平拋模型

【模型概述】

一、平拋運(yùn)動(dòng)

L性質(zhì)：加速度為重力加速度g的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線.

2.基本規(guī)律：以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向(初速度/方向)為x軸，豎直向下方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)

系，貝■]：

(1)水平方向：做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度匕=%,位移Xu0/

(2)豎直方向：做自由落體運(yùn)動(dòng)，速度9,=g/,位移y=

2

(3)合速度：v=Jv/+vv,方向與水平方向的夾角為8,則tan。=匕=毆

(4)合位移：s=后二＞7,方向與水平方向的夾角為&,則tana=上=&-

x2v0

二、平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律

[2h

1.飛行時(shí)間：由，二I—,時(shí)間取決于下落高度h,與初速度為無關(guān).

2.水平射程：x=即水平射程由初速度小和下落高度h共同決定，與其他因素?zé)o關(guān).

3.落地速度：匕=J匕2+勺2=+2gh,以0表示落地速度與X軸正方向的夾角，有tan6=±=立劭

巳匕)

所以落地速度也只與初速度v和下落高度h有關(guān).

4.速度改變量:因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)的加速度為重力加速度g所以做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意相等時(shí)間間隔加內(nèi)的

速度改變量Au=gAZ相同，方向恒為豎直向下，如圖所示.

5.兩個(gè)重要推論

(1)做平拋(或類平拋)運(yùn)動(dòng)的物體任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長線一定通過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)，如圖中

A點(diǎn)和B點(diǎn)所示.

(2)做平拋(或類平拋)運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻任一-位置處，設(shè)其速度方向與水平方向的夾角為a,位移與水

平方向的夾角為8,則tana=2tan.

三、斜拋運(yùn)動(dòng)

1.運(yùn)動(dòng)性質(zhì)加速度為g的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，軌跡為拋物線.

2.基本規(guī)律(以斜向上拋為例說明，如圖所示)

⑴水平方向：匕)*=%cos。，F(xiàn)^x=0

⑵豎直方向：％=i/oSin，，F(xiàn)令丫=mg

【模型解題】

1、“化曲為直”思想一一平拋運(yùn)動(dòng)的基本求解方法

在研究平拋運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)效果的等效性，利用運(yùn)動(dòng)分解的方法，將其轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的兩個(gè)方

向上的直線運(yùn)動(dòng)，即水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng).再運(yùn)用運(yùn)動(dòng)合成的方法求出平拋

運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.這種處理問題的方法可以變曲線運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，變復(fù)雜運(yùn)動(dòng)為簡單運(yùn)動(dòng)，是處理曲線運(yùn)動(dòng)問

題的一種重要的思想方法.

平拋運(yùn)動(dòng)的三種分解思路：

(1)分解速度：丫合=收="；+(g/)2

2

(2)分解位移：x=vot,y=—gt,tan^=—

2x

(3)分解加速度

2、求解多體平拋問題的3點(diǎn)注意

（1）若兩物體同時(shí)從同一高度（或同一點(diǎn)）拋出，則兩物體始終在同一高度，二者間距只取決于兩物體的水平

分運(yùn)動(dòng).

（2）若兩物體同時(shí)從不同高度拋出，則兩物體高度差始終與拋出點(diǎn)高度差相同，二者間距由兩物體的水平分

運(yùn)動(dòng)和豎直高度差決定.

（3）若兩物體從同一點(diǎn)先后拋出，兩物體豎直高度差隨時(shí)間均勻增大，二者間距取決于兩物體的水平分運(yùn)動(dòng)

和豎直分運(yùn)動(dòng).

