廣東省廣州市三校（廣大附中、鐵一中學(xué)、廣州外國語）2024-2025學(xué)年高

二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，若的=7,'=90,則%=（）

A.20B.18C.16D.15

2.已知函數(shù)/（x）=￡,曲線y=/（x）在點(diǎn)（1J⑴）處的切線與直線2x—=0平行，則實(shí)數(shù)。的值為（）

11cl

A.—B.—C.-D.1

242

3.下列說法不正確的是（）

A.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量無，y,且回歸方程為V=0.3x-m,若樣本點(diǎn)的中心為（-4,%）,則實(shí)數(shù)

m的值是-0.6

B.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（1Q2）,且尸（XV2）=0.7,則P（l<X42）=0.2

C.若線性相關(guān)系數(shù)卜|越接近1,則兩個變量的線性相關(guān)程度越高

D.一組數(shù)據(jù)10,10,11,12,12,14,16,19,21.21的第80百分位數(shù)為19

4.已知A48C是邊長為1的正三角形，E為BC中點(diǎn),且麗=2方心，則五濟(jì)7方=（）

3333

A.—B.-C.—D.一

2244

5.牛頓冷卻定律，即溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時所遵循的規(guī)律.如果物體的初

t_

始溫度為”,則經(jīng)過一定時間f分鐘后的溫度T滿足T一其中方是環(huán)境溫度，〃為常數(shù).

現(xiàn)有一個105℃的物體，放在室溫15℃的環(huán)境中，該物體溫度降至75℃大約用時1分鐘，那么再經(jīng)過加分

鐘后，該物體的溫度降至30℃,則％的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：坨2Q0.3010,lg3=0.4771）

A.2.9B.3.4C.3.9D.4.4

6.在三棱錐尸中，V48c和△P8C均是邊長為的等邊三角形，若PB,則三棱錐P-48c

的體積為（）

A.2A/3B.4C.2^5D.2網(wǎng)

22

7.已知雙曲線C：?-a=1（。>0）>0）的左、右焦點(diǎn)分別為4，F(xiàn)2,直線/經(jīng)過耳，且與C交于/,B

兩點(diǎn)，若麗=g項，麗?正=0,則C的離心率為（）

A.—B.V5C.V3D.V2

2

8.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，若第

一次由甲傳出，則經(jīng)過6次傳球后，球恰在乙手中的概率為（）

31r11-21r23

A.B.■C.—D.—

96326464

二、多選題

9.已知。>0,6>0,且=4,貝!］（）

A.a2+b2>^B.2a+26>8

149

C.loga+logb>2D.—+

22ab4

10.口袋里裝有2紅，2白共4個形狀相同的小球，對其編號紅球1,2,白球3,4,從中不放回的依次取

出兩個球，事件/="第一次取出的是紅球“，事件2="第二次取出的是紅球“，事件C="取出的兩球同色”,

事件"取出的兩球不同色"，貝I］（）

A.A與8互斥B.。與?；閷α⑹录?/p>

C.A與C相互獨(dú)立D.尸（D|2）=g

H.已知尤=-1是函數(shù)/3=1+。產(chǎn)，的極大值點(diǎn)，則（）

A.函數(shù)/（x）的極小值為0

B.若-l<x<0,則

C.若0<7M<P，則了=/（x）-機(jī)有3個相異的零點(diǎn)

D.若/（再）=/卜2）（其中則再+馬<0

三、填空題

12.若5吊［口+弓）=；,則$也［2￡-己）=

13.為弘揚(yáng)志愿者精神，某校舉行“樂于助人”服務(wù)活動，現(xiàn)安排甲，乙等4人到三個不同地方參加活動，每

個地方至少1人，若甲和乙不能去同一個地方，則不同的安排方式有種.

14.2022年北京冬奧會開幕式中，當(dāng)《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中央，十分

壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)

學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條

邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程

若第1個圖中的三角形的周長為1,則第"個圖形的周長為；若第1個圖中的三角形的面積為

1,則第〃個圖形的面積為.

四、解答題

15.S"為數(shù)歹式?！埃那皀項和，已知an>0,a；+an=2Sn+2.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)〃=」一，求數(shù)列也｝的前〃項和小

anan+\

16.已知函數(shù)f(x)=5-4x+alnx(aeR)有兩個極值點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)記兩個極值點(diǎn)分別為毛，x2,證明：/(xj+/(x2)+l0>lna.

