2021-2022學年河南省信陽市息縣八年級上學期期中數(shù)學試題及答案一、選擇題（每題3分，共30分）1．下列幾種著名的數(shù)學曲線中，不是軸對稱圖形的是（）A．笛卡爾愛心曲線 B．蝴蝶曲線 C．費馬螺線曲線 D．科赫曲線2．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）A．25cm，24cm，7cm B．2cm，5cm，8cm C．3cm，3cm，6cm D．1cm，2cm，3cm3．如圖所示各選項中的兩個圖形屬于全等圖形的是（）A． B． C． D．4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝40°，則∠B的度數(shù)為（）A．40° B．60° C．30° D．50°5．在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時，綜合實踐小組的同學作了如圖所示四種輔助線，其中不能證明“三角形內(nèi)角和是180°”的是（）A．過C作EF∥BC B．延長AC到F，過C作CE∥AB C．作CD⊥AB于點D D．過AB上一點D作DE∥BC，DF∥AC6．如圖，∠C＝∠F＝90°，下列條件中，不能判定△ACB與△DFE全等的是（）A．∠A＝∠D，AB＝DE B．AC＝DF，BC＝EF C．AB＝DE，BC＝EF D．∠A＝∠D，∠B＝∠E7．點A（3，4）與點Q關(guān)于y軸對稱，則點Q的坐標為（）A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（4，3）8．定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．已知：如圖，∠ACD是△ABC的外角．求證：∠ACD＝∠A+∠B．證法1：如圖，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形內(nèi)角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定義），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代換）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性質(zhì)）．證法2：如圖，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°（量角器測量所得）又∵135°＝76°+59°（計算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代換）．下列說法正確的是（）A．證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整 B．證法1用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理 C．證法2用特殊到一般法證明了該定理 D．證法2只要測量夠一百個三角形進行驗證，就能證明該定理9．小明同學在學習了全等三角形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（）A．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上 B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等 C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等 D．以上均不正確10．如圖，等腰△ABC的底邊BC長為4cm，面積為16cm2，腰AC的垂直平分線EF交AC于點E，交AB于點F，D為BC的中點，M為直線EF上的動點．則△CDM周長的最小值為（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm二、填空題（每題3分，共15分）11．如圖是第四套人民幣1角硬幣，該硬幣邊緣鐫刻的正多邊形的外角的度數(shù)為°．12．如圖，點B在AE上，∠C＝∠D，要能證△ABC≌△ABD，只需再補充一個條件：．13．如圖，兩車從南北方向的路段AB的A端出發(fā)，分別向東、向西行進相同的距離，到達C，D兩地，此時可以判斷C，D到B的距離相等，用到的數(shù)學道理是．14．由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設(shè)計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA＝OB＝18cm，若衣架收攏時，∠AOB＝60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是cm．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是邊AC上一點，AD＝BD，BC＝DC，則∠A的大小是．二、解答題（本大題共8個小題，共75分）16．如圖，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BE是△ABC的角平分線，BD是邊AC上的高．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）求∠DBE的度數(shù)．17．如圖，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D，∠B＝60°．（1）試說明：△ABC≌△AED；（2）求∠AED的度數(shù)．18．已知：如圖，點A、B、C、D在一條直線上，F(xiàn)B∥EA交EC于H點，EA＝FB，AB＝CD．（1）求證：△ACE≌△BDF；（2）若CH＝BC，∠A＝50°，求∠D的度數(shù)．19．人教版初中數(shù)學教科書八年級上冊第35﹣36頁告訴我們作一個三角形與已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．作法：如圖．（1）畫B'C′＝BC；（2）分別以點B′，C′為圓心，線段AB，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A′；（3）連接線段A′B′，A′C′，則△A′B′C′即為所求作的三角形．請你根據(jù)以上材料完成下列問題：（1）在作圖過程中創(chuàng)造了什么條件？（2）依據(jù)作圖過程及其產(chǎn)生的條件證明△A′B′C′≌△ABC．20．閱讀下面材料：在數(shù)學課上，老師提出如下問題：尺規(guī)作圖：已知：線段a，b．求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC邊上的高為b．小濤的作圖步驟如下：如圖（1）作線段BC＝a；（2）作線段BC的垂直平分線MN交線段BC于點D；（3）在MN上截取線段DA＝b，連接AB，AC．所以△ABC即為所求作的等腰三角形．老師說：“小濤的作圖步驟正確”．請回答：得到△ABC是等腰三角形的依據(jù)是：①；②．21．