專題7.4復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（重難點(diǎn)題型檢測）

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

1.（3分）（2023?高一課時練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，有下列命題：①-1的平方根只有i；②i是1的平方根;

③若復(fù)數(shù)a+歷（a,beR）是某一元二次方程的根，貝必-歷一定是方程的另一個根；④若z為純虛數(shù)i,則z

的平方根為虛數(shù).上述命題中真命題的個數(shù)為（）

A.3B.2C.0D.1

【解題思路】對于①②，根據(jù)平方根的定義即可判斷；對于③，舉反例即可排除；對于④，利用平方根的

定義與復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)求得z=i的平方根，從而得以判斷.

【解答過程】對于①，-1的平方根有兩個，分別為i和-i,故①錯誤；

對于②，1的平方根是-1和1,故②錯誤；

對于③，令a=l,b=0,則a+歷=1是方程/+x—2=0的一個根，但方程/+%—2=0的另一個根是

x——2,并非a—bi—1,

實際上，只有實系數(shù)方程的虛根才是共軌復(fù)數(shù)，故③錯誤；

對于④，設(shè)z=i的平方根為x+yi（x,yCR）,則于+yi）2=i,BPx2—y2+2xyi=i,

zf

a22-ofX-V-2iX--V-2

解得

或

故j22

t21—l

-V2V2

y--l--

v2y-2

所以z=i的平方根為#+或-i,顯然z的平方根是虛數(shù)，故④正確；

綜上：①②③錯誤，④正確，故真命題的個數(shù)為1.

故選：D.

2.（3分）（2022秋?云南?高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（1,一2）,貝（Jz—2￡=（）

A.-l-6iB.-l+6i

C.l-6iD.l+6i

【解題思路】由復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示，共軻復(fù)數(shù)定義可得答案.

【解答過程】由題意知z=l-2i,z=l+2i,貝ijz-2z=l-2i-2（l+2i）=-1-6i.

故選：A.

3.（3分）已知復(fù)數(shù)z=盧巴（meR）是純虛數(shù)，則m=（）

A.3B.1C.-1D.-3

【解題思路】求出復(fù)數(shù)Z的代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)的概念列式計算.

【解答過程】Z=—=(1+3D(3+嗎=3-3m+(9+m)i,

3-mi(3-mi)(3+??ii)9+m2

因為復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，

則^二37n解得m=

I9+?nW0

故選:B.

4.(3分)若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2i,則|z+i5|=()

A.4V5B.4V2C.2^5D.2V2

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)z,利用共甄復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得出z+壇，再利用復(fù)數(shù)

的模長公式可求得結(jié)果.

【解答過程】因為z(l+i)=2i,貝Uz=三=,：弋”、=l+i,貝屹=1一i,

所以，z+iz=l+i+i(l-i)=2+2i,

因此，\z+iz|=V22x2=2V2.

故選：D.

5.(3分)(2022秋?江蘇南通?高三階段練習(xí))已知z=W-i2°22,則在復(fù)平面內(nèi)，其共輾復(fù)數(shù)2所對應(yīng)的

1-1

點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z,可得其共物復(fù)數(shù)2,利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.

【解答過程】因為i‘=1,則i?°22=i4X505+2=i?=-1,貝Ijz=羋j+1=二+1=1+i,

所以，z=l-i,因此，復(fù)數(shù)2所對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.

故選：D.

6.(3分)(2023春?福建泉州?高三階段練習(xí))已知復(fù)數(shù)1一i是關(guān)于久的方程/+px+q=0(p,q6R)的一

個根，則|p+qi|=()

A.4B.V5C.2A/2D.2V3

【解題思路】將1-i代入方程，利用復(fù)數(shù)相等得到方程組解出p,q,再利用模長公式求解即可.

【解答過程】由題意可得(1-i)2+p(l-i)+q=0,

即1—2i+i?+p—pi+q=0,

所以p+q-(p+2)i=0,

所以K廠：，解得仁了，

(p+2=0(q=2

所以Ip+qi|=|-2+2i|=7(-2)24-22=2A/2,

故選：C.

