第52講二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

鏈教材夯基固本

激活思維

1.(人A選必三P31練習(xí)T4)(x—l)i。的展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)是(C)

A.-00B.C%

C.-CfoD.CM

【解析】由題得7；+i=Cioxm(-l)"=O,1,2,…，10),令r=5,得T6=Cfoy5(—1)5

=—CW,所以(x—1嚴(yán)的展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)是一CM.

2.(人A選必三P34習(xí)題Tl(2))若二項(xiàng)式a+l)"(“eN*)的展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為”，則

?=(C)

A.4B.5

C.6D.7

【解析】二項(xiàng)式(x+iy的展開式的通項(xiàng)是M+1=CA"F,令〃一廠=2,得，="—2,故

N的系數(shù)是C，2=CW.因?yàn)镹的系數(shù)為15,所以C&=15,即"2—"—30=0,解得〃=6或〃

=—5.因?yàn)椤癎N*,所以”=6.

3.(1—2x)(x+2>的各項(xiàng)系數(shù)和為(A)

A.-27B.27

C.16D.-16

【解析】方法一：(1—2x)(x+2>=—2/—1lx3—18x2—4x+8,各項(xiàng)系數(shù)和為一2—11

-18-4+8=-27.

方法二:令x=l,得(1—2)X(1+2>=—27.

4.(人A選必三P38復(fù)習(xí)參考題T9改)在(1—x)5+(l—x)6+(l—x)7+(l—工》的展開式中，

含r的項(xiàng)的系數(shù)是(D)

A.74B.121

C.-74D.-121

【解析】因?yàn)樵?1-X)5+(l—X)6+(l—X)7+(l—?jiǎng)?中，含x3的項(xiàng)為(己+5+個(gè)+&)(-

x)3,所以含X?的項(xiàng)的系數(shù)是一(Cg+Cg+C3+Cg)=—(10+20+35+56)=—121.

5.(人A選必三P31練習(xí)T5)在。一1)。-2)a—3)。一4)(》一5)的展開式中，含產(chǎn)的項(xiàng)的

系數(shù)是—一15.

【解析】在(x—l)(x—2)(x—3)。-4)(》一5)的展開式中含/的項(xiàng)即從5個(gè)因式中取4個(gè)

X,1個(gè)常數(shù)，所以含x4的項(xiàng)為一5x4-4x4—3x4—2x4—/=—15x4.所以展開式中，含x4的項(xiàng)

的系數(shù)是一15.

聚焦知識(shí)

1.二項(xiàng)式定理

(a+b)n=_C9a"+C>a"-i，i+…+C4a〃-%1+?,?+

二項(xiàng)式定理

CW_(〃eN*)

二項(xiàng)展開式

C耳*時(shí),它表示第左+1項(xiàng)

的通項(xiàng)公式

展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為CS/G{0,1,2,

二項(xiàng)式系數(shù)

〃}）

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

（i）c°=i,a=i,c%尸c臟+c#,

（2）二項(xiàng)式系數(shù)先增后減中間項(xiàng)最大.當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，第;+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最

大值為C2n；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，第n々-l-1項(xiàng)和第nE-|-2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為c九、-1和"+1

n22nn

（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和：Cn+Cn+Cn~\--------1~。=_2二_,C?+C?+C?H—=C?+C?+C?d—

=2n~\_.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說法

目幀u展開式的特定項(xiàng)

視角1（。+6）"的展開式

例1-1（1）（2024?唐山一模）在已2一的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為8.（用數(shù)字作答）

【解析】因?yàn)镮"j展開式的通項(xiàng)公式為「+1=＜3（2曰4-1j=（一lr2"CR2-4r,

r=0,1,2,3,4,令12—4r=0,解得，=3,所以常數(shù)項(xiàng)為A=-2XCj=—8.

（2）（2024?鷹潭一模）族》6的展開式中二的系數(shù)為一二12_.

X夕4x

【解析】咒了的展開式通項(xiàng)為空="0到丁比=Cg26，（—；0WrW6,reN）,

x*2y*4x2y4x2y4

由題意令r—4=1,解得r=5,所以色三小的展開式中上的系數(shù)為或285（-1）5=—6X2=—

x2y4x

12.

