重難點培優(yōu)03函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性的高

級應用

目錄

01知識重構(gòu)?重難梳理固根基....................................................1

02題型精研?技巧通法提能力....................................................4

題型一奇偶性中的參數(shù)、圖像、求值問題（★★★★★）...................................4

題型二單調(diào)性綜合奇偶性解不等式與比較大?。ā铩铩铩铩铮?..............................6

題型三周期性及其應用（★★★★★）...................................................7

題型四對稱性I一軸對稱（★★★★★）..................................................9

題型五對稱性II—中心對稱（★★★★★）...............................................10

題型六對稱性結(jié)合周期性（★★★★★）.................................................11

題型七類周期性（★★★★）...........................................................13

題型八函數(shù)性質(zhì)的綜合應用（★★★★★）...............................................13

題型九導函數(shù)與原函數(shù)的對稱性（★★★★）............................................15

03實戰(zhàn)檢測?分層突破驗成效...................................................16

檢測I組重難知識鞏固.................................................................16

檢測n組創(chuàng)新能力提升.................................................................20

01

知識重構(gòu)?重難梳理固根基

1、單調(diào)性技巧

（1）幾條常用的結(jié)論：

①若/（X）是增函數(shù)，則-/⑺為減函數(shù)；若/（X）是減函數(shù)，則-/（無）為增函數(shù)；

②若/（X）和g。）均為增（或減）函數(shù)，則在/（X）和g（x）的公共定義域上/（x）+g（x）為增（或減）函數(shù);

③若/（無）＞0且/（X）為增函數(shù)，則函數(shù)6元為增函數(shù)，4為減函數(shù)；

④若/(x)>0且〃x)為減函數(shù)，則函數(shù)，而為減函數(shù)，,為增函數(shù).

f(x)

2、奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/(X)是偶函數(shù)o函數(shù)/(X)的圖象關于y軸對稱；

函數(shù)/(x)是奇函數(shù)。函數(shù)/(x)的圖象關于原點中心對稱.

(3)若奇函數(shù)y=f(x)在x=0處有意義，則有"0)=0；

偶函數(shù)y=/(x)必滿足/(x)=f(\x\).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關于原點對稱的兩

個區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)/(x)的定義域關于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記

11

g(x)=5"(尤)+/(-A-)］，h(x)=-［/(x)-/(-%)］，則/(%)=g(x)+h(x).

(6)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個(或多個)函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函

數(shù)，如/(X)+g(x),/(x)-g(x),f(x)Xg(x),/(x)+g(x)?

對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇義(十)奇=偶；奇、(+)偶=奇;偶x(十)偶=偶.

(7)復合函數(shù)丫=/區(qū)(尤)］的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/(x)=m(a+1)(x0)或函數(shù)/(x)=m(a.

a-1a+1

②函數(shù)/(尤)=±(。'-尸).

③函數(shù)/(x)=log“=log“(1+2±)或函數(shù)/(尤)=loga土二生=loga(1一-—)

x—mx—mx+mx+m

④函數(shù)/(X)=log”(42+1+X)或函數(shù)/(x)=log”(&2+1-x).

注意：關于①式，可以寫成函數(shù)〃工)=機+'-(》￥0)或函數(shù)/(尤)=機-

ax-1a+1

偶函數(shù)：①函數(shù)/(尤)=±(優(yōu)+廣).

②函數(shù)〃x)=k>g“d+l)-三?

