§2.4函數(shù)的周期性和對(duì)稱性課標(biāo)要求1.了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.能通過平移，分析得出一般的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱公式和推論.3.會(huì)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡單的應(yīng)用.1.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D，且，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)的正數(shù)，那么這個(gè)___________就叫做f(x)的最小正周期.

2.函數(shù)的對(duì)稱性(1)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

(3)若f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為；若f(x＋a)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為.

3.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于對(duì)稱；

(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱；

(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于對(duì)稱.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則kT(k∈N*)也是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.()(2)若函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱.()(3)若函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱.()(4)若函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱.()2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＝x2＋1，則f(2024.5)等于()A.1716 B.C.2 D.13.已知定義在R上的函數(shù)f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，且f(x＋2)＝f(2－x)對(duì)任意x∈R恒成立，則()A.f(－1)<f(3) B.f(0)>f(3)C.f(－1)＝f(3) D.f(0)＝f(3)4.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(1，－2)，則函數(shù)y＝－f(－x)的圖象必過點(diǎn).

1.熟記函數(shù)周期性的三個(gè)常用結(jié)論對(duì)于f(x)定義域內(nèi)任一自變量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則2|a|是f(x)的一個(gè)周期；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，則2|a|是(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，則2|a|是2.熟記對(duì)稱性與周期性之間的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于兩條不同直線x＝a和x＝b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為2|a－b|；(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于兩個(gè)不同點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(b，0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為2|a－b|；(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a和點(diǎn)(b，0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為4|a－b|.題型一函數(shù)的周期性例1(1)已知函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝－f(x)，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f(x)＝x2－x，則f(2026)等于()A.0 B.2 C.6 D.20(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且f(x－1)＝f(x＋2)，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)的值是()A.2024 B.2023 C.1 D.0思維升華(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題.跟蹤訓(xùn)練1(多選)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－3)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)＝x2－3x，則下列結(jié)論正確的是()A.f(x＋6)＝f(x)B.當(dāng)x∈[－6，－3]時(shí)，f(x)＝x2－3x－6C.f(2023)＋f(2025)＝f(2024)D.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－6，0)對(duì)稱題型二函數(shù)的對(duì)稱性命題點(diǎn)1自對(duì)稱中的軸對(duì)稱例2(多選)設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且對(duì)?x∈R，都有f(2－x)＝f(x)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x2，則下列說法正確的是()A.f(x)在[3，5]上單調(diào)遞增B.f(x)的最大值是1，最小值是0C.直線x＝1是函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸D.f(x)的一個(gè)周期為4命題點(diǎn)2自對(duì)稱中的中心對(duì)稱例3(多選)下列說法中，正確的是()A.函數(shù)f(x)＝2xB.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x－1)＋1的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，1)對(duì)稱C.若函數(shù)f(x)滿足f(4－x)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱D.若函數(shù)f(x)滿足f(2x－1)為奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，0)對(duì)稱命題點(diǎn)3互對(duì)稱問題例4已知函數(shù)y＝f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x＋2)與y＝f(4－x)的圖象()A.關(guān)于直線x＝1對(duì)稱B.關(guān)于直線x＝3對(duì)稱C.關(guān)于直線y＝3對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)(3，0)對(duì)稱思維升華(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱?f(x)＝f(2a－x)?f(a－x)＝f(a＋x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a＋b(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?2b－f(x)＝f(2a－x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)a＋b跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)f(x)滿足f(x－6)＋f(－x)＝0，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－3對(duì)稱B.函數(shù)f(x)＝cosxsin2x的圖象關(guān)于直線x＝π2C.函數(shù)f(x)＝esinx－ecosx的圖象關(guān)于點(diǎn)π4D.函數(shù)y＝3x與y＝32－x的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋2)為偶函數(shù)，f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，則不等式f(－x2)>f(－1)的解集為.

