驗(yàn)即可求解;

(2)先將分式方程化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后檢驗(yàn)即可求解.

【詳解】(1)解：=x-3+1=93，

x-22-x

x—3+x—2=-3,

解得：X=1,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時(shí)，x-2^0,

??.x=l是原分式方程的解.

x+1-2(x-1)=4,

解得：x=-l,

經(jīng)檢驗(yàn)，》=一1是增根，

???原分式方程無解.

4.C

【分析】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解題的關(guān)鍵.

先用含加的代數(shù)式表示無，再根據(jù)解為正數(shù)，列出關(guān)于加的不等式，求解即可.

【詳解】解：由二+}=1，

x-22-x

去分母得：2x-m-x-2,

答案第2頁，共19頁

解得：、=加-2且xw2,

???關(guān)于X的方程二+4=1的解是正數(shù)，

x-22-x

二小一2>0且加一2x2,解得：加>2且加片4,

■-m的值可以為3,

故選：C.

【分析】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.原式括號(hào)中兩項(xiàng)

通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，再選

取合適的值代入計(jì)算即可求出值.

原式二二2(l；x)

【詳解】解:

x-1x(x+l)+

2(x—1)2

-------------------5

x+1x+l

2x-4

x+1'

xwO且xw-l,

7x7-4

???當(dāng)x=2時(shí),原式=k=。，

6.9,4

a-1

【分析】本題主要考查分式的化簡求值，根據(jù)分式的減法法則，除法法則把原式化簡，再把

。=2代入計(jì)算即可.

【詳解】解：1-為/-1

/+4。+4

a+2-1(Q+2『

Q+2(Q+1)(Q—1)

a+2

Q—1

2+2

把。=2代入得：原式=「=4

2-1

7-J-.1

'x+2'3

【分析】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.先通分括號(hào)內(nèi)的

式子，同時(shí)將括號(hào)外的除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分，然后從-2,0,1,2中，選一個(gè)使得原

答案第3頁，共19頁

分式有意義的值代入化簡后的式子計(jì)算即可.

11X2-4X+4

【詳解】解：原式=----1----

x+2x—22x2-4x

11

-------1—

x+2x-2J2x(x-2)

_2x(x-2)2

(x+2)(x-2)2x(x-2)

1

x+2'

,.,x+2w0,x—2w0,xw0,

.?.-2,0,1,2中，只有x=l符合題意，

當(dāng)x=l時(shí)，原式=；.

8.(1)①；未遵循分式混合運(yùn)算中應(yīng)先算乘除、再算加減的優(yōu)先級(jí)規(guī)則

【分析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混

合運(yùn)算的法則.

(1)按照混合運(yùn)算的運(yùn)算順序進(jìn)行判斷即可;

(2)先進(jìn)行分式的除法運(yùn)算，然后再進(jìn)行分式的加減，最后代數(shù)求值即可.

【詳解】(1)解：從第①步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，

未遵循分式混合運(yùn)算中應(yīng)先算乘除、再算加減的優(yōu)先級(jí)規(guī)則;

故答案為：①；未遵循分式混合運(yùn)算中應(yīng)先算乘除、再算加減的優(yōu)先級(jí)規(guī)則;

EH1X(x-1)(X+1)

(2)解：原式=Q+Ex(x可-

=—+1

X+1

x+2

x+1

當(dāng)工=一2時(shí)，原式=0.

9.(l)m=-7

⑵加2-4且加w-1

【分析】本題主要考查解分式方程和一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是注意分式方程隱含的分

母不為零.

答案第4頁，共19頁

(1)把方程的解代入方程求解即可；

(2)根據(jù)分式方程的求解方法，注意分母不為零，且解為非負(fù)數(shù)的條件.

—1%7

【詳解】(1)解：當(dāng)、=-1時(shí)，---4=—,

-1-11+1

解得m=-7.

,、Exm

(2)解：-----4A=------,

x—11—x

去分母得x-4(x-l)=-"z,

???分式方程有解且解為非負(fù)數(shù)，且無N1,

且1片1,

33

解得加2-4且加w-1.

10.⑴x=—4

(2)根>6且加w9

【分析】此題主要考查了解分式方程及不等式的解法，注意解分式方程要進(jìn)行檢驗(yàn)是解題關(guān)

鍵.

