廣東省廣州市2025屆高三下學(xué)期綜合測試(一)數(shù)學(xué)試卷

1.若復(fù)數(shù)Z滿足1+iz=i,貝Uz的虛部為()

A.-1B.1C.-iD.i

2.已知集合4=(x\0<x<a],B=(x\x2-2x<0},若BU力，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,2]C.(2,+oo)D.[2,+oo)

3.在平行四邊形中，點E是BC邊上的點，BC=4EC,點F是線段DE的中點，若方=4荏+

//AD，則從=()

A.B.1C.JD.I

484

4.已知球。的表面積為4兀，一圓臺的上、下底面圓周都在球。的球面上，且下底面過球心0,母線與

下底面所成角為條則該圓臺的側(cè)面積為()

A.孥兀B.，C.3或兀D.37r

44Z

5.已知點P在雙曲線b>0)±,且點P到C的兩條漸近線的距離之積等于生

則C的離心率為()

A.3B.2C.V3D.V2

6.已知實數(shù)a,b滿足3a=心，則下列不等式可能成立的是()

A.b<a<0B.2b<a<0C.0<a<bD.0<2b<a

7.已知a>0,曲線y=cos3%與y=cos(3%-芻相鄰的三個交點構(gòu)成一個直角三角形，則3=

()

A.善兀B.孚兀C.V2TTD.V37T

8.定義域為R的偶函數(shù)〃久)在(-8,0]上單調(diào)遞減，且/(3)=0,若關(guān)于％的不等式

(mx-2)/(%-2)>(nx+3)/(2-%)的解集為[—1,+8),貝卜加-2n+/+】的最小值為()

A.2e3B.2e2C.2eD.2V

9.某位射擊運動員的兩組訓(xùn)練數(shù)據(jù)如下：第一組：10,7,7,8,8,9,7；第二組：10,5,5,

8,9,9,10.則()

A.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等

B.第一組數(shù)據(jù)的方差大于第二組數(shù)據(jù)的方差

C.兩組數(shù)據(jù)的極差相等

D.第一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于第二組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

10.已知函數(shù)/(%)=m七三+ax在x=3處取得極大值，/(久)的導(dǎo)函數(shù)為/'(X),則()

4

a=-

A.3

B.當(dāng)OV%V1時,/(%)>/(x2)

c./(2+%)=/(2-x)

D.當(dāng)1〈久1〈久2<3且久1+x2<4時,/(%1)+y(x2)<竽

11.如圖，半徑為1的動圓C沿著圓0:/+y2=1外側(cè)無滑動地滾動一周，圓c上的點p(a,b)形成的

外旋輪線「，因其形狀像心形又稱心臟線.已知運動開始時點P與點力(1,0)重合.以下說法正確的有

A.曲線「上存在到原點的距離超過2遮的點

B?點(1,2)在曲線「上

C.曲線「與直線x+y-2魚=0有兩個交點

D?網(wǎng)IL.I<3—^/3

12.已知cosas譏(a—/?)—sinacos^p—a)=虧，貝1Js譏4=.

13.將1,2,3,…,9這9個數(shù)字填在3X3的方格表中，要求每一行從左到右、每一列從上到下的數(shù)字依

次變小.若將4填在如圖所示的位置上，則填寫方格表的方法共有種.

14.在正三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC==6，點。在△ABC內(nèi)部運動(包括邊界),

點。到棱P4,PB,PC的距離分別記為心,6?2,6;3，且用+於+屏=201則點。運動路徑的長度

為.

15.在△4BC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c，已知c=a(l+2cosB).

(1)求證：B=2A；

(2)若a=3,b=2避，求△ABC的面積.

16.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=2BC=2,側(cè)面PCD是等邊三角形，三

棱錐力—PBD的體積為孚，點E是棱CP的中點.

(1)求證：平面P8C1平面PCD；

(2)求平面BDE與平面/BCD夾角的余弦值.

17.n(neN*,n23)個人相互傳球，傳球規(guī)則如下：若球由甲手中傳出，則甲傳給乙；否則，傳球

者等可能地將球傳給另外的n-1個人中的任何一個.第一次傳球由甲手中傳出，第k(k￡N*)次傳球

后，球在甲手中的概率記為Zn(k)，球在乙手中的概率記為Bn(k).

(1)求45(2),85(2),25(3),85(3);

(2)求4n(k)；

(3)比較%(k+1)與痣4式m的大小，并說明理由.