⑶（2024?益陽(yáng)4月檢測(cè)）已知（1+62x）99+（62—x）99=aoH-aix+a2X2++（299x",且ao,

ax,。2,…，a99GR，則滿足四＜0（左GN且0WA;W99）的人的最大值為_也_.

【解析】必的系數(shù)為四=磔962?+磔96299汽-1）?=磔962監(jiān)+6299『一1力，其中k=o,

1,2,99,要使得四＜0,左必須是奇數(shù)且629外2左＞1,所以99-2左＞0,即左＜49.5,所

以后的最大值為49.

〈總結(jié)提煉〉

求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)

時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)r+1,代回通項(xiàng)公式即可.

視角2(a+6)，"(c+C)”的展開式

例1-2(1)(2024?武漢4月調(diào)研)(2x—3)(》一1)5的展開式中N的系數(shù)為(A)

A.-50B.-10

C.10D.50

【解析】(X—I》展開式的通項(xiàng)為％+i=C"5-r(-1孔則？3=10好，74=-10x析故(2x

—3)(X—1)5展開式中3的系數(shù)為2X(-10)+(-3)X10=-50.

(2)(2025?常州期末)已知(x+ay)(2x—的展開式中x?;/項(xiàng)的系數(shù)為30,則a=.二；.

<總結(jié)提煉A

對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組

合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏.

視角3(a+6+c)"的展開式

例1-3(1)(2024?太原三模)(x+y—的展開式中孫2的系數(shù)為(D)

A.-20B.20

C.-30D.30

【解析】因?yàn)?x—的展開式的通項(xiàng)為「+i=CS(x—l>-y,當(dāng)廠=2時(shí)，出現(xiàn)產(chǎn)，

2

即72+l=C?(X-l)y,此時(shí)(X—1)3中含X的項(xiàng)為CH(—1)2,所以孫2的系數(shù)為C?a(-1)=

30.

(2)(2024―滄州二模)在a一27+32)6的展開式中，孫2z3項(xiàng)的系數(shù)為(A)

A.6480B.2160

C.60D.-2160

【解析】(x—2y+3z)6相當(dāng)于6個(gè)因式(x—2y+3z)相乘，其中一個(gè)因式取x,有C&種

取法，余下5個(gè)因式中有2個(gè)取一2y,有Cg種取法，最后3個(gè)因式中全部取3z,有C§種

取法，故(x—2y+3z)6展開式中孫2z3的系數(shù)為QX1XC專X(—2)2XQX3占6480.

，總結(jié)提煉A

要求三項(xiàng)展開式中指定的項(xiàng)，常有這幾種做法：

(1)兩項(xiàng)看成一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理展開；

(2)因式分解，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二項(xiàng)式再求解(回到視角2);

(3)看作多個(gè)相同因式的乘積，用組合的知識(shí)解答.

目崛二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題

視角1二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和

例2-1(1)(2024?臨汾三模)(多選)在lx'"J的展開式中(AB)

A.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128

B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)

C.有理項(xiàng)共有兩項(xiàng)

D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為38

【解析】對(duì)于A,二項(xiàng)式系數(shù)和為28,則所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為2=128,故

2

A正確；對(duì)于B,二項(xiàng)式系數(shù)最大為Cl則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，故B正確；對(duì)

flls-r34

于C,4+I=C§6(-^X=(-l)r-28-rC§x3r-8(0WrW8,r￡N),。+1為有理項(xiàng)，r可取的值

J"

為0,3,6,所以有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,令x=l,則所有項(xiàng)系數(shù)和為11"J

=1,故D錯(cuò)誤.