答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.(1)f(x＋T)＝f(x)(2)最小最小正數(shù)2.(2)(a，0)(3)x＝a(a，0)3.(1)y軸(2)x軸(3)原點(diǎn)自主診斷1.(1)√(2)√(3)×(4)√2.B[由f(x＋2)＝f(x)可知，函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為2，當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＝x2＋1，∴f(2024.5)＝f

2024＋＝f

12＝13.A[因?yàn)閒(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3).]4.(－1，2)解析y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(1，－2)，則函數(shù)y＝－f(－x)的圖象必過點(diǎn)(－1，2).探究核心題型例1(1)B[因?yàn)閒(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的一個(gè)周期為4，所以f(2026)＝f(506×4＋2)＝f(2)＝22－2＝2.](2)D[因?yàn)閒(x－1)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋3)，所以f(x)的一個(gè)周期為3，由f(－1)＝1，得f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1，由f(0)＝－2，得f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且定義域?yàn)镽，所以f(x)為偶函數(shù)，故f(1)＝f(－1)＝1，則f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝675×0＝0.]跟蹤訓(xùn)練1ACD[因?yàn)閒(x－3)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋3)，則f(x－3)＝f(x＋3)，所以f(x＋6)＝f(x)，故A正確；當(dāng)x∈[－6，－3]時(shí)，x＋6∈[0，3]，f(x)＝f(x＋6)＝(x＋6)2－3(x＋6)＝x2＋9x＋18，故B不正確；由f(x＋6)＝f(x)，得函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6，得f(2023)＝f(1＋337×6)＝f(1)＝－2，f(2025)＝f(3＋337×6)＝f(3)＝0，f(2024)＝f(2＋337×6)＝f(2)＝－2，所以f(2023)＋f(2025)＝f(2024)，故C正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0，0)對(duì)稱，又函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6，故f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－6，0)對(duì)稱，故D正確.]例2ACD[因?yàn)閒(2－x)＝f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，故C正確；又因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，即f(2－x)＋f(－x)＝0，從而f(2＋x)＋f(x)＝0，所以f(4＋x)＋f(x＋2)＝0，所以f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)的一個(gè)周期為4，故D正確；又因?yàn)楫?dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x2單調(diào)遞增，所以f(x)在[－1，0]上也單調(diào)遞增，從而f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒(x)的一個(gè)周期為4，所以f(x)在[3，5]上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)閒(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增，且f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以f(x)在[1，3]上單調(diào)遞減，所以f(x)在[－1，3]上的最大值為f(1)＝1，最小值為f(－1)＝－f(1)＝－1，故B錯(cuò)誤.]例3ACD[對(duì)于A，f(x)＝2x?1x＋2＝2(x＋2)?5x＋2＝2－5x＋2，其圖象可以由y＝－5x的圖象向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度得到，且y＝－5x對(duì)于B，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到函數(shù)y＝f(x－1)＋1的圖象，其圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)f(x)滿足f(4－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，C正確；對(duì)于D，因?yàn)閒(2x－1)為奇函數(shù)，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，0)對(duì)稱，D正確.]例4A[設(shè)P(x0，y0)為y＝f(x＋2)圖象上任意一點(diǎn)，則y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以點(diǎn)Q(2－x0，y0)在函數(shù)y＝f(4－x)的圖象上，而點(diǎn)P(x0，y0)與點(diǎn)Q(2－x0，y0)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以函數(shù)y＝f(x＋2)與y＝f(4－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱.]跟蹤訓(xùn)練2(1)BCD[對(duì)于A，由f(x－6)＋f(－x)＝0可得，f(x－6)＝－f(－x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－3，0)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，f(π－x)＝cos(π－x)·sin(2π－2x)＝cosxsin2x＝f(x)，故B正確；對(duì)于C，f

π2?x＝esinπ2?x－ecosπ2?x＝ecosx－esinx＝－f(x)，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)y＝3x與y＝3－x的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，把函數(shù)y＝3－x的圖象向右平移2個(gè)單位長度，得到函數(shù)y＝32－x(2)(－1，1)解析∵f(x＋2)是偶函數(shù)，∴f(x＋2)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，又f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞增.又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)，∴－x2>－1，即x2<1，∴－1<x<1，∴原不等式的解集為(－1，1).