18.已知動點P到點尸仔,。)的距離等于它到直線久=-*的距離，記動點P的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)。為坐標(biāo)原點，過點M(2,0)且斜率存在的直線，與C相交于4B兩點，直線4。與直線久=-2相

交于點。，過點B且與C相切的直線交%軸于點E.

(i)證明：直線DE〃/;

(ii)滿足四邊形ABCE的面積為12的直線I共有多少條？說明理由.

19.已知71CN*且n23,集合力1=…，即｝，其中0＜的＜。2若存在函數(shù)

/(%)(/(%)%),其圖象在區(qū)間￡＞=［%,即］上是一段連續(xù)曲線，且｛/(見)I七C4J=4小則稱fO)

是An的T變換函數(shù)，集合Zn是。的7子集.例如，設(shè)&=修，1，V2,2,3｝此時函數(shù)/⑺=|是人5

的T變換函數(shù)，為是［|，3］的T子集.

(1)判斷集合｛1，2,8,9｝是否是［1,9］的7子集？說明理由；

(2)判斷/(久)=/(1+祭)是否為集合4的7變換函數(shù)？說明理由；

(3)若j￡N*,1<則令"小試問是否存在函數(shù)〃%)，使得集合乙是

D=[ai,的7子集？若存在，求的解析式；若不存在，說明理由.

答案解析部分

L【答案】B

【解析】【解答】解：因為l+iz=i,

.1.2.

所以z==1=1+i>

i7i2

所以z的虛部為1.

故答案為：B.

【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運算法則求出復(fù)數(shù)z,再結(jié)合復(fù)數(shù)的虛部的概念，從而可得復(fù)數(shù)z的虛部.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：已知B={%|%2-2%<0]=（%|0<%<2},

因為則a22,則實數(shù)a的取值范圍是[2,+8）.

故答案為：D.

【分析】先利用一元二次不等式的解法集合B,再利用集合子集的定義即可求解.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：因為點F是線段OE的中點,

所以而=：（而+荏）,

又因為荏=說+礪=而+=AB+IAD,

所以都前+福）=IAD+^AB,

所以〃=,

故答案為：C.

【分析】由方=；（而+荏）和荏=荏+,而，再結(jié)合已知條件得出實數(shù)4的值.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：作出示意圖如圖所示:

設(shè)球的半徑為。4=OB,由題意可得4048=3,所以。4B是等邊三角形，

所以乙408=*所以/。108=看

因為球。的表面積為4幾，所以47rx0A2=47,解得04=1,所以O(shè)B=AB=1,

所以。iB=JOB=

所以圓臺的側(cè)面積為乂2兀、1+2兀義專X1=等

故答案為：B.

【分析】設(shè)球的半徑04=0B,利用圓臺的側(cè)面展圖形是扇環(huán)，及圓臺的側(cè)面積公式可求圓臺的側(cè)

面積即可求解.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：設(shè)PQo，M)>

:點P在雙曲線C：M—l(a>0,b

22

???駕—當(dāng)=1,即52胞_Q2y2—a2b2

z

ab乙

又雙曲線C:多一馬=l(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為力％+ay=0和力％-ay=0,

ab

點P到雙曲線。的兩條漸近線的距離之積為：

匹+%|\bxQ-ay0\_|(bx0+ay0)(bx0-l

Ja2+b2Ja2+b2a2+bcc

.??噂=《，即C2=2/A

c22

-2

又心=a2+d2，-,?a2-b2,c2=2a2,：.---二=訪

ecia，

N

故答案為：D.

【分析】設(shè)PQofo)，將點P坐標(biāo)代入雙曲線方程中可得必郎-小弟=。2房.再利用點p到漸近線可

得廿/-a2y2=a2b2,化簡可得=2戶即可求解.

