廣東省湛江市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知。=(2,-3,1),^=(-2,l,x),若a_Lb,則x的值為C)

A.7B.-8C.6D.-5

2.過圓O：尤,+丁=1外的點(diǎn)尸Q2)作。的一條切線，切點(diǎn)為加，貝四=()

A.2B.2A/3C.A/13D.4

3.拋物線y=的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

o

A.(0,2)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(2,0)

4.已知等差數(shù)列{4}的前〃項和為S.，若%十%=12,貝"。=(1)

A.30B.40c.60D.120

5.函數(shù)/(x)=e'+這在x=0處的切線與直線3x-2y-5=0平行，則實數(shù)。=()

A.-1B.1C.士D.-

6.某機(jī)構(gòu)為研究高血壓與高鹽飲食是否有關(guān)系進(jìn)行了一次調(diào)查，根據(jù)獨(dú)立性檢驗的原理，

有95%的把握但沒有99%的把握認(rèn)為高血壓與高鹽飲食有關(guān)，則/的觀測值不可能為()

附：尸(尤,>3.841)=0.05,P(無2>6.635)=0.01,尸(爐>7.879)=0.005.

A.3.622B.4.502C.5.921D.6.634

7.已知隨機(jī)變量XI)y?N(4,人)，且P(—l4Y44)+尸(y>〃)=0.5,則E(X)=()

A.2B.4C.6D.8

8.設(shè)正整數(shù)n=a0-2°+a1-2++磯?21+4"其中qe{0,1},記

w(n)=a0+al++ak_v+ak,則下列說法錯誤的是().

A.w(10)=2.

B.w(16幾+5)=G(4〃+3).

C.w(8〃+5)=①(4〃+5).

D.若〃<256且w（九）=3,則符合條件的〃有56個.

二、多選題

173

9.已知隨機(jī)事件A,B滿足P（A）=],P（B）=j,P（B|A）=-,則下列說法正確的是（）

A.尸伍）=；(叫

B.P4

1QP⑷國q

C.尸(A+0=五D.

10.下列求導(dǎo)正確的是（）

3r2,cosx,xsin.r+co&x

A.(x?+e)=—Vx+3eB.、----)=一

X

1

C.(4「sin?=4'ln4D.

2xlnl0

11.已知數(shù)列｛（｝滿足。用+%=/（"）,則下列說法中正確的是（）

A.若4=2,/(〃)=4〃+2,則｛4｝是等差數(shù)列

B.若q=l,f(n)=2n-l,則｛4｝是等差數(shù)列

C.若4=1,/(?)=4,則｛4｝是等比數(shù)列

D.若4=2,/(M)=3.2\則｛4｝是等比數(shù)列

三、填空題

12.已知。=（LL1）為平面。的一個法向量，A（l,0,0）為a內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)。（1,1,2）到平面a

的距離為.

13.數(shù)據(jù)（%,%）1=1,2,3,、10）組成一個樣本，其回歸直線方程為1=±-3,其中還8.2,

剔除一個異常點(diǎn)。，7）后，得到新的回歸直線必過點(diǎn).

22

14.已知M為雙曲線會-方=l（a>0,b>0）右支上一點(diǎn)，K、F?為左右焦點(diǎn)，直線加片交

，軸于點(diǎn)N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，^\NF\=\MF^^\OM\,則雙曲線的離心率為.

四、解答題

15.如圖所示，AE_L平面ABCZ）,四邊形AE7中為矩形，BC//

試卷第2頁，共4頁

AD,BALAD,AE=AD=2AB=2BC=4.

⑴求證：CP〃平面ADE；

(2)求平面CDF與平面AEFB所成角的正弦值.

16.已知橢圓￡**1(〃＞。＞0)的離心率為乎，且E過點(diǎn)(1,0).

⑴求E的方程；

(2)若斜率為2的直線/與y軸交于點(diǎn)。，與E交于M,N兩點(diǎn)，證明：|￡＞M|2+|OV|2為定

值.

17.已知數(shù)列｛%｝滿足：弓=1,。用=a“+2(〃eN*),數(shù)列｛2｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，b2=2,

且4，b2,4-1成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝，出」的通項公式；

⑵設(shè)G=4+4,求數(shù)列｛%｝的前〃項和

18.已知函數(shù)〃%)=ae"(x-lnx)(a￡R).

