第16講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

鏈教材夯基固本

激活思維

1.(人A選必二P87練習(xí)Tl(2)改)函數(shù)/(x)=e"-x的單調(diào)遞減區(qū)間為(C)

A.(1,+°°)B.(0,+00)

C.(―8,0)D.(―8,1)

【解析】1,令/(x)=ex—1<0,得％<0,所以加)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,

0).

2.已知函數(shù)人x)=$3+機(jī)/+內(nèi)+1的單調(diào)遞減區(qū)間是(一3,1),則加十幾的值為(A)

A.-2B.2

C.-3D.1

【解析】由題設(shè)，/(》)=9+2如(:+〃，由?r)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一3,1),得/(x)<0

的解集為(-3,1),則一3,1是/(x)=0的解，所以一2%=—3+1=—2,”=1義(-3)=-3,

可得m=1,"=-3,故加+”=-2.

3.(人A選必二P89練習(xí)T3改)(多選)已知函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，那么下列關(guān)于

函數(shù)y=*x)的判斷正確的是(BD)

A.在區(qū)間(0,°)上，段)為定值

B.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)單調(diào)遞增

C.函數(shù)>=兀0在區(qū)間(c,e)內(nèi)單調(diào)遞增

D.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(6,3內(nèi)單調(diào)遞減

【解析】由圖知，當(dāng)0<x<a時(shí)，/(x)>0且為定值；當(dāng)a<x<c時(shí)，力>)單調(diào)遞減，

且當(dāng)xd(a,6)時(shí)，/(x)>0,當(dāng)c)時(shí)，〃x)<0；當(dāng)c<x<e時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，且當(dāng)

%e(c,㈤時(shí)，/任)<0,當(dāng)xG5,e)時(shí)，/(x)>0,所以當(dāng)0<x<a時(shí)，")單調(diào)遞增且為斜率

大于0的直線，當(dāng)時(shí)，/)單調(diào)遞增，當(dāng)6cx<c時(shí)，加)單調(diào)遞減，當(dāng)c<x<d時(shí),

人x)單調(diào)遞減，當(dāng)d<x<e時(shí)，八乃單調(diào)遞增，其大致圖象如圖.

4.(人A選必二P89練習(xí)Tl(2)改)函數(shù)/(x)=x3-x2—x的單調(diào)遞增區(qū)間為----'―3)^

(1,+8)_.

【解析】因?yàn)樨)=x3—X?—x,所以/(x)=3x2—2x—1=(x—l)(3x+1).令/(x)>0,解得

X>1或X<—所以函數(shù)八X)的單調(diào)遞增區(qū)間為〔一8'―J和(1,+8).

5.若函數(shù)人x)=-x2+4x+61nx在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)6的取值范圍是

_(-8,-2].

【解析】因?yàn)?(x)=—x?+4x+6Inx在(0,+8)上是減函數(shù)，所以/(x)W0在(0,+°°)

上恒成立，即/(x)=—2工+4+e<0(》>0),即6W2x2—4x(x>0).因?yàn)閤>0時(shí)，2x?—4x=2(x

x

一1)2—2^—2,所以6W—2.

聚焦知識(shí)

1.求可導(dǎo)函數(shù)段)單調(diào)區(qū)間的步驟：

(1)確定的一定義域_；

(2)求導(dǎo)數(shù)/(X)；

(3)在定義域內(nèi)解不等式/(x).二0(或/(x)_￡0),得函數(shù)40的單調(diào)遞增(減)區(qū)間；

(4)當(dāng)_%x)>0一時(shí),於)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)_%x)<0一時(shí),")在相應(yīng)區(qū)間上是減

函數(shù).

2.常用結(jié)論

(l)/(x)>0(或〃%)<0)是於)在(a,6)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件.

(2)/(x)》0(或/(MWOX/Xx)不恒等于0)是人x)在(a,6)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充要條件.

(3)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)於)，"/(xo)=O”是“函數(shù)加)在x=xo處有極值”的必要不充分條件.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說法

目幀U函數(shù)單調(diào)性的判斷

視角1不含參函數(shù)

例1-1(1)(2024?懷化二模)已知於)=2x2—3x—lnx,則"x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(1,+

8).