③函數(shù)/(|x|)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

3、周期性技巧

函數(shù)式滿足關系(xeR)周期

/(x+T)=/(x)T

/(x+T)T(x)2T

/(x+r)=-l-；/(x+r)=--^-

2T

/(無)/W

f(x+T)=f(x-r)2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

[/(a+x)=/(a-x)

\f(b+x)=f(b-x)2(。一〃)

[/(a+x)=/(a-x)

[/(尤)為偶函數(shù)2a

/(a+x)=_/(aT)

2(。一〃)

f(b+x)=-f(b-x)

[f(a+尤)=~f(a-x)

2a

/(x)為奇函數(shù)

[f(.a+無)=/(a-x)

4(。一〃)

f(b+x)=-f(b-x)

f/(a+x)=/(a-x)

[/(無)為奇函數(shù)4〃

/(a+x)=-f(a-尤)

4〃

/(尤)為偶函數(shù)

4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關系

⑴若函數(shù)y=f(x)有兩條對稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)是周期函數(shù)，且7=2(6-°)；

(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個對稱中心Qc),@c)(a<6),則函數(shù)y=f(元)是周期函數(shù)，且7=2(6-。)；

(3)若函數(shù)y=/(x)有一條對稱軸尤=。和一個對稱中心(6,0)(a<6),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

T=4s—a).

5、對稱性技巧

(1)若函數(shù)y=/(%)關于直線x=4對稱，則/(a+x)=/(〃-%).

(2)若函數(shù)y=/(%)關于點(〃，力)對稱，JJ1!!f(a+x)+f(a-x)=2b.

(3)函數(shù)y=/(a+x)與、=/(〃-％)關于y軸對稱，函數(shù)、=/(〃+%)與y=-/(〃-％)關于原點對稱.

02

題型精研?技巧通法提能力

?題型一奇偶性中的參數(shù)、圖像、求值問題?

【技巧通法?提分快招】

1、奇偶函數(shù)的性質(zhì)

(1)偶函數(shù)/(一無)=/醫(yī))或于y軸對稱百寸稱區(qū)間的單調(diào)性相反；

(2)奇函數(shù)5一無)=一4龍)O關于原點對稱u對稱區(qū)間的單調(diào)性相同；

2、奇偶性技巧

(1)若奇函數(shù)y=/(x)在無=0處有意義，則有f(0)=0；

(2)對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇士奇=奇；偶土偶=偶;奇±偶=非奇非偶；

奇乂(十)奇=偶;奇><(十)偶=奇；偶x(+)偶=偶.

(3)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/(X)=〃?("1)(XN0)或函數(shù)/(x)=加(°T).②函數(shù)=.

a-1?+1

③函數(shù)/(x)=loga葉'=log”(1+或函數(shù)/(X)=loga±多=log“(1一-—)

x—mx—mx+mx+m

④函數(shù)/(x)=log“心+1+x)或函數(shù)/(x)=log”心+1-x).

注意：關于①式，可以寫成函數(shù)/(尤)=根+2上(xwO)或函數(shù)/。)=根-2上(meR).

ax-14+1

偶函數(shù)：①函數(shù)f(x)=±3+a”②函數(shù)/(x)=log.(，"+l)-腎.③函數(shù)〃|x|)類型的一切函數(shù).

3、已知/(x)=奇函數(shù)+M,xe\—a,d\,則

⑴/(-x)+/(x)=2"

⑵/'(x)皿.+/。焉=2知

1.(24-25高三下?重慶?月考)已知函數(shù)〃x)=ln^—(。為常數(shù))，則()

A.Hi/eR,為偶函數(shù)

B.3?eR,〃x)為奇函數(shù)

C.3aeR,“力為既奇又偶函數(shù)

D.V?eR,〃x)為非奇非偶函數(shù)

2.（2025?江西?三模）函數(shù)〃%）=X+?-b）8少的部分圖象大致為（)

3.（23-24高三上.天津?期末）如圖為函數(shù)的大致圖象，其解析式可能為（)

A./(%)=(|%+1|+|^-1|)COSXB./(x)=^|x+l|+|x-l|)siiix

C./(x)=(|x+l|+|x-l|)cosx-2D./(%)=(|x+l|-|x-l|)(ex-e-xj

4.若函數(shù)〃%)=,+1用工—4+譚三為偶函數(shù)，則人―〃=()

A.-1B.1C.-2D.2

2

5.已知函數(shù)〃力是奇函數(shù)，當x>0時,"%)=則/。）=

產(chǎn)—2%+2

6.（23-24高三上?安徽安慶?月考）已知函數(shù)〃x）=J^+3在區(qū)間［-2023,2023］上的最大值為河，最小

值為加，則/+機=.