⑵(多選)若(1—2x)2O26=ao+aix+32~|-----FazozM3,則下列結(jié)果正確的是(ABD)

A.。。+。1+。2+…+。2026=1

]+32026

B.00+42+44+…+。2026=一

2

C久+絲____產(chǎn)026=0

.22222026

D.01+242+343+…+2026(22026=4052

【解析】令%=1可得4()+。1+。2+…+”2026=(-1)2°26=1①，故A正確；令X=-1

可得的一。1+。2-的+…+。2026=32°26②，①+②可得2(6ZQ++***+026)=1+32026,

1-I-Q20261

故6Z0+Q2+Q4+…+”2026——,故B正確；令％=0可得40=12。26=1③，令1=工可得

22

。。+2+及+…+郎=0④，把③代入④即可得出…+鬻=—1，故C錯(cuò)誤；兩

2222202622222026

邊對(duì)％求導(dǎo)得一4052(1—2x)2025=4]+2〃巾+3俏X2+…+2026。2026^2025,令1可得內(nèi)+

2。2+3。3+…+2026“2026=4052,故D正確.

<總結(jié)提煉A

一殳地，對(duì)于多項(xiàng)式(。+6%)〃=。0+。逮+。加2~|-----Fa胸〃，令g(x)=(Q+bx)〃，則(a+fcr)”

的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(l),(a+bx)〃的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，g(l)+g(—l)],(a

+bx)〃的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為jg(l)—g(—1)1

變式2?1(2024?江門一^莫)已知(1+x>+(l+x)5+…+(1+x)“=QO+QI(2+X)+〃2(2+

x)2+,,,+tzii(2+x)n,則40+02+04+…+aio的值是(B)

A.680B.—680

C.1360D.-1360

【解析】令%=—1,得O=QO+QI+。2+…+。11,即Q0+Q1+Q2+…+。11=0①，令X

=—3,得(-2)4+(—2)5+,,,+(-2)”=。0—〃1+。2一的+…一Qu,即Qo—。1+。2一的+…一

an~----------------------——1360(2),①②兩式相力口可得00+02+44+…+QIO=-----------——

1—(—2)2

680.

視角2二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的最值

例2-2⑴(2024?汕頭二模X3+2x)”展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，貝I」〃的

值為(C)

A.8B.7

C.6D.5

【解析】因?yàn)橹挥幸豁?xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以〃為偶數(shù)，故；+1=4,得"=6.

(2)(2024?全國(guó)甲卷)(十1’°的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的最大值是

【解析】展開式的通項(xiàng)公式為Tr+i=Ciol3jxr,OWrWlO且rGZ,設(shè)展開式中第r

+1項(xiàng)系數(shù)最大，則2cli3)即——WyW一,又尸￡Z,故

r=8,所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng),

＜總結(jié)提燎A

二項(xiàng)展開式系數(shù)最大項(xiàng)的求法

如求(a+bx)"(a,6GR)的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項(xiàng)

Ak^Ak-i

系數(shù)分別為/1,也，…，An+l,且第左項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用,從而解得上.

424+1,

目幀周二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用

例3(1)(2024?湖北八市3月聯(lián)考)已知今天是星期三，則67—1天后是(A)

A.星期一B.星期二

C.星期三D.星期五

【解析】67-l=(7-l)7-l=C977+C)76X(-l)+C?75X(-l)241(3獷＞＜(—1,+

C?7°X(-1)7-1=C977+C176X(-1)1+C?75X(-1)2H——FC^1X(-l)6-2,即67-1除以7

的余數(shù)為5,所以67—1天后是星期一.

(2)(2024?鄭州、周口二模)中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》，對(duì)同余除法有較深的研

究.設(shè)Q,b,機(jī)(加＞0)為整數(shù)，若。和6被加除得的余數(shù)相同，則稱。和6對(duì)模如同余，

記為。三b(mod冽).若a=C^o'2+Cio-22-\------I-C58,220,(2=/?(mod10),則b的值可以是(B)

A.2018B.2020

C.2022D.2024

【解析】因?yàn)椤?C3o,2+C如22H-----FC弛22。，所以q+l=C9o+Cb2+C3o,22+…+

22O2O1O1O1O9

C58-2°=(1+2)=3=9=(1O-1)=C?OX1O-C1OX1OH------C?OX1O+1,所以。

1O998

C?OX1O-C1OX1O4----C?0X10=10（C?0X10-C|0X10H-----C?o）,即a被10除得的余

數(shù)為0,結(jié)合選項(xiàng)可知只有2020被10除得的余數(shù)為0.