⑴若a=l,求曲線y=〃x)在點(diǎn)。工⑴)處的切線方程；

⑵設(shè)內(nèi)3=三區(qū)，當(dāng)時，求函數(shù)可力的最大值；

(3)討論函數(shù)y=x與函數(shù)y=y(x)的圖象的交點(diǎn)個數(shù).

19.我們將借助導(dǎo)數(shù)求隨機(jī)變量的期望和方差的方法稱為微分恒等式法，微分恒等式法既可

以用于實驗次數(shù)有限的情況，也可以用于實驗次數(shù)無限的情況.微分恒等式法的一個應(yīng)用案

例如下：

關(guān)于尤的恒等式滿足x+(l-x)x+(l-x)-x+L+(l-x)A1x+L=1,

對等式兩邊求導(dǎo)可得

1-x+(1-x)-2(1-x)x+(1-x)+L-(k-1)(1-x)x+(l-x)+L=0.

移項得1+(1—x)+(1—x)+L+(1—x)+L=x+2(l—x)x+L+(々-1)(1—x)x+L.

某校師生在操場上歡慶元旦，其中有一項套圈活動備受歡迎，活動規(guī)則為每人累計上(々eN*)

次未套中時則停止套圈，否則可以繼續(xù)套圈.若每人每次套中的概率為。且每

次套中與否互不影響，每次套中后積1分，將每位參與活動的師生所得積分記為隨機(jī)變量X.

(1)若左=1,p=\,求X=3的概率；

(2)求X=0,X=l,X=〃(，eN)的概率，并寫出隨機(jī)變量X的分布列；

(3)用微分恒等式法求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X),并據(jù)此估計當(dāng)左=3,0=0.75時每位參

與該項活動的師生的積分.

試卷第4頁，共4頁

《廣東省湛江市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案ABACCACCACBC

題號11

答案AD

1.A

【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求參.

【詳解】已知。=(2,-3,1),ZJ=(-2,1,X),

因為a_Lb，

則T-3+x=O,x=7.

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)切線的意義知QM，MP,由勾股定理可求.

【詳解】由題意有眼42=|。葉-/=13-1=12,即|MP|=24.

故選：B.

3.A

【分析】變形得f=8y即可判斷焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】>=：尤2，即尤2=8>，則0=4,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).

O

故選：A.

4.C

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求

【詳解】因為｛%｝為等差數(shù)列，故洋=10(“；4。)=5(%+%)=6故

故選：C.

5.C

【分析】函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，利用直線的平行得到斜率相等，得關(guān)于。的

方程，可求出。的值.

【詳解】函數(shù)〃x)=e'+依的導(dǎo)函數(shù)為八；0=/+。，

函數(shù)在x=O處的切線的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率為尸(0)=e°+a=l+a,

答案第1頁，共12頁

且切線與直線3x-2y-5=0平行，

31

則有1+0=5,可得。=彳.

故選：C

6.A

【分析】根據(jù)給定條件，求出力的觀測值區(qū)間即可判斷.

【詳解】由有95%的把握但沒有99%的把握認(rèn)為高血壓與高鹽飲食有關(guān)，

得Z2的觀測值在區(qū)間[3.841,6.635)，所以/的觀測值不可能3.622.

故選：A

7.C

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概率性質(zhì)得出"=9,再應(yīng)用二項分布的數(shù)學(xué)期望公式計算即可.

【詳解】因為y~N(4,b，，且尸(一14丫44)+尸(Y>〃)=0.5,

所以w-4=4一(-1),得〃=9,

貝I]X~B[9,|1,E(X)=9X|=6.

故選：C.

8.C

【分析】利用的定義可判斷A、B的正誤，用特殊值代入可判斷C,列舉法可判斷D的正誤,

即可得正確答案.