【模型訓(xùn)練】

【例1】如圖，將一支飛鏢在豎直墻壁的左側(cè)。點(diǎn)以不同的速度水平拋出，/為。點(diǎn)在豎直墻壁上的投影

點(diǎn)，每次拋出飛鏢的同時(shí)，在/處由靜止釋放一個(gè)特制（飛鏢能輕易射穿）的小球，且飛鏢均能插在墻壁

上，第一次插在墻壁時(shí)，飛鏢與墻壁的夾角為53。，第二次插在墻壁時(shí)，飛鏢與墻壁的夾角為37。，圖中沒

有畫出，不計(jì)空氣阻力。（5畝37。=0.6,cos37°-0.8）則（）

O

A.兩次速度增量之比為9：16

B.兩次拋出的飛鏢只有一次能擊中小球

C.兩次下落的高度之比為9：16

D.兩次平拋的初速度之比為3：4

變式1.1如圖所示，。、6兩點(diǎn)位于同一條豎直線上，從。、6兩點(diǎn)分別以速度匕、馬水平拋出兩個(gè)相同的

小球，可視為質(zhì)點(diǎn)，它們在水平地面上方的尸點(diǎn)相遇。假設(shè)在相遇過程中兩球的運(yùn)動(dòng)沒有受到影響，空氣

阻力忽略不計(jì)，則下列說法正確的是（）

a?~>%

b?~?v2

?P

~7777777777777777777777777777777777~

A.兩個(gè)小球從。、b兩點(diǎn)同時(shí)拋出

B.兩小球拋出的初速度匕>%

C.從6點(diǎn)拋出的小球著地時(shí)水平射程較小

D.從。點(diǎn)拋出的小球著地時(shí)重力的瞬時(shí)功率較大

變式1.2學(xué)校給同學(xué)們提供了乒乓球臺，很多同學(xué)利用課余時(shí)間打乒乓球鍛煉身體。某同學(xué)接球后，兩次

將球再次拍出。為簡化過程，假定乒乓球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)中空氣阻力不計(jì)。如圖所示，該同學(xué)第一次將乒乓

球由4點(diǎn)斜拋拍出，落點(diǎn)為b點(diǎn)；對方反擊后，該同學(xué)在。點(diǎn)將球再次平拋拍出，同樣也落于6點(diǎn)。已知兩

次運(yùn)動(dòng)軌跡的最高點(diǎn)。、d高度相同，假設(shè)。、6、。三點(diǎn)位于同一豎直面內(nèi)，則下列說法正確的是（）

A.乒乓球兩次落于6點(diǎn)的動(dòng)能一定相同

B.乒乓球兩次落于6點(diǎn)前瞬間，重力的功率一定相同

C.兵乓球由。到6、。到b過程中，重力的沖量一定相同

D.乒乓球兩次被拍出的過程中，第二次球拍對球做的功一定較大

【例2】如圖示，半圓軌道固定在水平面上，一小球（小球可視為質(zhì)點(diǎn)）從半圓軌道上8點(diǎn)沿切線斜向左上

方拋出，到達(dá)半圓軌道左端/點(diǎn)正上方某處小球的速度剛好水平，。為半圓軌道圓心，半圓軌道半徑為幾

與水平方向的夾角為60。，重力加速度為g,不計(jì)空氣阻力，則小球在/點(diǎn)正上方的水平速度為（）

B.

變式2.1如圖所示，豎直平面內(nèi)平拋的小球恰好與光滑半圓面相切于8點(diǎn)，已知拋出點(diǎn)在半圓面左端點(diǎn)N

點(diǎn)的正上方，半圓面半徑為尺，直線。2與水平面成60。角，重力加速度為g,則下列關(guān)于小球在空中的運(yùn)動(dòng)