【解析】函數(shù)/(x)=2x2—3x—Inx的定義域?yàn)?0,+°°),求導(dǎo)得〃x)=4x—3—1=

(4X+1)(L1),由八工)>0,得X>1,所以人x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

x

(2)(2024?淮北二模節(jié)選)已知函數(shù)於)=cos2x+x2—1,記g(x)=/(%)，試判斷g(x)在

［o,3上的單調(diào)性.

f0匹］

【解答】ga)=/(x)=-2sin2x+2x=2(x—sin2x),貝UJ(x)=2(l—2cos2x),當(dāng)'2J

時(shí)，令g'(x)>0,得cos2xV：解得工金卜J，令g'(x)V0,得cos2x>g,解得xj”以,

所以g(x)在(°，j上單調(diào)遞減，在J上單調(diào)遞增.

〈總結(jié)提燎a

確定不含參函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意：一是不能漏掉

求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號(hào)”或“和”隔開.

變式1-1(2024?開封三模節(jié)選)已知函數(shù)/)=x3—31nx,/(x)為小)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)

g(x)=/(x)—/(x)—9的單調(diào)區(qū)間.

X

【解答】依題意，g(x)=/(x)—/(x)—9=X3—31nx—3/—￡則g(x)=3x2—6x—

xxxx2

3x(x_2)+3(2：x)=3(x3—?(x—2),工>0.令g，(x)=0,解得x=1或x=2.當(dāng)x變化時(shí)，g(x),

X2X2

g(x)的變化情況如下表所示：

X(0.1)1(1，2)2(2,+8)

g'(x)+0—0+

g(x)/極大值極小值

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(2,+-).

視角2含參函數(shù)

例1-2(1)(2025?肇慶期初聯(lián)考)已知a>0,函數(shù)於)=e"-(a—l)x-ln0,討論/(x)的

單調(diào)性.

【解答】加)的定義域?yàn)镽,/(x)=d—(a—1).當(dāng)0<a〈l時(shí)，f(x)>0,則於)在R上

單調(diào)遞增；當(dāng)。>1時(shí)，令/(x)>0,解得x>ln(a—1),令［(x)<0,解得x<ln(a—1),所以

八%)在(In(0—1),+8)上單調(diào)遞增，在(一8,in(a—l))上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)0<aWl

時(shí)，段)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a>l時(shí)，於)在(ln(a-l),+8)上單調(diào)遞增，在(一8,足(0

—1))上單調(diào)遞減.

(2)(2025?德州期初節(jié)選)已知函數(shù)火x)=lnx+ax2—(a+2)x.若0V.W2,討論函數(shù)加)的

單調(diào)性.

【解答】作)的定義域?yàn)?0,+8),/(X)=1+2辦一(。+2)=92—、+2)x+(=

XX

(2x—1)(辦一口①當(dāng)0<。<2時(shí),1>1，當(dāng)xe[0,J時(shí),/(x)>0,")單調(diào)遞增，當(dāng)x^2'J

xa2

fl+°o]1

時(shí)，/(x)<0,Hx)單調(diào)遞減，當(dāng)xeL5J時(shí)，/(x)>0,兀o單調(diào)遞增；②當(dāng)。=2時(shí)，L=

a

/(x)N0恒成立，故危)在(0,+8)上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)0<。<2時(shí)，兀0在[0'I)

和I，/8)上單調(diào)遞增，在:]上單…當(dāng)—+…調(diào)遞增.

〈總結(jié)提煉A

(1)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，要根據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論，如：開口

方向、是否有解、解是否在定義域的取值范圍內(nèi)、解之間的大小關(guān)系等.

(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).

(3)個(gè)別導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如：fix)=x3,/(x)=3x2N0(/(x)=0在

x=O時(shí)取到)，/(x)在R上是增函數(shù).

變式1-2(2024?武漢4月調(diào)研)已知函數(shù)於)=lnx—ax+N.