【詳解】10=7+23,所以?。0)=2,故A項正確，

2453k+4

16?+5=2°+2+(20-2+^-2+a^-2^+ak-2,

0123k+lk+2

所以w(16〃+5)=w(〃)+2,4n+3=2+2+a0-2+o1-2+-2+ak-2,

所以w(4n+3)=w(n)+2,所以w(16〃+5)=vv(4〃+3),

故B項正確；

13=2°+22+23,9=2°+23,故.(13)=3,49)=2,

即〃=1時，w(8n+5)^w(4n+5),故C項錯誤，

aA_1k

若〃<256且=3,由n=a0-2+ar-2++ak_x-2+ak-2,

可知％W7(leN),左=2時，有C；個，左=3時，有C；個，左=4時，

答案第2頁，共12頁

有C：個，…，％=7時，有C；個,

共有C；+C；+Cj+C；+C+C；=1+3+6+10+15+21=56,故D項正確.

故選：C.

9.AC

【分析】應(yīng)用對立事件概率求法、全概率及條件概率公式判斷A、B、D；由概率的性質(zhì)判

斷C.

【詳解】由題設(shè)尸(可=1-P(B)=g,且尸(AB)=P(A)PCB|A)=gx'=],

19319

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=-+---^-

_￡3

竺2竺

'7P(B)P(B)18

3

所以A、C對，B、D錯.

故選：AC

10.BC

【分析】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算則、求導(dǎo)公式逐項求導(dǎo)判斷.

【詳解】對于A,(xG+d—瓜,A錯誤；

r,丁，cosx、,一xsinx-cosx尤sinx+cos尤丁

對于B,(—)'=-----------------=----------\——，B正確;

XX'X'

對于C,(4*-sin-y=4xln4,C正確;

故選：BC

11.AD

【分析】對于AD直接求出％,然后根據(jù)定義判定等差數(shù)列、等比數(shù)列即可，對于BC,算

出前三項即可判斷BC錯誤.

【詳解】對于A,當(dāng)可用+%=/(")=4〃+2時，若q=2,則/=4,%=6,%=8,%=1。，，

事實上，％+「25+1)=—(%-2〃)，注意至14-2x1=。，即包_2〃｝是常數(shù)數(shù)列，

所以%=2〃,%+「卬=2(”+1)-2〃=2,數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，故A正確；

答案第3頁，共12頁

對于B,當(dāng)見+1+q=/(〃)=2"一1時，若％=1,〃2=。，〃3=3,

所以數(shù)列｛4｝不是等差數(shù)列，故B錯誤;

對于C,當(dāng)4+1+%=/(〃)=4時，若％=1,4=3,。3=1,

所以｛??）不是等比數(shù)列，故C錯誤;

對于D,當(dāng)/+a“="〃)=3x2"時，有=

因為a「2i=0,所以4-2"=0,即a“=2”,

a2n+1

因為一a=4_=2,

anT

所以｛七｝是等比數(shù)列，故D正確;

故選：AD.

12.出

【分析】根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式直接計算.

【詳解】由已知4（1,0,0）,￡＞（1,1,2）,

則的＞=（0,1,2）,

#4=5

貝=

\a\Vl+1+1

故答案為：行.

13.(9,5)

【分析】根據(jù)樣本中心一定在回歸直線上求解即可.

1010

【詳解】由1=8.2可知y=8.2-3=5.2,即總王=82,ay=52；

i=li=l

QO152-7-

剔除(1,7)后，/=-^-=9,到=-----二5,

9

因為樣本中心（N,y）一定在回歸直線上，故得到新的回歸直線必過點(diǎn)（9,5）,

故答案為：（9,5）.

14.V10

【分析】利用雙曲線的定義，結(jié)合等腰三角形和相似比性質(zhì)來求解各線段長度，最后根據(jù)勾

答案第4頁，共12頁

股定理找到等式關(guān)系，從而可求離心率.

【詳解】

如圖，由于|咋|=|0閘，可作MWLx軸，垂足為H,可知H為。F?中點(diǎn)，

由升=|。閭=c,可知|0*=]

|西_OR=c

由ON11MH,可知0”一§一，

2

令|g|=|崢|=機(jī)，則即|咋|=”，

根據(jù)雙曲線定義：|9H”用一根=葭=2。=加=船，

^i\MF\=6a,\MF2\=4a,

再由勾股定理可得：|叫「-|￡〃「=WB「TBM2，

g1

即36a2—c2=16a2—c2n20a2=2c2=>e2=10,

44

即e=A/TO，

故答案為：M.