7.（23-24高三下?江西?開學考試）已知。>0且函數(shù)〃x）=f—-x在（0,+8）的最大值為-3,則/（%）

Q—1

在（9,0）的最小值為

題型二單調(diào)性綜合奇偶性解不等式與比較大小

【技巧通法?提分快招】

單調(diào)性與對稱性（或奇偶性）結(jié)合解不等式問題

①/（X）在R上是奇函數(shù)，且/（X）單調(diào)遞增n若解不等式/（%1）+/（x2）＞0,則有

玉+々＞°；

/（X）在R上是奇函數(shù)，且/（X）單調(diào)遞減n若解不等式/（%））+/（%2）＞0,則有

冗1+%＜°；

②/（X）在R上是偶函數(shù)，且/（X）在（0,內(nèi)）單調(diào)遞增n若解不等式/（%；）＞/（%2）,則有聞＞國（不

變號加絕對值）；

/（X）在尺上是偶函數(shù)，且/（X）在（0中。）單調(diào)遞減n若解不等式/（%1）＞/（%2）,則有㈤〈同（變號

加絕對值）；

③/（x）關于（a,A）對稱，且/（x）單調(diào)遞增n若解不等式/（xj+/（x2）〉2b,則有

玉+冗2＞2。；

/（X）關于（a,b）對稱，且/（X）單調(diào)遞減n若解不等式/（%1）+/（x2）＞2/7,則有

再+冗2＜2。；

④/（X）關于x=a對稱，且/（x）在（a,+8）單調(diào)遞增n若解不等式f（X1）＞/（x2）,則有卜—a|＞|々—

（不變號加絕對值）；

/⑴關于X”對稱，且/⑴在（凡內(nèi)）單調(diào)遞減=若解不等式.）〉小），則有卜—4＜民—4

（不變號加絕對值）；

1.（2025?北京通州.一模）已知函數(shù)〃尤）=：尤2+cosx,則/（一2）,/（3）,/㈤的大小關系是（）

A./（-2）＜/（3）＜/（7T）B./（7T）＜/（3）＜/（-2）

C./（3）＜/（-2）＜/（TT）D./（-2）＜/（7T）＜/（3）

2.（24-25高三下?河南?月考）已知奇函數(shù)在R上單調(diào)遞減，若/（〃7）+〃祇-2）＜/（0）,則機的取值

范圍為（）

A.1―00，；］B.（-℃,1）C.D.（1,+co）

3.（2025?廣西河池?二模）設函數(shù)/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,+"）上單調(diào)遞增.若實數(shù)。滿足

1）＞〃2）,則。的取值范圍是（）

A.a>3B.a<—l

C.a<—1a>3D.—1<。<3

4.(2025?四川綿陽?二模)已知定義在R上的函數(shù)g(x)=e-eT+〃x),其中g(x)是奇函數(shù)且在R上單

調(diào)遞減，〃1幅尤)+〃2)>0的解集為()

A.B.C.D.(4,內(nèi))

5.(2025?遼寧本溪?模擬預測)已知定義在R上的函數(shù)的圖象關于直線x=l對稱，且“X)在(—,。)

上單調(diào)遞減.設a=/(log23),b="ln3),c=(lgj,則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

6.已知函數(shù)/(元)的定義域為R,f(x+3)為偶函數(shù)，若對任意的毛，馬4，")(可片乙)，都有

則關于加的不等式八”+3)</(23)的解集為()

A.(-1,1)B.(1,2)C.(-oo,DD.(l,+oo)

7.若定義在R上的偶函數(shù)〃力在(f,。]上單調(diào)遞減，且〃2)=0,則滿足(x+l)〃x-l)20的x的取值范

圍是()

A.[-l,l]u[3,+^)B.{—C.[-l,0]u[l,+^)D.{-l}u[3,+")

8.已知函數(shù)/⑺=七+^^,則不等式/(Inr-1)+/(力<4的解集為()

A.[：」[B.(0,1)C.D.(O,e)

?題型三周期性及其應用?