(1)若。=—1,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,八1))處的切線方程；

【解答】當(dāng)a=~l時(shí),?=lnx+x+x2,f(x)=-+l+2x,/(1)=4,火1)=2,故所求

切線方程為y=4(x—1)+2,整理得y=4x—2.

(2)討論人勸的單調(diào)性.

10丫2—a丫-I-1

【解答】f(x)=-~a+2x=—x>0.當(dāng)aWO時(shí)，/(x)>0,{x)在(0,+°°)±

XX

單調(diào)遞增.當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)于〉=2「一辦+1,/=層一8,若0<aW2也，貝i]/WO,此時(shí)/(x)20,

市)在(0,+8)上單調(diào)遞增.若0>2/，令2/一辦+1=0,得x二8±7屋—8,當(dāng)0<工<

4

時(shí),/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>土k0時(shí),了(%)>0,4)單調(diào)遞增；當(dāng)aS—8

444

〈尤〈士應(yīng)三時(shí)，/(x)<0,{x)單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)aW2d2時(shí)，人x)在(0,十8)上單

4

r22

1oa--\ja—^p+^/tz—8+1

調(diào)遞增；當(dāng).>2々2時(shí)，"c)在〔’4J,I4'J上單調(diào)遞增，在

fa—\/a2—8a+A/O2—81

I—4，——4―J上單調(diào)遞減.

目幀舊結(jié)合函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)

例2(1)若函數(shù)八%)=(%2+加工)守在1——2,1」上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)用的取值范

r3]

圍是一I—F_.

【解析】/(%)=(2%+加)6%+(X2+冽%)^=[X2+(冽+2)%+加上”，則原問題等價(jià)于/(x)<0

1JriJ」」

在12'」上有解，即/+(加+2)%+冽V0在12'」上有解，即加V在12'」上

x+1

有解.因?yàn)橐弧ⅰ?x=且一(x+i)+」—在]―2'1上單調(diào)遞減，所以

x+1x+1x+1

ir—1+ii]3

當(dāng)X=-時(shí)，Vmax=-I2J+—i=~,所以刃〈￡

2~-+122

2

(2)(2024?上饒一模)若函數(shù)")=》3—：辦2+6%在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃的取

值范圍為一(一8,6gl.

【解析】因?yàn)殪?"一8+6、，所以小)=38"+6.因?yàn)楹瘮?shù)/)=4#+6x

在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增，所以/(x)=3N—辦+620在(1,3)上恒成立,即x￡(l,3)時(shí)，aW3x

+§恒成立.因?yàn)閤￡(l,3)時(shí)，3x+§三2、,3xX§=6啦，當(dāng)且僅當(dāng)％=也時(shí)等號(hào)成立，即

XX\1X

IX)=6也，所以aW6偵.

〈總結(jié)提煉〉

由函數(shù)fix)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法：

(1)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上/(x)NO(或/(x)WOXf(x)在該

區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0)恒成立；

(2)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是/(x)>0(或/(x)<0)在該區(qū)間上

存在解集；

(3)若已知外)在區(qū)間/上的單調(diào)性，區(qū)間/中含有參數(shù)時(shí)，可先求出外)的單調(diào)區(qū)間，

令/是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍.

題組翼翟

1.(2023?新高考II卷)已知函數(shù)")=ae>-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最

小值為(C)

A.e2B.e

C.e-1D.e-2

【解析】依題可知，/(切=。^一120在(1,2)上恒成立，顯然。>0,所以設(shè)g(x)

xa

xe(l,2),則g，(x)=(x+l)e">0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，g(x)>g(l)=e,故

即a2l=e」，即a的最小值為e-1.

ae

2.若函數(shù)〃(x)=lnx—在［1,4］上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

_(—1,+8)_.