分析正確的是

3R

A.小球到達(dá)8點(diǎn)飛行的時(shí)間為

27

B.小球平拋的初速度為

43R

C.小球到達(dá)3點(diǎn)時(shí)水平位移x=------

2

6R

D.小球到達(dá)8點(diǎn)時(shí)豎直位移y=------

2

【例3】如圖所示，成兩個(gè)小球分別從半圓軌道頂端和斜面頂端以大小相等的初速度同時(shí)水平向左、向右

拋出，已知半圓軌道的半徑R與斜面的豎直高度相等，斜面傾角為30°,重力加速度為g,要使兩球同時(shí)落

到半圓軌道上和斜面上，小球拋出的初速度大小為（）

B43&R

A.3

2,2~~

變式3.1如圖所示，。為半圓槽的圓心、R為半圓槽的半徑，重力加速度為g。先將小球從。點(diǎn)以初速度

V。沿水平方向拋出，在小球自。點(diǎn)拋出至與半圓槽相撞的過程中（

A."越大，小球的位移越大

B."越小，小球的位移越大

C.無論vo多大，小球都不可能與半圓槽垂直相撞

D.只有為=庾時(shí)，小球才與半圓槽垂直相撞

變式3.2如圖所示，成兩個(gè)小球分別從半圓軌道頂端和斜面頂端以大小相等的初速度同時(shí)水平向左、右拋

出，已知半圓軌道的半徑與斜面的豎直高度〃相等，斜面寬為2尺，重力加速度為g,則有關(guān)小球落到斜面

和半圓軌道的時(shí)間力和打的說法一定正確的是（）

A.ti>t2

C.tl=t2D.以上情況都有可能

【例4】如圖所示，小球甲從距離地面高度為％=15m處以速度%=10m/s豎直向上拋出，同時(shí)小球乙從距

離地面高度為a=20m處開始自由下落，小球運(yùn)動(dòng)的過程中不計(jì)空氣阻力，重力加速度取g=10m/s2,則下

列說法中正確的是（）

A.小球乙落地前，兩小球的速度差逐漸變大

B.小球甲、乙運(yùn)動(dòng)的第2s內(nèi)位移大小之比為1:2

C.至小球乙落地時(shí)，甲、乙兩球的路程之比為2:3

D.落地前的運(yùn)動(dòng)過程中小球甲、乙的平均速率之比為5:6

變式4.1（多選）如圖所示，小球A以某一速度水平向右拋出的同時(shí)，小球B斜向左上方以速度%拋出，%

與水平方向的夾角為53。。兩球拋出后在同一豎直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且恰好在空中相碰。已知單獨(dú)拋出小球B時(shí)，

小球B到達(dá)的最高點(diǎn)恰好與小球A的拋出點(diǎn)處于同一水平線上，且小球B落地點(diǎn)位于小球A拋出點(diǎn)的正下

方。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g,sin530=0.8,cos530=0.6,下列說法正確的是（）

A.小球A拋出的初速度大小等于2.4%B.小球A拋出的初速度大小等于L8v。

C.兩球拋出點(diǎn)的水平距離為當(dāng)D.兩球拋出點(diǎn)的水平距離為萼

25g25g

變式4.2（多選）如圖所示，同一高度處有4個(gè)質(zhì)量相同且可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，現(xiàn)使小球A做自由落體運(yùn)

動(dòng)，小球B做平拋運(yùn)動(dòng)，小球C做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，小球D做豎直下拋運(yùn)動(dòng)，且小球B、C、D拋出時(shí)的初

速度大小相同，不計(jì)空氣阻力。小球從釋放或拋出到落地的過程中（）

A.重力對4個(gè)小球做的功相同

B.重力對4個(gè)小球做功的平均功率相等

C.落地前瞬間，重力對4個(gè)小球的瞬時(shí)功率大小關(guān)系為“="<A=4

D.重力對4個(gè)小球做功的平均功率大小關(guān)系為耳=耳>耳=冗

【例5】某地方電視臺有一個(gè)叫“投準(zhǔn)”的游戲，其簡化模型如圖所示，左側(cè)是一個(gè)平臺，平臺右邊的地面上

有不斷沿直線向平臺運(yùn)動(dòng)的小車，參賽者站在臺面上，看準(zhǔn)時(shí)機(jī)將手中的球水平拋出，小球能落入小車算

有效。已知投球點(diǎn)與小車上方平面高度差〃=5m,小車的長度為L)=1.0m,小車以大小為a=2m/s2的加速度

做勻減速運(yùn)動(dòng)，球的大小可忽略。某次活動(dòng)中，一輛小車前端行駛到與平臺水平距離￡=23m處時(shí)，速度為

vo=llm/s,同時(shí)參賽選手將球水平拋出，結(jié)果小球落入小車中。重力加速度g取10m/s2,求：

(1)小球從拋出到落入小車的時(shí)間；

(2)小球拋出時(shí)的速度v的范圍。

丁

變式5.1如圖所示，水平屋頂高8=5m,墻高〃=3.2m,墻到房子的距離￡=3m,墻外馬路寬x=8m,

小球從房頂水平飛出，落在墻外的馬路上，g=10m/s2.求：

(1)小球離開屋頂時(shí)的速度V。的大小范圍；

(2)小球落在馬路上的最小速度的大小.

變式5.2如圖所示，水平平臺/O長x=1.0m,槽寬d=0.20m,槽高〃=0.8m,現(xiàn)有一小球從平臺上/點(diǎn)水

平射出，已知小球與平臺間的阻力為其重力的0.2倍，空氣阻力不計(jì)，g=10m/s2o求：

(1)小球在平臺上運(yùn)動(dòng)的加速度大??；

(2)為使小球能沿平臺到達(dá)O點(diǎn)，求小球在A點(diǎn)的最小出射速度和此情景下小球在平臺上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

(3)若要保證小球不碰槽壁，求小球離開。點(diǎn)時(shí)的速度的范圍。

平拋模型

【模型概述】

三、平拋運(yùn)動(dòng)

L性質(zhì)：加速度為重力加速度g的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線.