【技巧通法?提分快招】

周期性技巧

函數(shù)式滿足關系（xeR）周期

f(x+T)=f(x)T

f(x+T)=-f(x)2T

/(尤一/(—工

+T)=2T

/(x)/(x)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

ff(.a+x)=于(a-x)

2s-a)

\f(b+x)=f(b-x)

^f(a+x)=f(a-x)

2a

[/(x)為偶函數(shù)

[f{a+x)=-f{a-x)

2(b-a)

f(Jj+x)=-f(b-x)

[f(a+x)=-f(a-x)

2a

/(x)為奇函數(shù)

[f(a+x)=f(a-x)

4(/?一〃)

f(b+x)=-f{b-x)

\f{a+x)=f{a-x)

4a

[/(尤)為奇函數(shù)

[/(a+x)=-/(a-^)

4〃

/(x)為偶函數(shù)

1.（2024?陜西?一模）已知定義在R上的函數(shù)滿足〃x+3）=—/⑺，且〃—1）=2,貝廳（2。24）=（）

A.-4B.-2C.4D.2

/\21

2.（24-25高三上?江蘇淮安?月考）已知函數(shù)/（》）對于任意實數(shù)x滿足條件/（工+2）=而j,若/（2）=],

貝廳（2024）=（）

A.--B.』C.-4D.4

22

3.（2025?全國一卷?高考真題）設/（尤）是定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，當2WxW3時，f{x）=5-2x,

4.（2025?甘肅張掖?模擬預測）己知“X）是定義域為R的奇函數(shù)，且/（2+X）=/（T）,若/⑴=2,則

/（7）+/（10）=（）

A.2B.1C.-1D.-2

5.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中）已知函數(shù)””為偶函數(shù)，且滿足〃l-3x）=/（l+3x）,當x?0,l）,

f(x)=y-\,則“Iog332)的值為().

A.31B.—C.D.—

323232

6.(24-25高三上?安徽蕪湖?期末)已知函數(shù)的定義域為R,y=/(x)-l為奇函數(shù)，y=/(x+l)為偶

函數(shù)，若/(2025)=2,則〃3)=()

A.1B.-1C.0D.-3

7.(2025?山東青島?模擬預測)已知函數(shù)5(司是R上的奇函數(shù),且〃力=八2-力，當xe(0,l］時，

2025

〃力=2工-3,則￡"，?)=()

1=1

A.2B.1C.0D.-1

8.(2025?福建莆田?模擬預測)已知函數(shù)”力的定義域為R,值域為(0,+巧，若/(x+l)/(x-l)=4,函

數(shù)“x-2)為偶函數(shù),則了(2025)=()

A.1B.2C.3D.4

9.(2025?甘肅模擬預測)已知偶函數(shù)7⑺滿足：/(x)+產(chǎn)(x+2)=4,且〃x)，x+￡|>0,若〃2)<0,

貝葉(2025)=()

A.1B.72C.一忘D.-1

?題型四對稱性I一軸對稱?

