一、選擇題1.【2025高考北京文第7題】已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B考點(diǎn)：本小題主要考查兩圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查分析問題與解決問題的能力.2.【2025高考北京，文2】圓心為且過原點(diǎn)的圓的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可得圓的半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選D.【考點(diǎn)定位】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于容易題．解題時(shí)一定要抓住重要字眼“過原點(diǎn)”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即圓心，半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．3.【2025湖南文6】若圓與圓相外切，則（）【答案】C【解析】因?yàn)?所以且圓的圓心為,半徑為,根據(jù)圓與圓外切的判定(圓心距離等于半徑和)可得,故選C.【考點(diǎn)定位】圓與圓之間的外切關(guān)系與判斷【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)條件得到圓的半徑及圓心坐標(biāo)，然后根據(jù)兩圓滿足的幾何關(guān)系進(jìn)行列式計(jì)算即可.4.【2025全國2，文12】設(shè)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【考點(diǎn)定位】直線與圓的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題，直線與直線設(shè)出角的求法，數(shù)形結(jié)合是快速解得本題的策略之一．5.【2025四川，9文】設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（）A、B、C、D、【答案】B【解析】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，所以，令，則.因?yàn)椋?所以，.選B.法二、因?yàn)閮芍本€的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點(diǎn)定位】1、直線與圓；2、三角代換.【名師點(diǎn)睛】在幾何意義上表示點(diǎn)到與的距離之和，解題的關(guān)鍵是找點(diǎn)的軌跡和軌跡方程；也可以使用代數(shù)方法，首先表示出，這樣就轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題了.6.【2025高考四川，文10】設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB中點(diǎn)，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是()(A)(1，3)(B)(1，4)(C)(2，3)(D)(2，4)【答案】D當(dāng)t＝0時(shí)，若r≥5，滿足條件的直線只有1條，不合題意，若0＜r＜5，則斜率不存在的直線有2條，此時(shí)只需對應(yīng)非零的t的直線恰有2條即可.當(dāng)t≠0時(shí)，將m＝3－2t2代入△＝16t2＋16m，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3又由圓心到直線的距離等于半徑，可得d＝r＝由0＜t2＜3，可得r∈(2，4).選D【考點(diǎn)定位】本題考查直線、圓及拋物線等基本概念，考查直線與圓、直線與拋物線的位置關(guān)系、參數(shù)取值范圍等綜合問題，考查數(shù)形結(jié)合和分類與整合的思想，考查學(xué)生分析問題和處理問題的能力.【名師點(diǎn)睛】本題實(shí)質(zhì)是考查弦的中垂線過定點(diǎn)問題，注意到弦的斜率不可能為0，但有可能不存在，故將直線方程設(shè)為x＝ty＋m，可以避免忘掉對斜率不存在情況的討論.在對r的討論中，要注意圖形的對稱性，斜率存在時(shí)，直線必定是成對出現(xiàn)，因此，斜率不存在(t＝0)時(shí)也必須要有兩條直線滿足條件.再根據(jù)方程的判別式找到另外兩條直線存在對應(yīng)的r取值范圍即可.屬于難題.7.【2025年.浙江卷.文5】已知圓截直線所得弦的長度為4，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.【答案】B考點(diǎn)：直線與圓相交，點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，容易題.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓相交的弦長問題，解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)在討論有關(guān)直線與圓的相交弦問題時(shí)，如能充分利用好平面幾何中的垂徑定理，并在相應(yīng)的直角三角形中計(jì)算，往往能事半功倍．8.【2025，安徽文6】過點(diǎn)的直線與圓有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D．【解析】試題分析：如下圖，要使過點(diǎn)的直線與圓有公共點(diǎn)，則直線在與之間，因?yàn)?，所以，則，所以直線的傾斜角的取值范圍為.故選D.考點(diǎn)：1.直線的傾斜角；2.直線與圓的相交問題.【名師點(diǎn)睛】研究直線與圓的相交問題，應(yīng)牢牢記住三長關(guān)系，即半弦長、弦心距和半徑長之間形成的數(shù)量關(guān)系為.但在具體做題過程中，常利用數(shù)形結(jié)合的方程進(jìn)行求解，通過圖形會(huì)很快了解具體的量的關(guān)系.另外，直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系也是重要考點(diǎn)，告知斜率的范圍要能求出傾斜角的范圍，反之一樣.當(dāng)，斜率不存在.9.【2025高考安徽，文8】直線3x+4y=b與圓相切，則b=（）（A）-2或12（B）2或-12（C）-2或-12（D）2或12【答案】D【考點(diǎn)定位】本題主要考查利用圓的一般方程求圓的圓心和半徑，直線與圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用.【名師點(diǎn)睛】在解決直線與圓的位置關(guān)系問題時(shí)，有兩種方法；方法一是代數(shù)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，消元，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，通過判斷來確定直線與圓的位置關(guān)系；方法二是幾何法：主要是利用圓心到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，然后再將與圓的半徑進(jìn)行判斷，若則相離；若則相切；若則相交；本題考查考生的綜合分析能力和運(yùn)算能力.12.