【解析】因?yàn)榱?x)在［1,4］上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以〃(x)=L—"一2<0在［1,4］±

有解，所以當(dāng)Xd［l,4］時(shí)，a>=—2有解，而當(dāng)日1,4］時(shí)，2上T)—1,bx)

X2XX2X

=-1(此時(shí)x=l),所以0>一1.mm

3,若函數(shù)")=》3—12x在區(qū)間/-1,4+1)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是(B)

A.(—8,-3］U［-1,1］U［3,+8)

B.(-3,-1)U(1,3)

C.(-2,2)

D.不存在這樣的實(shí)數(shù)左

【解析】由題意得/(x)=3x2—12=0在(后一1,左+1)上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，又/。)=3爐

—12=0的根為±2,且/(x)在x=2和x=-2兩側(cè)異號(hào)，而區(qū)間(左一1,左+1)的區(qū)間長(zhǎng)度為2,

故只有2或一2在(左一1,4+1)內(nèi)，所以k—1<2<發(fā)+1或k—1<—2<左+1,所以1<左<3

或一3<上<一1.

隨堂內(nèi)化

1.(2025?煙臺(tái)期中)已知函數(shù)>=/)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，｛x)=$3一$2

一2x.若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a—1,a］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(C)

A.(-00,—2］B.(―0°,—1］

C.［-1,2］D.［2,+°0)

【解析】當(dāng)x20時(shí)，/(x)=x2—x—2=(x—2)(x+l),顯然x+l>0,令/(x)>0得x>

2,令/(x)<0得0Wx<2,故y=/(x)在［0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.又了=

是定義在R上的奇函數(shù)，故y=/(x)在(一2,0)上單調(diào)遞減，在(一8,—2)上單調(diào)遞增，

又大0)=0,故y=/(x)在R上為連續(xù)函數(shù)，故y=/(x)在區(qū)間［―2,2］上單調(diào)遞減.又y=/(x)

在區(qū)間［a—1,a］上單調(diào)遞減，所以解得一

2.(2024?北京卷改編)函數(shù)人x)=x—In(1+x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_(一1,0)_；單調(diào)遞增區(qū)

間是_(0,+8)_.

1Y

【解析】?=x-ln(l+x),/(x)=l———1),當(dāng)xG(—1,0)時(shí)，/(x)<0,

1+x1+x

人x)單調(diào)遞減，當(dāng)XG(O,+8)時(shí)，/(x)>0,人X)單調(diào)遞增，則40的單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,

0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+-).

3.(2024?濱州二模)若函數(shù)外)=履2—H在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)上的取值范

f-oo5

圍是一l——aJ_.

【解析】y(x)=Ax2—eY,求導(dǎo)得/(x)=2Ax—巴由兀v)在(0,+8)上單調(diào)遞減，得

(0,+8),/(x)W0Q2q-eW0,即2左W4令g(x)=更，x>0,求導(dǎo)得g'(x)=(x—當(dāng)。

<x<l時(shí)，g<x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，g<x)>0,因此函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)

上單調(diào)遞增，g(x)mm=g(l)=e,則”We,解得左W］所以實(shí)數(shù)人的取值范圍是1一8'2一

4.(2025?八省聯(lián)考)已知曲線C：y^x3--,兩條直線3/2均過坐標(biāo)原點(diǎn)。，/i和C交

x

于M,N兩點(diǎn)，/2和。交于尸，。兩點(diǎn).若△。尸”的面積為也，則△VN。的面積為_2啦

「溫馨疆示,

I

\____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________)

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配套精練

A組夯基精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.函數(shù)人x)=N-41nx+2x—3的單調(diào)遞減區(qū)間是(C)

A.(1,+°0)

B.(-2,1)

C.(0,1)

D.(—8,—2)和(1,+00)

【解析】/(x)=x2-41nx+2x-3的定義域?yàn)?0,+°°),f(x)=2x--+2^2(x+2)(x-1),

XX

由/(x)<0得所以函數(shù)/(x)=x2—41nx+2x—3的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).

