第08講勾股定理的探究

8析教材學(xué)知識(shí)

⑤知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的發(fā)現(xiàn)

1.如圖，若將每個(gè)小正方形的面積看作1,以夕C1為邊的正方形的面積是9,以A，C「為邊

的正方形的面積是16,那以A，B'的面積為多少呢？25

2.如圖一，使用的方法是？如圖二，使用的方法是?

圖一的方法是拼補(bǔ)法；圖二是分割法。

3.上圖求完后，可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)正方形的面積關(guān)系是？

兩個(gè)小正方形的面積相加=大正方形的面積

而由于正方形的面積公式為邊長2,所以可以得出B,C,2+A，c,2=A'B'2。

因此，直角三角形的斜邊、直角邊有如下關(guān)系：

直角三角形兩個(gè)直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,這個(gè)定理稱為勾股定理。也稱為空

達(dá)哥拉斯定理。在古代我們把較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為'‘股"，斜邊稱為“弦”。

因此有了勾三股四弦五的結(jié)論。

幾何語言：VZC=90°.*.a2+b2=c2

注：在使用勾股定理的時(shí)候，可以靈活運(yùn)用公式，a2=c2-b2,b2=c2-a2,c2=（a+b^-2ab

@知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的證明

圖一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

證明:所以『+必=1.

證明名稱：鄒元治證明

圖二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

“1=(6?a尸+4x.

證明:所以＜?=『+必.

證明名稱：趙爽弦圖

圖三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.

證明:所以a-L

證明名稱：1876年美國總統(tǒng)伽菲爾德證明

圖四：如圖（4）所不

證明：證▲ACIZAADB,由同底等高可以得出

=

^AADB=~SADKJ2__MCIQAB?,_得出SADKJ=4臺(tái)？

同理可得，Sg=BC?,所以AB?+BC?=AC?

證明名稱：歐幾里得證明

解：在RtZ\ABC中，NC=90。，

教材習(xí)題01

AC=2,BC=y/5,

在中，NC=90。，AC=2,BC=卮求AB

由勾股定理得，

的長.

AB=VAC2+BC2b+(肩=3

教材習(xí)題

02解：如圖所示：

在如圖所示的數(shù)軸上作出而所對應(yīng)的點(diǎn)（不要求

寫作法，保留作圖痕跡）.

111111111

-4.4=2.1n1?11111111

—5—4—3—2—1012

教材習(xí)題03

(1)證明：?：DE±BC,

【探究發(fā)現(xiàn)】我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直

???/￡=90。，

角三角形拼成如圖1所示圖形，其中四邊形ABED和四邊形

???NDBE+NBDE=90。,

CFG”都是正方形，巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊

?:?ABD90?,

長。，6,。之間的一個(gè)重要結(jié)論：a2+b2=c2

JZABC+/DRE=90。,

【深入思考】

JZABC=/BDE,

如圖2,在VABC中，NC=90。，BC=a,AC=b,AB=c,

又NC=ZBED=90°,AB=BD,

以AB為直角邊在AB的右側(cè)作等腰直角△腦￡>,其中

考點(diǎn)一、勾股定理解三角形

1.已知一個(gè)直角三角形，兩直角邊的平方和為400,則斜邊長為（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】B

【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為c,那么

a2+b2=c2.直接根據(jù)勾股定理得到片+廿=02,根據(jù)題意計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a、b,斜邊為c,

由勾股定理得：^+b1=c1,

由題意得：〃+戶=/=400,

c2=400,

c=20,即斜邊長為20.

故選：B.

2.在中，?B90?,AC=5,AB=3,則3C=.

【答案】4

【分析】本題考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：V?B90?,AC=5,AB=3,

BC=7AC2-AB2=V52-32=4-

故答案為：4.

3.已知在VABC中，NACB=90。，AC=6cm,3C=2cm,求AB的長.

【答案】2廂cm

【分析】

利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：：在VA3C中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=2cm,

■■由勾股定理得AB=VAC2+BC2=V62+22=2&5cm?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)二、勾股定理與無理數(shù)

1.如圖，兩個(gè)邊長為1的正方形排列在數(shù)軸上形成一個(gè)矩形，以表示3的點(diǎn)為圓心，以矩形的對角線長度

為半徑作圓w與數(shù)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其中點(diǎn)P表示的數(shù)是（）

-10?12346r

*、/?

