第8講函數(shù)的單調(diào)性與最值

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1.(人A必一P85習(xí)題T1改)已知的圖象如圖所示，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

B)

A.[-1,3]

C.[-1,2]D.[-3,—1]和[2,4]

2.(人A必一P86習(xí)題T3改)(多選)下列函數(shù)在(0,+8)上為增函數(shù)的是(BCD)

A.fix)——2x+1

C.4)=1—1D./x)=|x|

X

【解析】對(duì)于A,<x)=-2x+l是一次函數(shù)，所以加)在R上是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)樨?fù)%)=必+1的對(duì)稱軸為y軸，所以/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，故B正確；對(duì)

于C,因?yàn)閥=-1在(0,+8)上是增函數(shù)，所以外)在(0,+8)上是增函數(shù)，故C正確；

—x,xWO,

對(duì)于D,函數(shù)加)=網(wǎng)=函數(shù)人x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故D正確.

x,x>0,

2

3.(人A必一P81例5改)已知函數(shù)外)=——(%e(2,6]),貝！j(C)

%—1

A.7(x)的最大值為2,最小值為0.4

B./)的最大值為2,沒有最小值

C.7(x)沒有最大值，最小值為0.4

D./(x)的最大值與最小值都沒有

4.(人A必一P100復(fù)習(xí)參考題T4)已知函數(shù)加)=4/一fcc—8在[5,20]上具有單調(diào)性，

則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(-8,40]”160,+8)_.

【解析】函數(shù)作)的圖象的對(duì)稱軸是直線x=4，當(dāng)&W5或K，20,即左W40或左，160

888

時(shí)，大X)在[5,20]上是單調(diào)函數(shù)，所以實(shí)數(shù)上的取值范圍為(一8,40]U[160,+8).

5.已知函數(shù)y=/a)的定義域?yàn)?0,+8),且｛x)在其定義域上單調(diào)遞減，那么不等式

〃x2)>〃2x+3)的解集為(一1,0)U(0,3).

x>0或x<0,

x2>0,

得中>一：，

【解析】由解得一l<x<0或0<x<3.

2

2

x<2x+3,x2—2x—3<0,

聚焦知識(shí)

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

在函數(shù)了=加)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間/上，如果對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)XI,

定義當(dāng)X1VX2時(shí)，都有心1)〈九刈)，那么就說(shuō)當(dāng)X1＜X2時(shí)，都有心1)＞依2),那么

函數(shù)人X)在區(qū)間/上是增函數(shù)就說(shuō)函數(shù)加)在區(qū)間A上是減函數(shù)

圖象

自左向右看，圖象是—上升的.自左向右看，圖象是_下降的一

描述

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

對(duì)于函數(shù)y=/(")和w=g(x),如果當(dāng)xG(a,b)時(shí)，“G(相，?),且〃=g(x)在區(qū)間(a,b)

上和y=A")在區(qū)間(加，")上同時(shí)具有單調(diào)性，那么復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))在區(qū)間(0,6)上具有單

調(diào)性，并且具有這樣的規(guī)律：一同增異減

2.若函數(shù)以)與g(x)在區(qū)間。上具有單調(diào)性，則在區(qū)間。上具有以下性質(zhì)：

(1)段)與於)+C(C為常數(shù))具有才況的單調(diào)性?

(2)段)與―—)的單調(diào)性_相反」

(3)當(dāng)。＞0時(shí)，a/Tx)與的單調(diào)性_相同_；當(dāng)。＜0時(shí)，a/Tx)與段)的單調(diào)性一相反

(4)若人x)》0,則人x)與倔具有一擔(dān)同一的單調(diào)性.

(5)若負(fù)x)恒為正值或恒為負(fù)值，則當(dāng)。＞0時(shí)，人對(duì)與,具有一相又一的單調(diào)性；

Ax)

當(dāng)。＜0時(shí)，作)與旦具有指回的單調(diào)性.

?__

(6)外)與g(x)的和與差的單調(diào)性(相同區(qū)間上)：

簡(jiǎn)記為：①/+/=/；②'+'=、；

③/—、=/；④、一/='.