(1)直接利用解分式方程的方法求解即可；

(2)先解分式方程，然后依據(jù)題意求解不等式即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)機(jī)=2時(shí)，分式方程為上■=

x-33-x

方程兩邊同乘(％-3),

解得%=-4,

檢驗(yàn)：當(dāng)工二一4時(shí)，工一3。0,

所以當(dāng)機(jī)=2時(shí)，

分式方程的解為x=-4；

⑵十丁，

x-33-x

方程兩邊同乘(％-3),

解得x=m-6,

這個(gè)方程」7='的解為正數(shù)，

x-33-x

.?.加一6>0且加一6。3,

答案第5頁，共19頁

解得，〃>6且機(jī)w9.

11.(1)/型機(jī)器人模型單價(jià)為500元，2型機(jī)器人模型單價(jià)為300元

(2)購買/型機(jī)器人10臺(tái)、8型機(jī)器人30臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元

【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的列

出方程，不等式和一次函數(shù)，是解題的關(guān)鍵：

(1)設(shè)8型機(jī)器人模型單價(jià)為x元，根據(jù)用4000元購買4型機(jī)器人模型和用2400元購買

B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同，列出分式方程進(jìn)行求解即可；

(2)設(shè)購買/型機(jī)器人加臺(tái)，根據(jù)購買8型機(jī)器人模型不超過N型機(jī)器人模型的3倍，列

出不等式求出加的取值范圍，設(shè)共花費(fèi)0元，列出一次函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì),

求最值即可.

【詳解】(1)解：設(shè)8型機(jī)器人模型單價(jià)為x元，則/型機(jī)器人模型單價(jià)為(x+200)元.

金40002400

根據(jù)題意,得------=-----

x+200x

解得x=300,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是所列分式方程的解,

300+200=500(元).

答：/型機(jī)器人模型單價(jià)為500元，3型機(jī)器人模型單價(jià)為300元.

(2)設(shè)購買4型機(jī)器人加臺(tái)，則購買5型機(jī)器人(40-加)臺(tái).

根據(jù)題意，得40-加工3加，

解得加之10.

設(shè)共花費(fèi)w元，貝ljw=0.8x500加+0.8x300(40—加)=16。/+9600,

??,左=160〉0,

???w隨m的減小而減小，

w>10,

???當(dāng)加=10時(shí)，w值最小.

w最小=160x10+9600=11200,

40-10=30(臺(tái)).

答：購買/型機(jī)器人10臺(tái)、5型機(jī)器人30臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元.

12.(1)4種哪吒玩偶單價(jià)是30元，5種哪吒玩偶單價(jià)是60元

答案第6頁，共19頁

（2）3000元

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的

關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)

于。的函數(shù)關(guān)系式.

（1）設(shè)購進(jìn)/種哪吒玩偶的單價(jià)是x元，則購進(jìn)8種哪吒玩偶的單價(jià)是2x元，利用數(shù)量=

總價(jià)+單價(jià)，結(jié)合購進(jìn)兩種玩偶的數(shù)量共15個(gè)，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后,

可得出x的值（即購進(jìn)/種哪吒玩偶的單價(jià)），再將其代入2x中，即可求出購進(jìn)3種哪吒玩

偶的單價(jià)；

（2）設(shè)購進(jìn)/種哪吒玩偶。個(gè)，則購進(jìn)2種哪吒玩偶（80-。）個(gè)，根據(jù)購進(jìn)/種哪吒玩偶

的數(shù)量不多于8種哪吒玩偶數(shù)量的3倍，可列出關(guān)于。的一元一次不等式，解之可得出。

的取值范圍，設(shè)該玩具店再次購進(jìn)/、2兩種哪吒玩偶共花費(fèi)w元，利用總價(jià)=單價(jià)x數(shù)量,

可找出w關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題.

【詳解】（1）解：設(shè)/種哪吒玩偶的單價(jià)為x元，則3種哪吒玩偶的單價(jià)為2x元.

gg口k上，曰3003001「

根據(jù)題意，得：一+—=15

x2x

解得：x=30

經(jīng)檢驗(yàn)：》=30是原分式方程的解

種：2x30=60兀

答：/種哪吒玩偶單價(jià)是30元，2種哪吒玩偶單價(jià)是60元.