A.VsB.275C.3+75D.2+75

【答案】C

【分析】本題主要考查勾股定理的知識(shí)，數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的方法.解題關(guān)鍵是利用勾股定理求出矩形的

對角線長度，同時(shí)要掌握圓上各點(diǎn)到圓點(diǎn)的距離相等都為半徑.圖中矩形的長為2,寬為1,則可根據(jù)勾股

定理求出矩形對角線的長度.以對角線長度為半徑作圓與x軸正方向交于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸表示的數(shù)即為3加上

對角線的長度.

【詳解】解：應(yīng)用勾股定理得，矩形的對角線的長度=彳萬=6，

以矩形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸正方向于點(diǎn)P,

所以數(shù)軸上的點(diǎn)尸表示的數(shù)為：3+75.

故選：C.

2.如圖，CD=1,/BCD=90。,若數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為。，貝。。的值為.

D

___IIB、//I.

-2-10123

【答案】岳

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，解題的關(guān)鍵是求出A3,根據(jù)勾股定理求出A3,即可得。的

值.

【詳解】解：VC￡>=1,ZBCD=90°,BC=2,

?*-BD=BA7CD。+BC，=石，

a=A/5,

故答案為：向

3.如何在數(shù)軸上作出表示石的點(diǎn)？我們可以這樣做：如圖1,在數(shù)軸上找出表示。與2的點(diǎn)，分別記為點(diǎn)

A與點(diǎn)C,作3CLAC,且8c=1,以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)B',則點(diǎn)3'表

示的數(shù)即為6.參照上述方法，在圖2的數(shù)軸上畫出表示-舊的點(diǎn)，并說明該點(diǎn)表示的數(shù)是-而.

B

圖I圖2

【答案】見解析

【分析】本題考查了勾股定理、實(shí)數(shù)與數(shù)軸等知識(shí)，由勾股定理求出A3的長是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在數(shù)軸上找出表示0與2的點(diǎn)，分別記為點(diǎn)A與點(diǎn)C,作BC，AC,且BC=2,以點(diǎn)A為圓

心，AB長為半徑畫弧，交數(shù)軸負(fù)半軸于點(diǎn)D,則點(diǎn)。表示的數(shù)即為-

,?BCrAC,

AB=>]AC2+BC2=^32+22=713,

:點(diǎn)D位于點(diǎn)A的左側(cè),

點(diǎn)。表示的數(shù)是-布.

考點(diǎn)三、勾股定理與網(wǎng)格問題

1.如圖，在6x6方格中，點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上，VABC的對稱軸經(jīng)過格點(diǎn)（）

A.P}B.P2C.P3D.P4

【答案】C

【分析】設(shè)小正方形的邊長為1,根據(jù)勾股定理，得C4=CB=E?=M，根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)

解答即可.

本題考查了勾股定理，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為I,根據(jù)勾股定理，得

22

P3A=P3B=yj]+3=>/10-

故鳥c是A8的垂直平分線，也是等腰三角形的對稱軸，

=+*=2y/ifRB=2,片不在AB的垂直平分線上，

同理可證，2，舄都不在A3的垂直平分線上，

2.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為1,B,C,D是4x4的正方形網(wǎng)格上的格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)），以點(diǎn)A為圓

心，4D的長為半徑畫圓，交數(shù)軸于M,N兩點(diǎn)，則點(diǎn)N表示的數(shù)為.

【答案】i+Vw/^+i

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵.直接利用勾股定理得出AD的長，再利用

數(shù)軸得出答案.

【詳解】解：；軸，

ZAOD=9Q)°,

△AOD是直角三角形，

VOA=1,0D=3,

AD=y/32+l2=y/10，

AN=AB=AD=y/lO,

點(diǎn)所表示的數(shù)為：1+M.

故答案為：I+JQ.

3.如圖，在6x6網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1,已知格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))線段AB.

(1)線段A3的長為；

(2)畫格點(diǎn)VABC,使VABC是等腰三角形，且NBAC是鈍角；

(3)畫格點(diǎn)△板),使NABD=45。.

【答案】⑴拈

(2)見詳解

(3)見詳解

【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌

握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)直接運(yùn)用勾股定理列式計(jì)算，即可作答.