3.函數(shù)的最值

前提函數(shù)＞=於)的定義域?yàn)椤?/p>

(1)對(duì)于任意xGD,都有(3)對(duì)于任意都有

條件為x)WM.；

(2)存在刈6。，使得/(xo)=M(4)存在xoeD,使得血0)="

結(jié)論M為最大值M為最小值

幾何函數(shù)》=人工）圖象上最高點(diǎn)的縱函數(shù)圖象上最低點(diǎn)的縱

意義坐標(biāo)坐標(biāo)

4.常用結(jié)論

（1）函數(shù)單調(diào)性的兩個(gè)等價(jià)結(jié)論

設(shè)Vxi，X2^D（Xl^X2）f貝U

或（xi—X2）［AM）—於2）］>0）=/3在D上單調(diào)遞增

X\~X2

d理二㈣<0（或（XI—X2）［/（X1）—/（X2）］<0）uWx）在D上單調(diào)遞減.

X\~X2

（2）函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論

①閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在

端點(diǎn)取到；

②開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大（或小）值.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說(shuō)法

目幀U判斷函數(shù)的單調(diào)性

視角1單調(diào)性的直接判定

例1-1（2021?全國(guó)甲卷文）下列函數(shù)是增函數(shù)的為（D）

A.〃)=_x

3

C.Hx)=N口.?=中

【解析】由一次函數(shù)的性質(zhì)可知外）=—1在R上是減函數(shù)，不符合題意；由指數(shù)函數(shù)

的性質(zhì)可知人X）=O在R上是減函數(shù)，不符合題意；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知次x）=x2在R

3

上不單調(diào)，不符合題意；根據(jù)福函數(shù)的性質(zhì)可知人x）=fr^R上單調(diào)遞增，符合題意.

視角2定義法證明函數(shù)單調(diào)性

例1-2（1）已知函數(shù)40=生匚，判斷｛x）在［0,+8）上的單調(diào)性，并證明.

x+1

2YI—1

【解答】加）在［0,+8）上單調(diào)遞增.證明如下：任取0W?V%2,則義陽(yáng)）一

X1+1

―――-=一羋1一?一.因?yàn)?Wxi<X2,所以Xl—X2<0,（XI+1）（x2+1）>0,故人Xi）—/（X2）

X2+I（X1+1）（冷+1）

<0,即次修）〈於2）,故外）在［0,+8）上單調(diào)遞增.

(2)已知定義域?yàn)?一1,1)的函數(shù)八x)=+,判斷函數(shù)作)的單調(diào)性，并證明.

x2+l

【解答】函數(shù)")=="在(一1,1)上為增函數(shù).證明如下：任取一1VX1<X2<1,則

x2+l

?A》)一/(X2)==—嚴(yán)濘工,因?yàn)椤訶2—Xl>0,X1X2—

xt+1xi+l(xf+1)(X2+1)

l<0,則有/(X1)-AX2)<O,故火X)在(一1,1)上為增函數(shù).

視角3確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例1-3(1)函數(shù)y=l一'三2工6x的單調(diào)遞增區(qū)間是(C)

A.[0,3]B.(—8,3]

C.[3,6]D.[3,+°0)

【解析】由一爐+6工20,解得0WxW6,所以函數(shù)y=l—的定義域?yàn)閇0,6].

令/=—X2+6X,其圖象是開口向下的拋物線，對(duì)稱軸方程為x=——--=3,該函數(shù)在[3,

2X(-1)

6]上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=l—的單調(diào)遞增區(qū)間是[3,6].

(2)函數(shù)/[x)=—|x—2]的單調(diào)遞減區(qū)間為.12,+8)_；函數(shù)g(x)=ln(x2—2x—8)的單調(diào)

遞增區(qū)間是14,+8)」

、一2x>2

【解析】因?yàn)閥=|x—2|=,'/'所以函數(shù)y=|x—2|的單調(diào)遞減區(qū)間是(一

.—x+2,x<2,

8,2),單調(diào)遞增區(qū)間為[2,+8),所以兀0=一卜一2]的單調(diào)遞減區(qū)間是[2,+8).由N—

2x—8>0,得g(x)的定義域?yàn)閧x|x>4或x<—2}.設(shè)2x—8,則y=lnf為增函數(shù).要

求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)f=x2—2X—8的單調(diào)遞增區(qū)間(定義域內(nèi)).因?yàn)楹瘮?shù)/

=爐一2x—8在(4,+8)上單調(diào)遞增，在(一8,—2)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增

區(qū)間為(4,+°°).