如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均為邊長是1的正方形）中完成下列各題：（1）畫出格點△ABC（頂點均在格點上）關(guān)于直線DE對稱的△A1B1C1；（2）在DE上畫出點Q，使QA+QC最小．22．在等邊△ABC中，D為AC的中點，延長BC至點E，使CE＝DC，連接ED并延長交AB于點F．（1）求證：△DBE是等腰三角形；（2）DF與DE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．23．已知，在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC．（1）【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當點E為AB的中點時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當點E為AB邊上任意一點時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論，AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你完成以下解答過程）．（3）【拓展結(jié)論，設(shè)計新題】在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在線段CB的延長線上，且ED＝EC，若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果）．

參考答案一、選擇題（每題3分，共30分）1．下列幾種著名的數(shù)學曲線中，不是軸對稱圖形的是（）A．笛卡爾愛心曲線 B．蝴蝶曲線 C．費馬螺線曲線 D．科赫曲線【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．解：選項A、B、D均能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；選項C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；故選：C．2．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）A．25cm，24cm，7cm B．2cm，5cm，8cm C．3cm，3cm，6cm D．1cm，2cm，3cm【分析】根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”對各選項進行進行逐一分析即可．解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得A.7+24＞25，能組成三角形，故此選項符合題意．B.2+5＜8，不能組成三角形，故此選項不合題意；C.3+3＝6，不能組成三角形，故此選項不合題意；D.2+1＝3，不能組成三角形，故此選項不合題意；故選：A．3．如圖所示各選項中的兩個圖形屬于全等圖形的是（）A． B． C． D．【分析】利用全等圖形的概念可得答案．解：A．兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，故本選項不符合題意；B．兩個圖形能夠完全重合，是全等圖形，故本選項符合題意；C．兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，故本選項不符合題意；D．兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，故本選項不符合題意；故選：B．4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝40°，則∠B的度數(shù)為（）A．40° B．60° C．30° D．50°【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠3，再利用平行線的性質(zhì)求出∠B．解：∵∠2+∠3＝90°，∠2＝∠1＝40°，∴∠3＝50°．∵EF∥AB，∠B＝∠3＝50°．故選：D．5．在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時，綜合實踐小組的同學作了如圖所示四種輔助線，其中不能證明“三角形內(nèi)角和是180°”的是（）A．過C作EF∥BC B．延長AC到F，過C作CE∥AB C．作CD⊥AB于點D D．過AB上一點D作DE∥BC，DF∥AC【分析】本題運用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義解決此題．解：A．由EF∥AB，則∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合題意．B．由CE∥AB，則∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠∠A+∠B+∠ACB＝180°，故B不符合題意．C．由CD⊥AB于D，則∠ADC＝∠CDB＝90°，無法證得三角形內(nèi)角和是180°，故C符合題意．D．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故C不符合題意．故選：C．6．如圖，∠C＝∠F＝90°，下列條件中，不能判定△ACB與△DFE全等的是（）A．∠A＝∠D，AB＝DE B．AC＝DF，BC＝EF C．AB＝DE，BC＝EF D．∠A＝∠D，∠B＝∠E【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．解：A．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ACB≌△DFE，故本選項不符合題意；B．AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ACB≌△DFE，故本選項不符合題意；C．AB＝DF，BC＝EF，∠C＝∠F＝90°，符合直角三角形全等的判定定理HL，能推出△ACB≌△DFE，故本選項不符合題意；D．∠A＝∠D，∠C＝∠F，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ACB≌△DFE，故本選項符合題意；故選：D．7．點A（3，4）與點Q關(guān)于y軸對稱，則點Q的坐標為（）A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（4，3）【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變可得答案．解：由題意，得A（3，4）與點Q關(guān)于y軸對稱，則點Q的坐標是（﹣3，4），故選：A．8．定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．已知：如圖，∠ACD是△ABC的外角．求證：∠ACD＝∠A+∠B．