6.【答案】B

【解析】【解答】解:設(shè)函數(shù)/（%）=3x,g（x）=4\/i（x）=2%作出函數(shù)圖象如圖所示:

A、當(dāng)0<t<1時，直線y=t與函數(shù)/■（￡）=3久,g（久）=4支的圖象交點的橫坐標(biāo)為a,b,

由函數(shù)圖象可知，a<b<0,故A錯誤；

C、當(dāng)t>l時，直線y=t與函數(shù)/■（久）=3久,。（久）=4*的圖象交點的橫坐標(biāo)為a,b,

由函數(shù)圖象可知，0<b<a,故C錯誤；

因為3a=4”,所以3a=228,

設(shè)3a=22b=

作出函數(shù)f（K）=3久,%（無）=2丫的圖象如圖所示:

B、當(dāng)0<t<l時，直線y=t與函數(shù)/（久）=3光,初久）=2”的圖象交點的橫坐標(biāo)為a,2b,

由函數(shù)圖象可知，2b<a<0,故B正確；

D、當(dāng)t>l時，直線y=t與函數(shù)/（%）=3七/i（x）=2支的圖象交點的橫坐標(biāo)為a,2b,

由函數(shù)圖象可知，0<a<2b,故D錯誤；

故答案為：B.

【分析】設(shè)指數(shù)函數(shù)/'（久）=3久,0（%）=4X,h（x）=2X,在同一坐標(biāo)系中作出三個函數(shù)的圖象，分0<

t<l,t>l,兩種情況即可求解.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：設(shè)曲線y=coscox與y=cos（coK-勺相鄰的三個交點為

2aL,y。B（%2,y2）>c（%3,乃），

coscox=cos（3%-4）=^COSO）X+號sin3K=sin（to%—=0>

解得久=—+~r~,kEZf

0)6(J0

不妨取k=0,1,2,則久1=焉,犯=磊,％3=需，

所以%=字仍=-孚,丫3=孚，

22

貝l」AB2=BC2=華)+3,AC2=償)，

由題意得^ABC為直角三角形，

所以AB2+BC2=AC2,即2(7+6=償)2,解得3=字兀，

故答案為：A.

【分析】設(shè)曲線y=cosajgy=cos(3%-勺相鄰的三個交點為43,C,利用兩角差的余弦公式和

輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)可得X="+/水eZ,再利用勾股定理列出方程求解即可求解.

0)6a)

8.【答案】C

【解析】【解答】解：因為/(%)為偶函數(shù)，所以/(%)=/"(—%),貝葉(％-2)=/(2-％),

由(mx—2)/(%-2)>(nx+3)/(2—%),

得［(TH-n)x-5］/(x-2)>0,

又因為函數(shù)/(%)在(-8,0］上單調(diào)遞減，且/(一3)=/⑶=0,

則函數(shù)f(%)在0+8)上單調(diào)遞增，

則％G(-8,-3)U(3,+8)時,/(%)>0,當(dāng)%G(一3,3)時,/(%)<0,

則當(dāng)%6(—00,—1)U(5,+8)時,/(%-2)>0,

當(dāng)%G(—1,5)時,/(%-2)<0,

所以/(%-2)<0的解集為/(%-2)>0的解集為(一8,-1］U［5,+8),

由于不等式［(6-n)x-5］/(x-2)>。的解集為［-1,+00),

當(dāng)m=幾時，不等式［(租-n)x—5］/(x—2)>0為(-5)?/(%—2)>0,

此時解集為［-1,5］,不符合題意；

當(dāng)m>九時，不等式(TH-n)x-5>。解集為％>5,

-m—n

不等式(租-n)x-5<0解集為x<—,

m—n

要使不等式［(租-n)x-5］/(x-2)>。的解集為［―L+8),

則一--=5,即m=n+l；

m—n

當(dāng)m<幾時，不等式(m-n)x-5>0解集為％<

m—n

不等式On-n)x-5<0解集為x>—

此時不等式[(m-n)x-5]f(x-2)>0的解集不為[―1,+8)；

綜上所述，m=n+1,

n+1n+1

則e優(yōu)-2n+en+l=en+l-2n+gn+l=g-n+l+gn+l>2y/e~-e=2e，

當(dāng)且僅當(dāng)ef+i=e'+i,即九=0,m=1時等號成立，

即/-2n+〃+1的最小值為2e.

故答案為：C

【分析】先利用“支)為偶函數(shù)可得外久―2)=f(2-久)，設(shè)不等式為(加久—九%—5)/(久—2)NO,利

用單調(diào)性分析易得/(久-2)<0的解集為[-1,5],利用函數(shù)的平移可得/(X-2)>0的解集為

(-00,-1]U[5,4-00),再利用題意可得5為方程mx-九久一5=0的根，即可得m=n+l,最后結(jié)合

基本不等式“一正”，“二定”，“三相等”即可求解.

