北師大版九年級(jí)上冊(cè)第一章特殊平行四邊形單元測(cè)試

一、選擇題

1.已知菱形的周長為16cm,一條對(duì)角線長為4cm,則菱形的4個(gè)角分別為（）

A.30°,150°,30°,150°

B.45°,135°,45°,135°

C.60°,120°,60°,120°

D.以上都不對(duì)

2.如圖，在菱形/成力中，Z2245=110°,的垂直平分線交四于點(diǎn)￡交對(duì)角線4?于點(diǎn)尸,

3.如圖，四邊形切是菱形，連接AC,BD交于點(diǎn)0,過點(diǎn)A作AE1BC,交能于點(diǎn)E,若AC=

A,-B,皿亙C,雙亙D.工

1313135

4.在四邊形切中，對(duì)角線4?,劭互相平分，若添加一個(gè)條件使得四邊形/反切是菱形，則這

個(gè)條件可以是（）

A.NABX90°B.ACVBDC.AB=CDD.AB//CD

5.如圖是一個(gè)邊長為15cm的活動(dòng)菱形衣帽架，若墻上釘子間的距離/6=員=15cm,那么N1

的度數(shù)為（）

AB

A.45°B.60°C.75°D.90°

6.一個(gè)木匠要制作矩形的踏板，他在一個(gè)對(duì)邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸了兩

次，就能得到矩形的踏板，這樣做最直接的道理是（）

A.有兩個(gè)角是直角的四邊形是矩形

B.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

C.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

D.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是矩形

7.如圖，要圍一個(gè)矩形菜園/仇力，其中一邊/〃是墻，且47的長不能超過26m,其余的三邊

AB,BC,⑺用籬笆，且這三邊的和為40m.有下列結(jié)論：

①的長可以為6m;

②的長有兩個(gè)不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2;

③菜園/仇?，面積的不可能為200m2.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

AD

菜園

B'-----------1

A.0B.1C.2D.3

8.如圖，在矩形/成力中，AB=]2,所?=24,將矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)/重合，則/尸的長為

（）

D

A.20B.18C.16D.15

9.圖1中的直角三角形有一條直角邊長為3,將四個(gè)圖1中的直角三角形分別拼成如圖2,圖3

所示的正方形，其中陰影部分的面積分別記為5，S,則的值為（）

10.如圖，47是△/仇?的角平分線，DE,爐分別是△/勿和的高，則下列結(jié)論：

①）=勿；②ADLEF;③AE+DF=AF+DE;④當(dāng)N%。=90。時(shí)，四邊形/史正是正方形.

其中一定正確的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

11.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)到工廠實(shí)習(xí)，工人師傅拿一把尺子要他們幫助檢測(cè)一個(gè)四邊形構(gòu)件

是否為正方形，他們各自做了如下檢測(cè)：

甲量得構(gòu)件四邊都相等；

乙量得構(gòu)件的兩條對(duì)角線相等；

丙量得構(gòu)件的'一■組鄰邊相等；

丁量得構(gòu)件的四邊相等且兩條對(duì)角線也相等.

檢測(cè)后，他們都說是正方形，你認(rèn)為說得最有把握的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

12.觀察下列正方形中四個(gè)數(shù)分別具有的一定規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得士心的值為（）

m

12□H回

250□同□H

41D13門39c20

二、填空題

13.如圖，在矩形必中，AB=8,反?=10,AF平分NDAE,EF^AE,則CF等于

14.如圖，已知點(diǎn)〃是△/8C的邊比（不含點(diǎn)6,?上的一點(diǎn)，DE"AB爻AC千義、E,DF"AC爻

四于點(diǎn)尸，要使四邊形"Z石是矩形，則在△/6C中要增加的一個(gè)條件是.

15.如圖，在矩形切中，AB=3,BC=9,將矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)/重合，點(diǎn)〃落在點(diǎn)G處,

折痕為EF,則EF的長為.

16.如圖，將正方形紙片按如圖折疊，為折痕，點(diǎn)6落在對(duì)角線4?上的點(diǎn)￡處，則NCME=

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形力向G的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對(duì)角線

空為邊作正方形OB'B2c2,再以正方形的eG的對(duì)角線修為邊作正方形OB?B3c3,依此類推…,

則正方形物02遇024G024的頂點(diǎn)與024的坐標(biāo)是

三、解答題

18.如圖，菱形四切的邊長為4,NBAD=60°,過點(diǎn)、B作BEL交CO于點(diǎn)、E,連接〃；F為

然的中點(diǎn)，〃為屈的中點(diǎn)，連接6/和近#交的于點(diǎn)G,求M的長.