15.（1）證明見解析

⑵或

3

【分析】（1）根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，通過證明面面平行證明線面平行；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)，利用法向量求空間中兩個面的夾角的余弦值，進(jìn)而

得到正弦值.

【詳解】（1）證明：四邊形為矩形，二斯〃AE.

又BFH平面ADE,AEu平面ADE,.18尸〃平面ADE.

又BC〃AD,3CO平面ADE,ADu平面ADE,

答案第5頁，共12頁

BC〃平面ADE.

又BFcBC=B,BF,BCu平面BCF,

■■平面BCV〃平面ADE.

又CPu平面BCF,:.CF//平面ADE.

(2)

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則A(0,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),尸(2,0,4),

AD=(O,4,O),CD=(-2,2,0),CF=(0,-2,4).

設(shè)4=(x,y,z)是平面CDF的一個法向量，則

n-CD=Q,x-y=0x=2

即，令y=2,解得

nCF=0,y—2z=0z=l

所以平面CD尸的一個法向量〃二(2,2,1)

又AD是平面AEFB的一個法向量，

上＜“，3=少4」(22：)?(。，4，。)上,

11|M|-|AD|4XV4+4+T3

???平面CDF與平面AEFB所成角的正弦值為J1-1IJ=與.

16.⑴工+/=]

4

(2)證明見解析

【分析】(1)利用橢圓離心率的性質(zhì)結(jié)合橢圓經(jīng)過的點(diǎn)求解基本量，得到橢圓方程即可；

t產(chǎn)一4

(2)利用韋達(dá)定理表示出現(xiàn)+々=-二工/再利用兩點(diǎn)間距離公式表示出目標(biāo)式,

28

化簡得到定值即可.

答案第6頁，共12頁

[b=\

【詳解】（1）由題意得、/^丁_豆，得。=2,

Ia~~2

2

故E的方程為乙+爐=1；

4

（2）設(shè)。（（V）,M（%，M）,N（W，%）,則直線/的方程為y=2尤+，,

2

與乙+尤2=1聯(lián)立，得8尤？+4a+產(chǎn)一4=0,

4

則A=16（8-巧>o,且為+々=——,X|%2=.--，

所以|2+|ON『=x；+（Mt）2+石+（%-y

=x；+（2玉+x；+（2々）一=5（x；+x；）=5[（占+%）一一Zw%]=5,

故1nMl2+|￡W『為定值.

n

17.⑴氏=2〃-1,bn=2-'；

⑵川+2=L

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出｛a”｝的通項公式，由等差中項的性質(zhì)有2仇=4+4-1,

應(yīng)用等比數(shù)列的通項公式求公比，進(jìn)而確定也,｝的通項公式；

（2）應(yīng)用分組求和，結(jié)合等差、等比前”項和公式求7“.

【詳解】（1）因為a,.=a.+2（"eN*）=>a“+]-a“=2（wwN*）,又q=1,

故｛g｝是以4=1為首項，2為公差的等差數(shù)列,

所以Q〃=a1+2(n-1)=1+2(〃-1)=2n-l,

又瓦,b2,&-1成等差數(shù)列，故24=a+4-1,

答案第7頁，共12頁

設(shè)也｝的公比為4,其中&=2,則4=2+2”1,解得“=2或J

q乙

當(dāng)〃=2時，4=1,此時勿=加力=2"",為遞增數(shù)列，滿足要求,

當(dāng)4時，仿=4,此時么=60i,為遞減數(shù)列，舍去,

1

綜上，a?=2n-l,bn=2-；

n1

(2)由(1)cn=an+bn=2n—l+2,

/71

Tn=q+c2H----FCn=(1+2°)+(3+2])H—(2〃—1+2)

=(1+3+--+2〃-1)+(20+2"..+21)

n(l+2n-l)2°(l-2n)

=----------------1-------------

21-2

=/+2〃—1.

