中科大概率論題庫及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為兩個(gè)隨機(jī)事件，且\(P(A)>0\)，\(P(B)>0\)，則“\(A\)與\(B\)相互獨(dú)立”是“\(P(A|B)=P(A)\)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.已知隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(2,\sigma^{2})\)，且\(P(X<4)=0.8\)，則\(P(0<X<2)\)等于（）A.0.6B.0.4C.0.3D.0.23.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}k(1-x^{2}),-1<x<1\\0,\text{其他}\end{cases}\)，則\(k\)的值為（）A.\(\frac{3}{4}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{2}\)4.已知\(X\)，\(Y\)為兩個(gè)隨機(jī)變量，且\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，則\(E(3X-2Y)\)等于（）A.0B.-2C.2D.65.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，且\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^{2}\)，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)的方差\(D(\overline{X})\)為（）A.\(\sigma^{2}\)B.\(\frac{\sigma^{2}}{n}\)C.\(n\sigma^{2}\)D.\(\frac{\sigma^{2}}{n^{2}}\)6.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)等于（）A.1B.2C.3D.47.設(shè)\(A\)，\(B\)是兩個(gè)互斥事件，且\(P(A)=0.3\)，\(P(B)=0.5\)，則\(P(A\cupB)\)等于（）A.0.3B.0.5C.0.8D.0.158.已知隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)=\begin{cases}0,x<0\\\frac{x}{2},0\leqx<1\\1,x\geq1\end{cases}\)，則\(P(X=1)\)等于（）A.0B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.\(\frac{3}{4}\)9.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,1)\)，則\(Z=X+Y\)服從（）A.\(N(0,2)\)B.\(N(1,2)\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(1,1)\)10.設(shè)總體\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，\(\sigma^{2}\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}\)為樣本均值，則\(\mu\)的置信水平為\(1-\alpha\)的置信區(qū)間為（）A.\((\overline{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2},\overline{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2})\)B.\((\overline{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1),\overline{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1))\)C.\((\overline{X}-\frac{s}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2},\overline{X}+\frac{s}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2})\)D.\((\overline{X}-\frac{s}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1),\overline{X}+\frac{s}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1))\)答案：1.C2.C3.A4.B5.B6.B7.C8.A9.B10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于概率的性質(zhì)正確的有（）A.\(0\leqP(A)\leq1\)B.\(P(\varnothing)=0\)C.\(P(\Omega)=1\)D.若\(A\subseteqB\)，則\(P(A)\leqP(B)\)2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的分布律為\(P(X=k)=\frac{a}{2^{k}}\)，\(k=1,2,\cdots\)，則\(a\)的值可以是（）A.1B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{4}\)3.下列哪些是離散型隨機(jī)變量的分布（）A.二項(xiàng)分布B.泊松分布C.正態(tài)分布D.均勻分布4.設(shè)\(X\)，\(Y\)為隨機(jī)變量，且\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，\(\text{Cov}(X,Y)=3\)，則（）A.\(\rho_{XY}=\frac{1}{2}\)B.\(D(X+Y)=16\)C.\(D(X-Y)=4\)D.\(D(X+Y)=19\)5.關(guān)于總體和樣本，下列說法正確的是（）A.樣本是從總體中抽取的一部分個(gè)體B.樣本具有隨機(jī)性C.總體的分布未知時(shí)，可通過樣本推斷總體D.樣本容量越大，對(duì)總體的推斷越準(zhǔn)確6.設(shè)\(A\)，\(B\)，\(C\)為隨機(jī)事件，則下列等式成立的是（）A.\(A\cup(B\capC)=(A\cupB)\cap(A\cupC)\)B.\((A\capB)^C=A^C\cupB^C\)C.\(A-B=A\capB^C\)D.\(A\cap(A\cupB)=A\)7.若隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，則（）A.\(E(X)=\mu\)B.\(D(X)=\sigma^{2}\)C.\(X\)的概率密度函數(shù)關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱D.\(P(X\leq\mu)=\frac{1}{2}\)8.