7.(3分)(2022春.北京西城.高一階段練習(xí))在復(fù)平面內(nèi)，。為原點(diǎn)，四邊形042c是復(fù)平面內(nèi)的平行

四邊形，且A,B,C三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為Z7，Z2，Z3，若Z]=1,Z3=—2+i,則Z2=()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.—1—i

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義及法則即可求解.

【解答過程】因為。為原點(diǎn)，四邊形0ABe是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，

又因為Z]-1,z3--2+i,

所以由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可得，

z?=Zj_+z3=1—2+i=-1+i.

故選：C.

8.(3分)(2023秋?上海?高二期末)設(shè)/'(x)=ax2+bx+c(a、6、ceR).已知關(guān)于x的方程f(x)=x有

純虛數(shù)根，則關(guān)于x的方程/(/(久))=%的解的情況，下列描述正確的是()

A.方程只有虛根解，其中兩個是純虛根

B.可能方程有四個實數(shù)根的解

C.可能有兩個實數(shù)根，兩個純虛數(shù)根

D.可能方程沒有純虛數(shù)根的解

【解題思路】根據(jù)給定條件，設(shè)》=小葭巾€口巾40),再利用方程根的意義結(jié)合復(fù)數(shù)相等，推理計算判斷

作答.

【解答過程】a,b,ceR,f(x)=ax2+bx+c,關(guān)于x的方程/(x)=x有純虛數(shù)根，設(shè)純虛數(shù)根為x=mi(mE

R,m0),

則有/(nii)=/ni，即一am?+c+67ni=mi,即有c=am2,。=i,aH0,/(%)=ax2+x+am2,

方程/'(%)=久化為久2+m2=0,方程有兩個純虛數(shù)根為±m(xù)i,

方程/'(/(x))=x化為：a2x4+2ax3+2(a2m2+l)x2+2am2x+a2m4+2m2—0,

222222

整理得(a?/+2ax+am+2)(/+m)=0,于是得/+m=0或a?/+2ax+am+2=0,

因此方程/(/(x))=x有兩個純虛數(shù)根土mi,

而方程a?/+2ax+a2m2+2—0中，△=4a2—4a2(a2m2+2)=-4a2(a2m2+1)<0,

因此方程&2/+23+02巾2+2=0無實數(shù)根，有兩個虛數(shù)根％=一工±2里i,不是純虛數(shù)根,

aa

所以選項A正確，選項B,C,D均不正確.

故選：A.

多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）

9.（4分）（2022秋?湖南長沙.高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)2=二坦，則下列結(jié)論中正確的是（）

1

A.z=2-iB.彳的虛部為1

C.|z|=V5D.（l+i）z=3—i

【解題思路】先化簡復(fù)數(shù)z,然后求出z的共軌復(fù)數(shù)即可驗證選項AB,

求出復(fù)數(shù)z的模驗證選項C,化簡選項D即可

【解答過程】因為z=二椀=上”=可=2+i,

111-1

所以￡=2—i,故A正確；

3的虛部為-1,故選項B錯誤；

由|z|=J22+(-1)2=V5,故選項C正確,

由(1+i)z—3—i,

所以z='=(37)(1)=3-31-1=1—2i,

故選項D錯誤，

故選：AC.

10.（4分）（2022春?安徽合肥?高一期中）在復(fù)平面內(nèi)有一個平行四邊形04BC,點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4對

應(yīng)的復(fù)數(shù)為4=1+i,點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z2=1+2i,點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z3,則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)C位于第二象限B.z1+z3-z2C.|z】-z3\-\AC\D.z】?Z3=z2

【解題思路】由題意畫出圖形，求出C的坐標(biāo)，得到Z3,然后逐一分析四個選項得答案.

【解答過程】解：如圖，

由題意，0(0,0),4(1,1),8(1,2),

???04BC為平行四邊形，貝lJC(0,l),

???Z3=i，點(diǎn)C位于虛軸上，故”錯誤；

Zi+Z3=1+i+i=1+2i=Z2，故B正確；

lzi-z31—11+i—i|—1=MQ,故C正確；

Z1Z3=(1+i)i=-1+iWz?,故。錯誤.