(2)因?yàn)閂ABC是等腰三角形，且是鈍角，進(jìn)行作圖即可；

（3）結(jié)合網(wǎng)格特征，運(yùn)用SAS證明得出=ZABN^ZDAW,因?yàn)?/p>

/區(qū)村+4@/=90。，故/04亞+/&^=90。，貝1」/94￡>=90。，故54D是等腰直角三角形，BPZABD=45°.

【詳解】⑴解：AB=732+12=V10>

故答案為：屈；

（2）解：等腰三角形VABC如圖所示：

?-JIIIIII

...

??????

(3)解：△AB￡＞如圖所示.

考點(diǎn)四、勾股定理與折疊問題

1.如圖，長方形紙片ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,將此長方形紙片折疊，使點(diǎn)。、3重合，點(diǎn)C落在

點(diǎn)”的位置，折痕為￡F,貝!LABE的面積為（）

-。

C

A.6cm2B.8cm°C.10cm2D.12cm2

【答案】A

【分析】設(shè)AE=xcm,則團(tuán)=8E=（9-x）cm,根據(jù)勾股定理可求得AE,OE的長，從而不難求得“ABE

的面積，本題考查了利用勾股定理與折疊的問題.

【詳解】解：設(shè)AE=;tcm,由折疊可知：ED^BE=（9-x）cm,

.在RtAABE中，32+x2=(9-x)2

x=4,

2

.-.sAB￡=|AE-AB=1x3x4=6（cm）

故選:A.

2.如圖，將一張長方形紙片A3CD沿所折疊，使C、A兩點(diǎn)重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處.已知AB=4,BC=8.則

線段陽的長是

G

【分析】本題考查了長方形與折疊問題，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

設(shè)FD=x，則/3=8-x,由折疊的性質(zhì)得：GF=FD=x,AG=CD=4,NAGb="=90。，最后在

中，由勾股定理得AG?+GL=A產(chǎn)，即42+必=(8-司2,解出x即可.

【詳解】解：設(shè)ED=x,貝|AF=8—x,

.四邊形ABCD是長方形，

,-.AD=BC=8,AB=CD=4,ID90?,

由折疊的性質(zhì)得：GF=FD=x,AG=CD=4,ZAGF=ZD=90°,

.?.在RtZXAG尸中,由勾股定理得AG?+G尸=A廣，BP42+x2=(8-x)2,

解得：x=3,即線段ED的長為3,

故答案為：3.

3.如圖，直角三角形A0B中，49=6,30=8,M是08的上的一點(diǎn)，若將一沿A〃折疊，點(diǎn)8恰

好落在AO所在直線上點(diǎn)B'處.

(1)求邊A5的長；

⑵求。Af的長；

(3)在AO所在直線上找一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)尸、M,￡為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請直接寫出0P的長.

【答案】⑴10

(2)OM=3

7

(3)。尸=—或。尸=4或?！?9或0尸=1

8

【分析】本題考查勾股定理與折疊問題，等腰三角形的性質(zhì)：

(1)直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；

(2)折疊的性質(zhì)，得到物/=AB^AB,設(shè)=在Rt-B'OM中利用勾股定理，進(jìn)行求解即可;

(3)分PM=PB；PM=MB；PB'=MB',三種情況進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】（1）解：直角三角形AOB中，AO=6,30=8,

AB=yJo^+OB2=10：

（2）..?折疊，

?*-AB=AB'=10，BM=B'M,

OB'=AB'-OA=4,

設(shè)QW=x,

?*.BM=B'M=OB-OM=8-x,

在RtB'OM中，B'M2=OM2+OB'2,

?*.（8-x）2=x2+42,

解得：x-3；

OM=3；

（3）由（2）可知：BM=B'M=OB-OM=5-,

當(dāng)點(diǎn)P、M、B'為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí):

①當(dāng)=時(shí)：

斗一/乙k

則：OP=OB'=4；

②當(dāng)8尸=341=5時(shí):

,-4

//卡

pt看_op

、'、----/

貝U：OP=B'P-OB'=1,或OP=B'P+OB'=9

③當(dāng)"尸=MP時(shí)：

設(shè)OP=a,則：BfP=PM=OBf-OP=4-a,

在Rt_POM中，由勾股定理，得：（4-〃）2=4+32,

.7

,.a=—

8

7

.??0P=-

8

7

綜上：OP）或。尸=4或OP=9或OP=1.

