限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間:一月一日天氣:

寒假作業(yè)08相似三角形的性質(zhì)與判定

1、比例的相關(guān)概念及性質(zhì)

1）線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長(zhǎng)度之比.

2）比例中項(xiàng)：如果g=%即〃=收，我們就把。叫做a,c的比例中項(xiàng).

3）黃金分割：如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使生=生，那么點(diǎn)C叫做線段AC的黃金分割點(diǎn)，

ABAC

AC是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與的比叫做黃金比.

4）比例的性質(zhì)

性質(zhì)1:—=—^ad=bc（a,b,c,存0）；性質(zhì)2：如果巴='，那么"一"='一"；

bdbdbd

UH,acm,,八,a+c+...+mm,丁田、

性質(zhì)3：如果m一=一=...=—（zb+d+...+/￥0）,貝n,U------------=一（不唯一）.

bdnb+d+...+nn

2、相似三角形的判定及性質(zhì)

1）定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

2）性質(zhì)：（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；（2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比

例；（3）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

3）判定：（1）有兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）

三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.

3、相似多邊形

1）定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫它們的相似比.

2）性質(zhì)：（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例；（2）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等；（3）相似多邊形周長(zhǎng)的比

等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

4、位似圖形

1）定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一條直

線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比.

2）性質(zhì)：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為左，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的

坐標(biāo)的比等于左或-匕（2）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比.

3）找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即

是位似中心.

4）畫位似圖形的步驟：（1）確定位似中心；（2）確定原圖形關(guān)鍵點(diǎn)；（3）確定位似比，即將圖形放大

或縮小的倍數(shù)；（4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn).

wa鞏固提升練

1.在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比,

可以增加視覺美感.如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（）

（結(jié)果精確到0.01m.參考數(shù)據(jù)：0=1.414,石=1.732,75?2.236）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

2.如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)42,C都在橫線上.若

線段4?=3,則線段BC的長(zhǎng)是（）

32"

0A1

3.如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形ABC。的位似圖形,已知入下二%,若四邊形ABCD的面

OA3

積是2,則四邊形AECD的面積是（）

A.4B.6C.16D.18

4.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為.

①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形都相似；④對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形

都相似.

—Xyz八x2+xy

5.已知一=一=—H0,則-----=________.

234yz

AF1

6.如圖，在矩形ABCD中，^AB=3,AC=5,—=~,則AE的長(zhǎng)為_____.

FC4

7.如圖，AABC中，點(diǎn)￡、尸分別在邊A3、AC上，Z1=Z2.若3c=4,AF=2,CF=3,則砂=

8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。，E,尸分別在邊AB,AC,BC上,連接。E,EF,已知四邊形是平行

四邊形，器=；.

(1)若AB=8,求線段的長(zhǎng)；

(2)若ZXAZ出的面積為1,求平行四邊形BFED的面積.

9.如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，ZACD=ZABE.

E

D

AB

(1)求證：AABC^AAEB；

(2)當(dāng)AB=6,AC=4時(shí)，求AE的長(zhǎng).

10.如圖所示，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，把小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，。為平

面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，矩形OABC的4個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，連接對(duì)角線08.

(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)。為位似中心，把△OA8縮小，作出它的位似圖形，并且使所作的位似

圖形與AOAB的相似比等于二；

2

(2)將△OAB以。為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△。41用，作出△。41與，并求出線段OB旋轉(zhuǎn)過

程中所形成扇形的周長(zhǎng).

M能力培優(yōu)練

11.魏時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高.如圖，點(diǎn)E,H,G

在水平線AC上，OE和尸G是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，

GC和￡7/都稱為表目距"，GC和的差稱為“表目距的差”，則海島的高()

表高X表距表高X表距表高X表距表高X表距

表目距的差表問表目距的差表網(wǎng)表目距的差表距表目距的差表距

12.如圖，已知菱形45co的邊長(zhǎng)為2,ZDAB=60。,￡為A3的中點(diǎn)，尸為CE的中點(diǎn)，AF與DE相交于

點(diǎn)、H,則叱的長(zhǎng)等于.

13.問題提出：如圖(1),ZXABC中，AB=AC,。是AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)3c至點(diǎn)E,使DE=DB,延長(zhǎng)ED

交A3于點(diǎn)尸，探究A"F的值.