9.【答案】A,D

【解析】【解答】解：第一組數(shù)據(jù)從小到大排序為：7,7,7,8,8,9,10,

其平均數(shù)為;(7+7+7+8+8+9+10)=8,

其方差為;[(10-8)2+(7-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(7-8)2]=\，

其極差為10-7=3,

其中位數(shù)為：8；

第二組數(shù)據(jù)從小到大排序為：5,5,8,9,9,10,10,

其平均數(shù)為;(5+5+8+9+9+10+10)=8,

其方差;[(5-8)2+(5-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(9—8)2+(10-8)2+(10-8)2]=4,

其極差為10-5=5,

其中位數(shù)為：9

所以AD正確，BC錯誤.

故答案為：AD.

【分析】先求平均數(shù)8,方差為方極差為3以及中位數(shù)的定義逐項計算即可求解.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：由生W>0,貝Ijo<x<4,

X

則函數(shù)人久)的定義域為(0,4),

則/(%)=m(4—%)—Inx+ax,xE(0,4),

則/(%)=白5一］+

因為函數(shù)f(%)在冗=3處取得極大值,

所以/(3)=—1—/+Q=0,即Q=暫，

..,A,

止匕時/(%)=Zn(4—%)—Inx+可光，

rv|||rf\11,44(X—1)(%—3)

則/(￡)=口一三+W=3x(24)，

令f'(x)<0，得0<%<1或3<%<4；

4/(%)>0，得1<久<3,

所以函數(shù)/(%)在(0,1)和(3,4)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增,

則函數(shù)/(%)在x=3處取得極大值，符合題意，即a=全故A正確;

由上述可知函數(shù)7"(>)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)0<%<1時，則故B錯誤;

由f(%)=4(%—1)(%—3)

3x(%—4)

則/'(2+%)=4(2+第一1)(2+第-3)_4(%+l)(x-l)

3(2+x)(2+x-4)=3(2+%危一2y

￡er、4(2—x—1)(2—x—3)4(1-%)(—x—1)4(x+l)(x—1)

〃2_久)=3(2-X)(2-X-4)=3(2-x)(-x-2)=3(2+為(久一2)'

所以/(2+x)=/(2-％)，故C正確;

因為久1+久2<4,貝!J14<4—久2<3,

又函數(shù)人%)在。3)上單調(diào)遞增，貝行(久J<f(4-久2)，

所以/(久1)+/(久2)</(久2)+/(4-K2)，

「4416

又f(x)+f(4-%)—In(4—x)—Inx+可光+Inx—ln(4—%)+可(4—x)--2-?

則/(久1)+/(%2)</(久2)+f(4-%2)=竽,故D正確.

故答案為：ACD

【分析】根據(jù)極值的定義可得，(3)=0,可得a=/可判斷A；利用函數(shù)〃久)的單調(diào)性即可判斷B；

代式計算即可判斷C；利用題意可得1<%!<4-%2<3,再利用函數(shù)/(x)的單調(diào)性可得/(巧)<

/(4-*2)，可得/O1)+f(久2)<f(x2)+/(4-久2)，再驗證可得/(久)+/(4-%)=竽即可判斷D.

11.【答案】B,C.D

【解析】【解答】解：設(shè)。。與OC切于M點，則。,C始終關(guān)于點M對稱.

所以當(dāng)切點M繞。逆時針轉(zhuǎn)動?；《葧r，致使點P繞圓心c也轉(zhuǎn)了e弧度，eE[0,2兀),

連接oc如圖所示：

~X*，/'I''，，

,5》

_____:

■\、OA/'DRx

、一一，

,^AOM=^MCP=9,延長CP與久軸交于R點，

過C作C。1久軸于點0,

乙OCD=方-e/RCD=e_(J—e)=ie~^,oc=2,PC=1

xP=2cos6+PC-sin(2。-勺=2cos0—cos20,

yp=2sin0—cos(20-另=2sin0—sin20,

則P(2cos?！猚os2a2sin0—sin20),

對于A,|P0|=J(2cos0-cos20)2+(2sin0-sin20)2=V5-4cos0<3<2A/3-

r上不存在到原點的距離超過2g的點，A錯;