2.(2024?上饒一模)已知函數(shù)/)=xe*,則下列說法正確的是(C)

A.7(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x)=(x—l)d

B.7(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞減

C.段)的最小值為一L

e

D.7(x)的圖象在x=0處的切線方程為y=2x

【解析】對(duì)于A,7(x)=xe\/(乃=廿十%廿二仁+口廿，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,C,當(dāng)x>

—1時(shí)，/(x)〉0,函數(shù)加)單調(diào)遞增，當(dāng)x<—1時(shí)，/(x)VO,函數(shù)於)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x

=—1時(shí)，函數(shù)段)的最小值為八一1)=-1,故B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D,因?yàn)榱?0)=1,次0)

e

=0,所以兀0的圖象在x=0處的切線方程為了=心故D錯(cuò)誤.

3.若函數(shù)八》)=2/一Inx在定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間伏-1,左+1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)

數(shù)左的取值范圍是(A)

C.(1,2]D.[1,2)

14丫2—1

【解析】顯然函數(shù)人x)的定義域?yàn)?0,+8),/(x)=4x,=竺一.由了(x)>0,得函數(shù)

XX

於)的單調(diào)遞增區(qū)間為匕'+coJ；由/(x)<0,得函數(shù)兀0的單調(diào)遞減區(qū)間為10'因?yàn)楹瘮?shù)

11a

加)在區(qū)間(左一1,左+1)上不是單調(diào)函數(shù)，所以左一Kg〈左+i,解得一]<左V].又因?yàn)?左一1,

左+1)為定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間，所以左一1N0,即上21.綜上，實(shí)數(shù)左的取值范圍是[1'J.

4.(2024?汕頭二模)已知函數(shù)4)=ae<—lnx在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的最大

值為(C)

cD.!

-ie5

【解析】由題知1,因?yàn)楹瘮?shù)小)=。廿一Inx在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減，所

x

以/(x)=ae>—LwO,即在區(qū)間(1,3)上恒成立.令83)=上，則g'(x)=一(苫+?』二

xxe^xe^(xe%)2

r：+D又XG(1,3),所以g(x)<0,所以g(x)在(1,3)上為減函數(shù)，所以g(x)>g(3)=」『

x21^3eJ

所以。即實(shí)數(shù)。的最大值是工.

3e33e3

二、多項(xiàng)選擇題

5,若函數(shù)y=?在(1,十8)上單調(diào)遞減，則稱段)為“P函數(shù)”.下列函數(shù)中為“尸函

Inx

數(shù)”的為(AC)

A.於)=1B.於)=x

C.fix)=-D.{X)=NX

X

【解析】對(duì)于A,y=^=J-,當(dāng)xG(l,+8)時(shí)，>=inx為增函數(shù)，故了=--為減

InxInxInx

函數(shù)，所以兀0=1為“P函數(shù)”，故A符合.對(duì)于B,助=千，了=111門，令V=0,

In%Inx(Inx)z

得》=6.當(dāng)xd(l,e)時(shí)，y'<0,即在(1，e)上單調(diào)遞減；當(dāng)xd(e,+8)時(shí)，y>0,

inx

即了=3在(e,+8)上單調(diào)遞增，所以加)=x不是“尸函數(shù)”，故B不符合.對(duì)于C,7

Inx

尸—(lnx+1),當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，y<o,則>=——在(1,+8)上單調(diào)遞

InxxInx(xInx)zxinx

減,所以大x)=L為“p函數(shù)”，故C符合.對(duì)于D,了=半>=3,y=」nx二令y=0,

XInXInX2\x(lnx)2

得x=e2,當(dāng)x￡(l,e2)0f,y<0,即歹=干在(1,e?)上單調(diào)遞減;當(dāng)%￡右,+°°)0f,y'

Inx

>0,即>=衛(wèi)在(e2,+8)上單調(diào)遞增，所以加)=/不是“尸函數(shù)”，故D不符合.