19.如圖，在△/6C中，2ACB=9G,D,萬分別為/C,的中點(diǎn)，8片〃龍交的延長線于點(diǎn)

F.

⑴求證：四邊形&汨尸是平行四邊形；

(2)當(dāng)N/=30°時(shí)，求證：四邊形f漸是菱形.

20.在△/6C中，點(diǎn)〃在邊4?上，BD=BA,點(diǎn)￡是/〃的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是能的中點(diǎn).

⑴求證：EF==BC;

⑵過點(diǎn)C作約〃￡F,交維的延長線于點(diǎn)G,求證：△6%是等腰三角形.

21.如圖，在△/6C中，CZ?是邊上的中線，￡是3的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作的平行線交的延

長線于點(diǎn)尸，連接既

⑵若CA=CB,試判斷四邊形36尸的形狀，并說明理由.

22.如圖，在矩形/民力中，4?=6,%=8,菱形斤6〃的三個(gè)頂點(diǎn)￡G,〃分別在矩形⑺的

邊/氏CD,以上，AH=2.

H

EB

⑴已知，G=6,求的長；

⑵已知〃G=2,求證：四邊形爐仍為正方形.

北師大版（2024）九年級(jí)上冊(cè)第一章特殊平行四邊形單元測(cè)試（參考答

案）

一、選擇題

1.已知菱形的周長為16cm,一條對(duì)角線長為4cm,則菱形的4個(gè)角分別為（）

A.30°,150°,30°,150°

B.45°,135°,45°,135°

C.60°,120°,60°,120°

D.以上都不對(duì)

【答案】C

【解析】如圖，

由菱形周長可得菱形邊長為4,即AB=AD=^,又一條對(duì)角線為4,即BD=4,

：.AB=AD=BD,仍是等邊三角形，ZDAB=60°,:.NDCB=60°,:.NADC=NABC=

120°.

2.如圖，在菱形/民力中，Z2245=110°,的垂直平分線交四于點(diǎn)￡交對(duì)角線/C于點(diǎn)片,

【答案】D

?.?四邊形/質(zhì)力是菱形，:.NBCD=NBAD=\W,NBCA=NACD=55°=ZBAgZCAD,AB=

AD,N/〃C=70°,

O垂直平分/區(qū):.AF=BF,

在尸和尸中，AB=AD,NBA^NDAF,AF^AF,：.△46年尸（SAS）,

:.BF=DF,:.AF=DF,:.NFAD=NADF=55°,：.ZCDF=NADC-NADF=\50.

3.如圖，四邊形/仇力是菱形，連接4?,劭交于點(diǎn)0,過點(diǎn)/作/石，6a交仇?于點(diǎn)￡若

B5行c8AD-

131313'?

【答案】C

【解析】?.?四邊形四必是菱形，:.AC'BD,OC=-AC,OB=LBD,

22

,**AC—4,BD=6,**.OC=2,OB—3,:?BC—70C2+OB2=V13,

■:AE1BC,工菱形的面積=6。?AE^-AC>BD,...后/￡=3*4乂6,:.AE=⑶尸

2213

CE=y/AC2-AE2=是巨.

13

4.在四邊形切中，對(duì)角線47,做互相平分，若添加一個(gè)條件使得四邊形/民力是菱形，則這

個(gè)條件可以是（）

A.N/6c=90°B.AC1.BDC.AB=CDD.AB//CD

【答案】B

【解析】?.?在四邊形/打?〃中，對(duì)角線/C,劭互相平分，工四邊形切是平行四邊形，...當(dāng)

/C_L劭時(shí)，四邊形切是菱形.

5.如圖是一個(gè)邊長為15cm的活動(dòng)菱形衣帽架，若墻上釘子間的距離/6=員?=15cm,那么N1

的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.75°D.90°

【答案】B

【解析】因?yàn)榱庑蔚倪呴L為15cm,46=15cm,上三角形的頂點(diǎn)與點(diǎn)46連接成為等邊三角

形，AZ1=60°.