隨堂內(nèi)化

1.（2024?北京卷）在（x—心廠的展開式中，/的系數(shù)為（A）

A.6B.—6

C.12D.-12

【解析】（x一4）4的展開式的通項(xiàng)為。+1=（2奴4，.（一心），=3（—1?4胃（r=0,1,2,3,

4),令4—；=3,解得r=2,故3的系數(shù)為Cl(—1)2=6.

2.(2024?汕頭一模)P+xO(l+x)7展開式中項(xiàng)的系數(shù)為(A)

A.42B.35

C.7D.1

【解析】(l+x)7的展開式的通項(xiàng)為「+i=C^(r=0,1,2,…，7),因?yàn)?

x)7=(l+x)7+x-3(l+x)7,在CW(r=0,1,2,…，7)中,令r=3,可得爐項(xiàng)的系數(shù)為C》=

35；在43€%;k=(2依旌3(左=0,1,2,7)中，令人一3=3,得人=6,可得/項(xiàng)的系數(shù)為C$

=7.所以Ifl+1刊1l(l+x)7展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為35+7=42.

3.(2024-常德3月模擬)已知(2x—3)9=ao+ai(x—1)+42(%—1)2++〃8(x—1)8+(79(^一

1)9,則QO+2QI+3〃2+…+9恁+10。9=(D)

A.9B.10

C.18D.19

【解析】由(2x—3)9=ao+ai(x—1)+。2a—l)2+***+tZ8(X—1)8+Q9(X—I)9,得(X—l)(2x

—3)9=Q0(X—l)+m(x—l)2+(72(x—1>+…+Q8(X—1)9+(79(X—I)10,分別對(duì)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)得

(2x—3)'+18(%—l)(2x—3)8=Qo+2ai(x—1)+3〃2(X—1y+…+9。8(工―1戶+10tZ9(x—I)9,令x

=2,得(2X2—3)9+18(2—1)(2X2—3戶=俏+2〃i+3a?+…+9。8+10。9，得qo+2“i+3。2+…

+9。8+10(29=19.

4.(2024?岳陽(yáng)三模)(多選)下列結(jié)論正確的是(BD)

A.若C9=C%則〃=3

B,c片”1E

n-rl

C.(X—1)1。的展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)是CM

D.(l+x)3+(l+x)4+(l+x)5的展開式中x2的系數(shù)為逐一1

【解析】對(duì)于A,因?yàn)镃?=G,由組合數(shù)性質(zhì)可得"=3或”=4,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,

一爐〃!m+1(n+l)n!m~\-1(〃+l)!匕「~

=-----------=------------------------=--------------------2-----------,所以

m!(n~m)!n-\-l(m+l)-m!?(〃—冽)！〃+l(m+1)!?[(九+1)一(冽+1)]!

ryj--1

C*=——故B正確.對(duì)于C,(%—1)1。展開式的第6項(xiàng)為T6=G30-5(—1)5=—G盛5,

幾十1

所以第6項(xiàng)的系數(shù)是一CM,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,(l+x)3的展開式中x2的系數(shù)為C3,(l+x)4

的展開式中N的系數(shù)為CZ,(l+x)5的展開式中X2的系數(shù)為Cg,所以(1+%>+(1+無>+(1+

x)5的展開式中廣的系數(shù)為c*+c2+cg=c4+c?+c3+cg—1=c?+c2+cg—1=Cg+Cg—1

—C^—1,故D正確.

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A組夯基精練

一、單項(xiàng)選擇題

2

1.(2024?廣東大灣區(qū)二模)(2x—y)5的展開式中，x/的系數(shù)為(c)

A.-10B.10

C.-40D.40

5-rr2

【解析】(2x—y)5展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5*(2x)(—y),0W-W5,所以x/的系數(shù)為

aX22X(-l)3=-40.