【技巧通法?提分快招】

軸對稱性的常用結(jié)論如下:

⑴若函數(shù)〃尤)滿足〃a+x)=/(ar),則〃x)的一條對稱軸為％="

(2)若函數(shù)/(x)滿足〃2?-x)=/(x)廁/(x)的一條對稱軸為x="

(3)若函數(shù)滿足〃2a+x)=〃T),則的一條對稱軸為x=a

(4)K?-x)=y(6+x)弓(x)的圖象關于直線對稱;

小建議：軸對稱的特性表現(xiàn)為：等式兩側(cè)的外部符號保持相同；其求解方法是：通過計算兩側(cè)的平均值來

找出對稱軸。

1.定義在R上的函數(shù)“X)在(F,2)上是增函數(shù)，且〃x+2)=〃2-x)對任意xeR恒成立，則()

A./(-1)</(3)B./(-1)>/(3)

c./（-l）=/（3）D.y（0）=/（3）

2.（24-25高三上?重慶?月考）函數(shù)了=2-與y=2一的圖象（）

A.關于y軸對稱B.關于直線x=l對稱

C.關于直線x=-l對稱D.關于直線x=2對稱

3.（24-25高三下?河南?月考）若函數(shù)"X）的圖象關于直線x=-l對稱，則下列函數(shù)一定為奇函數(shù)的是（）

A.g（x）=/（x+l）B.g（x）=/（x-l）C.g（元）=4（x+DD.g（x）=V（比一1）

4.定義在R上的函數(shù)滿足"4-x）=〃x）,且當尤22時，〃x）是增函數(shù)，則不等式“2-尤絲/（x+1）

的解集為（）

A.B.[o,；C.（一叫；D.

5.（24-25高三上?四川成都?月考）定義在R上的函數(shù)〃x+l）關于x=-l對稱，且滿足：對任意引、

6[0,+co）,且七片馬，都有〃"）"~）＞0,貝1I（）

菁一%2

A./（3）＜/（-2）＜/（1）B.f（l）＜/（-2）＜/（3）

C./（-2）＜/（1）＜/（3）D./⑶2）

6.（24-25高三上?吉林長春?開學考試）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=/（2x-l）的圖象關于直線x=l對

稱的是（）

A.y=/（-2x-l）B.y=/（-2x+l）

C.y=/（-2x+3）D.^=2-/（2x-l）

7.（24-25高三上?江蘇?月考）若曲線y=（x+a）ln（l-￡|關于直線x=b對稱，則（）

A.-2B.0C.1D.2

?題型五對稱性口一中心對稱?

【技巧通法?提分快招】

中心對稱結(jié)論如下：

（1）若函數(shù)滿足〃“+無）+〃。-尤）=?,則“X）的一個對稱中心為（。㈤

（2）若函數(shù)〃x）滿足〃2a-x）+〃x）=2b,則的一個對稱中心為（a,，）

（3）若函數(shù)〃x）滿足“2a+x）+/（-x）=%,則的一個對稱中心為（a,6）.