Inx

6.已知函數(shù)人x)與/(x)的圖象如圖所示，則g(x)=且在區(qū)間(AC)

於)

(第6題)

A.(0,1)上單調(diào)遞增

B.(1,4)上單調(diào)遞減

c.[b3上單調(diào)遞減

D.B，。上單調(diào)遞減

【解析】當(dāng)x=0或牛=2時(shí),火工)=0,則函數(shù)g(%)=52的定義域?yàn)?一8,O)U(O,2)U(2,

於)

+8),排除B,D；g，(x)=R(?-/(X)),由圖易得當(dāng)xG(0,1)時(shí)，Z(x)>/(x),即g，(x)

產(chǎn)(x)

=《(f(2-/(x))>0,所以函數(shù)8@)=旨在(0,1)上單調(diào)遞增，故A正確；由圖易得當(dāng)

f(x)fix)

J時(shí)，於)</(x),即g，(x)=9?儂^<0,所以函數(shù)g(x)=>&[?T上單調(diào)

遞減，故C正確.

7.(2024?南昌二模)已知人x)=x+acosx(aWO),則下列說法正確的是(BCD)

A.40在R上可能單調(diào)遞減

B.若“V)在R上單調(diào)遞增，貝1,0)U(0,1]

CTITl\

c.L'2J是")的一個(gè)對(duì)稱中心

D./(x)圖象所有的對(duì)稱中心在同一條直線上

【解析】/(X)=X+Qcosx(aWO),則/(工)=1一Qsinx.對(duì)于A,B,當(dāng)0)U(0,

1］時(shí)，/(x)>0恒成立，1Ax)單調(diào)遞增；當(dāng)a<~\或a>\時(shí)，/(x)<0不恒成立，小)不可能

單調(diào)遞減.綜上，加)在R上不可能單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤，B正確.對(duì)于C,因?yàn)榛饃)+人兀

叫

一&2」中心對(duì)稱，故C正

確.因?yàn)榛鸸?+/((2左+1)兀-X)=X+Qcosx+(2后+1)兀一%+〃cos［(2左+1)兀-x］=(2k+1)兀，

「2—+1)定(2-+1)可

k《Z,所以人x)的圖象關(guān)于點(diǎn)122J,左￡Z中心對(duì)稱，所以人x)圖象所有的對(duì)

稱中心在直線y=x上，故D正確.

三、填空題

8.若函數(shù)g(x)=lnx+$2—(6—1.存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)6的取值范圍是(3,+

8)_.

【解析】函數(shù)g(x)=lnx+lx2—(6—1)%的定義域?yàn)?0,+°°),且其導(dǎo)數(shù)為g<x)=l+x

2x

一(人一1).由g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間知g<x)V0,即,+'一(b—l)V0在(0,+8)上有解.因?yàn)?/p>

函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,+8),所以x+1》2.當(dāng)x>0時(shí)，要使1+x—(6—1)<0有解，只需

XX

要［+］<6—1,所以2<6—1,即6>3,所以實(shí)數(shù)6的取值范圍是(3,+-).

9.(2期24?廣州一模節(jié)選)已知函數(shù)/(x)=cosx+xsinx,工￡(一兀，兀)，那么人x)的單調(diào)遞增

ma一，單調(diào)遞減區(qū)間為.

區(qū)間為

【解析】函數(shù)/(x)=cosx+%sinx,x￡(一兀，兀)，求導(dǎo)得/(x)=—sinx+sinx+xcosx

=X35工.當(dāng)一兀<》<一；時(shí)，f(x)>0,人x)單調(diào)遞增；當(dāng)一：<x<0時(shí)，/(x)<0,兀0單調(diào)遞

減；當(dāng)0<x<：時(shí)，/(x)>0,於)單調(diào)遞增；當(dāng)尸x<兀時(shí)，f(x)<0,於)單調(diào)遞減，所以")

的單調(diào)遞增區(qū)間為K3,單調(diào)遞減區(qū)間為［-/。1&4

10.(2024?蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào))如果函數(shù)於)在區(qū)間口，可上為增函數(shù)，則記為加嚴(yán)或函數(shù)")

在區(qū)間M，切上為減函數(shù)，則記為｛x)m外如果［'十《)"’1則實(shí)數(shù)加的最小值為_4_；如

1q

果函數(shù)作不工二加十2小，且加心，用)f則實(shí)數(shù)