2cos0—cos20=1①

對于B,若(1,2)在「上，則

2sin0—sin20=2②

由①解得8=，等或3

驗證知僅當(dāng)8=芻時，代入②符合，??.P(l,2)在曲線「上，故B正確；

對于C,由％+y-2魚=0,將曲線「的參數(shù)方程代入得

2cos0—cos20+2sin0—sin20-2A/2=0,

即2Vlsin(°+勺-2V2=魚sin(20+勺，

???2sin(0+勺=2+sin(26+1),

如下圖，分別作出/(久)=2sin(久+勻與g(x)=2+sin(2x+勺的大致圖象,

可知兩函數(shù)圖象共有兩個交點，故C正確;

對于D,\b\=|2sin0—sin20|=|2sin0(l—co于)|,

b2=4sin20(l—cos0)2=4(1+cos0)(l—cos。)3

46

4--

=》(3+3cos6)(1—cos0)(l—cos0)(l—cos。)<34

\b\<竽，故D正確；

故答案為：BCD.

【分析】先利用幾何性質(zhì)求解動點P的軌跡方程利用兩點間距離公式及三角函數(shù)有界性即可判斷A；

由點(L2),利用參數(shù)方程解方程組[2c°s°-cos20=即可判斷B；聯(lián)立直線與參數(shù)方程，結(jié)合三

角函數(shù)圖象可得交點個數(shù)即可判斷C；利用戶=4(1+cos0)(l-cos0)3,利用均值不等式即可判斷

D.

12.【答案】—|

【解析】【解答】解：利用cosas譏(Q—(3)—sinacos{P—a)=甲

得一s譏(夕—a)cosa—cos(B—a)sina=不

33

貝!Jsin(0—a)cosa+cos(fi—a)sina=一耳，所以sinf=sin[(0—a)+a]=—寧

故答案為:-|.

【分析】利用給定條件結(jié)合誘導(dǎo)公式可得-a)cosa+cos(0-a)sina=—1，再利用逆用和角

的正弦公式即可求解.

13.【答案】12

【解析】【解答】解：由每一行從左到右、每一列從上到下的數(shù)字依次變小，得9在左上角，1在右下

角，如圖所示：

2,3排在匕/位置，有房種方法,

從余下的4個數(shù)字中任取2個按從左到右由大到小排在a”位置，有*種方法，

最后兩個數(shù)字從上到下由大到小排在c,e位置，有1種方法，

所以填寫方格表的方法共有與資x1=12（種）.

故答案為：12

【分析】先確定1,9的位置，再確定2,3的位置，最后確定余下4個數(shù)的位置，利用分步乘法計

算原理列式即可求解.

14.【答案】27r

【解析】【解答】解：由題意可知：PA=PB=PC=3V2,AB=AC=BC=6,

貝行聯(lián)+PB2=AB2,PA2+PC2=BC2,PB2+PC2=BC2,

可知PA1PB,PA1PC,PB1PC,

因為三棱錐P-ABC為正三棱錐，則點P在底面力BC內(nèi)的投影為底面4ABC的中心。，

取ZB的中點M,如圖所示：

2

則C。=1CM=2V3,P0=y/PC2-CO2=V6.

設(shè)點。在平面PAB、平面PAC和平面PBC內(nèi)的投影分別為F、/和/,

根據(jù)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可以以O(shè)F,。/,。/為鄰邊作長方體PEFG-H/D/,

貝IJPA1平面EFD/,DEu平面EF。/,貝UPA1DE,即d1=DE,

同理可知：d2=DG,d3=DH,

'城=PH2+PG2

由長方體的性質(zhì)可知：,d\=PE\+PH\I

Idi=PE2+PG2

Ip。?=PE2+PG2+PH2

可得的+d，2+dl=2PD2=20，即P￡?2=10,

又因為P。1平面ABC,ODu平面EFD/,

則P。1OD,可得。。=y/PD2-PO2=2,

可知點。在以點。為圓心，半徑r=2的圓上，

因為。M<r,可知AB與圓。相交如圖所示：

c

設(shè)圓。與AB交于S,T兩點，則ST=2M7=3-?！?=2,

可知△OST為等邊三角形，貝此SOT=等

結(jié)合對稱性可知點。運動路徑的長度為2口-3X2X5=2兀.

故答案為：27r.

【分析】由題意可得正三棱錐可得P在底面ABC內(nèi)的投影為底面△ABC的中心。，且「。=逐，做輔

助線結(jié)合長方體的性質(zhì)可得PD2=10,即可得點O的軌跡是以點。為圓心，半徑r=2的圓的一部分

即可求解.