小建議：點對稱的特性是：等式兩邊外部的符號不相同；其求解方法是：通過計算等式兩邊的中點（即平

均值）來確定對稱中心的位置。

1.（24-25高三上?陜西咸陽?月考）若函數(shù)/（x+1）是奇函數(shù)，則函數(shù)y=/（x）+l的圖象的對稱中心是（）

A.（-1,1）B.（1,1）C.（-1,-1）D.（—1,0）

2.（24-25高三上?四川成都?期中）已知函數(shù)/（尤）=//的圖象關于點P對稱，則點P的坐標是（）

9-3

A.（啕B.闖C,闖D.（0,0）

3.（24-25高三下?江蘇南京?開學考試）已知函數(shù)=:尤3+：/+―?一￥，則函數(shù)“X）的圖象的對稱

中心的坐標為（）

A.（-1,-3）B.（-1,3）C.（-1,2）D.（-1,-2）

4.（2024.云南昆明?模擬預測）已知函數(shù)/（x）（xeR）的導函數(shù)為尸⑴，且滿足f（無）-f（2-尤）=0,則（）

A.函數(shù)/（無）的圖象關于點（U）對稱B.函數(shù)/（x）的圖象關于直線尤=2對稱

C.函數(shù)（（x）的圖象關于直線尤=1對稱D.函數(shù)/（無）的圖象關于點（1,0）對稱

5.（24-25高三上.四川成都.期中）已知定義在R上的函數(shù)“X）滿足〃力=2-〃1-可，若函數(shù)了=^^+；

9

與函數(shù)y=f（x）的圖象的交點為（國,％）,（x?,%），…（須,為），則za+%）=（）

i=l

-27

A.9B.—C.12D.——

22

函數(shù)〃x）=ln”,則（）

6.（24-25高三下?江蘇泰州?開學考試）己知aeR,o^-l,

X-L

A.當。＞0時，函數(shù)/（x）在其定義域上單調(diào)遞減

B.當。＜。時，函數(shù)/（x）在其定義域上單調(diào)遞增

C.存在實數(shù)。，使函數(shù)的圖像是軸對稱圖形

D.當aHO時，函數(shù)/（x）的圖像恒為中心對稱圖形

?題型六對稱性結(jié)合周期性?

【技巧通法?提分快招】

函數(shù)的的對稱性與周期性的關系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且7=2(6-a)；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個對稱中心(a,c),S,c)(a<6),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且T=2(6-a)；

(3)若函數(shù)y=/(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心g,0)(a<3，則函數(shù)y=/(尤)是周期函數(shù)，且

7=4(6—a).

1.若函數(shù)的定義域為R,其圖象關于點(2,2)成中心對稱，且/(x+1)是偶函數(shù)，則

/(0)+/(1)+/(2)++/(2023)=()

A.2023B.-2023C.4048D.-4048

X

2.已知函數(shù)>=/(%)的圖象既關于直線1=1對稱，又關于點(2,0)對稱，且當了￡[0,1]時，/(%)=――,則

2024

“2024)等于()

311

A.------B.------C.------D.0

202420241012

3.(2025?遼寧?三模)已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(2%+1)為奇函數(shù)，且/(%)的圖象關于直線犬=2對

2025

稱，則￡")=()

1=1

A.-1B.0C.1D.2

4.已知定義在R上的函數(shù)“X)滿足“尤+2)+/(力=0,且y=〃2-尤)為偶函數(shù)，則下列說法正確的是

()

A.函數(shù)的周期為2B.函數(shù)外”的圖象關于直線x=l對稱

C.函數(shù)/(X)為奇函數(shù)D.函數(shù)的圖象關于點(3,0)對稱

5.(24-25高三下?湖南?月考)設函數(shù)“X)的定義域為R,f(x+l)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，當xe[l,2]

時，/(無)=加+2.則/(半2025)=()

A.2B.2C.-2D.二

2242

6.(24-25高三上?江蘇?月考)已知函數(shù)/⑺的定義域為R,41)=1,/(3x+l)為偶函數(shù)，且函數(shù)y=g/(2x)

2025

的圖象關于點Cu)對稱，則(幻=()

k=\

A.4048B.4049C.4051D.4054

7.已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為RJ(x+l)為奇函數(shù)，且/(l—x)+g(x)=2J(x)+g(x-3)=2』U()

A.不為偶函數(shù)B.g(x)為奇函數(shù)

2020

C.￡"9=40D.2g(左)=40

k=lk=\

?題型七類周期性.

【技巧通法?提分快招】

1、類周期函數(shù)

若y=/O)滿足：/(x+m)=夕'(x)或f(x)=kf(x-ni),則、=/(x)橫坐標每增加個單位，則函數(shù)值擴大k

倍.此函數(shù)稱為周期為”的類周期函數(shù).

2、倍增函數(shù)

若函數(shù)y="X)滿足/Onx)=妙(*)或/(x)=妙(勺，則y=y(x)橫坐標每擴大,〃倍，則函數(shù)值擴大k倍.此

函數(shù)稱為倍增函數(shù).