8

考點(diǎn)五、趙爽弦圖

1.如圖是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形.若AE+BE=8,AB=6,則直角.ABE

的面積為（）

A.7B.7.2C.7.5D.8

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理以及完全平方公式的意義；設(shè)=座=區(qū)"=c,根據(jù)題意以及勾股定

222

理可得a+〃=8,c=6,a+b=c,根據(jù)完全平方公式變形可得（a+4-2仍=c?,代入數(shù)據(jù)求得就=14,

進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.

【詳解】解：設(shè)鉆=6,EB=a,AB=c

222

依題意，a+b=8,c=6,a+b=c

（a+by—2ab=a2+b2=c2

；?2o&=82-62=28

ab=14

直角ABE的面積為:成=7,

故選：A.

2.如圖所示的圖形表示勾股定理的一種證明方法，該圖形是由四個(gè)全等的直角三角形(陰影部分)與中間

的空白部分組成.若正方形ABCD的邊長為5,五邊形AEFCD的面積是36,則圖中空白部分的面積是.

E一B------生

【答案】14

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，用五邊形的面積減去正方形的面積求出兩個(gè)全等的直角三角形的

面積，進(jìn)而即可求解，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：正方形ABCO的邊長為5,

二正方形ABCD的面積為25,

兩個(gè)全等的直角三角形的面積=五邊形AEFCD的面積-正方形ABCD的面積=36-25=11,

圖中空白部分的面積=正方形ABCD的面積-兩個(gè)全等的直角三角形的面積=25-11=14,

故答案為：14.

3.勾股定理具有豐富的文化內(nèi)涵，它揭示了直角三角形的三邊關(guān)系，搭建起幾何與代數(shù)之間的橋梁，為解

決幾何問題拓寬了思路.請完成下面問題：

(1)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖1所示的“趙爽弦圖”是

由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為6,較短直角

邊長為a,若(4+92=21,大正方形的面積為13,則小正方形的面積是一；

圖1

(2)如圖2,小明把趙爽弦圖里的4個(gè)全等的直角三角形適當(dāng)拼合，并作出一條輔助線，其他條件不變，利

用這個(gè)圖形也可以驗(yàn)證勾股定理，你能說明其中的道理嗎？

圖2

(3)如圖3,在VABC中，4D是BC邊上的高，AB=4,AC=5,BC=6,求的值.

圖3

【答案】(1)5

(2)見解析

嗚

【分析】本題考查勾股定理的幾何背景，完全平方公式與幾何圖形的面積，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.

(1)設(shè)直角三角形的斜邊為。，利用勾股定理和完全平方公式求出2必的值，利用大正方形的面積減去四

個(gè)直角三角形的面積進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)圖形的總面積等于一個(gè)大正方形的面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，也等于兩個(gè)小正方形的面積

加上兩個(gè)直角三角形的面積，然后整理即可得證；

(3)在RtZkAB。和RSACD中，根據(jù)勾股定理可得出AD2=4?-BD?=5?-的-取))?，即可求解.

【詳解】(1)解：設(shè)斜邊的長為明

由題意，得：c2=13,a2+b2=c2=13,

(a+Z?)2=a2+2ab+b2=21,

2oZ?=(a+Z?)2-(a2+Z72)=21-13=8,

小正方形的面積為：c2-4x|flZ7=c2-2^=13-8=5；

(2)解：圖形的總面積可以表示為°2+2乂!浦=02+/或+

22

?,c?+ab=6T++ub，

a2+b2=c2;

(3)解：在RtAAB。中，AD2=AB2-BD1=41-Bb2,

在RtAACD中，AD2=AC2-CD2=52-(6-BD)2,

42-BD2=52-(6-BD)2,

9

解得8。=：.

4

考點(diǎn)六、勾股定理的證明

1.【材料學(xué)習(xí)】

在勾股定理的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用圖1、圖2的圖形，驗(yàn)證著名的勾股定理，這種根據(jù)圖形直觀推

論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”.實(shí)際上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)

域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律.

【問題解決】

（1）材料中的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是;

A函數(shù)思想8分類討論思想C.數(shù)形結(jié)合思想D整體思想

（2）如圖，它由2個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小直角梯形組成，恰好拼成一個(gè)大直角梯形，也能證明勾股

定理，請你寫出證明過程；

【靈活應(yīng)用】

（3）如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=/DCB,過A點(diǎn)作AE〃CD交3C于點(diǎn)E,連接AC.若AB=6.

BE=4,AC=1,求EC的長度（結(jié)果保留根號(hào)）.