【2025上海,文18】已知與是直線y=kx+1（k為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于x和y的方程組的解的情況是（）（A）無論k，如何，總是無解（B)無論k，如何，總有唯一解（C）存在k，，使之恰有兩解（D）存在k，，使之有無窮多解【答案】B【解析】由題意，直線一定不過原點(diǎn)，是直線上不同的兩點(diǎn)，則與不平行，因此，所以二元一次方程組一定有唯一解．選B.【考點(diǎn)】向量的平行與二元一次方程組的解．【名師點(diǎn)睛】可以通過系數(shù)之比來判斷二元一次方程組的解的情況，如下列關(guān)于x,y的二元一次方程組：,當(dāng)a/d≠b/e時(shí)，該方程組有一組解。當(dāng)a/d=b/e=c/f時(shí)，該方程組有無數(shù)組解。當(dāng)a/d=b/e≠c/f時(shí)，該方程組無解。13.【2025福建,文6】已知直線過圓的圓心，且與直線垂直，則的方程是（）【答案】考點(diǎn)：圓的方程，直線的垂直，直線方程.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程與圓的方程及運(yùn)算能力.直線與圓的位置關(guān)系在高考中常以客觀題形式出現(xiàn)，本題中用到的垂直結(jié)論是：若直線的斜率分別為，則.14.【2025湖南文9】已知點(diǎn)A,B,C在圓上運(yùn)動(dòng)，且ABBC，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則的最大值為()A、6B、7C、8D、9【答案】B【解析】由題意，AC為直徑，所以,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B為（-1，0）時(shí)，取得最大值7，故選B.【考點(diǎn)定位】直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問題是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想.由平面幾何知識(shí)知，圓上的一點(diǎn)與圓外一定點(diǎn)距離最值在定點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取到．圓周角為直角的弦為圓的半徑，平面向量加法幾何意義這些小結(jié)論是轉(zhuǎn)化問題的關(guān)鍵.15.【2025新課標(biāo)2文7】已知三點(diǎn),則△外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為（）【答案】B【考點(diǎn)定位】本題主要考查圓的方程的求法,及點(diǎn)到直線距離公式.【名師點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是求出圓心坐標(biāo),本題解法中巧妙利用了圓的一個(gè)幾何性質(zhì)：圓的弦的垂直平分線一定過圓心,注意在求圓心坐標(biāo)、半徑、弦長時(shí)常用圓的幾何性質(zhì),如圓的半徑r、弦長l、圓心到弦的距離d之間的關(guān)系：在求圓的方程時(shí)常常用到.二、填空題1.【2025高考湖南，文13】若直線與圓相交于A,B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則=_____.【答案】【解析】如圖直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則圓心（0，0）到直線的距離為，.故答案為2.【考點(diǎn)定位】直線與圓的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】涉及圓的弦長的常用方法為幾何法：設(shè)圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則本題條件是圓心角，可利用直角三角形轉(zhuǎn)化為弦心距與半徑之間關(guān)系,再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式列等量關(guān)系.2.【2025山東.文14】圓心在直線上的圓與軸的正半軸相切，圓截軸所得弦的長為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】考點(diǎn)：圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、弦長問題.此類問題的基本解法有“幾何法”和“代數(shù)法”，涉及切線、弦長問題，往往利用圓心到直線的距離建方程求解.本題是一道能力題，在考查查直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查考生的計(jì)算能力、邏輯思維能力及數(shù)形結(jié)合思想.是一道常見題型，故考生易于正確解答.3.【2025高考重慶文第14題】已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為_________.【答案】0或6【解析】試題分析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：,所以圓的圓心在，半徑又直線與圓交于兩點(diǎn)，且,所以圓心到直線的距離.所以，，整理得：解得：或.考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與圓的位置關(guān)系；3、點(diǎn)到直線的距離公式.【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，本題屬于基礎(chǔ)題，注意仔細(xì)分析題目條件，將垂直條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是非常關(guān)鍵的.4.【2025高考重慶，文12】若點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為________.【答案】【考點(diǎn)定位】圓的切線.【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算，采用分母實(shí)數(shù)化和利用共軛復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行化解求解.本題屬于基礎(chǔ)題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.5.【2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷17】已知圓和點(diǎn)，若定點(diǎn)和常數(shù)滿足：對圓上那個(gè)任意一點(diǎn)，都有，則:（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：設(shè)，因?yàn)?，所以，整理得，配方得，因?yàn)閷A上那個(gè)任意一點(diǎn)，都有成立，所以，解得或（舍去）.故.考點(diǎn)：圓的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，二元二次方程組的解法，難度中等.