15.【答案】(1)解:因為c=a(l+2cosB),

根據(jù)正弦定理得：sinC=sin4(l+2cosB)

又Z+B+C=n,所以sinC=sin(X+B),

所以sin(4+B)=sinA+2sinAcosB,

即cos/sinB—sinXcosB=sin4

所以sin(B—A)=sinA,B—A=A或B—A+A=兀(舍)，

所以B=2A.

(2)解：根據(jù)正弦定理三=當(dāng)?shù)萌?有，即cos4=*，

sinAsmBsmAsin243

有余弦定理小=b2+c2-2bccos4得c?—8c+15=0,

解得c=3或c=5,

■JT

當(dāng)c=3時，a=c=3,C=A,B=2A,貝！J44=TT,B=0

而a2+c27b2,矛盾，舍去，故c=5,sim4=*

所以A4BC的面積為s=1bcsinA=x2V6x5x導(dǎo)=5V2

【解析】【分析】(1)先利用正弦定理可得sinC=sin4(l+2cosB),再利用和差角公式即可求解.

(2)利用正弦定理求得cosA=磬，再利用余弦定理求出c=5,利用面積公式求出AABC的面積即可

求解.

(1)因為c=a(l+2cosB),

根據(jù)正弦定理得：sinC=sin4(l+2cosB)

又/+B+C=7i,所以sinC=sin(i4+B),

所以sin。+B)=sin/+2sin4cosB,

即cosAsinB—sinXcosB=sin/,

所以sin(B—Z)=sinZ,3—Z=Z或8—Z+力=兀(舍)，

所以B=24

(2)根據(jù)正弦定理二=與得工=衛(wèi)%,即cosA=噂，

sin/sinBsinAsm2Z3

22

有余弦定理層=b+c-2bccos4得c2-8c+15=0,

解得c=3或c=5,

■7T

當(dāng)c=3時，a=c=3,C=A,B=2A,貝!)4/=TT,B=q,

而CJ2+C2Hb2,矛盾，舍去，故c=5,sinA=?

所以AABC的面積為s=^bcsinA=與X2V6X5x字=5y/2

16.【答案】(1)證明：因為底面/BCD為矩形，AB=2BC=2,

所以=2A3?4。=2X2X1=1,

設(shè)三棱錐P-4BD的高為d,又因為三棱錐/-PB。的體積為坐，

所以匕4-PBD—P-ABD=W$AABD'd=jXlXd=孚'所以d=V3>

又因為側(cè)面PCD是等邊三角形，且CD=AB=2,

取CD的中點，連接P0,可得P0=K，

貝UP。為三棱錐P-ABD的高，

所以P0，平面4BC,

因為BCu平面ZBD,所以POJ.BC,

又因為CD1BC,POCDC=0,P0,DCu平面PCD,

所以BC1平面PCQ,

又因為BCu平面PBC,

所以平面PBC1平面PCD

(2)解：取48的中點N,連接。N,貝UON〃BC,

由(1)可得，以。為坐標(biāo)原點，ON,OC,OP所在直線為坐標(biāo)軸，

建立如圖所示的空間直角標(biāo)系,

則B(1,1,0),D(0,-L0),E(o],爭,P(0,0,V3)>

則麗=(1,2,0),DF=(0,|,^),OP=(0,0,圾，

設(shè)平面BDE的一個法向量為元=(x,y,z),

n-OB=%+2y=0

貝l"—>RR，

n?DE=2y+^z=0

令y=1,則％=—2,z=一百，

所以平面BDE的一個法向量為元=(―21一遍)，

又因為平面43CD的一個法向量為赤=(0,0,遍),

設(shè)平面與平面43CD夾角為仇

|—3|=門=在

所以cos。=cos<0P,n>

J4+1+3X方一運一彳'

所以平面.與平面,。夾角的余弦值為給

【解析】【分析】(1)利用已知條件和矩形的結(jié)構(gòu)特征、三角形的面積公式，結(jié)合等體積法和三棱錐

的體積公式得出三棱錐P-48。的高，再結(jié)合等邊三角形三線合一得出線線垂直，從而證出線面垂

直，進(jìn)而證出面面垂直，即證出平面PBC1平面PCD.

(2)利用中位線定理得出線線平行，結(jié)合(1)建立空間直角坐標(biāo)系，從而得出點的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)，

求出平面BDE的一個法向量，再由平面4BCD的一個法向量為加=(0,0,b)和數(shù)量積求向量夾角公式,

從而得出平面BDE與平面4BC。夾角的余弦值.