（2）解：設(shè)購進(jìn)/種哪吒玩偶。個(gè)，則購進(jìn)3種哪吒玩偶（80-。）個(gè)

根據(jù)題意，得：0<?<3（80-a）

解得：0<a<60

花費(fèi)y=30a+60(80-a)

整理，得：y=-304+4800

??--30<0,當(dāng)0<x460時(shí)，了隨x的增大而減小

［當(dāng)。=60時(shí)，y1nhi=3000元

答：此次購進(jìn)最少要花3000元.

a=1500

13.(1)

6=1800

答案第7頁，共19頁

(2)A型號(hào)一輛進(jìn)價(jià)為1200元，B型號(hào)一輛進(jìn)價(jià)為1500元

(3)該專賣店第三周售出/型車9輛，3型車16輛，銷售總額為最大，為42300元

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，分式方程的實(shí)

際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列出方程，不等式和函數(shù)關(guān)系式是解題

的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)第一周和第二周的銷售額建立方程組求解即可；

(2)設(shè)8型車進(jìn)價(jià)每輛x元，則/型車進(jìn)價(jià)每輛(x-300)元，根據(jù)用48000元購進(jìn)/型自

行車數(shù)量與用60000元購進(jìn)8型自行車數(shù)量相等建立方程求解即可；

(3)設(shè)該專賣店第三周售出N型車加輛，8型車(25-加)輛，銷售總額為w元，分別求出

售出/型車和2型車的銷售額，二者求和可得取關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再列不等式求出加

的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

10a+122)=36600

【詳解】(1)解:由題意得

12。+156=45000

a=1500

解得:

6=1800

(2)解：設(shè)2型車進(jìn)價(jià)每輛x元，則/型車進(jìn)價(jià)每輛(x-300)元,

根據(jù)題意得考2=史儂

x-300x

解得：x=1500

經(jīng)檢驗(yàn)x=1500是原分式方程的解.

x-300=1200(元)

答：A型號(hào)一輛進(jìn)價(jià)為1200元，B型號(hào)一輛進(jìn)價(jià)為1500元.

(3)解：設(shè)該專賣店第三周售出/型車加輛，8型車(25-％)輛，銷售總額為w元,

由題意得：川=1500m+1800(25-加)=-300m+45000,

2525

由加<25-加(2加，解得—<m<—,

加取整數(shù)，m=9,10,11,12,

???w隨著加的增大而減小，

???當(dāng)加=9時(shí)，坡取得最大值，此時(shí)w=42300(元).

答案第8頁，共19頁

答：該專賣店第三周售出/型車9輛，8型車16輛，銷售總額為最大，為42300元.

14.任務(wù)1：/型無人機(jī)每小時(shí)噴灑8公頃，2型無人機(jī)每小時(shí)噴灑10公頃；任務(wù)2：采購

N型無人機(jī)10臺(tái)，8型機(jī)10臺(tái)時(shí)總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為110萬元

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，找準(zhǔn)等

量關(guān)系，正確列出分式方程和一次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

任務(wù)1,設(shè)/型無人機(jī)每小時(shí)送噴灑x公頃，則8型每小時(shí)噴灑（x+2）公頃，列分式方程求

解即可；

任務(wù)2,設(shè)N型無人機(jī)。臺(tái)，則8型無人機(jī)（20-a）臺(tái)，總費(fèi)用為?萬元，根據(jù)題意得

8a+10（20—。）2180,出（7<10；iv=5a+6（20——。+120,當(dāng)q=10,

%小=-10+120=110（萬元），此時(shí)2型無人機(jī)=20-10（臺(tái)）.

【詳解】解：任務(wù)1,設(shè)/型無人機(jī)每小時(shí)送噴灑x公頃，則8型每小時(shí)噴灑（x+2）公頃

,叩衣一口4050

由題息可得：—=----

xx+2

解得：無=8

經(jīng)檢驗(yàn)：x=8是原分式方程的根，

答：/型無人機(jī)每小時(shí)噴灑8公頃，2型無人機(jī)每小時(shí)噴灑10公頃.

任務(wù)2,設(shè)/型無人機(jī)。臺(tái)，則8型無人機(jī)（20-。）臺(tái)，總費(fèi)用為卬萬元，

由題意可知：8a+10（20-a）>180

解得：<7<10

w=5a+6（20—a）——u+120

-1<0,

■■■w隨a的增大而減小，

.,.當(dāng)a=10,w最小=-10+120=110（萬元）

此時(shí)8型無人機(jī)=20-10（臺(tái)）.

答：采購/型無人機(jī)10臺(tái)，5型機(jī)10臺(tái)時(shí)總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為110萬元.

15.C

【分析】本題考查的是條件分式的求值，由條件可得2b+a=a6,再整體代入求值即可；

71

【詳解】解:?.?一+「1（。+6-0,

ab

答案第9頁，共19頁

???2b+a=ab,

a+ab

a+b

_a+a+2b

a+b

2(4+b)

a+b

=2；

故選C

16.A

【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關(guān)鍵.先將

分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可.