2

17.甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，假設(shè)每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且每局比賽甲獲勝的概率為1,乙獲勝的

概率為;.

(1)若比賽采用三局兩勝制，求甲獲勝的概率；

(2)如果比賽采用五局三勝制(當(dāng)一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結(jié)束)進(jìn)行比賽，求比賽的局?jǐn)?shù)X

的分布列和期望；

(3)如果每局比賽甲獲勝的概率為M。<。<1)，乙獲勝的概率為q(q=1-P),比賽的賽制有五局三勝制和三

局兩勝制兩種選擇，請問對于甲選手來說，該如何選擇比賽賽制對自己更有利，請說明理由，由此你能得

出什么結(jié)論.

18.已知橢圓C：W+/=l(a>6>0)的短軸長為2,離心率為等.

⑴求C的方程；

(2)若4，4分別是c的左、右頂點(diǎn)，不與無軸垂直的動直線/與c交于尸，。兩點(diǎn)(不同于4,4)，且直

線4尸的斜率等于直線4。的斜率的2倍，求證：直線/經(jīng)過定點(diǎn).

19.如圖，在平面四邊形48CD中，V48c為等腰直角三角形，A/CZ)為正三角形，ZABC=，AB=2,

現(xiàn)將△D/C沿/C翻折至ASNC,形成三棱錐S-/8C,其中S為動點(diǎn).

(1)證明：AC1SB；

(2)若SCJ_3C,三棱錐S-/3C的各個頂點(diǎn)都在球。的球面上，求球心。到平面S/C的距離;

(3)求平面SAC與平面SBC夾角余弦值的最小值.

廣東省廣州市三校(廣大附中、鐵一中學(xué)、廣州外國語)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

參考答案

題號12345678910

答案CADDBDACABDBC

題號11

答案ACD

1.C

【詳解】因為｛%｝是等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式和前n項和公式可得,

%=+3d=7

解得力=—2,d=3,

S9=9%+36d=90

所以%=4+6d=—2+18=16.

故選：C

2.A

—(x+?)-lnx1+--Inx

【詳解】由〃x)=*可得/，卜)=x_x

(X+Q)(X+Q)

J1+。1

則?(1)=「不

1+a

因為曲線>=〃x)在點(diǎn)處的切線與直線2x-y=0平行，

且直線2x-y=0的斜率為2,即」-=2,解得〃

1+a2

故選：A

3.D

【詳解】對于選項A,線性相關(guān)的回歸方程對應(yīng)的直線過點(diǎn)(-4,⑼，即機(jī)=0.3x(-4)-機(jī)，解得加=_0.6,

選項A正確；

對于選項B,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，尸(X>l)=0.5,尸(X>2)=1-尸(XW2)=1-0.7=0.3,貝I]

P(l<JT<2)=0.5-0.3=0.2,選項B正確；

對于選項C,相關(guān)系數(shù)的絕對值6越接近1,則兩個變量的線性相關(guān)程度越高，選項C正確；

對于選項D,共有10個按從小到大排列的數(shù)據(jù)，10x0.8=8,根據(jù)定義第80百分位數(shù)為第8項和第9項的平

均數(shù)更了=20,選項D錯誤.

2

故答案為：D

4.D

【詳解】由￡為5。中點(diǎn)，為正三角形，所以/、_L5C,如圖所示:

由圖可知彳方二近+歷，

所以而而=而（赤+而）=1可+0=1珂.

因為邊長AB=l,BE=g,所以根據(jù)勾股定理可得AE-Q=叵.

2\42

------------------I-------?|23

所以工尸40=|回=-.

故選：D.

5.B

1

，一

【詳解】由75-15=(105-15)>有2

I一3

mm,、陽

又30.15=（北（75一15），有出V，喧]

則機(jī)lg,=1g；,解得"?=]/g；a=i:

34Ig2-lg3Ig3-lg2

故選：B.