(1)因為底面為矩形，AB=2BC=2,所以S.BD=SO=：X2X1=1,

設(shè)三棱錐P-4BD的高為d,又三棱錐4-PBO的體積為冬

所以力-PBD=VP-ABD=《SA4BD-d=^xlxd=停,所以d=V3?

又側(cè)面PCD是等邊三角形，且CD=AB=2,

取CO的中點，連接P。，可得PO=g,從而P。為三棱錐尸―4B0的高，

所以P。1平面ABC,又BCu平面ABD,所以P。1BC,

又CD上BC,POCtDC=0,PO,DCu平面PC。，

所以BC1平面PCD,又BCu平面PBC,所以平面PBC_L平面PCD；

(2)取ZB的中點N,連接ON,則ON〃BC,

故由(1)可以。為坐標(biāo)原點，ON,OC,OP所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角標(biāo)系,

貝1加(1,1,0),。(0,-LO),E(o,1,印),P(0,0,遮)，

則麗=(1,2,0),DF=(0,|,^),OP=(0,0,同

設(shè)平面BDE的一個法向量為五=(x,y,z),

n?DB=%+2y=0

貝小__>373,令y=1,則％=—2,z=—B

n?DE=2y+~2~z=0

所以平面3DE的一個法向量為五=(一2,1,一遍)，

又平面的一個法向量為而=(0AV3),

設(shè)平面與平面力BCO夾角為。

所以cos。=|cosOP,n|性啊=_曰=亙=漁

|0P|.|n|74+1+3x732724，

所以平面皿與平面ABCD夾角的余弦值為字

17.【答案】(1)解：由題意知,

光甲」*乙

甲第一次,乙第二次>41

其他";

—

4

所以&(2)=/孫⑵=0,A5(3)=1X=/,B5⑶=]+,義/=卷

(2)解：由題意知,An(k+1)=[1-An(k)],An(l)=0,

所以4式卜+1)-：=一六?其上)一小，4t(1)一：=一:。。，

所以4式￡>_：=_：(_占)，

則An(k)=[l_(_^j]；

(3)解：由題意知Bn(k+1)=An(k)+Sy[l—An(k)—Bn(k)]，

則Bn(k+1)=^^An(k)+白y_白臚式卜),

所以Bn(k+1)—:_j/n(k)=J][1—Bn(k)]>0，(當(dāng)k=1時取等號)

所以區(qū)(人+1)2痣41tM

【解析】【分析】(1)列出5人傳球三次的樹狀圖，利用概率乘法公式和加法公式即可求解；

(2)利用力n(k+l)=當(dāng)[1—An(k)]，An(l)=0，再利用數(shù)列的構(gòu)造法求通項公式4i(Q=:1-

ILX，。

(-占r)

(3)利用Bn(k+1)=/1n(k)+占[1—人式幻―Bn(k)]，作差法比大小即可求解.

(1)由題意知，

「甲」->乙

甲第一次>乙第二次〉/1

X叼4

4、其他"；

4

所以4(2)=1出5(2)=0,陽3)=,X/=/,B5⑶=/+,義/=卷

(2)由題意知，An(k+1)=[1-Xn(/c)]Mn(l)=0>

所以4n(k+1)—：=一占卜式的一小，41(1)—：=一拉0,

k-1

所以2n（k）_.=（一告）

則At(k)=，-(-若);

(3)由題意知Bn(k+1)=An(k)+出口—An(k)-Bn(k)]，

則Bn(k+1)=各|Zn(k)—白y5n(k)，

所以Bn(k+1)—^^An(k)=[1—Bn(k)]2。，(當(dāng)k=1時取等號)

所以6(k+l)N合1Al(k)?

18.【答案】(1)解：由拋物線的定義得動點P的軌跡為以尸6,0)為焦點，直線》=-寺為準(zhǔn)線的拋物

線，

所以專=發(fā)即y2=2x.