2.基本規(guī)律：以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向(初速度/方向)為x軸，豎直向下方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)

系，貝■]：

(1)水平方向：做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度匕=%,位移Xu0/

(2)豎直方向：做自由落體運(yùn)動(dòng)，速度9,=g/,位移y=

2

(3)合速度：v=Jv/+vv,方向與水平方向的夾角為8,則tan。=匕=毆

(4)合位移：s=后二＞7,方向與水平方向的夾角為&,則tana=上=&-

x2v0

四、平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律

[2h

1.飛行時(shí)間：由，二I—,時(shí)間取決于下落高度h,與初速度為無關(guān).

2.水平射程：x=即水平射程由初速度小和下落高度h共同決定，與其他因素?zé)o關(guān).

3.落地速度：匕=J匕2+勺2=+2gh,以0表示落地速度與X軸正方向的夾角，有tan6=±=立劭

巳匕)

所以落地速度也只與初速度v和下落高度h有關(guān).

4.速度改變量:因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)的加速度為重力加速度g所以做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意相等時(shí)間間隔加內(nèi)的

速度改變量Au=gAZ相同，方向恒為豎直向下，如圖所示.

5.兩個(gè)重要推論

(1)做平拋(或類平拋)運(yùn)動(dòng)的物體任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長線一定通過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)，如圖中

A點(diǎn)和B點(diǎn)所示.

(2)做平拋(或類平拋)運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻任一-位置處，設(shè)其速度方向與水平方向的夾角為a,位移與水

平方向的夾角為8,則tana=2tan.

三、斜拋運(yùn)動(dòng)

1.運(yùn)動(dòng)性質(zhì)加速度為g的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，軌跡為拋物線.

2.基本規(guī)律(以斜向上拋為例說明，如圖所示)

⑴水平方向：匕)*=%cos。，F(xiàn)^x=0

⑵豎直方向：％=i/oSin，，F(xiàn)令丫=mg

【模型解題】

1、“化曲為直”思想一一平拋運(yùn)動(dòng)的基本求解方法

在研究平拋運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)效果的等效性，利用運(yùn)動(dòng)分解的方法，將其轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的兩個(gè)方

向上的直線運(yùn)動(dòng)，即水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng).再運(yùn)用運(yùn)動(dòng)合成的方法求出平拋

運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.這種處理問題的方法可以變曲線運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，變復(fù)雜運(yùn)動(dòng)為簡單運(yùn)動(dòng)，是處理曲線運(yùn)動(dòng)問

題的一種重要的思想方法.

平拋運(yùn)動(dòng)的三種分解思路：

(1)分解速度：丫合=收="；+(g/)2

2

(2)分解位移：x=vot,y=—gt,tan^=—

2x

(3)分解加速度

2、求解多體平拋問題的3點(diǎn)注意

（1）若兩物體同時(shí)從同一高度（或同一點(diǎn)）拋出，則兩物體始終在同一高度，二者間距只取決于兩物體的水平

分運(yùn)動(dòng).

（2）若兩物體同時(shí)從不同高度拋出，則兩物體高度差始終與拋出點(diǎn)高度差相同，二者間距由兩物體的水平分

運(yùn)動(dòng)和豎直高度差決定.

（3）若兩物體從同一點(diǎn)先后拋出，兩物體豎直高度差隨時(shí)間均勻增大，二者間距取決于兩物體的水平分運(yùn)動(dòng)

和豎直分運(yùn)動(dòng).