【詳解】解：去分母得，kx-2(x-3)=-3,

整理得，/—2)X=—9,

當(dāng)左=2時(shí)，方程無解，

當(dāng)左。2時(shí)，令x=3,

解得左=-1,

所以關(guān)于X的分式方程---2=--無解時(shí)，k=2或k=-l.

x-33-x

故選：A.

17."4

【分析】本題主要考查分式有意義的條件.根據(jù)分式有意義的條件：分式的分母不能為0,

得至Ux-4。0,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：?.?分式」7有意義，

x-4

■,■X-4^0,即xw4.

故答案為：xw4.

18.16

【分析】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組.先解不等式組，根據(jù)關(guān)于x

的一元一次不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解，確定”的取值范圍aV8,再把分式方程去分母轉(zhuǎn)

化為整式方程，解得＞=三，由分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，確定”的取值范圍且

。力4,進(jìn)而得到且a*4,根據(jù)范圍確定出。的取值，相加即可得到答案.

答案第10頁，共19頁

【詳解】解：3,

2（X+1）N—X+Q②）

解①得：x<4,

Z7—2

解②得：XN二一，

???關(guān)于X的一元一次不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解,

解得。48,

???關(guān)于了的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，

???二20且二*1,。一2是偶數(shù)，

22

解得aN2且a44,。是偶數(shù)，

2<a<8J=La^4,。是偶數(shù)，

則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是2+6+8=16,

故答案為：16.

【分析】本題考查了分式的化簡求值.原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)

算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值.

二+j（、+3）—3）

x—3x—3(I)

xx-3

x-3x+3

x+3

當(dāng)工=一2時(shí)，原式=J=_2.

20.(1)12007E；1000元

⑵w=200a+20000(。28)；購買/種書架8個(gè)，8種書架12個(gè)

(3)120

答案第H頁，共19頁

【分析】本題考查運(yùn)用分式方程，一次函數(shù)，一元一次方程解決實(shí)際問題.

(1)設(shè)2種書架的單價(jià)為尤元，則/種書架的單價(jià)為Q+20%)x元，用18000元購買/種書

180009000

架(l+20%)x個(gè)'用9000元購買5種書架等個(gè)，根據(jù)素材二即可列出方程，求解并檢驗(yàn)

即可解答；

(2)根據(jù)總費(fèi)用=/種書架的總費(fèi)用+2種書架的總費(fèi)用即可列出函數(shù)，根據(jù)資料三求出

自變量。的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可求出總費(fèi)用的最小值；

(3)根據(jù)總費(fèi)用=4種書架的總費(fèi)用+2種書架的總費(fèi)用列出一元一次方程，求解即可解

答.

【詳解】(1)解：設(shè)3種書架的單價(jià)為x元，則/種書架的單價(jià)為Q+20%)x元.

180009000，

由題意得------=6,

(1+20%)%x

解得x=1000,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1000是分式方程的解，且符合題意，

(l+20%)x=1200.

答：48兩種書架的單價(jià)分別為1200元，1000元.

(2)解：購買a個(gè)/種書架時(shí)，購買總費(fèi)用w=1200a+1000(20-a),

即w=200a+20000,

2

由題意得，。應(yīng)滿足：。2§(20-a),解得aN8.

200>0,

??.w隨著a的增大而增大，

當(dāng)。=8時(shí)，w的值最小,最小值為200x8+20000=21600,

；?費(fèi)用最少時(shí)購買/種書架8個(gè)，8種書架12個(gè).

(3)解:由題意得

(1200—加)x8+(1000+g加1x12=21120,

解得加=120.

21.(1)原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各為40米，50米

(2)該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排8名工人施工

【分析】此題考查了分式方程的應(yīng)用，以及一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)

鍵.

答案第12頁，共19頁

(1)設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道X米，則實(shí)際施工每天鋪設(shè)管道(l+25%)x,根據(jù)原計(jì)劃的時(shí)間

=實(shí)際的時(shí)間+15列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；

(2)設(shè)該公司原計(jì)劃應(yīng)安排歹名工人施工，根據(jù)工作時(shí)間=工作總量+工作效率計(jì)算出原計(jì)

劃的工作天數(shù)，進(jìn)而表示出所有工人的工作總額，由所有工人的工資總金額不超過18萬元

列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整數(shù)解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道x米，則實(shí)際施工每天鋪設(shè)管道(1+25%)X=1.25X

米，

皿用河上辦30003000

根據(jù)題意得：——+15=——,

1.25%尤

解得：x=40,

經(jīng)檢驗(yàn)尤=40是分式方程的解，且符合題意，

???1.25x=50,

則原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各為40米，50米；

(2)解：設(shè)該公司原計(jì)劃應(yīng)安排y名工人施工，3000+40=75(天)，

根據(jù)題意得：300x75)；<180000,

解得：V<8,

??.不等式的最大整數(shù)解為8,

則該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排8名工人施工.