6.D

【詳解】取BC中點(diǎn)。，連接尸O,/。，如圖

由VABC和APBC均是邊長為2g的等邊三角形,

可知尸。=/。=2*26=3,

2

由尸8J_48可知，PA=yjPB1+AB2=V12+12=276)

在等腰三角形尸N。中，

S.。=冽04吟]=；義2屈義g=3門,

因為尸01BC,AO1BC,POC\AO=O,PO,AOu平面POA,

所以8C_L平面尸QN,

所以VP-ABC=^BC-4"。=；xx30=2遍，

故選：D

7.A

【詳解】由題意知44，4乙，3|/局二叵同，且4,5都在雙曲線的右支上.

設(shè)|，周二工,貝!耳|=2a+x,|7^B|=3x,|7*]S|=2a+3x.

在Rt△片45中，(3x+2a)2=0x)2+(x+2tz)2,得x=〃，

則I，勾=Q,M片|=3Q.

在Rt△/心中，國與「小『+?『，

即4c2=(3/+/,得°,=叵.

v7a2

所以雙曲線。的離心率為巫.

2

故選：A.

8.C

【詳解】設(shè)事件4=”第〃次球在甲手中”，紇="第〃次球在乙手中”，第〃次球在丙手中”,

那么由題意可知可知：="(紇)+*(c.),又尸(4)+尸(4)+尸(G)=i,

所以P(4+J=；-；P(4)，構(gòu)造等比數(shù)列尸=尸(4)-：=-；,愿卜「，

因為第一次由甲傳球，可認(rèn)為第o次傳球在甲，即尸(4)=1，

所以，尸(4)-1是以P(4)-g=|為首項，公比為-;的等比數(shù)列，

故尸==>F(A)=l+tHJ)

因為第一次由甲傳球，之后都是等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，所以乙、丙地位對稱，

1o1

即尸(4)=尸0,所以經(jīng)過6次傳球后，球恰在乙手中的概率為尸(線)=夕1-尸⑷)=已.

故選：C.

9.ABD

【詳解】對于A選項：因為?！?,b>0,a+b=4,則/+6222"，

即/+/之比互=￡=8，當(dāng)且僅當(dāng)。=b=2時等號成立，所以A選項正確；

22

對于B選項：因為2°>0,26>0,則2"+2〃22,2隈2〃=2""=2萬=8,

當(dāng)且僅當(dāng)“=6=2時等號成立，所以B選項正確；

對于C選項：當(dāng)。=1且6=3時，log2a+log2b=log21+log23=log23<log24=2,

所以C選項錯誤；

3工c日幣141(14\,xba5、、Iba59

對于D選項：—+—=—x—+—\(a+b\=—+—+—>2,——x—,

ab4yab)4〃64N4ab44

當(dāng)且僅當(dāng)3=f，即6=2a時等號成立，所以D選項正確，

4ab

故選：ABD.

10.BC

【詳解】基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43,共12種，

事件4=“12,13,14,21,23,24“；事件8=“12,21,31,41,32,42”；

事件C="12,21,34,43"；事件C="13,14,23,24,31,41,32,42”.

???/n8w0,；.A與3不是互斥事件，故A錯誤；

CUO=。，Cn￡)=0,與?；閷α⑹录蔅正確；

事件ZC="12,21"，.?/")=《=；,P(C)=?；,P(/C)*=：,事/C)=P(4)尸(C),；.A與C

相互獨(dú)立，故C正確;

事件BD="31,41,32,42“，尸(m)=:’尸(叫可=j

故D錯誤.

故選：BC.

11.ACD

【詳解】對于A中，由函數(shù)/卜)=卜2+°卜2，，可得八

因為x=-l是/(x)的極大值點(diǎn)，所以/(-1)=0,解得0=0,

所以/(x)=x2e2x,可得/(x)=2x(x+1)盧,

當(dāng)x<7時，r(x)>0,/(X)單調(diào)遞增；當(dāng)-l<x<0時，/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>0時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/卜)的極大值點(diǎn)為-1,極小值點(diǎn)為0,所以A正確；