<總結(jié)提煉A

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)

易錯(cuò)警示函數(shù)在兩個(gè)不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，一般要分開寫，用“，”或“和”連

接，不要用“U”.

變式1函數(shù)〃)=|x—2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是」1,2].

^-2—2VJJC2

【解析】?=-''作出次X)的大致圖象如圖所示，由圖象知外)的單調(diào)

-x2+2x,x<2.

遞減區(qū)間是[1,2].

目JiB函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

視角1解抽象不等式

例2-1若人X）是定義在（一8,0］上的減函數(shù),則不等式/（2x+3）q（x+l）的解集為

3

一2,

2_?

2x+3W0,

解得一

【解析】由/(2x+3)qa+l)可得f+iwo,2WXW—3.

2

2x+32x+1,

變式2?1已知定義在R上的函數(shù)兀0滿足人l+x）=/（l—%）,且加）在［1,+8）上單調(diào)

遞增.若當(dāng)x￡［0,1］時(shí)，人辦）〈加一1）恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為_（0,2）_.

【解析】因?yàn)?（l+x）=/（l—x）,所以火X）的對(duì)稱軸為X=1.因?yàn)槿斯ぃ┰诳冢?8）上單調(diào)

遞增，所以人X）在（一8,1）上單調(diào)遞減，所以自變量越靠近對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小.又因

為工￡［0,1］時(shí)，/（Qx）vy（x—1）恒成立，即|QX—1）—1|=2—x恒成立，所以工￡［0,1］

時(shí)，x—2<辦一1<2一1恒成立.當(dāng)％=0時(shí)，一2V—1V2顯然成立；當(dāng)x￡（0,1］時(shí)，則1

1jmax<0<［"min.又因?yàn)镹=l—1為增函數(shù)，P=3—1為減函數(shù),

1a

—<a<—1,所以

xxXx

所以1-1=0,min=3—l=2,所以0VQV2,即實(shí)數(shù)Q的取值范圍為（0,

2）.

視角2求參數(shù)的取值范圍

,2m—3>

x-r--------,

例2-2（1）已知函數(shù)段）=x滿足對(duì)Vxi，X2￡R且X1W%2，有

(4+次)x—9,x<1

曲匕幽>0成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（B）

X\~X2

A.[—3,2)B.[―3,2]

C.(-3,2)D.[-2,3]

2m—3

【解析】由題意知函數(shù)段）=.在R上單調(diào)遞增.當(dāng)2加一3<0

(4+冽)%—9,x<1

時(shí)，由于y=X和歹=冽一^均在［1,+8）上單調(diào)遞增，故人x）=x+冽一^在［1,+8）上單調(diào)

XX

1+2m-3N4+加-9,

遞增，所以.4+心0,解得一當(dāng)2航—3>0時(shí)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性

2m—3<0,

，2加—3W1,

質(zhì)可知，若於)在xe[l,+8)上單調(diào)遞增，則2加一3〉0,解得

11+2m—3^4+m—9,

x,x21,

當(dāng)2加-3=0時(shí)，機(jī)=；,此時(shí)/)=，11尤_9X<1顯然滿足於)在R上單調(diào)遞增.綜

112''

上，一3W冽W2.

(2)若函數(shù)y=x—5在(一1,十8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是一(一8,一

x—a—2

y—fi—0—I—/7—3ci—3a30,

【解析】-X02十“3=1+，^,由題意知?解得aW—3,所

X-a-2X-a—2山+2W-1,

以°的取值范圍是(一8,-3].

<總結(jié)提煉A

利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法

(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單

調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；

(2)若函數(shù)在區(qū)間[a,可上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.