6.一個(gè)木匠要制作矩形的踏板，他在一個(gè)對(duì)邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸了兩

次，就能得到矩形的踏板，這樣做最直接的道理是（）

A.有兩個(gè)角是直角的四邊形是矩形

B.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

C.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

D.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是矩形

【答案】B

【解析】有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，故A錯(cuò)誤；

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，且符合題意，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，但不符合題意，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

7.如圖，要圍一個(gè)矩形菜園/及7,其中一邊/〃是墻，且47的長不能超過26m,其余的三邊

AB,BC,⑺用籬笆，且這三邊的和為40m.有下列結(jié)論：

①的長可以為6m;

②的長有兩個(gè)不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2;

③菜園/仇?。面積的不可能為200m2.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

AD

菜園

B'-------------'c

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】設(shè)/〃邊長為xm,則四邊長為長為歲m,

當(dāng)/6=6時(shí)，歲=6,解得x=28,

的長不能超過26m,...xW26,故①不正確；

?.?菜園ABCD面積為192m2,等=192,

整理得*2-40/384=0,解得x=24或x=16,

...46的長有兩個(gè)不同的值滿足菜園/及力面積為192m,故②正確;

設(shè)矩形菜園的面積為yrA根據(jù)題意得y=x?—=-(x2-40x)=-《(x-20)2+200,

222

?.?-日VO,20<26,...當(dāng)x=20時(shí)，y有最大值，最大值為200,故③不正確.

二正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是1.

8.如圖，在矩形/成力中，AB=}2,反?=24,將矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)/重合，則/尸的長為

()

A.20B.18C.16D.15

【答案】D

【解析】設(shè)BE=x,則CE=BC-BE=24-x,

;沿牙翻折后點(diǎn)C與點(diǎn)/重合，:.AE=CE=2A-x,

在Rt/Vl斷中，Ag+B^=AW,即122+*2=(24-x)2,解得x=9,

.../f=24-9=15,

由翻折的性質(zhì)得N/￡F=ZCEF,

?..矩形的對(duì)邊AD//BC,：.2AFE=2CEF,：./AEF=NAFE,

..."?=/￡■=15.

9.圖1中的直角三角形有一條直角邊長為3,將四個(gè)圖1中的直角三角形分別拼成如圖2,圖3

所示的正方形，其中陰影部分的面積分別記為S,則的值為()

【答案】A

【解析】設(shè)直角三角的另一直角邊長為a,

2

則Si=(>3)-4X-^X3a—a+9,S2—a*a—a,

S、-S2=a?+9-a2—9.

10.如圖，47是△/成?的角平分線，DE,爐分別是△/勿和的高，則下列結(jié)論：

①。1=勿；②ADLEF;③AE+DF=AF+DE;④當(dāng)N必。=90。時(shí)，四邊形/月?尸是正方形.

其中一定正確的是()

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

【答案】B

【解析】如果以=必，則四邊形/冰是矩形，N/=90°,不符合題意，工①不正確；

是△/仇?的角平分線，：.ZEAD=2FAD,

在△/血和△/m中，ZEAD=ZFAD,N/砂N/力90°,AD^AD,工△/^^△/@(AAS),

：.AE=AF,DE=DF,:.AE+DF=AF+DE,...③正確；

在△4萬0和中，AE^AF,/EAC2FAO,AO=AO,工△/f?儂△/AZ7(SAS),：.E0=F0,

又?."￡'=/￡.../O是4的中垂線，J.ADVEF,...②正確；

?.?當(dāng)N%C=90°時(shí)，四邊形/處的四個(gè)角都是直角，上四邊形/斯是矩形，

又,：DE=DF,工四邊形尸是正方形，.?.④正確.

綜上，可得正確的是②③④.

11.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)到工廠實(shí)習(xí)，工人師傅拿一把尺子要他們幫助檢測(cè)一個(gè)四邊形構(gòu)件

是否為正方形，他們各自做了如下檢測(cè)：

甲量得構(gòu)件四邊都相等；

乙量得構(gòu)件的兩條對(duì)角線相等；

丙量得構(gòu)件的一■組鄰邊相等;

丁量得構(gòu)件的四邊相等且兩條對(duì)角線也相等.

檢測(cè)后，他們都說是正方形，你認(rèn)為說得最有把握的是（

A.甲C.丙D.丁

【答案】D

【解析】甲：?.?構(gòu)件四邊都相等，此四邊形是菱形；

乙：兩條對(duì)角線相等，沒法判定是什么四邊形；

丙：一組鄰邊相等，沒法判定是什么四邊形；

T：?.?四邊相等，工此四邊形是菱形，?.?兩條對(duì)角線也相等，工此四邊形是正方形.

