會計學(xué)1概率論41數(shù)學(xué)(shùxué)期望第一頁，共28頁。2引例(yǐnlì)：某大學(xué)一位教師給15位研究生上課，期末考試成績?nèi)缦拢?2，81，90，85，76，90，80，8378，75，63，73，30，82，90教學(xué)院長(yuànchánɡ)認(rèn)為：試題太容易，因為得90分的就有3人！系主任認(rèn)為：考題偏難，因為(yīnwèi)平均成績76.5分！該教師認(rèn)為：考題適宜，因為從總體看80分是有代表性的，多于80分和少于80分的人數(shù)相等！???究竟誰的話更有道理？第1頁/共28頁第二頁，共28頁。3分布函數(shù)能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計特性，但在一些實際問題中，只需知道(zhīdào)隨機變量的某些特征，因而不需要求出它的分布函數(shù)。評定某企業(yè)的經(jīng)營能力時，只要知道該企業(yè)人均(rénjūn)贏利水平；研究水稻品種優(yōu)劣時，我們關(guān)心的是稻穗(dàosuì)的平均粒數(shù)及每粒的平均重量；考察一射手的水平，既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高，還要看他彈著點的范圍是否小，即數(shù)據(jù)的波動是否小。

第2頁/共28頁第三頁，共28頁。4由上面例子看到，與隨機變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述隨機變量，但能清晰地描述隨機變量在某些方面的重要特征，這些數(shù)字特征在理論和實踐(shíjiàn)上都具有重要意義。隨機變量某一方面的概率(gàilǜ)特性都可用數(shù)字來描寫

隨機變量的平均取值

——

數(shù)學(xué)期望隨機變量的取值平均偏離平均值的情況

——

方差描述兩個隨機變量之間的某種關(guān)系的數(shù)

——

協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)數(shù)字特征第3頁/共28頁第四頁，共28頁。5定義設(shè)離散型隨機變量X

的分布律為

P{X=xk}=pk(k=1,2,…)若級數(shù)絕對收斂，即通常記數(shù)學(xué)(shùxué)期望為E(X)則稱為X

的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。離散(lísàn)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望§4.1數(shù)學(xué)(shùxué)期望第4頁/共28頁第五頁，共28頁。6例1已知離散型隨機變量X的可能(kěnéng)值為x1=1,x2=0,x3=1，且E(X)=0.1,E(X2)=0.9。求對應(yīng)于可能(kěnéng)值x1,x2,x3的概率p1,p2,p3。解:并且(bìngqiě)p1+p2+p3=1E(X)=(1)

p1+0p2+1p3=0.1X201Pp2

p1+p3

E(X2)=0p2+1(p1+p3)=0.9計算(jìsuàn)可知p1=0.4,p2=0.1,p3=0.5第5頁/共28頁第六頁，共28頁。7常見離散(lísàn)型分布的期望(1)(0-1)分布(fēnbù)（即兩點分布(fēnbù)）X～B(1,p)X01P1

p

p數(shù)學(xué)(shùxué)期望E(X)=0(1p)+1p=p隨機變量X取0與1兩個值，其概率分別為1-p和p，分布律為第6頁/共28頁第七頁，共28頁。8(2)二項分布X～B(n,p)

第7頁/共28頁第八頁，共28頁。9(3)泊松分布(fēnbù)X～P()令i=k1

可得=e

e

=

第8頁/共28頁第九頁，共28頁。10常見(chánɡjiàn)離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望分布數(shù)學(xué)期望概率分布參數(shù)為p

的

0-1分布p二項分布

B(n,p)np泊松分布

P(

)

第9頁/共28頁第十頁，共28頁。11定義設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)。若積分絕對收斂，即則稱積分為X的數(shù)學(xué)期望。通常(tōngcháng)記為E(X)連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)(shùxué)期望第10頁/共28頁第十一頁，共28頁。12常見(chánɡjiàn)連續(xù)型分布的期望(1)均勻分布X～U(a,b)=X的概率密度為由定義可知(kězhī)X的數(shù)學(xué)期望為第11頁/共28頁第十二頁，共28頁。13(2)指數(shù)分布=X的概率密度為由定義可知(kězhī)X的數(shù)學(xué)期望為利用定積分公式第12頁/共28頁第十三頁，共28頁。14(3)正態(tài)分布X～(