對于B中，當(dāng)一l<x<0時，X-J?<0,貝!］一1<》</<0,

因為/'(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，所以/(/)</(x),所以B錯誤；

對于C中，由/(x)20,且當(dāng)X--8時，/(x)f0,當(dāng)Xf+8時，/(可一+8,

可得;'(X)的圖象，如圖所示，

當(dāng)0<加<看時，v=/(。-加有3個相異零點(diǎn)，所以C正確；

對于D中，因為-1<玉<0<^，要證西+/<0,只需證明/<-網(wǎng),

由/(無)在(0,+功上單調(diào)遞增，需證明/仁人八-玉)，

即當(dāng)一1<占<0時，證明

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-/(-x)(其中-1<X<O),

則8，卜)=/'卜)+/'(-口=(2/+2關(guān),2'+(2*_2為卜3=2無卜2%_片2')+2/卜2工+片2,

當(dāng)-l<x<0時，g,(x)>0,則g(x)在(TO)上單調(diào)遞增,

所以g(x)=/(x)-/(f)<g(O)=O,即當(dāng)-1<西<0時，/(xj)</(-%!),

所以/'(工2)</(-玉)，所以X?<-再,無?+赴<。，所以D正確.

故選：ACD.

12-4

【詳解】sin2”.=sin2a+-\-兀

l62

=-cos2r+?

l-2sin2fcr+—

、,7

故答案為：-三.

o

13.30

【詳解】安排甲，乙等4人到三個不同地方參加活動，每個地方至少1人,

則將4人按2,1,1分組，

若不考慮限制條件，

1「1

則此時不同的安排方式有?A；=36種,

當(dāng)甲和乙去同一個地方時，有A；=6種不同的安排方式，

所以若甲和乙不能去同一個地方，則不同的安排方式有36-6=30種.

故答案為：30

【詳解】記第〃個圖形為月，三角形邊長為4,邊數(shù)6",周長為4,面積為S“

耳有4條邊，邊長4；6有％=4々條邊，邊長的=；%;乙有4=42。條邊，邊長生=，］%；L

分析可知即％=（；］%；",=4b…即6.=*4'T

當(dāng)?shù)?個圖中的三角形的周長為1時，即6=1,4=3

所以4=m=1：x3x4"T=f

由圖形可知P?是在匕-每條邊上生成一個小三角形，即Sn=S“T+“TX日a；

即S?-S〃T=RxaA/3271Q。一62A

Xab9S=Xa

〃2也.1,Sn_x-Sn_2=-n-\'n-2'S：>.~1~2

~S\=乎(%2.%+

利用累加法可得an-\42+…+I.@

數(shù)列｛%｝是以;為公比的等比數(shù)列，數(shù)列抄“｝是以4為公比的等比數(shù)列,故是以g為公比的等比

數(shù)列，

當(dāng)?shù)?個圖中的三角形的面積為1時，鳥=1,即必1=1,此時需=迪，a,2=述，々有。=3條邊,

4''3'27

則a?-bn-\+an-\??-2+…+%2./[4?Ri)J

「一5

9

3{⑷F

所以1--|,所以

〃55⑼

痂型安％(4Y-183<4Y-1

故答案為：-，----x—

⑴55⑺

15.(1)。〃=〃+1

n

(2)7；=--

2〃+4

【詳角軍】(1)由a；+%=2S〃+2,①

可得3+i+?！?1=為用+2.②

由②—①得。3一片=%+1+%.

,4+1一凡=L

又當(dāng)〃=1時，得a；+a[=2S]+2.

解得％=2嗎=-1（舍去）

可得數(shù)列｛%｝是首項為2,公差為1的等差數(shù)列

BPan=〃+1,及￡N*.

(2)由(1)知”=；—J--

(n+1)(〃+2)

可得，=白——

77+1n+2

---1--------------=-----=----

2334〃+1〃+22n+22〃+4

可得＜=士

2〃+4

16.(1)(0,4)；

（2）證明見解析.

【詳解】（1）由題意得，/（無）=》-4+3=.一.+。,xe（O,+e）.

XX

因為「（X）有兩個極值點(diǎn)，所以方程f-4x+a=0有兩個不相等的正根,

所以;A=（T）-4“>0,解得K

xxx2=a>0

檢驗：當(dāng)0<。<4時，由/'（x）=。得x=2->4-/或x=2+j4-a.

所以/（x）在（0,2-上單調(diào)遞增，在（2-14-a,2+：4-a）上單調(diào)遞減,

在（2++8）上單調(diào)遞增，滿足題意.