故選：BC.

11.(4分)(2023秋?河北唐山?高三期末)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Zi=a-2i,z2=2+ai,(aeR),下

列結(jié)論正確的有()

A.|z/=\z21

B.—z2

C.若2(Z]+z2)=Zi?Z2，則Q=2

D.若Z2=—i,則a=0

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算、共軌復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等等知識確定正確答案.

2

【解答過程】A選項，\zr\=Va+4=\z2\,A選項正確.

B選項，Z=a+2iWZ2，B選項錯誤.

C選項，2(zi+z2)=2a+4+(2a-4)i,

2

-z2=4a+(a—4)i,

若2(zi+z2)=z「z2,則｛2：；：：艱”4,解得a=2,所以C選項正確.

D選項，當(dāng)a=0時，Z2=2力-i,所以D選項錯誤.

故選：AC.

12.(4分)(2023秋?重慶?高三學(xué)業(yè)考試)已知復(fù)數(shù)z1,Z2是關(guān)于龍的方程/+法+1=0(-2<b<2,beR)

的兩根，則下列說法中正確的是()

A.用'=Z2B.—ERC.\z\=\z\=1D.若b=1,則z：—=1

“Z2r2

【解題思路】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程得Zi，Z2,然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算判斷各選項.

【解答過程】A=爐_4<0,.二％=一匕±?一匕I不妨設(shè)Zi=_'+"；匕i,Z2=一,—i,

Z1=z?,A正確；

kJ=k2l=[(-乎+(亞|馬2=1,c正確；

Z]Z2=1,A—=-^―=zl=-b^4~bi,力。0時，—gR,B錯；

1z1

z2z1z222z2

b=l時,zi=一|+爭，z2=-1-yi>計算得/=—:爭=Z2=五，

z2=Z1=藥，Z1=Z1Z2=1，同理刀=1,D正確.

故選：ACD.

三.填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）

13.（4分）（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z==+',則復(fù)數(shù)z=i.

1+1------

:_：2023,

【解題思路】先利用等比數(shù)列的前n項和求出z=二萬一，利用產(chǎn)（k6Z）的周期性即可求解.

；4-；2Xi34-口2022

【解答過程】Z==+'+：+'

1+1

1-—1-2023

,1-i

1+i

1?—-12023

=（l+i）（l-i）

i-i2023

2?

4n+1

因為i4n=l,i=i,i4n+2=一1-4n+3=f5GZ）,而2023-4x505+3,

所以i2023=一i,所以z=!Z1_=三=i.

故答案為：i.

14.（4分）（2023?高一課時練習(xí)）在平行四邊形4BCD中，對角線力C與BD相交于點(diǎn)O,若向量成，礪對

應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是l-i，-l+2i,則向量而對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2-3i.

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由市-礪=瓦？=詼求解.

【解答過程】因為向量而對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1一i,-l+2i,

所以耐-OB=E4=CD=（1-i）-（-1+2i）=2-3i

故答案為：2—3i.

15.（4分）（2022?吉林長春?長春模擬預(yù)測）已知zn是實數(shù)，關(guān)于X的方程/-（m+2）x+/+3ni+1=0

的兩個虛數(shù)根為Z],Z2.若|Z1—Z2I=2,則加的值為節(jié)".

【解題思路】根據(jù)△<0求出參數(shù)巾的取值范圍，再由韋達(dá)定理及虛根成對原理求出Zi，Z2,再由Z1Z2=62+

3巾+1得到方程，解得即可.

【解答過程】解：因為關(guān)于X的方程/—（血+2）%+62+3爪+1=0的兩個虛數(shù)根為Zi，Z2（m是實數(shù)），

則4=(TH+2)2—4(m2+3m+1)=—3m2—8m<0,解得m>0或m

2

所以Zi+z2=m+2,ztz2=m+3m+1,

'm+2,.(m+2.