2.4函數(shù)的周期性和對(duì)稱性課標(biāo)要求1.了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.能通過平移，分析得出一般的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱公式和推論.3.會(huì)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡單的應(yīng)用.1.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.2.函數(shù)的對(duì)稱性(1)若函數(shù)y=f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；(2)若函數(shù)y=f(x)滿足f(a-x)=-f(a+x)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱.(3)若f(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x=a；若f(x+a)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為(a，0).3.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(1)函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；(2)函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；(3)函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則kT(k∈N*)也是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.(√)(2)若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱.(√)(3)若函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱.(×)(4)若函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(2-x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.(√)2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f(x)=x2+1，則f(2024.5)等于()A.1716 B.54 C.2答案B解析由f(x+2)=f(x)可知，函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為2，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f(x)=x2+1，∴f(2024.5)=f

2024+12=f

12=13.已知定義在R上的函數(shù)f(x)在(-∞，2)上單調(diào)遞增，且f(x+2)=f(2-x)對(duì)任意x∈R恒成立，則()A.f(-1)<f(3) B.f(0)>f(3)C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3)答案A解析因?yàn)閒(x+2)=f(2-x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以f(3)=f(1)，由于f(x)在(-∞，2)上單調(diào)遞增，所以f(-1)<f(1)=f(3)，f(0)<f(1)=f(3).4.已知函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(1，-2)，則函數(shù)y=-f(-x)的圖象必過點(diǎn).