,

2)令可得=

X的概率密度為由定義可知X的數(shù)學(xué)(shùxué)期望為奇函數(shù)和偶函數(shù)的乘積(chéngjī)第13頁/共28頁第十四頁，共28頁。15分布數(shù)學(xué)期望概率密度

區(qū)間(a,b)上均勻分布指數(shù)分布

E(

)正態(tài)分布

N(,2)常見(chánɡjiàn)連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望第14頁/共28頁第十五頁，共28頁。16設(shè)已知隨機變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個(mǒuɡè)函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望。那么應(yīng)該如何計算呢？隨機變量的函數(shù)(hánshù)的數(shù)學(xué)期望一種方法(fāngfǎ)是:因為g(X)也是隨機變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由X的分布求出來。一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計算出來.

但是使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的。第15頁/共28頁第十六頁，共28頁。17是否(shìfǒu)可以不求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的兩個(liǎnɡɡè)基本定理指出，答案是肯定的。下述兩個定理(dìnglǐ)的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了。這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便。第16頁/共28頁第十七頁，共28頁。18定理(dìnglǐ)設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)，即Y=g(X)，其中g(shù)(x)是連續(xù)函數(shù)：(1)設(shè)X是離散(lísàn)型隨機變量，分布律為P(X=xk)=pk(k=1,2,…)絕對收斂，則有若(2)設(shè)X是連續(xù)型隨機變量(suíjībiànliànɡ)，概率密度為f(x)。絕對收斂，則有若第17頁/共28頁第十八頁，共28頁。19定理(dìnglǐ)設(shè)Z=g(X,Y)是二維隨機變量(X,Y)的函數(shù)，其中g(shù)為連續(xù)函數(shù)：(1)設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量(suíjībiànliànɡ)，其分布律為P(X=xi，Y=yj)=pij(i,j=1,2,…)若級數(shù)絕對收斂，則有特別(tèbié)的第18頁/共28頁第十九頁，共28頁。20(2)設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機變量(suíjībiànliànɡ)，其概率密度為f(x,y)。若積分絕對收斂，則有特別(tèbié)的第19頁/共28頁第二十頁，共28頁。21例2設(shè)隨機變量(suíjībiànliànɡ)(X,Y)的分布律如下:解:E(XY)=010.15+020.15+110.45+120.25=0.95XY12010.150.150.450.25求E(XY)第20頁/共28頁第二十一頁，共28頁。22

解：例3設(shè)(X,Y)在區(qū)域A上服從均勻分布，其中(qízhōng)A為x軸，y軸和直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域。求E(X)，E(-3X+2Y)，E(XY)。由題設(shè)可知(kězhī)第21頁/共28頁第二十二頁，共28頁。23數(shù)學(xué)期望(qīwàng)的性質(zhì)性質(zhì)(xìngzhì)1（保常數(shù)）對于常數(shù)a，有E(a)=a性質(zhì)(xìngzhì)2（保線性）E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c性質(zhì)3（保加法）E(X

Y)=E(X)

E(Y)第22頁/共28頁第二十三頁，共28頁。24性質(zhì)(xìngzhì)4（單調(diào)性）若隨機變量X0，則有E(X)0若X1X2，則有E(X1)E(X2)性質(zhì)(xìngzhì)5（有界性）若aXb，則有aE(X)b性質(zhì)(xìngzhì)6|E(X)|E(|X|)性質(zhì)7（柯西-許瓦茲不等式）

若E(X2)，E(Y2)均存在，則E(XY)存在，且有第23頁/共28頁第二十四頁，共28頁。25性質(zhì)8設(shè)隨機變量(suíjībiànliànɡ)X與Y相互獨立，則有E(XY)=E(X)E(Y)由獨立性假設(shè)可知第24頁/共28頁第二十五頁，共28頁。26若E(XY)=E(X)E(Y)，則X和Y不一定(y