【答案】（1）C；（2）見解析；（3）V17-2

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的證明，解本題的關(guān)鍵是掌握

勾股定理.

（1）根據(jù)題意可得它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想；

（2）根據(jù)兩種方式表示出直角梯形，即可證明勾股定理；

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到=求得=得至ijAB=AE,過點(diǎn)A作于

點(diǎn)F,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到3F=EF=ggE=2,再根據(jù)勾股定理，即可求解.

【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想,

故答案為：C；

(2)如圖，

*.*ZEAB=ZFAC

：.ZBAC=ZEAF=90°

1(=g(2〃+Z7)Q=a2+^ab

sc梯形

=1X.XZ,1XX1X(?

+CC+XQ

又§梯形=SAEB+S+SBDC-6)(+6)

ABC2221

=—ab+—c2+—a2-—b2

2222

J.a1+—ab=—ab+—c2+—a1——b2

22222

,/從^2

??---1----..，

222

a2+b2=c2?

(3)VAE//CD,

：.ZAEB=/DCB,

*/ZABC=ZDCB,

：.ZABC=ZAEB,

***AB=AE,

過點(diǎn)A作4尸_1_班T于點(diǎn)P,

BF=EF=LBE=2,

2

在Rt_AB/和Rt_AC/中，

AB2-BF2=AF2=AC2-CF2,

62-22=72-(CE+2)2,

解得：EC=y/V7-2

2.如圖，以而ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊AB=3,求圖中陰影部分的面積.

9

【答案】

【分析】本題考查了等腰三角形的定義和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.根據(jù)等腰直角三角形

的性質(zhì)及勾股定理得出AB?=23尸2,AC-=2AD2,BC2=2CE2,AB2=AC2+BC2,利用三角形面積公式表

示出陰影面積即可得答案.

【詳解】解：?.?以RJABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，

:.AF=BF,AD=CD,CE=BE,

AB2=AF2+BF2=2BF2，AC2=AD2+CD2=2AD2，BC2=CE2+BE2=ICE2,AB2=AC2+BC2,

1192112711,

'：SABF=-BFAF=-BF,SACD=-ADCD=-AD,SBCE=-CEBE=-CE\

???陰影部分的面積=54所+5ACD+sBCE

=^(BF2+AD2+CE2)

=-AB2,

2

AB=3,

1Q

???陰影部分的面積=：X32=《.

22

3.為了求出湖兩岸A,B兩點(diǎn)之間的距離，觀測者小林在點(diǎn)C設(shè)樁，使VA3C恰好為直角三角形

(ZABC=90°),如圖所示，通過測量得AC長為26m,BC長為24m,請求出圖中A、8兩點(diǎn)之間的距離AB.

【答案】10m

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的形式.在Rt^ABC

中，利用勾股定理求出A3即可得出答案.

【詳解】解：由題意得，ZABC=90°,AC=26m,3C=24m,

在RtAABC中，AB=y]AC2-BC2=7262-242=10(m).

答：點(diǎn)A到點(diǎn)8的距離AB為10m.

串知識(shí)識(shí)框架

33___________

知識(shí)導(dǎo)圖記憶

C9過關(guān)測穩(wěn)提升

i.我國是最早了解勾股定理的國家之一.古代印度、希臘、阿拉伯等許多國家也都很重視對勾股定理的研

究和應(yīng)用.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是()

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的證明，正方形面積公式，三角形面積公式以及梯形面積公式，由正方形面

積公式、三角形面積公式以及梯形面積公式分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、大正方形的面積為：H，也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為:

—abx4+(jb-a)=Q2+/,

???a2+b2=c2,故原選項(xiàng)能證明勾股定理，不符合題意;

22

B、大正方形的面積為：（。+6）2,也可看作是2個(gè)矩形和2個(gè)小正方形組成，則其面積為：a+b+2ab,

.??（〃+Z?）2=a2+b2+2ab,

?,?原選項(xiàng)不能證明勾股定理，符合題意；

C、大正方形的面積為：（〃+b）2,也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：

—abx4+c2=2ab+c2,

2

（tz+Z?）2=lab+c2,

Aa2^b2=c\故原選項(xiàng)能證明勾股定理，不符合題意；

D、梯形的面積為：^a+b）（a+b）=^（a2+b2）+ab,也可看作是2個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形

組成，則其面積為：^abx2+^c2=ab+^c2,

—+廳）+ab—cibH—c~i

Aa2+b2=c2,故原選項(xiàng)能證明勾股定理，不符合題意；

故選；B.