視角3比較函數(shù)值的大小

例2?3(2024?南寧模擬)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意的修<%2,都有

exg2)-ex於i)<],則下列不等式一定正確的是(C)

X2—X1

A.的⑵〈航1)T

B.e7(2)>eAl)+l

C.e雙2)<41)+1

D.e加2)>映1)—1

【解析】由題意可知ex孫2)—ex|/(xD<X2—xi,可得ex雙功)一X2<ex；/(xi)—xi.構(gòu)造函數(shù)

g(x)=/a)—X,則g(x)是R上的減函數(shù)，故g(2)<g(l),gpe2/(2)-2<e/(l)-l,由此得e戈：2)

〈4D+L

目幀回函數(shù)的最值(值域)

__5

Y—4苞上的值域是上6~!一上」

例3(1)函數(shù)<工)=——-2,—1]

2x+5

113

r_4—(2x+5)i_13

【解析】因?yàn)榛饃)=—以，又x￡[—2,-1],所以4x+

2x+52x+524x+10

1r135

10e[2,6],所以一1一曰6，2」，所以,所以人x)e1―6

23_.

4x+104x+10

(2)定義min{a,b,c}為a,b,。中的最小值，設(shè)/(x)=min{2x+3,x2+L513x},

則外)的最大值是_2_.

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=2x+3,y=N+l,y=5—3x的圖象，則人x)

的圖象為圖中實(shí)線部分所示.可得火x)的最大值點(diǎn)為y=N+l與》=5-3x在第一象限的交

y=x2-\~1,x=l,

點(diǎn).聯(lián)立又x>0,解得所以1AX)max=2.

y=5—3x,y=2,

'/E+l

X

(例3(2)答)

T

(3)函數(shù)/=的值域?yàn)開

【解析】令t=\jx+1NO,貝1x=F—1,可得>=3(/2—1)—t=3t2—t—3=3

12'當(dāng)且僅當(dāng)T時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)的值域?yàn)槎?,+8

一+2-

(4)函數(shù)次X)=/一--,%e(o,+8)的值域?yàn)椤浮狾O--------

U

JiOXI/

I----1

【解析】令尸整理得廣@+2”匚。，可知關(guān)于X的方程城

—(6y+l)x+7y+l=0有正根.若y=0,則-x+l=0,解得x=l,符合題意;若yWO,則

6+-6+-

—IW0,__1>0

6+1+7+』,

22

可得或解得

7+3

y7+-<06+-

l2-4l

y-，20,

一7或122也一4且1W0,則一1<><0或y>0或yW—遮士2,綜上所述，了〉一1或了?一

yy747

也+2-

塵士即函數(shù)段1,x>0的值域?yàn)椤狾O■?+8

4_U

4x2-6x+7

〈總結(jié)提煉A

求函數(shù)值域的主要方法

(1)配方法：對(duì)于形如y=ax2+6x+c(aW0)的值域問題，可充分利用二次函數(shù)可配方的

特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域(第10講會(huì)涉及).

(2)單調(diào)性法：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性直接求最值.

(3)分離常數(shù)法：分子分母都是一次函數(shù)的情形，先分離常數(shù)，再利用反比例函數(shù)的圖

象求解.

(4)基本不等式法：第6講已有涉及.

(5)換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形如y=ax+6+\G口工的值域，可通

過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù).

(6)判別式法：將函數(shù)式化成關(guān)于x的方程，且方程有解，用判別式求出y的取值范圍

或最值.

變式3已知函數(shù)了=?3的值域?yàn)閇―1,4],則常數(shù)。+6=_7或一1_.

〃丫~4-n

【解析】因?yàn)?gt;=-----,所以Ny—6=0,/=標(biāo)一4y(y—b)N0,即4產(chǎn)一4刀

x2+l'.

一層忘0.因?yàn)楹瘮?shù)y=乎也的值域?yàn)閇―I,4],所以"=—1,方=4是方程4產(chǎn)一4力一02=0

x2+1

"2

的兩個(gè)根，所以-1+4=6,—1義4=---解得Q=4,b=3或a=—4,b=3,所以Q+6

4

=7或一1.

隨堂內(nèi)化

1.(2023?北京卷)下列函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是(C)

A.y(x)=-lnxB.y(x)=2

2X

C.fix)=--D.?=3l-H

X

【解析】對(duì)于A,因?yàn)榇?lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以外)=-Inx在(0,+°°)

上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)閥=2,在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以人無(wú))=上在(0,

2X

+8)上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,因?yàn)椤?1在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以火x)=—1在

xx

(0,+8)上單調(diào)遞增，故c正確；對(duì)于D,因?yàn)閁=3.=3；=3,<1)=3m=3。=1,人2)

=3叼=3,顯然外)=3時(shí)在(0,+8)上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.