答案(-1，2)解析y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(1，-2)，則函數(shù)y=-f(-x)的圖象必過點(diǎn)(-1，2).1.熟記函數(shù)周期性的三個(gè)常用結(jié)論對(duì)于f(x)定義域內(nèi)任一自變量x：(1)若f(x+a)=-f(x)，則2|a|是f(x)的一個(gè)周期；(2)若f(x+a)=1f(x)，則2|a|是(3)若f(x+a)=-1f(x)，則2|a|是2.熟記對(duì)稱性與周期性之間的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于兩條不同直線x=a和x=b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為2|a-b|；(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于兩個(gè)不同點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(b，0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為2|a-b|；(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和點(diǎn)(b，0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為4|a-b|.題型一函數(shù)的周期性例1(1)已知函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=-f(x)，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f(x)=x2-x，則f(2026)等于()A.0 B.2 C.6 D.20答案B解析因?yàn)閒(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)的一個(gè)周期為4，所以f(2026)=f(506×4+2)=f(2)=22-2=2.(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且f(x-1)=f(x+2)，又f(-1)=1，f(0)=-2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)的值是()A.2024 B.2023 C.1 D.0答案D解析因?yàn)閒(x-1)=f(x+2)，所以f(x)=f(x+3)，所以f(x)的一個(gè)周期為3，由f(-1)=1，得f(2)=f(-1+3)=f(-1)=1，由f(0)=-2，得f(3)=f(0+3)=f(0)=-2，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且定義域?yàn)镽，所以f(x)為偶函數(shù)，故f(1)=f(-1)=1，則f(1)+f(2)+f(3)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=675×0=0.思維升華(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題.跟蹤訓(xùn)練1(多選)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-3)=-f(x)，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)=x2-3x，則下列結(jié)論正確的是()A.f(x+6)=f(x)B.當(dāng)x∈[-6，-3]時(shí)，f(x)=x2-3x-6C.f(2023)+f(2025)=f(2024)D.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-6，0)對(duì)稱答案ACD解析因?yàn)閒(x-3)=-f(x)，所以f(x)=-f(x+3)，則f(x-3)=f(x+3)，所以f(x+6)=f(x)，故A正確；當(dāng)x∈[-6，-3]時(shí)，x+6∈[0，3]，f(x)=f(x+6)=(x+6)2-3(x+6)=x2+9x+18，故B不正確；由f(x+6)=f(x)，得函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6，得f(2023)=f(1+337×6)=f(1)=-2，f(2025)=f(3+337×6)=f(3)=0，f(2024)=f(2+337×6)=f(2)=-2，所以f(2023)+f(2025)=f(2024)，故C正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0，0)對(duì)稱，又函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6，故f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-6，0)對(duì)稱，故D正確.題型二函數(shù)的對(duì)稱性命題點(diǎn)1自對(duì)稱中的軸對(duì)稱例2(多選)設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且對(duì)?x∈R，都有f(2-x)=f(x)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=x2，則下列說法正確的是()A.f(x)在[3，5]上單調(diào)遞增B.f(x)的最大值是1，最小值是0C.直線x=1是函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸D.f(x)的一個(gè)周期為4答案ACD解析因?yàn)閒(2-x)=f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故C正確；又因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，所以f(2-x)=f(x)=-f(-x)，即f(2-x)+f(-x)=0，從而f(2+x)+f(x)=0，所以f(4+x)+f(x+2)=0，所以f(4+x)=f(x)，所以f(x)的一個(gè)周期為4，故D正確；又因?yàn)楫?dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=x2單調(diào)遞增，所以f(x)在[-1，0]上也單調(diào)遞增，從而f(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒(x)的一個(gè)周期為4，所以f(x)在[3，5]上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)閒(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增，且f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以f(x)在[1，3]上單調(diào)遞減，所以f(x)在[-1，3]上的最大值為f(1)=1，最小值為f(-1)=-f(1)=-1，故B錯(cuò)誤.命題點(diǎn)2自對(duì)稱中的中心對(duì)稱例3(多選)下列說法中，正確的是()A.函數(shù)f(x)=2xB.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x-1)+1的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1，1)對(duì)稱C.若函數(shù)f(x)滿足f(4-x)=-f(x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱D.若函數(shù)f(x)滿足f(2x-1)為奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1，0)對(duì)稱答案ACD解析對(duì)于A，f(x)=2x?1x+2=2(x+2)?5x+2=2-5x+2，其圖象可以由y=-5x的圖象向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度得到，且y=-5x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f對(duì)于B，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x-1)+1的圖象，其圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)f(x)滿足f(4-x)=-f(x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，C正確；對(duì)于D，因?yàn)閒(2x-1)為奇函數(shù)，所以f(2x-1)=-f(-2x-1)，所以f(x-1)=-f(-x-1)，所以f(x)=-f(-x-2)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1，0)對(duì)稱，D正確.命題點(diǎn)3互對(duì)稱問題例4已知函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，則函數(shù)y=f(x+2)與y=f(4-x)的圖象()A.關(guān)于直線x=1對(duì)稱B.關(guān)于直線x=3對(duì)稱C.關(guān)于直線y=3對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)(3，0)對(duì)稱答案A解析設(shè)P(x0，y0)為y=f(x+2)圖象上任意一點(diǎn)，則y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))，所以點(diǎn)Q(2-x0，y0)在函數(shù)y=f(4-x)的圖象上，而點(diǎn)P(x0，y0)與點(diǎn)Q(2-x0，y0)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以函數(shù)y=f(x+2)與y=f(4-x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.思維升華(1)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱?f(x)=f(2a-x)?f(a-x)=f(a+x)；若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a+b(2)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱?f(a+x)+f(a-x)=2b?2b-f(x)=f(2a-x)；若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)a+b跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)f(x)滿足f(x-6)+f(-x)=0，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=-3對(duì)稱B.函數(shù)f(x)=cosxsin2x的圖象關(guān)于直線x=π2C.函數(shù)f(x)=esinx-ecosx的圖象關(guān)于點(diǎn)π4D.函數(shù)y=3x與y=32-x的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱答案BCD解析對(duì)于A，由f(x-6)+f(-x)=0可得，f(x-6)=-f(-x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-3，0)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，f(π-x)=cos(π-x)sin(2π-2x)=cosxsin2x=f(x)，故B正確；對(duì)于C，f

π2?x=esinπ2?x-ecosπ2?x=ecosx-esinx=-f(x)，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)y=3x與y=3-x的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，把函數(shù)y=3-x的圖象向右平移2個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=32-x的圖象，故函數(shù)y=3(2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+2)為偶函數(shù)，f(x)在[2，+∞)上單調(diào)遞減，則不等式f(-x2)>f(-1)的解集為.