1.設函數(shù)的定義域為R,且〃x+4)=2/(x),當x?0,4］時，/(x)=2x2-8x,若對于

都有“X)2恒成立，則f的取值范圍是()

FT]B.(f-7]

C.(-co,-5]D.(-oo,-3]

2.(2025洞北唐山?一模)對于Vxe［0』J(x)+_f(l-x)=2,且〃月=2/仁，當0W%時,

/(x1)</(x2),則(

sinx,xG[0,71)

；若“X)〈m在上恒成立，則整

已知函數(shù)〃元)=1,/\「、，

—J［%-兀)，1￡［兀,+8)

、2

數(shù)，的最小值為.

4.(2024.湖南永州?三模)已知函數(shù)“X)的定義域為R,〃x)+〃17)=l,"x)=2(m，且對于

。(王(工2(1，恒有/(占)</(工2),貝1/(水二］=-

?題型八函數(shù)性質(zhì)的綜合應用?

1.(24-25高三下?江蘇無錫?月考)已知了(無)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x+2)=/(-%),且/(尤)在上

單調(diào)遞減，若a=/(log；2),b=/(log；Jog；),c=/(e%，則()

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a

2.(2025?陜西西安二模)已知〃尤)是定義在R上的奇函數(shù)且滿足〃龍+2)+/(x)=0,當0<x〈l時，

/(%)=log2(x+l).若/(a+l)>〃a),則實數(shù)a的取值范圍是()

A.-+4^,——+4^^,Z：eZB.(―1+4左,4G),kwZ

C.\--+4k,-+4k\,kcZD.\--+4k,-+4k\,keZ

I22JI22J

3.己知函數(shù)〃x)的定義域為R,〃x+l)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，且對任意的毛、々<1,2),無產(chǎn)馬，

有則下列結(jié)論錯誤的是()

A./(X)是偶函數(shù)B.f(2025)=0

C.”力的圖象關于(TO)對稱D.

4.已知函數(shù)〃尤),g(x)的定義域均為R,y=〃x)的圖象關于點(1,0)中心對稱，g(l-2x)-g(l+2x)=0,

/(x)-g(l-%)=2,/(4)=-2,則g(2025)=()

A.-2B.2C.-4D.1003

5.已知函數(shù)y=/(尤)是R上的偶函數(shù)，對于尤eR都有〃x+6)=/(尤)+/(3)成立，且/(T)=-2,當

x?x2e［0,3］,且無產(chǎn)超時，都有則給出下列命題：

①“2008)=—2；②函數(shù)y=〃x)圖象的一條對稱軸為3-6；

③函數(shù)y=〃x)在［-9,-6］上為嚴格減函數(shù)；④方程=0在［-9,9］上有4個根；

其中正確的命題個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

6.(多選題)已知函數(shù)/'(x)是定義域為R的奇函數(shù)；>/(2-x)+/(2+%)=0,當xe［0,2］時，

f(x)=-x2+2x,VxeR,g(^)=/(x)+/(x+l),則下列結(jié)論不正確的是()

A./$|+片］+…+］常+"4)=0B.函數(shù)g(x)的圖象關于x=g對稱

C.8(*)的值域為|-2,2］D.函數(shù)y=g(x)-：x有9個零點

7.(24-25高三上?山東荷澤?開學考試)(多選題)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,〃x+1)的圖象關

于x=-L對稱，g(x—1)+1是奇函數(shù)，且g(x)=/(x+2)+4,〃4)=—3,則下列說法正確的有()

A./(x)=/(-%)B,g(-l)=0

2023

c.g(2)=lD.￡g(z)=-2021

i=l

?題型九導函數(shù)與原函數(shù)的對稱性?

【技巧通法?提分快招】

導函數(shù)與原函數(shù)的對稱性

/(%)為偶函數(shù)o/(X)為奇函數(shù)

/(X)為奇函數(shù)n/(%)為偶函數(shù)

/'(x)為偶函數(shù)n/(x)有對稱中心(0,c)注意：此處c=0或cwO

同理：

/(%)有對稱軸x=a=尸(x)有對稱中心(a,0)

/(%)關于(a,c)中心對稱O尸(x)有對稱軸x=a注意：此處c=0或cwO

1.(2025?江西南昌?模擬預測)我們知道一個常識：奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù).