(2)解：(i)證明：由題可知，直線/的斜率存在且不為0,故設(shè)直線I的方程為x=my+

2(mH0),則直線I的斜率為服B=1，

設(shè)直線1與C相交于A(%i，%),B(%2，y2)兩點，不妨設(shè)以＞。，當(dāng)＜°，

,(X=my+2,rr/,c

由[y2_2x得7f=，yo2_2my_4=0,則'1+丫2=2?"1、2=一牝

_

"_2y7J—---V--2---1--^31---

由=—岳得，丫'=_，尤-，則點處的斜率為一"：

y2B22_2Ry2,

則點B處的切線方程為y=上0-犯)+=；(久一孕）+丫2.久+孥，

y-iy-i\

令y=o，得x=_g羽，即點E(_^^,0),

直線。4的方程為y=4%,令%=—2,得y=—2^=-2產(chǎn),即《2,笑

人1

4

_8=2=工,

所以直線。E的斜率ME=M=——=-

—朋+2月光—4yi-4y2-4y1―匕+及—m

所以kDE=%B，即直線CE〃/.

(ii)連接2E,B。，如圖所示：

由⑴得。(一2,()，y1y2=-4,所以D(—2,丫2)，

又因為3(%2，丫2)，所以。8〃%軸，即四邊形為平行四邊形，

由E(一^^0)得，SABDE=SDBME+S△力EM=(2-%E)(|為1+4力)='+與).(一丫2+3丫1)

=(2+"http://-3y2一擊

1c4

若四邊形力BOE的面積為12,貝卜5用一3y2—=12,

整理得;yj+3於+12y2+4=0,

令/(%)—2%4+3/+12%+4,%<0,則/(x)=2x3+6%+12，

設(shè)g(%)=2%3+6%+12,x<0,則g'(%)=6%2+6>0,

所以g(%)在(一8,0)單調(diào)遞增，又g(-2)=-16<0fg(-l)=4>0,

所以存在%o€(-2,-1),使得g(&)=0,

所以/(%)在(-8,比)上單調(diào)遞減，/(%)在(%o,O)上單調(diào)遞增，

又/(-2)=0,/(-I)=一?<0,/(0)=4>0,

所以/(久)有2個零點，即㈱+3光+12y2+4=0有2個根，

其中為=-2時，直線AB的斜率不存在，舍去，另一根屬于(-1,0);

由對稱性可得，交換AB點的位置也符合題意，所以四邊形力BDE的面積為12的直線1共有2條.

【解析】【分析】(1)利用拋物線得定義即可求解；

(2)(i)由題可知，直線l的斜率存在且不為0,故設(shè)直線Z的方程為％=巾3/+251。0),設(shè)直線/與

C相交于4(久1，%),8(%2，%)兩點，不妨設(shè)當(dāng)>。，丫2<°，由直線/方程與拋物線方程聯(lián)立，求得當(dāng)+

y2=2m,yiy2=-4,求出直線DE的斜率心后，即可證明；(ii)由(i)得出四邊形DBME為平行四邊

形，根據(jù)四邊形ABDE的面積為12列出關(guān)于當(dāng)?shù)姆匠?，根?jù)導(dǎo)數(shù)判斷方程解的個數(shù)即可求解.

(1)由拋物線的定義得動點尸的軌跡為以尸弓,0)為焦點，直線％=-寺為準(zhǔn)線的拋物線，

所以g=g，即y2=2%.

(2)(i)證明：由題可知，直線/的斜率存在且不為0,故設(shè)直線/的方程為x=my+2(mH0),則

直線/的斜率為%B=±,

設(shè)直線Z與C相交于4%,％),8(久2/2)兩點，不妨設(shè)丫1>0,y2<0,

.（X=my+2?

y2_2Z92771）7-4=0,=

由（X得，/一則丫1+y22犯y*2=-4,

1

方1_V2-2=_V2J_=X

由y=—得,y'=—W/2，則點B處的斜率為2尤2—2日一及，

2絲

則點3處的切線方程為y=一冷)+、2=J'-空)+乃=+筑

令y=0,得％=_'犬，即點E(_^羽,0),

Vr_□^1_o^1__4/_A\

直線04的方程為了=卻無，令％=—2,得丫――2元——29一可，即2)(—2,毛),

4

88=2=工,

所以直線DE的斜率ME=居-4y-4y-1+2

-加+2y1yj-4y121丫丫-帚

所以ME=心8，即直線?！?〃/.

(ii)連接力民3D,

由⑴得D（-2，U）,y/z=-4,所以。（一2,丫2），

又因為3（%2，丫2），所以。8〃%軸，即四邊形DBME為平行四邊形，

由E（一^0）得，SABDE=SDBME+SMEM=（2-%E）（|%l+4力）=6+冬）.（一%十方i）

=（2+與）（-72-f-3%一擊

1c4