Zi=---------FiIZi=-----------1

根據(jù)虛根成對原理可得Zi=9又因為|Z1-Z2l=2,所以｛上或《2

m+2,.

匕2=丁一1(Z2=---------F1

2

于是(巴色)+1=m2+3m+1,得到3nl2+8m-4=0,于是m"(符合題意).

故答案為：節(jié)N

16.(4分)(2022春.上海浦東新?高一期末)以下四個命題中所有真命題的序號是(1).

(1)若z］、z2eC,則z1私+Z2品eR；

(2)若z］、z2eC,則|Z1+Z2I=|z/2+2|z/?。|+怙2產(chǎn)；

(3)若Z］、z2EC,-z：任R,貝Uz工￡R,z孑出R；

(4)若Z］、z2GC,zR,Z2iR>則z：—Z2iR-

【解題思路】設(shè)出復(fù)數(shù)z1、Z2，由共輾復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可判斷(1)、(2);取特殊的復(fù)數(shù)Zi、Z2，由

復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可判斷(3)、(4).

【解答過程】設(shè)Z］=a+bi,z2-c+di,(a,b,c,d6R),對于(1),五=a—?dú)v石-c—di,則+z2z^=

(a+bi)(c—di)+(c+di)(a—bi)

=ac+bd+(be-ad)i+ac+bd+(ad-bc)i=2ac+2bdeR,(1)正確；

22222222

對于(2),%+z2\=|(a+c)+(h+d)i|=(a+c)+(b+d)—a+c+b+d+2ac+2bd,

2222222222z

|z/2+2|z/-\z2\+\z2\=a+b+2y/(a+6)(c+d)+c+d,則|z】+z2\*|zx|+ZfzJ-\z2\+

2

\z2\,(2)錯誤；

22

對于(3),取Z］=i,z2=1+i,顯然滿足z】、Z2GC,又z：—zf=i-(1+i)=一1一2i任R,但z：=-1GR,

故(3)錯誤；

對于(4)，取zi=1+2i,z2=2+i,顯然滿足zi、z2eC,又z：=-3+4igR4=3+4i￡R,但若一z/=

—6GR,故(4)錯誤.

故答案為：(1).

四.解答題(共6小題，滿分44分)

17.(6分)(2022春?高一課時練習(xí))計算：

(1)(1+2i)+(7-Hi)-(5+6i)；

(2)5i-［(6+8i)-(-l+3i)］；

(3)(a+bi)—(2a—3hi)—3i(a,beR).

【解題思路】(1)(2)(3)根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則即可求解；

【解答過程】(1)

解：(1+2i)+(7-Hi)-(5+6i)=(1+7-5)+(2-11-6)i=3-15i；

(2)

解：5i-[(6+8i)-(-1+3i)]=5i-(7+5i)=-7；

(3)

解：(a+bii)—(2a—36i)—3i—(a—2a)+[b—(—3b)—3]i=—a+(4b—3)i(a,bGR).

18.(6分)(2022?高一課時練習(xí))如圖，向量應(yīng)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z,分別作出下列運(yùn)算的結(jié)果對應(yīng)的向量:

(2)z—i；

(3)z+(-2+I).

【解題思路】復(fù)數(shù)與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，根據(jù)平行四邊形法則作出相應(yīng)向量即可.

【解答過程】(1)復(fù)數(shù)1與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)力(1,0)一—對應(yīng)，利用平行四邊形法則作出所求向量，如圖所示:

(2)復(fù)數(shù)T與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)2(0,-1)-----對應(yīng)，利用平行四邊形法則作出所求向量，如圖所示:

（3）復(fù)數(shù)-2+i與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)4（-2,1）-----對應(yīng)，利用平行四邊形法則作出所求向量如圖所示:

19.（8分）（2023?高三課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|+z=8-4i,且z是關(guān)于久的實系數(shù)一元二次方程/+

mx+25=0的一個根，求m的值.

【解題思路】設(shè)z=a+bi（a,bER）,根據(jù)條件求出z,由z和，為實系數(shù)一元二次方程%2++25=0的兩

個根，可解得.