【名師點(diǎn)睛】以圓的方程為載體，重點(diǎn)考查含參數(shù)方程的恒成立問題，其解題的關(guān)鍵是正確地使用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長度，準(zhǔn)確把握恒成立問題所需條件.充分體現(xiàn)了方程思想在數(shù)學(xué)問題中的重要性，能較好的考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的識(shí)記能力、綜合運(yùn)用能力.6.【2025高考湖北，文16】如圖，已知圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B（B在A的上方），且.（Ⅰ）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________；（Ⅱ）圓在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為_________.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.，解之得.即圓在點(diǎn)處的切線方程為，于是令可得，即圓在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，故應(yīng)填和.【考點(diǎn)定位】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的切線問題,屬中高檔題.【名師點(diǎn)睛】將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程與弦長問題聯(lián)系起來，注重實(shí)際問題的特殊性，合理的挖掘問題的實(shí)質(zhì)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)和知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，滲透著方程的數(shù)學(xué)思想，能較好的考查學(xué)生的綜合知識(shí)運(yùn)用能力.其解題突破口是觀察出點(diǎn)的橫坐標(biāo).7.【2025江蘇，13】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在圓上,若則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是▲.【答案】【考點(diǎn)】直線與圓，線性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)、直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.三、解答題1.【2025高考廣東，文20】（本小題滿分14分）已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，．（1）求圓的圓心坐標(biāo)；（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．【解析】試題分析：（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓的圓心坐標(biāo)；（2）先設(shè)線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程，再由圓的性質(zhì)可得點(diǎn)滿足的方程，進(jìn)而利用動(dòng)直線與圓相交可得的取值范圍，即可得線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；（3）先說明直線的方程和曲線的方程表示的圖形，再利用圖形可得當(dāng)直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍，進(jìn)而可得存在實(shí)數(shù)，使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)．試題解析：（1）圓化為，所以圓的圓心坐標(biāo)為（2）設(shè)線段的中點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可得垂直于直線.設(shè)直線的方程為（易知直線的斜率存在），所以，，所以，所以，即.因?yàn)閯?dòng)直線與圓相交，所以，所以.所以，所以，解得或，又因?yàn)?，所?所以滿足即的軌跡的方程為.（3）由題意知直線表示過定點(diǎn)，斜率為的直線.結(jié)合圖形，表示的是一段關(guān)于軸對稱，起點(diǎn)為按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到的圓弧.根據(jù)對稱性，只需討論在軸對稱下方的圓弧.設(shè)，則，而當(dāng)直線與軌跡相切時(shí)，，解得.在這里暫取，因?yàn)椋?結(jié)合圖形，可得對于軸對稱下方的圓弧，當(dāng)或時(shí)，直線與軸對稱下方的圓弧有且只有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對稱性可知：當(dāng)或時(shí)，直線與軸對稱上方的圓弧有且只有一個(gè)交點(diǎn).綜上所述，當(dāng)或時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn).考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與圓的位置關(guān)系.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系，屬于難題．解題時(shí)一定要注意關(guān)鍵條件“直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓的位置關(guān)系，即圓的圓心，直線與圓相交（是圓心到直線的距離），直線與圓相切（是圓心到直線的距離）．2.【2025高考新課標(biāo)1，文20】（本小題滿分12分）已知過點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓C：交于M，N兩點(diǎn).（=1\*ROMANI）求k的取值范圍；（=2\*ROMANII），其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求.【答案】（=1\*ROMANI）（=2\*ROMANII）2【解析】試題分析：（=1\*ROMANI）設(shè)出直線l的方程，利用圓心到直線的距離小于半徑列出關(guān)于k的不等式，即可求出k的取值范圍；（=2\*ROMANII）設(shè)，將直線l方程代入圓的方程化為關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理將用k表示出來，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式及列出關(guān)于k方程，解出k，即可求出|MN|.試題解析：（=1\*ROMANI）由題設(shè)，可知直線l的方程為.因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以.解得.所以的取值范圍是.由題設(shè)可得，解得，所以l的方程為.故圓心在直線l上，所以.考點(diǎn)：直線與圓