【模型訓(xùn)練】

【例1】如圖，將一支飛鏢在豎直墻壁的左側(cè)。點(diǎn)以不同的速度水平拋出，/為。點(diǎn)在豎直墻壁上的投影

點(diǎn)，每次拋出飛鏢的同時(shí)，在/處由靜止釋放一個(gè)特制（飛鏢能輕易射穿）的小球，且飛鏢均能插在墻壁

上，第一次插在墻壁時(shí)，飛鏢與墻壁的夾角為53。，第二次插在墻壁時(shí)，飛鏢與墻壁的夾角為37。，圖中沒

有畫出，不計(jì)空氣阻力。（5畝37。=0.6,cos37°-0.8）則（）

0

A.兩次速度增量之比為9：16

B.兩次拋出的飛鏢只有一次能擊中小球

C.兩次下落的高度之比為9：16

D.兩次平拋的初速度之比為3：4

【答案】C

【詳解】A.第一次插在墻壁時(shí)，飛鏢與墻壁的夾角為53。，則

tan53°=電

g%

第二次插在墻壁時(shí)，飛鏢與墻壁的夾角為37。，則

tan37。=曳

gt2

因?yàn)?/p>

Vo/1=%2,2

解得

一

k4

根據(jù)

Av=gt

可知，兩次速度增量之比為3：4,故A錯(cuò)誤;

B.因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)豎直方向是自由落體運(yùn)動(dòng)，所以兩次均能命中小球，故B錯(cuò)誤；

C.根據(jù)

兩次下落的高度之比為9：16,故C正確；

D.因?yàn)?/p>

Vo/1=%2,2

兩次平拋的初速度之比為4：3,故D錯(cuò)誤。

故選C。

變式1.1如圖所示，。、6兩點(diǎn)位于同一條豎直線上，從。、6兩點(diǎn)分別以速度匕、馬水平拋出兩個(gè)相同的

小球，可視為質(zhì)點(diǎn)，它們在水平地面上方的P點(diǎn)相遇。假設(shè)在相遇過程中兩球的運(yùn)動(dòng)沒有受到影響，空氣

阻力忽略不計(jì)，則下列說法正確的是（）

a?~>V|

b?―?v2

?P

~7777777777777777777777777777777777~

A.兩個(gè)小球從4、b兩點(diǎn)同時(shí)拋出

B.兩小球拋出的初速度匕

C.從6點(diǎn)拋出的小球著地時(shí)水平射程較小

D.從。點(diǎn)拋出的小球著地時(shí)重力的瞬時(shí)功率較大

【答案】D

【詳解】A.。點(diǎn)較高，運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長，從。點(diǎn)先拋出，A錯(cuò)誤；

B.根據(jù)

1,

h=—gt,X=VQt

得

則拋出的初速度關(guān)系為

M<%

B錯(cuò)誤;

C.a球到達(dá)尸點(diǎn)時(shí)豎直分速度較大，則a球先落地，由于a球水平速度較小，則從6點(diǎn)拋出的小球著地時(shí)

水平射程較大，C錯(cuò)誤；

D.根據(jù)

.=12gH,P=mgvy

從。點(diǎn)拋出的小球落地時(shí)豎直速度較大，重力功率較大，D正確。

故選D。

變式1.2學(xué)校給同學(xué)們提供了乒乓球臺，很多同學(xué)利用課余時(shí)間打乒乓球鍛煉身體。某同學(xué)接球后，兩次

將球再次拍出。為簡化過程，假定乒乓球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)中空氣阻力不計(jì)。如圖所示，該同學(xué)第一次將乒乓

球由。點(diǎn)斜拋拍出，落點(diǎn)為。點(diǎn)；對方反擊后，該同學(xué)在。點(diǎn)將球再次平拋拍出，同樣也落于6點(diǎn)。已知兩

次運(yùn)動(dòng)軌跡的最高點(diǎn)c、d高度相同，假設(shè)。、b,。三點(diǎn)位于同一豎直面內(nèi)，則下列說法正確的是（）

A.乒乓球兩次落于6點(diǎn)的動(dòng)能一定相同

B.乒乓球兩次落于b點(diǎn)前瞬間，重力的功率一定相同

C.乒乓球由。到6、。到6過程中，重力的沖量一定相同

D.乒乓球兩次被拍出的過程中，第二次球拍對球做的功一定較大

【答案】B

【詳解】A.根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律

x=fi=；g產(chǎn),vj=2gh

假設(shè)最高點(diǎn)到臺面的高度為“，可知兩次運(yùn)動(dòng)過程中，由。到6的時(shí)間為楞，由。到b的時(shí)間為2秒，

則兩次運(yùn)動(dòng)的水平速度不同，落到6點(diǎn)的豎直速度相同，故兩次落6點(diǎn)的速度不相等，兩次落到6點(diǎn)的動(dòng)能