22.(1)只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要9.5kg清水.

(2)進(jìn)行兩次漂洗，能達(dá)到洗衣目標(biāo)；

(3)兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí)

【分析】本題考查的是分式方程的實(shí)際應(yīng)用，求解代數(shù)式的值，理解題意是關(guān)鍵；

(1)把品=0.01%,%=0.2%代入金=產(chǎn)業(yè)，再解方程即可；

(2)分別計(jì)算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；

(3)根據(jù)(1)(2)的結(jié)果得出結(jié)論即可.

【詳解】(1)解：把d后=0.01%,d前=0.2%代入d

0.5+w

得0.01%=°$x

0.5+w

解得卬=9.5.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；

???只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要9.5kg清水.

答案第13頁，共19頁

（2）解：第一次漂洗:

把wag，％=。2%代入^

0.5x0.2%

=0.04%

0.5+2

第二次漂洗:

把叫2kg,代入丫黑,

0.5x0.04%wo

后0.5+2

而0.008%<0.01%,

???進(jìn)行兩次漂洗，能達(dá)到洗衣目標(biāo);

（3）解：由（1）（2）的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過兩次漂洗既能達(dá)到洗衣目標(biāo)，還能大幅度節(jié)約

用水，

???從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí).

23.（1）A種外墻漆每千克的價(jià)格為26元，則3種外墻漆每千克的價(jià)格為24元.

（2）甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是25平方米.

【分析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意建立方程是解本題

的關(guān)鍵；

（1）設(shè)A種外墻漆每千克的價(jià)格為x元，則8種外墻漆每千克的價(jià)格為（》-2）元，再根據(jù)

總費(fèi)用為15000元列方程求解即可；

4

（2）設(shè)甲每小時(shí)粉刷外墻面積為V平方米，則乙每小時(shí)粉刷外墻面積是1了平方米；利用

乙完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間比甲完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間多5小時(shí).從而建立分式方程求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)A種外墻漆每千克的價(jià)格為龍?jiān)?，則3種外墻漆每千克的價(jià)格為（x-2）

兀，

...300x+300（x-2）=15000,

解得：x=26,

?,?x-2=24,

答：A種外墻漆每千克的價(jià)格為26元，8種外墻漆每千克的價(jià)格為24元.

4

（2）設(shè)甲每小時(shí)粉刷外墻面積為了平方米，則乙每小時(shí)粉刷外墻面積是平方米;

答案第14頁，共19頁

500u500

"5--

于

解得：夕=25,

經(jīng)檢驗(yàn)：V=25是原方程的根且符合題意，

答：甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是25平方米.

24.-7

【分析】本題考查分式方程的解，不等式組的解，解關(guān)于x的不等式組，根據(jù)其解的情況確

定4的取值范圍；解關(guān)于丁的分式方程，根據(jù)其解的情況確定。的取值范圍，從而確定符合

條件的所有整數(shù)。的值并求和即可.掌握分式方程、一元一次不等式及不等式組的解法是解

題的關(guān)鍵.

2x-l>3x-5?

【詳解】解:

—3x+a<2②

解不等式①得：x44,

解不等式②得：x＞二

???不等式組有且只有3個(gè)偶數(shù)解，

.-.-2<<0,

3

?**-4Wa<2；

y+aa.

\-----------------=1,

y—2y+2

在方程兩邊同乘以(y+2)(y-2),得:

(V+a)(y+2)-a(y-2)=(y+2)(y-2),

解得：>=-2(。+1),

???分式方程的解為正數(shù)，

-2(a+1)>0,

Q<—1,

?.。=2或-2是分式方程的增根，

???QW0或aW—2,

答案第15頁，共19頁

二-4Va<—1aK—2,

???。為整數(shù)，

可以是-4,-3,

??--4-3=-7,

符合條件的所有整數(shù)a的和為-7.

故答案為：-7.

25.加之-3且機(jī)W-1

【分析】本題主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程

-3=1匚的解為》=卓，再根據(jù)題意列出不等式知胃20且空口力1,最后求解

x-11-x222

即可，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：y