【解答過程】設(shè)z=a+bi（a,bER）f則1蘇+爐+a—foi=8—4i,

得｛而里；a=8,解得｛、；，

所以z=3+4i,z=3—4i,滿足z-z=25.

所以m=—（z+z）=-6.

20.（8分）（2022?高一單元測試）復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b>0）滿足|z|=為純虛數(shù)；

（1）求復(fù)數(shù)z；

久

⑵求/\歸2022■

【解題思路】（1）由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，純虛數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的模長公式求解即可；

（2）有復(fù)數(shù)的除法與乘方運(yùn)算求解即可

【解答過程】（1）因為z=a+歷（見6>0）,

所以=（a+bi）2=a2—b2+2abi,

則由題意可得：?：+?：=3解得

一"=03=1

所以z=1+i；

⑵仔r=?r=晨齦r-=-1.

21.（8分）（2023?高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)的+比工a2+b2i,a3+b^ar,a2,a3,blfb2,b3eR),分別記

，

作Z2z3,即Zi=%+瓦。z2=a2+b2i^z3=a3+b3i,求證：

(1切逐2=Z2Z1；

(2)(Z1Z2)Z3=z1(z2z3)；

（3）Z1（Z2+Z3）=Z1Z2+Z1Z3.

【解題思路】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)則即可證明（1）（2）（3）

【解答過程】（1）z1Z2=（a］+Z?1i）（a2+b2i）=ara2—b1b2+（甸歷+。2瓦）力

Z2Z1=（?2+b2i）（.a1+瓦i）=ara2-瓦為+（。血+a2b^i,

則Zj/2=Z2Z1.

（2）（Z1Z2）Z3=［（O1+/?ii）（a2+b2i）］（,a3+b3i）=［a^-瓦厲+（西匕2+a2b^a3+b3i）

=（的。2-瓦匕2）。3-（%》2+。2瓦）以+［63（?1?2—&。2）+。3（的。2+。2瓦）］、

Z1Q2Z3）=（?i+bii）［（a2+b2i）（a3+b3i）］=（a+瓦i）［a2a3-b2b3+（a3b2+a2b3）口

=a/a2a3-b2bB-瓦（a3b2+a2b3）+［%（a3b2+a2b3）+瓦（a2a3-b2b3）H

=（。遂2-瓦歷）。3-（a02+。2瓦）須+23（。1。2-瓦i>2）+。3（。1瓦+瓦）］i,

則屹逐2%3=Z1Q2Z3）.

（3）Z1（Z2+Z3）=（ax+瓦譏（。2+。3）+（b2+b3）i］

=%（<12+a3）-bg+久）+［a-i（.b2+優(yōu)）+b^a2+a3）］i>

Z1Z2+z/3=Q+b1i）（a2+b2i）+（a］+瓦DQ+b3i）

=［a1a2—brb2+（%,厲+。2瓦）口+［%,。3—瓦仇+（。1瓦+a3b1）”

=［ara2-brb2+ara3-瓦仇］+［（。^2+。2瓦）+（。血+。3瓦）］i

=a1（a2+a3）-&（歷+壇）+［。式員+久）+瓦（。2+a3）］i，

則Z］（Z2+Z3）=ZXZ2+Z1Z3.

22.（8分）（2022.高一單元測試）已知z為復(fù)數(shù)，3=z+?為實數(shù).

Z

（1）當(dāng)-2<3<10時，求復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合；

（2）當(dāng)一4<3<2時，若u=竄（a>0）為純虛數(shù)，求a的值和以|的取值范圍.

【解題思路】（1）設(shè)2=萬+力，x,yER,將3用尤，y表示.由復(fù)數(shù)3滿足題中所給的不等式可知，復(fù)數(shù)3必

為實數(shù)（虛數(shù)不能比較大?。?可求出無，y所滿足的關(guān)系式，再結(jié)合它們的范圍，即可得到復(fù)數(shù)z在復(fù)平面

內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的集合；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，結(jié)合本小問所給的不等式，求出實數(shù)尤的范圍.因為u