不相同，第二次落到6點(diǎn)的動(dòng)能大一些，A錯(cuò)誤；

B.兩次落于b點(diǎn)前瞬間，豎直方向的速度均為

VyZ2gH

重力的功率均為

P=mgvy=mg12gH

則兩次落于6點(diǎn)重力的功率相同，B正確；

C.重力的沖量為

%="必

由于兩次運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不相同，則兩次運(yùn)動(dòng)過程中，重力的沖量不相同，C錯(cuò)誤；

D.由于球拍接到乒乓球前的速度未知，故無法比較第二次球拍做的功與第一次球拍做的功的大小關(guān)系，D

錯(cuò)誤；

故選Bo

【例2】如圖示，半圓軌道固定在水平面上，一小球（小球可視為質(zhì)點(diǎn)）從半圓軌道上8點(diǎn)沿切線斜向左上

方拋出，到達(dá)半圓軌道左端/點(diǎn)正上方某處小球的速度剛好水平，。為半圓軌道圓心，半圓軌道半徑為幾

與水平方向的夾角為60。，重力加速度為g,不計(jì)空氣阻力，則小球在/點(diǎn)正上方的水平速度為（）

B.

【答案】A

【詳解】小球雖說是做斜拋運(yùn)動(dòng)，由于到達(dá)半圓軌道左端N點(diǎn)正上方某處小球的速度剛好水平，所以逆向

看是小球從一半圓軌道左端/點(diǎn)正上方某處開始做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中恰好與半圓軌道相切于3點(diǎn)，這

樣就可以用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解。因小球運(yùn)動(dòng)過程中恰好與半圓軌道相切于3點(diǎn)，則速度與水平方向的夾角

為30。，設(shè)位移與水平方向的夾角為6,則

因?yàn)?/p>

tan0=-_y_

x

2

則豎直位移

所以

tan30。=乜

%

解得

故選Ao

變式2.1如圖所示，豎直平面內(nèi)平拋的小球恰好與光滑半圓面相切于2點(diǎn)，已知拋出點(diǎn)在半圓面左端點(diǎn)/

點(diǎn)的正上方，半圓面半徑為尺，直線與水平面成60。角，重力加速度為g,則下列關(guān)于小球在空中的運(yùn)動(dòng)

分析正確的是

/R

,<60°

AO

3R

小球到達(dá)8點(diǎn)飛行的時(shí)間為

27

小球平拋的初速度為

小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)水平位移尤=場

2

D.小球到達(dá)2點(diǎn)時(shí)豎直位移＞=畫

2

【答案】B

【詳解】AB.小球飛行過程中恰好與半圓軌道相切于3點(diǎn),則知在8點(diǎn)時(shí)速度與水平方向的夾角為30°,有

%=v0tan300

根據(jù)

V；=2gy

得

由

tan30=—

%

解得:

飛行的時(shí)間為

故A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確;

C.由幾何知識可得，小球自拋出至3點(diǎn)的水平射程為:

3

x=R+Rcos60°=—R

2

故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

D.設(shè)位移與水平方向的夾角為仇則有:

—th

tan6=2—=——

6

可得豎直位移為

y衛(wèi)x至R

64

故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

【例3】如圖所示，/兩個(gè)小球分別從半圓軌道頂端和斜面頂端以大小相等的初速度同時(shí)水平向左、向右

拋出，已知半圓軌道的半徑R與斜面的豎直高度相等，斜面傾角為30°,重力加速度為g,要使兩球同時(shí)落

到半圓軌道上和斜面上，小球拋出的初速度大小為（）

B.D-

【答案】B

【詳解】將半圓軌道和斜面重合放置，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩軌道交于N點(diǎn)，也就是說當(dāng)拋出小球的速度恰好為某一值

時(shí)，兩小球會(huì)在同時(shí)落到半圓軌道上和斜面上，如圖中的x和y分別為小球做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和豎直位