證法1：如圖，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形內(nèi)角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定義），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代換）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性質(zhì)）．證法2：如圖，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°（量角器測量所得）又∵135°＝76°+59°（計算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代換）．下列說法正確的是（）A．證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整 B．證法1用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理 C．證法2用特殊到一般法證明了該定理 D．證法2只要測量夠一百個三角形進行驗證，就能證明該定理【分析】依據(jù)定理證明的一般步驟進行分析判斷即可得出結(jié)論．解：∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴謹?shù)耐评碚撟C，得出結(jié)論的正確，具有一般性，無需再證明其他形狀的三角形，∴A的說法不正確，不符合題意；∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴謹?shù)耐评碚撟C，得出結(jié)論的正確，∴B的說法正確，符合題意；∵定理的證明必須經(jīng)過嚴謹?shù)耐评碚撟C，不能用特殊情形來說明，∴C的說法不正確，不符合題意；∵定理的證明必須經(jīng)過嚴謹?shù)耐评碚撟C，與測量次數(shù)的多少無關(guān)，∴D的說法不正確，不符合題意；綜上，B的說法正確．故選：B．9．小明同學在學習了全等三角形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（）A．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上 B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等 C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等 D．以上均不正確【分析】過兩把直尺的交點P作PE⊥AO，PF⊥BO，根據(jù)題意可得PE＝PF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上可得OP平分∠AOB；解：如圖所示：過兩把直尺的交點P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵兩把完全相同的長方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），故選：A．10．如圖，等腰△ABC的底邊BC長為4cm，面積為16cm2，腰AC的垂直平分線EF交AC于點E，交AB于點F，D為BC的中點，M為直線EF上的動點．則△CDM周長的最小值為（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AM＝CM，即A、M、D三點共線時，CM+DM最小值為AD的長，根據(jù)面積求出AD的長，即可解決問題．解：連接AM，∵AC的垂直平分線EF交AC于點E，∴AM＝CM，∴CM+DM＝DM+AM，即A、M、D三點共線時，CM+DM最小值為AD的長，∵AB＝AC，點D為BC的中點，∴AD⊥BC，CD＝BC＝2cm，∵等腰△ABC的底邊BC長為4cm，面積為16cm2，∴AD＝8cm，∴△CDM周長的最小值為AD+CD＝10cm，故選：D．二、填空題（每題3分，共15分）11．如圖是第四套人民幣1角硬幣，該硬幣邊緣鐫刻的正多邊形的外角的度數(shù)為40°．【分析】正多邊形的外角和是360°，這個正多邊形的每個外角相等，因而用360°除以多邊形的邊數(shù)，就得到外角的度數(shù)．解：∵正多邊形的外角和是360°，∴360°÷9＝40°．故答案為：40．12．如圖，點B在AE上，∠C＝∠D，要能證△ABC≌△ABD，只需再補充一個條件：∠CAB＝∠DAB．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理加條件．解：在△ABC和△ABD中∴△ABC≌△ABD（AAS）故答案為：∠CAB＝∠DAB．13．如圖，兩車從南北方向的路段AB的A端出發(fā)，分別向東、向西行進相同的距離，到達C，D兩地，此時可以判斷C，D到B的距離相等，用到的數(shù)學道理是垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．【分析】先根據(jù)題意得到AB垂直平分CD，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可判斷C，D到B的距離相等．解：∵AB⊥CD，AC＝AD，∴AB垂直平分CD，∴BC＝BD，即C，D到B的距離相等．故答案為：垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．14．由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設(shè)計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA＝OB＝18cm，若衣架收攏時，∠AOB＝60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是18cm．【分析】根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形的等邊三角形進行解答即可．解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝OB＝18cm，故答案為：1815．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是邊AC上一點，AD＝BD，BC＝DC，則∠A的大小是（）°．【分析】由AD＝BD，BC＝DC可知，△ABD，△BCD為等腰三角形，設(shè)∠A＝∠ABD＝x，則∠CDB＝∠CBD＝2x，又由AB＝AC可知，△ABC為等腰三角形，則∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC中，用內(nèi)角和定理列方程求解．解：∵AD＝BD，BC＝DC，∴△ABD，△BCD為等腰三角形，設(shè)∠A＝∠ABD＝x，則∠CDB＝∠CBD＝2x，又∵AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，即x+3x+3x＝180°，解得x＝（）°，即∠A＝（）°．故答案為：（）°．二、解答題（本大題共8個小題，共75分）16．如圖，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BE是△ABC的角平分線，BD是邊AC上的高．