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}\)為樣本均值，\(S^{2}\)為樣本方差，則（）A.\(E(\overline{X})=E(X)\)B.\(D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}\)C.\(E(S^{2})=D(X)\)D.\(\overline{X}\)與\(S^{2}\)相互獨(dú)立9.下列關(guān)于矩估計(jì)法的說法正確的是（）A.用樣本矩估計(jì)總體矩B.不需要知道總體的分布形式C.計(jì)算簡單D.得到的估計(jì)量是唯一的10.設(shè)\(X\)，\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，且\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則（）A.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)B.\(D(XY)=D(X)D(Y)\)C.\(\text{Cov}(X,Y)=0\)D.\(P(X\leqx,Y\leqy)=P(X\leqx)P(Y\leqy)\)答案：1.ABCD2.C3.AB4.AB5.ABCD6.ABCD7.ABCD8.ABC9.AC10.ACD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(P(A)+P(B)=1\)，則\(A\)與\(B\)為對(duì)立事件。（）2.隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)是單調(diào)不減函數(shù)。（）3.兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于它們各自方差之和。（）4.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(E(X)\)的無偏估計(jì)。（）5.設(shè)\(A\)，\(B\)為隨機(jī)事件，若\(A\)與\(B\)互斥，則\(P(AB)=0\)。（）6.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)\(f(x)\)的圖像是關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱的。（）7.若隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(n\)，\(p\)的二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)，則\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)。（）8.極大似然估計(jì)法一定能得到總體參數(shù)的唯一估計(jì)值。（）9.設(shè)\(X\)為隨機(jī)變量，\(a\)，\(b\)為常數(shù)，則\(D(aX+b)=a^{2}D(X)\)。（）10.對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)，都有\(zhòng)(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\text{Cov}(X,Y)\)。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.√6.×7.√8.×9.√10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述概率的公理化定義。答案：設(shè)\(E\)是隨機(jī)試驗(yàn)，\(\Omega\)是它的樣本空間，對(duì)于\(E\)的每一事件\(A\)賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為\(P(A)\)，若\(P(A)\)滿足：非負(fù)性\(P(A)\geq0\)；規(guī)范性\(P(\Omega)=1\)；可列可加性，對(duì)兩兩互斥事件\(A_1,A_2,\cdots\)，有\(zhòng)(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)，則稱\(P(A)\)為事件\(A\)的概率。2.簡述離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別。答案：離散型隨機(jī)變量的取值是可列個(gè)或有限個(gè)，其概率分布用分布律表示；連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿某個(gè)區(qū)間，通過概率密度函數(shù)描述概率分布，取某一具體值概率為0，離散型取特定值有非零概率。3.什么是無偏估計(jì)？答案：設(shè)\(\hat{\theta}\)是總體參數(shù)\(\theta\)的一個(gè)估計(jì)量，若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無偏估計(jì)。即估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的參數(shù)，意味著從平均意義上看，估計(jì)量能準(zhǔn)確估計(jì)參數(shù)。4.簡述中心極限定理的意義。答案：中心極限定理表明，在一定條件下，大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布。無論這些隨機(jī)變量原來服從什么分布，只要滿足條件，總和的分布都趨于正態(tài)。這為用正態(tài)分布近似處理復(fù)雜隨機(jī)變量和的問題提供了理論依據(jù)。五、討論題（每題5分，共4題）1.在實(shí)際生活中，舉例說明概率知識(shí)的應(yīng)用。答案：比如保險(xiǎn)行業(yè)，通過計(jì)算不同人群、不同風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生的概率來制定保險(xiǎn)費(fèi)率；抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，利用概率計(jì)算中獎(jiǎng)可能性；投資領(lǐng)域，分析股票漲跌概率輔助決策等。概率能幫助人們?cè)u(píng)估風(fēng)險(xiǎn)、做出合理規(guī)劃。2.討論如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)推斷總體的特征。答案：可通過計(jì)算樣本均值、方差等統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體均值、方差等參數(shù)。用矩估計(jì)法、極大似然估計(jì)法得到總體參數(shù)估計(jì)值。還可進(jìn)行區(qū)間估計(jì)給出總體參數(shù)的取值范圍。通過假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)總體分布或參數(shù)的某種假設(shè)進(jìn)行判斷，以推斷總體特征。3.說說你對(duì)隨機(jī)變量獨(dú)立性的理解及在實(shí)