所以實(shí)數(shù)Q的取值范圍為（0,4）.

（2）證明：由（1）知項+%2=4,再入2=。，

所以/(xj+/(%2)=g(x；+x2)+6/ln(XjX2)=alna-a-8,

所以/(xj+/(x2)+10-lnd!=(Q_1)1IIQ_Q+2.

令且（工）=（工_1）欣_工+2（0<%<4）,則g[x）=血」,

令〃(x)=g'(x)=lux-L則=工+[>0,

所以g'(x)在(0,4)上單調(diào)遞增.

因為g")=T<0，g，(2)=ln2-1>0,

所以函數(shù)g'(無)存在唯一零點(diǎn)尤°e。,2),即1。=工，

且當(dāng)xe(O,x())時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)無?演),4)時,g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x=/時，g(x)存在最小值，即g(xo)=(xo-l)lnxo-％+2=3-卜o+J

因為玉€(1,2),所以2<%+工<"|,所以>0,

所以/1(xj+yazHi。>111。.

"?噌

⑵分布列見解析，充107

(3)答案見解析

【詳解】⑴設(shè)事件/="比賽采用三局兩勝制甲勝“，則//)=[)+c；C[I=|^.

(2)比賽的局?jǐn)?shù)為X的所有可能取值為3,4,5,

可得尸('=3)=卓+用$[I]卜嘯[l=^7

?(X=4)=C；

3

8

p(X=5)=C；

27

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X345

]_108

p

32727

所以期望為￡(X)=3044+5*=*

(3)采用三局二勝制進(jìn)行比賽甲獲勝的概率/5)="+C>2(1一m=/(3-2。),

采用五局三勝制進(jìn)行比賽甲獲勝的概率：g(P)=p3+C；p\l-p)+Clp3(l-pf=p\6/-15p+l。.

令g（P”〃。）=3/（24-5/+4。一[=3P2（。一1）2（2。一I,

因為o<p<l,所以302（?-1）2>0.

當(dāng)p=I■時，g(。)=/(p);

當(dāng)0<〃<；時，g(p)</(p)；

當(dāng)g<p<1時，g(p)>f(p).

所以當(dāng)O<P<；時，選擇三局兩勝制對甲有利；當(dāng);<p<l時，選擇五局三勝對甲有利;

當(dāng)P=；時，選擇五局三勝制和三局兩勝制對甲沒有影響.

由此可以得出，比賽局?jǐn)?shù)越多，對實(shí)力較強(qiáng)者越有利.

18.(1)^+/=1；

(2)證明見解析.

【詳解】(1)由題意得：2b=2nb=l=>〃2—°2=i,

-=^^c2=-?2,所以解得/=4]=3,

a24

2

即橢圓方程。:r土+/=1；

4

(2)

設(shè)直線/方程為)=履+加，與橢圓一+/=1聯(lián)立,消V得:

4

（4左2+1）、2+8左冽%+4加2-4=0,

其中A=16(4左2+1—加2)〉004尸+1〉加2,

-8km4m2-4

設(shè)尸(再，％)，。(々，歹2)，

則再+工2=FT"多二而百

由m知徂%2%二%％2/（句+"7）（侯+根）4-/

出口劃付：占+2一%—2x2~再+2-2（尤2-2）'

X]+2%2—2再l++2%X22—-22再+2

再化簡得：（2左2+1）西馬+（2km+2）（玉++2m?+4=C,

代入得：（2k2+1）4m2~4+（2km+2）~^m+2m2+4=0,

\>4A:2+1',4尸+1

整理得：（2左一3加）（2左一加）=0,

因為直線/不經(jīng)過點(diǎn)4卜2,0）,所以2發(fā)--0,

2

即2左—3m=0=>m=—k,

3

所以直線/的方程為片6+$=后1+:],

因此直線/經(jīng)過定點(diǎn)

19.（1）證明見解析

V3

V3

3)

【詳解】（1）取NC的中點(diǎn)E,連接SE,BE,

因為48=8C,S4=SC,且NC的中點(diǎn)E,所以S￡_L/C,BELAC

又SEcBE=E,SE,BEu平面SBE,故/C_L平面S8E,

由于S3u平面S8￡,故NC_LS8,

（2）當(dāng)SC_LBC時，由ACBS="