2.(2024,開封二模)若(2x—l)4=6Z4X4+tZ3X3+d!2X2+tZlx+6Z0>則40+42+44=(C)

A.-40B.40

C.41D.82

【解析】因?yàn)?2%—1)4=。4/+。獷3+。>2+Q]X+“0,令%=],可得44+43+42+41+。0

=(2X1—1尸=1,令x=-1,可得—的+。2—QI+QO=(—2X1—11=81,兩式相加并整理

可得aQ-\-ai-\-a^=————=.

2

3.(2024?福州4月質(zhì)檢Xl—x)5(l+2x)4的展開式中小的系數(shù)為(B)

A.-14B.-6

C.34D.74

【解析】(1—x)5展開式的通項(xiàng)為7；+i=CM(-1)”&=0,1,2,3,4,5),(l+2x)4

展開式的通項(xiàng)為A+i=O2左,左(左=0,1,2,3,4),當(dāng)r=0,左=2時(shí)，/的系數(shù)為C4X2?

=24；當(dāng)r=l,k=l時(shí)，N的系數(shù)為-5X4X2=-40；當(dāng)r=2,左=0時(shí)，N的系數(shù)為Cg=

10.故N的系數(shù)為24+10—40=—6.

1+r-i]8

2

4.（2024?煙臺(tái)、德州二模）1.J展開式中Xy的系數(shù)為（C）

A.-840B.-420

C.420D.840

【解析】現(xiàn)有8個(gè)J相乘，從每個(gè)J中的三項(xiàng)1,%,一1各取一項(xiàng)相乘

y

時(shí)，若結(jié)果為％2?2的常數(shù)倍，則所取的8項(xiàng)中有4個(gè)1,2個(gè)X,2個(gè)一L所以總的選取方

y

法數(shù)是Ca?G=70><6Xl=420.每個(gè)這樣選取后相乘的結(jié)果都是產(chǎn)./（—J=x2y2,即

給系數(shù)的貢獻(xiàn)總是1,所以廿產(chǎn)的系數(shù)就是全部的選取數(shù)420.

5.（2024?溫州二模）在（3—初1一%）5展開式中，工的奇數(shù)次基的項(xiàng)的系數(shù)和為（A）

A.-64B.64

C.-32D.32

【解析】設(shè)(3—x)(l—x)5=aQ~\~a\x~\~aix1+asx5+tzex6,令x=l可得QO+〃I

+42+43+44+45+46=0,令1=—1可得—。1+〃2—的+。4—的+。6=128,所以〃1+的+

^=0^28=64）即在乃（1—月5展開式中，x的奇數(shù)次寨的項(xiàng)的系數(shù)和為—64.

6.（2024?武漢5月訓(xùn)練）若（1+2x）i°=ao+ai（l+x）+02（l+x>H------Faio（l+x）10,則ai

(A)

A.180B.-180

C.-90D.90

【解析】因?yàn)椋?+2刈1。=[2（1+乃一1嚴(yán)，其展開式的通項(xiàng)為/+i=Cio[2（l+x）嚴(yán)[一1），

=（-l）r2lo-rC5o-（l+x）R,r=0,1,10,而的是（1+xp的系數(shù)，故只需取廠=8,得為

=22C?o（l+x）2=180（1+x）2,即02=180.

7,已知bJ的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（C）

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)

C.第7項(xiàng)D.第8項(xiàng)

【解析】由已知2"=256,得”=8,故通項(xiàng)為加+i=C覬8-1―J'=（—1）仁￡2與8-214=0,

1,…，8）,故奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，由于C&o=l,Ci22<?24,竄

=管=]>1,署=￥>1，故C&26最大，因此第7項(xiàng)的系數(shù)最大.