AB

問題探究:

(1)先將問題特殊化.如圖(2),當(dāng)44C=60。時(shí)，直接寫出「的值；

AB

(2)再探究一般情形.如圖(1),證明(1)中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展：

如圖(3),在△ABC中，AB=AC,。是AC的中點(diǎn)，G是邊BC上一點(diǎn)，^|=-(?<2),延長(zhǎng)8C至點(diǎn)E,

BCn

AF

^DE=DG,延長(zhǎng)即交AB于點(diǎn)直接寫出一的值(用含〃的式子表示).

AB

14.綜合與實(shí)踐

【問題提出】勾股定理和黃金分割是幾何學(xué)中的兩大瑰寶，其中“黃金分害P給人以美感.課本這樣定義“黃

金分割點(diǎn)"：如圖1,點(diǎn)？將線段"分成兩部分若1r瓦，則稱點(diǎn)「為線段鉆的黃金分割

點(diǎn)，這個(gè)比值稱為黃金比.

【初步感知】(1)如圖1,若AB=1,求黃金比丁的值.

AB

【類比探究】(2)如圖2,在△ABC中，。是8C邊上一點(diǎn)，AD將AA3c分割成兩個(gè)三角形(SBD>SAACD)，

SS

若產(chǎn)=*也，則稱AD為△ABC的黃金分割線.①求證：點(diǎn)。是線段BC的黃金分割點(diǎn)；②若△ABC

的面積為4,求△AC￡＞的面積.

【拓展應(yīng)用】（3）如圖3,在AABC中，。為A3上的一點(diǎn)（不與A,8重合），過。作。E〃BC,交AC

于E,BE,CD相交于連接AF并延長(zhǎng)，與DE,8C分別交于M,N.請(qǐng)問直線AN是△ABC的黃金

分割線嗎？并說明理由.

W3拓展突破練

15.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有這樣一個(gè)問題：“今有邑方不知大小，各中開門，出北門

一百步立一表，出西門二百二十五步適可見之，問邑方幾何?”它的意思是：如圖，M、N分別是正方形ABCD

的邊AD、AB的中點(diǎn)，ME±AD,NFLAB,跖過點(diǎn)A,且ME=100步，NF=225步,那么該正方形

城邑邊長(zhǎng)包約為（）步

A.300B.260C.225D.185

16.請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論

著.黃金分割是指把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大部分的比值.

如圖①，在線段AD上找一個(gè)點(diǎn)C,C把AD分為AC和。兩段，其中AC是較小的一段，如果

AC:CD=CD:AD,那么稱線段AD被C點(diǎn)黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AD的黃金分割點(diǎn)，AC與。的比值

叫做黃金分割數(shù).

為簡(jiǎn)單起見，^AD=l,CD=x,貝|JAC=1-x.

VAC:CD=CD:AD,/....

任務(wù)：

（1）請(qǐng)根據(jù)上面的部分解題過程，求黃金分割數(shù).

（2）如圖②，采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：①設(shè)A3是已知線段，過點(diǎn)8作且使即=；鈿；

②連接D4,在D4上截取止=。3；③在上截取AC=AE,則點(diǎn)C即為線段AB黃金分割點(diǎn).你能說

說其中的道理嗎？

（3）已知線段AB=1,點(diǎn)C,。是線段AB上的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，則線段CO的長(zhǎng)是.

wa仿真考場(chǎng)練

17.（2023?四川遂寧?中考真題）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形.在如圖所示的平面

直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)△ABC、△￡>￡17成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（）

A.（-1,0）B.（0,0）C.（0,1）D.（1,0）

18.（2023?山東東營(yíng)?中考真題）如圖，△/"（?為等邊三角形，點(diǎn)。，E分別在邊BC,AB上，ZADE=60°,

若BD=4DC,DE=2.4,則AD的長(zhǎng)為（）

BDC

A.1.8B.2.4C.3D.3.2

19.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）如圖，AC,3。相交于點(diǎn)。，AB//DC,M是A3的中點(diǎn)，MN//AC,

交BD于點(diǎn)N.若00:06=1:2,AC=12,則MN的長(zhǎng)為（）

20.（2023?山東濟(jì)南?中考真題）如圖，在△ABC中，AB^AC,ABAC=36°,以點(diǎn)C為圓心，以3C為半

徑作弧交AC于點(diǎn)D,再分別以8,。為圓心，以大于;初的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P