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）求∠DBE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，根據(jù)角平分線的定義求出∠CBE；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠DBC，結(jié)合圖形計算，得到答案．解：（1）∵∠A＝75°，∠C＝45°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，∵BE是△ABC的角平分線，∴∠CBE＝∠ABC＝30°；（2）在Rt△BDC中，∠C＝45°，∴∠DBC＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBE＝∠DBC﹣∠CBE＝45°﹣30°＝15°．17．如圖，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D，∠B＝60°．（1）試說明：△ABC≌△AED；（2）求∠AED的度數(shù)．【分析】（1）由∠1＝∠2得出∠BAC＝∠EAD，進而根據(jù)已知條件證明△ABC≌△AED（AAS）；（2）由（1）證得△ABC≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠AED＝∠B，進而得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD．在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）．（2）解：由（1）證得△ABC≌△AED，∵∠B＝60°，∴∠AED＝∠B＝60°．18．已知：如圖，點A、B、C、D在一條直線上，F(xiàn)B∥EA交EC于H點，EA＝FB，AB＝CD．（1）求證：△ACE≌△BDF；（2）若CH＝BC，∠A＝50°，求∠D的度數(shù)．【分析】（1）首先利用平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠FBD，根據(jù)AB＝CD即可得出AC＝BD，進而得出△ACE≌△BDF解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）∵FB∥EA，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△ACE與△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（SAS）；（2）解：∵△ACE≌△BDF，∴∠A＝∠FBD，∠D＝∠ACE，∵∠A＝50°，∴∠FBD＝50°，∵CH＝BC，∴∠FBD＝∠BHC＝50°，∴∠BCH＝180°﹣∠FBD﹣∠BHC＝80°，∴∠D＝80°．19．人教版初中數(shù)學教科書八年級上冊第35﹣36頁告訴我們作一個三角形與已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．作法：如圖．（1）畫B'C′＝BC；（2）分別以點B′，C′為圓心，線段AB，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A′；（3）連接線段A′B′，A′C′，則△A′B′C′即為所求作的三角形．請你根據(jù)以上材料完成下列問題：（1）在作圖過程中創(chuàng)造了什么條件？（2）依據(jù)作圖過程及其產(chǎn)生的條件證明△A′B′C′≌△ABC．【分析】（1）根據(jù)SSS證明三角形全等即可．（2）根據(jù)SSS證明三角形全等．【解答】（1）解：在作圖過程中創(chuàng)造的條件：A′B′＝AB，A′C′＝AC；（2）證明：在△A′B′C′和△ABC中，，∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．20．閱讀下面材料：在數(shù)學課上，老師提出如下問題：尺規(guī)作圖：已知：線段a，b．求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC邊上的高為b．小濤的作圖步驟如下：如圖（1）作線段BC＝a；（2）作線段BC的垂直平分線MN交線段BC于點D；（3）在MN上截取線段DA＝b，連接AB，AC．所以△ABC即為所求作的等腰三角形．老師說：“小濤的作圖步驟正確”．請回答：得到△ABC是等腰三角形的依據(jù)是：①線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；②有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷AB＝AC，AD⊥BC，然后根據(jù)等腰三角形的定義可判斷△ABC是等腰三角形．解：得到△ABC是等腰三角形的依據(jù)是：①線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；②有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．故答案為線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．21．如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均為邊長是1的正方形）中完成下列各題：（1）畫出格點△ABC（頂點均在格點上）關(guān)于直線DE對稱的△A1B1C1；（2）在DE上畫出點Q，使QA+QC最小．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于直線DE對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；（2）根據(jù)軸對稱確定最短路線問題連接A1C與DE的交點即為所求點Q．解：（1）△A1B1C1如圖所示；（2）點Q如圖所示．22．在等邊△ABC中，D為AC的中點，延長BC至點E，使CE＝DC，連接ED并延長交AB于點F．（1）求證：△DBE是等腰三角形；（2）DF與DE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【分析】（1）連接BD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB＝60°，得到∠DBC＝30°，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝BC，∠ABC＝60°，求得∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝30°，推出DE＝BD，于是得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接BD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵D為AC的中點，∴∠DBC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，∴∠E＝30°，