移

2

y=Rcos300=-^-R,—=tan30°,j=—gt,x=vot

,2x2

得

43“gR

v0=^r~

故選Bo

變式3.1如圖所示，。為半圓槽的圓心、R為半圓槽的半徑，重力加速度為g。先將小球從。點(diǎn)以初速度

vo沿水平方向拋出，在小球自。點(diǎn)拋出至與半圓槽相撞的過程中（）

A.w越大，小球的位移越大

B.V。越小，小球的位移越大

C.無論vo多大，小球都不可能與半圓槽垂直相撞

D.只有％=庾時(shí)，小球才與半圓槽垂直相撞

【答案】C

【詳解】AB.因小球的初位置在圓心。，末位置在圓上，故小球的位移總是R,與V。的大小無關(guān)，故AB

錯(cuò)誤；

CD.因平拋運(yùn)動(dòng)末速度的反向延長線通過水平分位移的中點(diǎn)，而不是通過圓心，所以無論V。多大，小球都

不可能與半圓槽垂直相撞，故C正確，D錯(cuò)誤；

故選c。

變式3.2如圖所示，成兩個(gè)小球分別從半圓軌道頂端和斜面頂端以大小相等的初速度同時(shí)水平向左、右拋

出，已知半圓軌道的半徑與斜面的豎直高度〃相等，斜面寬為2兄重力加速度為g,則有關(guān)小球落到斜面

和半圓軌道的時(shí)間〃和〃的說法一定正確的是（）

C.t!=t2D.以上情況都有可能

【答案】D

【詳解】將圓軌道和斜面軌道重合在一起，如圖所示

交點(diǎn)為初速度合適，可知小球做平拋運(yùn)動(dòng)落在/點(diǎn)，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，即同時(shí)落在半圓軌道和斜面

上。若初速度不適中，由圖可知，可能小球先落在斜面上，也可能先落在圓軌道上。

故選D。

【例4】如圖所示，小球甲從距離地面高度為％=15m處以速度%=10m/s豎直向上拋出，同時(shí)小球乙從距

離地面高度為4=20m處開始自由下落，小球運(yùn)動(dòng)的過程中不計(jì)空氣阻力，重力加速度取g=10m/s2,則下

列說法中正確的是（）

A.小球乙落地前，兩小球的速度差逐漸變大

B.小球甲、乙運(yùn)動(dòng)的第2s內(nèi)位移大小之比為1:2

C.至小球乙落地時(shí)，甲、乙兩球的路程之比為2:3

D.落地前的運(yùn)動(dòng)過程中小球甲、乙的平均速率之比為5:6

【答案】D

【詳解】A.取豎直向上為正方向，小球乙落地前，甲球與乙球的速度差為

保持恒定，故A錯(cuò)誤；

B.由

%=g%

可得小球甲上升到最高點(diǎn)時(shí)間

4=1s

則小球甲第2s內(nèi)位移是下落第一秒的位移

=5m

小球乙運(yùn)動(dòng)的第2s內(nèi)位移大小

2

h'2=^-xl0x2-5m=15m

位移大小之比為

片:%=1:3

故B錯(cuò)誤；

CD.對甲球，取豎直向上為正方向，對整個(gè)過程，有

-Qg，2=-4

解得甲球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間

t2=3s

甲球上升的最大高度為

生='=5m

H=

2g2x10

則甲球運(yùn)動(dòng)的總路程為

、=2H+4=2x5m+15m=25m

整個(gè)過程平均速率為

125.

v,=」=——m/s

t23

對乙球，根據(jù)

712

%=2^3

得乙球落地用時(shí)間為

13=2s

乙球經(jīng)過的路程為

s2=20m

落地前的運(yùn)動(dòng)過程中小球乙的平均速率為

V,=—=—m/s=10m/s

2

t32

落地前的運(yùn)動(dòng)過程中小球甲、乙的平均速率之比為

片：4=5:6

小球乙落地時(shí)，甲球的路程

s；=5+5m=10m

甲、乙兩球的路程之比為

s；:$2=1：2

故C錯(cuò)誤，D正確；

故選D。

變式4.1（多選）如圖所示，小球A以某一速度水平向右拋出的同時(shí)，小球B斜向左上方以速度%拋出，%

與水平方向的夾角為53。。兩球拋出后在同一豎直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且恰好在空中相碰。已知單獨(dú)拋出小球B時(shí)，

小球B到達(dá)的最高點(diǎn)恰好與小球A的拋出點(diǎn)處于同一水平線上，且小球B落地點(diǎn)位于小球A拋出點(diǎn)的正下

方。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g,sin530=0.8,cos530=0.6,下列說法正確的是（）