一一2x+l,%<0,

2.已知函數(shù).則加)的單調(diào)遞增區(qū)間為(A)

.—N+2X+1,X20,

A.[0,1)B.(1,+8)

C.(一8,1)D.[0,+8)

【解析】當(dāng)x〈0時(shí)，/(%)=—2x+l單調(diào)遞減；當(dāng)%三0時(shí)，/(%)=—x2-\-2x-\-1=—(X

-l)2+2,人勸在［0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

3.(2024?呂梁二模)已知函數(shù)〉=八以一小)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，則函數(shù)")的解析式

可以為(A)

A./(x)=4x—x2B./(x)=2H

C./(x)=—sinxD.y(x)=x

【解析】由f=4x—N開口向下，對(duì)稱軸為x=2,可知內(nèi)層函數(shù)f=4x—N在區(qū)間(1,2)

上單調(diào)遞增，當(dāng)x=l時(shí)，?=3；當(dāng)x=2時(shí)，丁=4,故f=4x一/6(3,4).又因?yàn)楹瘮?shù)y=/(4x

一爐)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，所以人/)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減，即加)在區(qū)間(3,4)上單

調(diào)遞減.對(duì)于A,因?yàn)楹瘮?shù)加c)=4x—V在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于B,因

為xG(3,4),所以外)=2兇=2,在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,因?yàn)閤G(3,

GT3,

4)=1?司I,所以外)=一sinx在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,因?yàn)?(x)=x

在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

4.若命題“Vx￡［3,6］,不等式x+1—公/二二7>0恒成立”是真命題，則實(shí)數(shù)左的取

值范圍是(A)

A.(—8,2)B.(—8,7)

C.(2,7)D.(7,+8)

【解析】若命題“Vx￡［3,6］,不等式x+1—左、/二^p7〉0恒成立”是真命題,則評(píng)7—x

Vx+1.令t=<7—%￡［1,2］,貝|x=7—t2,貝左——,即左V8—，.設(shè)7(，)=8—t,/￡［1,2］,

ttt

因?yàn)楹瘮?shù)歹=》=—，在區(qū)間［1,2］上均為減函數(shù)，所以函數(shù)次。在區(qū)間［1,2］上為減函數(shù)，

故當(dāng)￡￡［1,2］時(shí)，91min=/(2)=4—2=2,所以左V2.

配套精練

A組夯基精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)。￡R,已知函數(shù)y=/(x)是定義在［-4,4］上的減函數(shù)，且次a+l)>/(2q),貝I」q的

取值范圍是(C)

A.[-4,1)B.(1,4]

C.(l,2]D.(1,+00)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)歹=/(x)是定義在［―4,4］上的減函數(shù)，且/(Q+1)，所以一4Wa

+1V2QW4,解得1<QW2.

2.函數(shù)g(x)=x|x—l|+l的單調(diào)遞減區(qū)間為(B)

-oo,r

B,1

A.

C.[1,+8)D.―8'1U[1,+-)

N一x+］xNl

【解析】g(x)=x|x-l|+l='''畫出函數(shù)圖象如圖所示.根據(jù)圖象

.—x2+x+1,x<1,

知函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為e'

y

4

3

2

-3-2-1/0“1234x

-1

(第2題答)

3.已知函數(shù)人》)=也吐絲在區(qū)間［—10,-3］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

2+Q

A.(—8,-2)U(0,3)

B.(—8,-2)U(0,3]

C.(一8,-2)U(0,10)

D.(—8,-2)U(0,10]

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)?0=加吐絲在[―10,—3]上單調(diào)遞增，所以。(2+°)>0,且30

2+。

力(2+Q)＞0,

+辦20在［-10,-3］上恒成立，所以.30—lOiNO,解得。＜一2或0VQW3.