18.(l)ex-y=0

(2)—a

e

(3)答案見解析

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)r(x),得切線斜率廣(1),從而可得切線方程;

(2)由題意得〃(x)=a(lnx-x)+三，通過求導(dǎo)分析人⑺的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)網(wǎng)力的

最大值；

y=x

(3)聯(lián)立得結(jié)合(2)知問題等價于“函數(shù)/?("的零點(diǎn)個數(shù)”.分。=0、。＞0和

y=f(x)

。＜0三種情況，分別據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值得到函數(shù)圖象的大體形狀，從而判斷出

函數(shù)力⑺的零點(diǎn)的個數(shù).

【詳解】(1)若。=1,貝|/(x)=e*(x—lnx),

所以尸(x)=e[x_lnx+l-1；貝i]_f(l)=e,

又〃l)=e,

所以曲線y=〃x)在點(diǎn)處的切線方程是y-e=e(x—1),

即ex-y=0.

答案第8頁，共12頁

x-f(x)x-aex(x-Inx)x%

(2)/z(x)=-----a(x-Inx)=a(\nx-x)+—,

eexe

函數(shù)Mx)的定義域為(o,+⑹,

當(dāng)/。時，卜》。,

令”(力>0,得0<兄<1,

令得%>1,

所以可可在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,y)上單調(diào)遞減，

所以人⑺的最大值為"1)=』-d

(y=%，/x

(3)聯(lián)立得(尤)得ae"(x-Inx)=%,

得Q(hu-x)+W=0,

結(jié)合(2)可知/z(x)=0.

則〃函數(shù)尸無與函數(shù)y=/(%)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)〃等價于〃函數(shù)打⑺的零點(diǎn)個數(shù)〃.

Y

當(dāng)〃=0時，%(尤)=/>0,。(%)無零點(diǎn).

當(dāng)〃>0時，"(X)的最大值為3)=：-。,

若〃<0,即［>：,則/i(x)無零點(diǎn).

若:-〃=(),即〃=L則妝工)只有一個零點(diǎn).

若—a>0,即0<Q<—,則/z(l)>0,又e">l,

11_r

令g(x)=lnx-x,則g'(x)=_-l=—^且無>0,

由小(尤)>。，得0<x<l；由g<x)<。，得x>l,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減,

故g(x)有最大值g(l)=T,無最小值.

答案第9頁，共12頁

故=,所以。(。)=二+a(ln〃-a)<￡-a=a由(2)知/i(x)在

(0,1)上單調(diào)遞增，所以"(X)在((M)上有唯一零點(diǎn).

QX

令左⑴=二,x>0,

貝lj/(x)=且x>0,

由女'(尤)>0,得x>2；由〃(x)<0,得0Vx<2,

所以在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,”)上單調(diào)遞增,

2

故Mx)有最小值4(2)=,，無最大值.

于是彳<〃和In---<-1,

1aa

ea

1

又Mi)>o,：>i，Mx)在。,+8)上單調(diào)遞減,

故h(x)在(1,+℃)上有唯一零點(diǎn).

當(dāng)a<0時，由上得g(x)=lnx-xW-1<0,于是。(lnx-x)>0,而?>0,

所以為(x)>0,即/i(x)無零點(diǎn).

綜上，當(dāng)aWO或?！鰰r，/?(龍)無零點(diǎn)；當(dāng)。=工時，只有一個零點(diǎn)；當(dāng)0<。<!■時,

/z(x)有兩個零點(diǎn)，

即當(dāng)或。>工時，函數(shù)>=彳與函數(shù)y=〃x)的圖象無交點(diǎn)；

e

當(dāng)時，函數(shù)y=x與函數(shù)y=/(x)的圖象有1個交點(diǎn)；

e

當(dāng)。<。<1時，函數(shù)y=x與函數(shù)y=y(x)的圖象有2個交點(diǎn).

e

答案第10頁，共12頁

(2)答案見解析

(3)E(X)=49

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式求解即可；

(2)結(jié)合二項分布求解概率并列分布列即可；

(3)根據(jù)微分恒等式，結(jié)合概率性質(zhì)求導(dǎo)函數(shù)從而整理可得

888

?(l-p)J三，C)i".(l_p『,由E(X)=/C.I/(l-p『,

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