2.如圖，在VABC中，ZC=90°,BC=2,AC=1,則A3的長是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形中，兩直角邊的長的平方和等于斜邊長的平方，據(jù)此求解

即可.

【詳解】解：???在VA3C中，ZC=90°,BC=2,AC=1,

AB=4AC1+BC2=712+22=A/5-

故選：D.

3.如圖，以點(diǎn)。為圓心，Q4長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)8,則點(diǎn)5表示的數(shù)為（）

（0）0IB23

A.1B.2C.72D.1+72

【答案】C

【分析】本題主要考查了勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確利用勾股定理求出08=04=應(yīng)是解題的關(guān)鍵.先

利用勾股定理求出。A=0,再根據(jù)題意得到03=Q4=夜，則點(diǎn)B所表示的數(shù)為也.

【詳解】解：由題意得。A="不=血，

?以點(diǎn)。為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)2,

*'?OB=OA=近,

，點(diǎn)5表示的數(shù)為及，

故選：C.

4.如圖，在VABC中，NACB=90。，AC的垂直平分線交A3于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接CO.若VABC

的周長為12,BC=3,則△BCD的周長為（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】C

【分析】本題主要考查了勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，由三角形周長計(jì)算公式可推出AS+AC=12,

設(shè)=則AC=8-x,由勾股定理得3?+（8-x）2=V,解方程可得.=5,由線段垂直平分線的性質(zhì)可

得到8=4）,據(jù)此根據(jù)三角形周長計(jì)算公式求解即可.

【詳解】解；：VABC的周長為12,

AB+AC+BC=\2,

,/BC=3,

AB+AC=12,

設(shè)=貝i|AC=8-尤，

在RtZXABC中，由勾股定理得AC'+BC?=

32+（8-X）2=f,

解得x=5,

：.AB=5,

；AC的垂直平分線交A3于點(diǎn)。,

CD=AD,

：.△BCD的周長==

故選：C.

5.已知一個(gè)Rt一的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是()

A.25B.7或25C.7D.14

【答案】B

【分析】本題考查了利用勾股定理解直角三角形;已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還

是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即4是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解.

【詳解】解：分兩種情況：(1)3、4都為直角邊，由勾股定理得，斜邊的平方為：42+32=25；

(2)3為直角邊，4為斜邊，由勾股定理得，直角邊的平方為：42-32=7.

第三邊長的平方是25或7,

故選：B.

6.某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)完勾股定理后，類比“趙爽弦圖”將八個(gè)全等的直角三角形拼接構(gòu)造成如圖所示的弦圖,

圖中正方形ABC。，正方形EFGH,正方形的面積分別記為S2,S3.若凡+S?+邑=75,則所

的長是()

A.2A/2B.4C.5D.573

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理，正方形面積的計(jì)算，整式的運(yùn)算等，利用勾股定理結(jié)合正方形的面積公式以

及面積關(guān)系列出等式，即可求解.掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)RfE3廠的長直角邊為。，短直角邊為6,斜邊長為c,貝人c2=a2+b2,

22

由題意,得：S]=(a+6)2,S2=c,S3=(a-b),

S]+S?+S3=(6Z+b)2++(q—Z?)2f

—a2+2ab+Z?2+c?+a2—2ab+H

=c2+c2+c2

=3c2=75，

，=25,

即EF2=25，

:.EF=5,

故選：C.

7.勾股定理的證明方法多樣，如圖是“水車翼輪法”證明勾股定理：將正方形AUU沿分割線JK,分割

成四個(gè)全等四邊形，再將這四個(gè)四邊形和正方形ABED拼成大正方形3的.若AB=2.BC=g則4的

長為_____.

【答案】j3

【分析】本題考查了勾股定理的證明，正確得出AG-A￡=OP+ON是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，

在直角VABC中，由勾股定理得,

AC=y]BC2-AB2=J（回）-22=5,

AG=AC=5,

.將正方形ACFG沿分割線JK,3分割成四個(gè)全等四邊形，再將這四個(gè)四邊形和正方形ABED拼成大正

方形BCHI,

:.OP=ALNP=GL,

:.AG—AL=OP+ON,

5—AL-AL+2,

-'-AL=2

3

故答案為：-

8.如圖，已知在直角三角形中，以直角邊為邊長的兩個(gè)正方形的面積分別為Icm2,9cm2,則以斜邊為邊長

的正方形的面積是

【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，考查了正方形面積的計(jì)算，本題中直角VABC是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

正方形面積得出AB?=901?,BC2=lcm2,根據(jù)勾股定理得出AC2=9+l=10（cm）2即可得出答案.