A

A.小球A拋出的初速度大小等于2.4%B.小球A拋出的初速度大小等于1.8%

C兩球拋出點(diǎn)的水平距離為警D.兩球拋出點(diǎn)的水平距離為等

25g

【答案】BC

【詳解】CD.小球B在水平、豎直方向的速度為

3

%"%cos53°=-v0

4

%y=%sm53°=-v0

單獨(dú)拋出小球B時(shí)，小球B在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

2VBy

g5g

兩球拋出點(diǎn)的水平距離為

24說

x==

25g

故C正確，D錯(cuò)誤；

AB.小球A拋出高度為

h=

2g25g

小球A、B在恰好在空中相碰，若此時(shí)小球B向上運(yùn)動(dòng)，有

,11

h=vt--gt2+—gt2

Bx2l2t

解得小球A拋出的初速度大小等于

%=1.8%

小球A、B在恰好在空中相碰，若此時(shí)小球B向下運(yùn)動(dòng)，有

x=W+v&%

1212

VByt2-2^2=3gt2

解得小球A拋出的初速度大小等于

V[=0-6%

綜上所述，小球A拋出的初速度大小等于1.8%或0.6%,故A錯(cuò)誤，B正確。

故選BCo

變式4.2（多選）如圖所示，同一高度處有4個(gè)質(zhì)量相同且可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，現(xiàn)使小球A做自由落體運(yùn)

動(dòng)，小球B做平拋運(yùn)動(dòng)，小球C做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，小球D做豎直下拋運(yùn)動(dòng)，且小球B、C、D拋出時(shí)的初

速度大小相同，不計(jì)空氣阻力。小球從釋放或拋出到落地的過程中（）

A.重力對4個(gè)小球做的功相同

B.重力對4個(gè)小球做功的平均功率相等

C.落地前瞬間，重力對4個(gè)小球的瞬時(shí)功率大小關(guān)系為乙="<A=[

D.重力對4個(gè)小球做功的平均功率大小關(guān)系為反=母>耳=冗

【答案】AC

【詳解】A.4個(gè)質(zhì)量相同的小球從同一高度拋出到落地的過程中，重力做功為

WG=mgh

故重力對4個(gè)小球做的功相同，故A正確；

BD.小球A做自由落體運(yùn)動(dòng)，小球B做平拋運(yùn)動(dòng)，小球C做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，小球D做豎直下拋運(yùn)動(dòng)，小

球從同一高度拋出到落地，運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系為

，D<.=，B<.

重力對4個(gè)小球做功的平均功率為

t

可得重力對4個(gè)小球做功的平均功率大小關(guān)系為

用>“=鳥>或

故BD錯(cuò)誤；

C.落地前瞬間，4個(gè)小球豎直方向有

V：=2gh,v；=2gh

試-詔=2g/z,VD-V?=2gA

4個(gè)小球豎直方向的速度關(guān)系為

VAf<VC=K

落地前瞬間，重力對4個(gè)小球的瞬時(shí)功率

P=mgvy

落地前瞬間，重力對4個(gè)小球的瞬時(shí)功率大小關(guān)系為

PK=PB<PC=PD

故C正確。

故選ACo

【例5】某地方電視臺有一個(gè)叫“投準(zhǔn)”的游戲，其簡化模型如圖所示，左側(cè)是一個(gè)平臺，平臺右邊的地面上

有不斷沿直線向平臺運(yùn)動(dòng)的小車，參賽者站在臺面上，看準(zhǔn)時(shí)機(jī)將手中的球水平拋出，小球能落入小車算

有效。已知投球點(diǎn)與小車上方平面高度差〃=5m,小車的長度為。=1.0m,小車以大小為a=2m/s2的加速度

做勻減速運(yùn)動(dòng)，球的大小可忽略。某次活動(dòng)中，一輛小車前端行駛到與平臺水平距離￡=23m處時(shí)，速度為

vo=Hm/s,同時(shí)參賽選手將球水平拋出，結(jié)果小球落入小車中。重力加速度g取lOm4,求：

(1)小球從拋出到落入小車的時(shí)間；

(2)小球拋出時(shí)的速度v的范圍。

金

【答案】(l)ls；(2)13m/s<v<14m/s

【詳解】(1)小球做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)飛行時(shí)間為％,由

仁3gt2

解得

t=lS

(2)在t時(shí)間內(nèi)小車前進(jìn)的位移為

12

x=vQt--at=10m

要投入小車，小球最小的水平位移為

xi=L-x=13m

最小速度為

V尸土=13m/s

t

小球最大的水平位移為

X2=L-x+￡o=l4m

最大速度為

V2=-=14m/s