30—3〃20,

4.已知函數(shù)加)=，I1F2JL+1，x＜。，則不等式八2a2—1)＞人30+4)的解集為(D)

2一/,%三0,

+OO

A.(—8,—1)

一’—旗+OO

口+

I,x<0,0+1在(-8,0)上單調(diào)遞減，y=

【解析】函數(shù)兀0="中，y=

2—x2,%三0

2—N在［0,+8)上單調(diào)遞減，且G+I=2—()2,則函數(shù)次幻=

+1,xVO,在定義

-x2,

域R上單調(diào)遞減.因?yàn)槿?層一1)〉，/(3Q+4),所以2/一1V3Q+4,解得一IVQV；,即不等

式火2a2—1)＞{30+4)的解集為〔一1'

5.（2024?新鄉(xiāng)二模）函數(shù)於）=印被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中團(tuán)表示不大于實(shí)

加2J-1

數(shù)X的最大整數(shù).若V〃?e（o,+8）,滿足[幻2+㈤w%=，則X的取值范圍是（C）

m

A.[-1,2]2）

C.[-2,2）D.（-2,2]

帆2—I—11

【解析】Vm（0,+°°）,--------=m-\■—22,當(dāng)且僅當(dāng)初=1時(shí)取等號(hào).由[x]2+

mm

—I—1

[x]W--------,可得[xp+[x]W2,即（因+2）（印一l）W0,所以一2W[x]Wl,故一2WxV2.

m

二、多項(xiàng)選擇題

6.已知函數(shù)/（x）=x-4（aW0）,則下列說(shuō)法正確的是（BCD）

A.當(dāng)a>0時(shí)，段）在定義域上單調(diào)遞增

B.當(dāng)。=-4時(shí)，作）的單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,-2）,（2,+8）

C.當(dāng)a=—4時(shí)，八對(duì)的值域?yàn)椋ㄒ?,-4]U[4,+8）

D.當(dāng)。>0時(shí)，於）的值域?yàn)镽

【解析】當(dāng)°>0時(shí)，加）=》一4的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）U（0,+8）,則加）在（一8,0）,

X

（0,+8）上單調(diào)遞增，若X>0,當(dāng)+8時(shí)，於）一+8,當(dāng)0時(shí)，義x）f-8,故人X）

的值域?yàn)镽,故A錯(cuò)誤，D正確；當(dāng)。=—4時(shí)，八x）=x+&為對(duì)勾函數(shù)，其單調(diào)遞增區(qū)間為

X

（一8,-2）,（2,+8）,且當(dāng)x>0時(shí)，x+422\,3=4（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)），當(dāng)x

X\1X

V0時(shí)，x-\--=_x)+fAJWx

=—4（當(dāng)且僅當(dāng)x=—2時(shí)取等號(hào)），故

x

作）的值域?yàn)椋ㄒ?,-4]U[4,+8）,故B,C正確.

7.對(duì)于定義域?yàn)?。的函?shù)兀v）,如果存在區(qū)間[a,b]^D,使得Hx）在區(qū)間口，可上單調(diào)，

且在區(qū)間[a,句上值域?yàn)閇a,b],則稱區(qū)間[a,切是函數(shù)人x）的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”，則下列函

數(shù)中不存在“優(yōu)美區(qū)間”的是（ABD）

A.y（x）=2x+1B.y（x）=-i

C./（x）=2-|x|D./（x）=x2+l

【解析】由區(qū)間定義知。<6,假設(shè)各函數(shù)存在“優(yōu)美區(qū)間”口，々.A中人x）在R上單

調(diào)遞增，人。）=4,人6）=6,得。=b=—1,不存在“優(yōu)美區(qū)間”.B中，當(dāng)x〈0時(shí)，函數(shù)/（x）

單調(diào)遞增，火6）=6,即4=一1,/?2=—1,無(wú)解，當(dāng)x〉0時(shí)，函數(shù)｛x）單調(diào)遞增，

同理/（〃）=〃，次，）=6無(wú)解，不存在“優(yōu)美區(qū)間”.C中，當(dāng)xVO時(shí)，?r）=2+x,在（一8,

0）上單調(diào)遞增，無(wú)解；當(dāng)x〉0時(shí)，加）=2—x,在（0,+8）上單調(diào)遞減，次〃）=2—。

=b,f[b）=2—b=a,所以b>a>0,a+b=2時(shí)，區(qū)間[a,切是函數(shù)段）的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”，

13

例如2」.D中，顯然益)=爐+1三1,所以所以?r)在口，瓦|上單調(diào)遞增，人。)=次

+1=。無(wú)解，不存在“優(yōu)美區(qū)間”.