推廣到一般的情況：如果函數(shù)“X)的圖象有對稱中心，那么其導函數(shù)/'(X)的圖象會有對稱軸；如果函數(shù)

0I

“X)的圖象有對稱軸，那么其導函數(shù)/(X)的圖象會有對稱中心.請你運用以上性質(zhì)研究函數(shù)〃到=山守r

的對稱性，并判斷下列選項中正確的是()

A.“X)有對稱中心1jB.有對稱中心Q,o]

C.7(x)有對稱軸x=-gD.有對稱軸x

2.已知函數(shù)〃尤)及其導函數(shù)r(x)的定義域均為R,記g(龍)=尸(力，且

/(x)-/(-x)=2x,g(x)+g(2-x)=0,則下列說法不正確的是()

A.g(O)=lB.、=/⑴的圖象關于點(0,1)對稱

X

左=]2

c./(x)+/(2-x)=0D.￡g㈤=?(〃eN*)

3.(24-25高三下.廣東.期中)已知函數(shù)及其導函數(shù)廣⑺的定義域均為R,記g(x)=_f(x+1),且

/(2+x)-/(2-x)=4x,g(x+3)為偶函數(shù)，則/⑺—g(25)=()

A.0B.1C.-1D.-2

4.已知函數(shù)/(無)及其導函數(shù)尸(x)的定義域都為R,且/(l-2x)為偶函數(shù)，f(x+2)為奇函數(shù)，則()

A./(1)=OB.八2)=0

C.八2026)+/(2025)=0D.7(2026)+八2025)=0

5.(24-25高三下?浙江?期中)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域為R,/(-x+l)+^(x+l)=/(x+2)-g(x)=l,

k=\

且“X)滿足/'(尤+l)+/'(r+l)=0，g(l)=T，則&〃%)=()

A.-1B.1C.2025D.2026

6.(2024.安徽蕪湖.三模)已知函數(shù)〃x)與g(x)是定義在R上的函數(shù)，它們的導函數(shù)分別為尸(元)和g'(x),

k=l

且滿足〃x)+〃6-x)=2,〃x)=g(3-x)—5,且1f(x)-g，(x-l)=2,廣⑶=一1,則￡g")=()

2024

A.1012B.2024C.-1012D.-2024

03

實戰(zhàn)檢測?分層突破驗成效

?檢測I組重難知識鞏固?

1.若函數(shù)y=/（%）是奇函數(shù)，則下列各點一定是函數(shù)y=/（X+i）+2圖象對稱中心的是（）

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,2)

2

2.（2025?重慶?二模）已知函數(shù)〃力是定義在R上的偶函數(shù)，且/（力在（-8,0）上為增函數(shù)，設〃=5

29

b=y,c=（—3尸，則〃辦了0），/（c）的大小關系是（）

A./(^)>/(&)>/(c)B./(?)>/(c)>/(&)

C./(<?)>/(&)>/(?)D./(c)>/(?)>/(/?)

3.（24-25高三上?湖南長沙月考）已知函數(shù)）=2*+2：則下列函數(shù)的圖象關于直線犬=1對稱的是（）

A./(x-l)+cos-^xB./(x+l)+sin^x

7T

D./(x+l)+cos—x

4.已知奇函數(shù)"力滿足"5）=1,且“X-2）的圖象關于％=3對稱，則“2025）等于（）

A.-1B.1C.0D.3

5.（2025?湖南?模擬預測）設函數(shù)〃x）=e-+l,則使得/卜-1）＜〃-力成立的x的取值范圍是（）

1

A.B.，+C.—oo,—D.

2°°2

Lv-il