BC2=lcm2,且ZABC=90°,

AC2=9+l=10（cm）2.

以斜邊為邊長的正方形的面積是10cn?.

故答案為：lOcn?.

9.在直角三角形A3c中，ZACB=90°,AB=5,BC=4,貝I|AC=

【答案】3

【分析】本題主要考查了勾股定理，靈活運(yùn)用勾股定理解直角三角形成為解題的關(guān)鍵.

直接根據(jù)勾股定理解直角三角形即可.

【詳解】解：：在直角三角形ABC中，NACB=90。，AB=5,BC=4,

AC=7AB2-BC2=752-42=3.

故答案為：3.

10.在..ABC中，AB=5,BC=6,BC邊上的高的長為4,則邊AC的長為

【答案】5或歷

【分析】本題考查了勾股定理，三角形面積計(jì)算，掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.分ZABC是銳角、鈍角兩種

情況討論，分別求出AC的長即可.

【詳解】解：當(dāng)NABC是銳角時(shí)，過點(diǎn)A作ADLBC于點(diǎn)。,

,AB=5,8C邊上的高AD的長為4,

BD=-jAB^Ab1=752-42=3，

,?BC=6,

：.CD=BC—BD=3,

AC=^AD2+DC2="+3?=5；

當(dāng)NABC是鈍角時(shí)，過點(diǎn)A作AD，5c的延長線于點(diǎn)

VAB=5,BC邊上的高AD的長為4,

?*-BD=-JAB2-AD2=3，

：.CD=BC+BD=9,

貝1JAC=7AD2+CD2=A/42+92=質(zhì),

故答案為：5或9.

11.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較

長直角邊長為。，較短直角邊長為6,若乃=16,大正方形的面積為36.則小正方形的邊長為.

【答案】2

【分析】本題考查與弦圖為背景的問題，數(shù)形結(jié)合，表示出小正方形的邊長為a-8,再由完全平方差及勾

股定理求解即可得到答案.

【詳解】解：由題意可知，大正方形的面積為36,設(shè)大正方形邊長為則在“趙爽弦圖”的直角三角形中，

/+/=C2=36,

小正方形的邊長為a-6,貝!|=/+尸,

ab=16,

..(a-Z?)2=36-2x16=4,

又小正方形的邊長為a-b>0,則小正方形的邊長為a-b=2,

故答案為：2.

12.如圖所示，已知RtABC中，48=90。,乙4=60。,AB=2,點(diǎn)M,N分別在線段AC,AB上，將ANM沿

直線折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)。恰好落在線段上，當(dāng)3coM為直角三角形時(shí)，AM的長為.

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)，分類討論是關(guān)鍵.

根據(jù)題意得到NC=3(F,AC=4,AM=DM,AN=DN,ZA=ZMDN=60°,分類討論：當(dāng)/CMD=90。時(shí)，

設(shè)TM/=DA1=X(X>0),貝l]CM=AC—=CD=2X,CD2=DM2+CM2,即(2x)?=/+(4一尤y；

當(dāng)NC￡)M=90。時(shí)，設(shè)AM=DM=x(x>0),則CM==4—x,CM=2DM,即4-x=2x；由止匕

解方程即可求解.

【詳解】解：VZB=90°,ZA=60°,AB=2,

/.ZC=30°,AC=2AB=4,

,/將一ANM沿直線MN折疊得到，DNM,

：.AM=DM,AN=DN,ZA=ZMDN=60°,

當(dāng)NGWD=90。時(shí)，r是直角三角形，

c

^AM=DM=x（x>0）,則CM=AC-AM=4-x,CD=2x,

CD-=DM-+CM2,即（2x）2=d+（4-x）2,

解得，x=2A/3-2（負(fù)值舍去），

:.AM=26-2；

當(dāng)/COM=90。時(shí)，CDM是直角三角形，

同理，^AM=DM=x(x>0),貝！|CM=AC_/VW=4_x,

：.CM=2DM,即4一x=2無，

4

解得，尤=1，

4

AM=--

3

綜上所述，AM的長為1?或2