【解析】由題意知y=4+,在0，8］上單調(diào)遞增，因?yàn)閤70,所以0V加V8,令，

ylx

=心，則八。=%+±由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)x>0時(shí)，/(，)=t+4的單調(diào)遞增區(qū)間為［2,十

°°),所以622,所以實(shí)數(shù)冽的最小值為4.由函數(shù)火工)=$3一；4%2+2。2%,得了(%)=12-3"

+2層，由題意知小)在［1,2］上單調(diào)遞減，在［2,3］上單調(diào)遞增，即x=2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，

所以/(2)=4—6Q+2Q2=0,解得。=2或。=1.經(jīng)檢驗(yàn)。=2不滿足題意，。=1符合題意，所

以a=\.

四、解答題

11.(2023?北京卷節(jié)選)設(shè)函數(shù)於)=、-%3/'+外曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,火1))處的切線方程為

y=-x+1.

(1)求〃，b的值；

【解答】因?yàn)樾?=%—所以/(x)=l—(312+狽3犬磔+6.因?yàn)榛鸸?在(1,火］))

1—13xe""=0,

處的切線方程為歹=—x+1,所以{1)=-1+1=0,/(1)=-1,貝小十八

ll-(3+df)ea+z,=-l,

a=-l,

解得?

b=\.

(2)設(shè)ga)=/a),求g(%)的單調(diào)區(qū)間.

【解答】由(1)得g(x)=/(%)=1—(3d—爐兒-黑。￡R),則g，(x)=-x(x2_6x+6)e-x+l,

令A(yù)2—6X+6=0,解得X=3±Y5,不妨設(shè)XI=3—45,%2=3+5，則0Vxi<12,易知eF1

>0恒成立，所以令g'a)V0,解得OVxVxi或x>%2,令g<x)>0,解得％<0或Vx<X2,

所以g(x)在(0,Xl),(X2,+8)上單調(diào)遞減，在(一8,0),(XI,X2)上單調(diào)遞增，即g(x)的單

調(diào)遞減區(qū)間為(0,3—陋)和(3+45,+°°),單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,0)和(3—{5,3+^/5).

12.(1)(2024?煙臺(tái)、德州二模節(jié)選)已知函數(shù)人x)=Mt—Inx,xG(l,+oo),討論於)

的單調(diào)性.

【解答】由題可知/(x)=m—1,xe(l,+8),且/(X)在定義域上單調(diào)遞增.當(dāng)機(jī)W0

X

時(shí)，/(x)=m—L<0恒成立，此時(shí)八刈在(1,+8)上單調(diào)遞減.當(dāng)0<%<1時(shí)，令/任)=0,

X

則x=L,所以當(dāng)xe［'J時(shí)，/(x)<0,此時(shí)大X)單調(diào)遞減；當(dāng)xel?+81時(shí)，7a)>0,

m

此時(shí)段)單調(diào)遞增.當(dāng)加21,即0<上<1時(shí)，/(x)>0在(1,+8)上恒成立，所以人乃單調(diào)

m

遞增.綜上，當(dāng)洸W0時(shí)，40在(1,+8)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<%<1時(shí)，?c)在I'J上單調(diào)

遞減，在+］上單調(diào)遞增；當(dāng)機(jī)三1時(shí)，/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

(2)(2024?青島一模節(jié)選)已知函數(shù)小)=}2—亦+111%，討論人x)的單調(diào)性.

【解答】人x)的定義域?yàn)?0,+8),/@)=反二竺上上當(dāng)aWO時(shí)，/(x)>0恒成立，則人x)

X

在(0,+8)上單調(diào)遞增.當(dāng)Q>0時(shí)，令g(x)=X2—辦+1,4=層—4.當(dāng)/W0,即0VQW2

時(shí)，/(x)NO恒成立，則府)在(0,+8)上單調(diào)遞增.當(dāng)/>0,即。>2時(shí)，〃%)=

fg—\]a2—4rq+弋層—4____

---------———--------——-由/(X)>0,得0<x〈a-'a2a或x>"+”層—4；由了⑴