Co5CR24

8.（2024?三明三模）各種不同的進(jìn)制在生活中隨處可見，計(jì)算機(jī)使用的是二進(jìn)制，數(shù)學(xué)運(yùn)

算一般使用的是十進(jìn)制，任何進(jìn)制數(shù)均可轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，如八進(jìn)制數(shù)（3750）8轉(zhuǎn)換為十進(jìn)

77…7

制數(shù)的算法為3義83+7X82+5X81+0X8。=2024.若將八進(jìn)制數(shù)一轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，則

6個(gè)7

轉(zhuǎn)換后的數(shù)的末位數(shù)字是（A）

A.3B.4

C.5D.6

77…7

5432105432

【解析】(---)8=7X8+7X8+7X8+7X8+7X8+7X8=7X(8+8+8+8+

6個(gè)7

1一Q6

81+80)=7X----=86-l=(10-2)6-l=Cg-106+C^-105-(-2)14----f-Cg-101-(-2)5+

1—8

C^-10°-(-2)6-1=10X[Cg-105+Cil04-(-2)HHCQ(—2)5]+CgT05(—2)6—1.因?yàn)?/p>

10X[CgT05+cE04.(—2)1+.“+綾.(—2)4是10的倍數(shù)，所以換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字即

為CQ()5(—2)6—1的末位數(shù)字，由Cg-l()6(—2)6-1=64—1=63,知末位數(shù)字為3.

二、多項(xiàng)選擇題

9.(2025?蘇州期初)已知二項(xiàng)式上十』6,則其展開式中(BC)

A.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)

B.常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng)

C.含%3的項(xiàng)為60x3

D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為64

【解析】由于〃=6,故二項(xiàng)式系數(shù)最大為C2,為第4項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；的展開

133

式的通項(xiàng)為7中=29就6-，4-1=29舐6丁，r=0,1,2,3,4,5,6,令6—當(dāng)?=(),解得r=

222

4,故常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng)，故B正確；令6—3廠=3,則r=2,故含工3的項(xiàng)為22c就3=60(,故

2

C正確；在卜36中,令x=l,得[1+劃6=36=729,故D錯(cuò)誤.

10.“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在

1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，比歐洲早393年發(fā)現(xiàn).如圖所示，在“楊

輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第

4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.則下列命題正確的是(ABD)

第

0行

行

第1

2

行

第121

行

第333

444

行

第

551no5

行

第6

???o

行

第

77

.一

(第10題)

A.由“在相鄰兩行中，除1以外的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字之和”猜想C%+i=

IVzW

B.由“第〃行所有數(shù)之和為2"”猜想:做+CJ+C升…+0=2"

C.第20行中，第10個(gè)數(shù)最大

D.第15行中，第7個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)的比為7：9

【解析】對(duì)于A,由“楊輝三角”的規(guī)律可得A正確；對(duì)于B,由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

知C9+C1+C+…+。=2",B正確；對(duì)于C,第20行的數(shù)是C5o(i=O,1,2,20),

最大的C38是第11個(gè)數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,第15行中，第7個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)分別是C%和

A%

CL,則雪=回一=7,D正確.

CLA?59

7!

11.已知函數(shù)y(x)=(4x—I)i2=ao+aix+azx2+…+。1力2,則(BD)

3

A.tz3=4XCh

B.7(x)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C%

C.。1+他+。3+…+。12=3口

D.y(5)的個(gè)位數(shù)字是1

【解析】對(duì)于A,(4x-1產(chǎn)的展開式的通項(xiàng)為/+1=?2(41產(chǎn)八(一1丫=(一

1)八43?2*12寸，，=0,1,2,12,令r=9,可得為0=(-1)%43@2支3=—43?2?總所

以03=—43義。2,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)?=12為偶數(shù),可知二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C%,

故B正確；對(duì)于C,令x=0,可得ao=l,令x=l,可得ao+ai+a2HFtzi2=312,所以

ai+z+a3H卜。12=312-],故c錯(cuò)誤；對(duì)于D,因?yàn)榘?)=(20—I)12,且(20—1產(chǎn)的展開

式的通項(xiàng)為/+1=(3份2012#.(—1汽k=0,1,2,12,可知當(dāng)先=0,1,2,…，11時(shí),

A+i均為20的倍數(shù)，當(dāng)左=12時(shí)，△3=1,所以人5)的個(gè)位數(shù)字是1,故D正確.

三、填空題

12.(2024,南通一調(diào))已知(x—IXx+ZAnao+aix+ajxZ+aM+ap^+aNS,則.=g,

01+02+03+04+05=.16..

【解析】