答案(-1，1)解析∵f(x+2)是偶函數(shù)，∴f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又f(x)在[2，+∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)在(-∞，2]上單調(diào)遞增.又-x2，-1∈(-∞，2]，f(-x2)>f(-1)，∴-x2>-1，即x2<1，∴-1<x<1，∴原不等式的解集為(-1，1).課時(shí)精練(分值：80分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，則f(2026)等于()A.-1 B.0 C.1 D.2答案B解析因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，又f(x+2)=f(x)，所以2是f(x)的一個(gè)周期，所以f(2026)=f(0)=0.2.函數(shù)y=-ex與y=e-x的圖象()A.關(guān)于x軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于直線y=x對(duì)稱答案C解析根據(jù)兩函數(shù)圖象即可判斷出其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.3.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，且當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=x2+mx+n，若f(-1)=-7，則3m+n等于()A.7 B.2 C.-2 D.-1答案C解析因?yàn)槎x域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，且當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=x2+mx+n，若f(-1)=-7，則f(3)=-f(-1)=7.故f(3)=32+3m+n=7，即3m+n=-2.4.(2024·茂名模擬)函數(shù)y=f(x)和y=f(x-2)均為R上的奇函數(shù)，若f(-1)=-2，則f(2025)等于()A.-2 B.-1 C.0 D.2答案D解析因?yàn)閥=f(x-2)為奇函數(shù)，f(x-2)=-f(-x-2)，所以y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2，0)對(duì)稱，即f(-x)+f(x-4)=0，又y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(-x)=-f(x)，有f(x)=f(x-4)?f(x+4)=f(x)，所以y=f(x)的一個(gè)周期為4，故f(2025)=f(1+2024)=f(1)=-f(-1)=2.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.設(shè)函數(shù)f(x)=2x-1+21-x，則下列說法錯(cuò)誤的是()A.f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增B.f(x)為奇函數(shù)C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱答案ABD解析∵f(x)=2x-1+21-x，∴f(2-x)=21-x+2x-1=f(x)，即f(2-x)=f(x)，即f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故C正確，A，D錯(cuò)誤；∵f(x)=2x-1+21-x的定義域?yàn)镽，但f(0)=12+2≠0∴f(x)不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤.6.(2025·重慶八中模擬)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，下列敘述正確的是()A.f(1)=0B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱D.f(3)=0答案ACD解析因?yàn)閒(x+1)為奇函數(shù)，所以f(x+1)=-f(-x+1)，則可推出f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，即f(1)=0，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)閒(x+2)為偶函數(shù)，所以f(x+2)=f(-x+2)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，故C正確；由f(1)=0且f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱知，f(3)=f(1)=0，故D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知函數(shù)f(x)=x2+mx，若?x∈R，f(1-x)=f(1+x)，則m=.

答案-2解析因?yàn)?x∈R，f(1-x)=f(1+x)，函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為直線x=1，而由f(x)=x2+mx=x+m22-m24可知其對(duì)稱軸為直線x=-m28.與函數(shù)y=ex的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱的圖象的函數(shù)解析式為.

答案y=e2-x解析f(x)=ex的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱的圖象的函數(shù)是f(2-x)=e2-x，即y=e2-x.四、解答題(共27分)9.(13分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.(1)證明：f(x)是周期函數(shù)；(6分)(2)若當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f(x)=-x2+1，求當(dāng)x∈[2，6]時(shí)，f(x)的解析式.(7分)(1)證明因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以f(x+2)=f(2-x)，即有f(-x)=f(x+4)，又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，有f(-