8.已知函數(shù)加0滿足對(duì)任意x￡R,都有/(x+3)=/(l—x),且對(duì)任意對(duì)，血￡[2,+8),

冬上&<0(修#&),則下列結(jié)論正確的是(ABD)

Xi-X2

A爪—a2-\-a-\-l)WyCO

B.對(duì)任意xGR,?^/2)

C./0)>X3)

D.若加〃)>/(—1),則一1<加<5

【解析】對(duì)任意xGR,都有人x+3)=/(l—X),則函數(shù)八%)關(guān)于直線x=2對(duì)稱.又對(duì)任

>1)>2)

意XI,x2e[2,+oo),-<0(XI#X2),所以函數(shù)人X)在[2,+8)上單調(diào)遞減，在(一

Xl-X2

8,2)上單調(diào)遞增，故函數(shù)火X)在x=2處取最大值，B正確；負(fù)0)=負(fù)4)</(3),C錯(cuò)誤；一

/+。+1=一1一所以人—02+。+1)/3,A正確；若貝加)>八一1),則同一2|

<|2-(-1)|,解得一1<機(jī)<5,D正確.

三、填空題

9.已知函數(shù)歹3=丫方+2工，川的最小值為8,則實(shí)數(shù)加的取值范圍是」1,2)_.

x—1

【解析】因?yàn)?gt;=如2=乳匚叱=3+工，且〉=到口在xG(m,陽(yáng)上的最小值

X—1X—1X-1X-1

為8,所以當(dāng)〃]時(shí)，3+色_28=>5no即1VxW2,所以1W加<

X—1X—1

.易知反比例型函數(shù)>=3+^—在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以^=3+3一在工=〃處取

X—1X—1

到最小值8,即3H■--=8=>?=2,所以lWm<2.

n—1

io.函數(shù)八月二21±1的值域?yàn)橐欢_.

x2+2

【解析】兀0=芋^,即>=在土^整理得/2—2x+2y—1=0,當(dāng)y=0時(shí)，x=-X；

x2+2x2+22

當(dāng)了力0時(shí)，由/=4—4y(2y—1)》0,得2產(chǎn)一了一1W0,解得一gWyWl,且yWO.綜上，一

則人X)的值域是1r-2i,JJ.

11.已知人x)=[Q0—Dx+2a'x<l,滿足對(duì)任意XI—X2,都有曲匕四<0恒成立，

ax,xNlx1~X2

1X]

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【解析】由函數(shù)單調(diào)性定義可得函數(shù)人x)在R上單調(diào)遞減，則根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的

2a—1<0,

判斷方法可知解得

2a-1+2。2〃，

四、解答題

12.(1)已知函數(shù)“0=7+旦。/0,aGR),若人幻在[2,+8)上是增函數(shù)，求。的取值

范圍；

【解答】設(shè)2W?vX2,於1)—/(工2)=宕+紅一胞一旦=田一^[%1X2(X1+x2)~a],要使函數(shù)

XIX2X1X2

外)在x￡[2,+8)上為增函數(shù)，必須加1)一/2)<0恒成立.因?yàn)橛靡还?<0,修工2>4,所以

〃<%述2(%1+%2)恒成立.又因?yàn)?1+%2>4,所以XI%2(XI+X2)>16,所以a的取值范圍是(一8,

16].

(2)已知於)=3」(xW〃)，若Q>0且於)在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)。的取值范

x-a

圍.

【解答】設(shè)1<X1<X2,則加1)—7(X2)=』一一衛(wèi)二a(X2—xi).因?yàn)閝〉o,1<X1

x\-aX2-a(xi—a)(%2—a)

<%2,所以0(x2—xi)>0,所以要使｛Xi)—/(X2)>O,只需(xi—12)(x2—a)>0恒成立.若a>l,

則當(dāng)l<xi<a<X2時(shí)，(xi—a)(x2~a)<0；當(dāng)0<aWl時(shí)，(xi—a)(x2~a)>