12.觀察下列正方形中四個(gè)數(shù)分別具有的一定規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得巴士的值為（）

m

□□回□

□局

A.B.-C.D.—

1996620099

【答案】C

【解析】分析正方形中的四個(gè)數(shù)：第一個(gè)數(shù)（正方形左上角）為2〃-1,

當(dāng)2〃-1=79時(shí)，解得〃=40,

第二個(gè)數(shù)（正方形右上角）為2〃，

.?.第40個(gè)正方形的第二個(gè)數(shù)（正方形右上角）6=40X2=80,

第三個(gè)數(shù)（正方形左下角）為加1,

.?.第40個(gè)正方形的第三個(gè)數(shù)（正方形左下角）a=40+1=41,

第四個(gè)數(shù)（正方形右下角）為第一個(gè)數(shù)、第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和，

...加=79+9a=79+80+41=200,

.41~80__39

,*m--200-200,

二、填空題

13.如圖，在矩形/反切中，AB=8,打？=10,AF平分NDAE,EFVAE,則*等于

【答案】3

【解析】在矩形/義力中，47=員？=10,ZD=90°,

/尸平分NDAE,：.ZDAF=NEAF,

■:EF1AE,工N/￡F=90°,：.2AEF=ZD,

在尸和中，/DAF^AAF,NAEGND,AF^AF,

&(AAS),.*"=//?=10,EF=DF,

在Rt△/維中，根據(jù)勾股定理得BE=LE：-AB：=而中=6,:.CE=BC—BE=\C—6=4,

設(shè)CF=x,則EF=DF=CD-CF=8~x,

在Rt△娜中，根據(jù)勾股定理得應(yīng)2+C尸=用，即4?+x2=(8—x)?,解得x=3,即#=3.

14.如圖，已知點(diǎn)〃是△/6C的邊仇?（不含點(diǎn)6,?上的一點(diǎn)，DE〃AB爻AC干熱E,DF〃AC交

四于點(diǎn)尸，要使四邊形47些是矩形，則在△/6C中要增加的一個(gè)條件是.

【答案】N/=90°（答案不唯一）

【解析】,：DE//AB,DF//AC,二四邊形是平行四邊形，...當(dāng)N/=90°時(shí)，四邊形是

矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形），故在△/6C中，應(yīng)添加的條件可以為N/=90°,

答案不唯一，合理即可.

15.如圖，在矩形切中，AB=2,BC=9,將矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)/重合，點(diǎn)，落在點(diǎn)G處,

折痕為EF,則EF的長為.

G

【答案】Vio

【解析】?.?四邊形切為矩形，N6=N必〃=90°,AD//BC,

由折疊可知N田=N/仔；CE=AE,

設(shè)/￡=CE=x,貝UBE=BC-CE=9-x,

在Rt△/維中，=A艮即3?+(9-x)2=>2,解得*=5,

:.AE=CE=5,BE=4,

'：AD//BC,：.NAFE=2CEF,:.NAFE=ZAEF,尸=/￡=5,

如圖，過點(diǎn)E作EHVAD于點(diǎn)H,

魁NB=NBAH=NAHE=90°,

...四邊形/則為矩形，:.EH=AB=3,AH=BE=4,:.FH=AF-AH=5-4=',

在Rt△EFH中,EF—y/EH2+FH2—A/S2+12=VyO.

16.如圖，將正方形紙片按如圖折疊，為折痕，點(diǎn)6落在對(duì)角線/C上的點(diǎn)石處，觸NCME=

【答案】45°

【解析】?.?四邊形四切是正方形，:.ZB=90°,N/第=45°,由折疊的性質(zhì)得N/曰/=N6=

90°,

:.NCEM=9G,：.2CMES-45°=45°.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形。1出G的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對(duì)角線

為邊作正方形OB、B2c2,再以正方形。同為G的對(duì)角線修為邊作正方形OB?B3c3,依此類推…,

則正方形。K023^024G024的頂點(diǎn)與024的坐標(biāo)是.

【答案】(21°12,0)

【解析】?.?正方形以向G邊長為1,.?.。4=加，

?.?正方形如ec是正方形以6M的對(duì)角線。4為邊，...修=2,工與點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),

同理可知四=2媳，工用點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2),

同理可知叫=4,4點(diǎn)坐標(biāo)為(一4,0),與點(diǎn)坐標(biāo)為(一4,-4),綠點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-8),

用(8,-8),星(16,0),號(hào)(16,16),4。(0,32),

由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過8次作圖后，點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)與第一次坐標(biāo)符號(hào)相同，每次正方形的邊

長變?yōu)樵瓉淼摹虮叮?/p>

V2024+8=253,...與的縱橫坐標(biāo)符號(hào)與點(diǎn)為的相同，橫坐標(biāo)為正值，縱坐標(biāo)是0,

員024的坐標(biāo)為初J,0).

三、解答題

18.如圖，菱形/成力的邊長為4,N=60°,過點(diǎn)、B作BELAB交CD于點(diǎn)、E,連接/￡F為

熊的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)、,連接6/和/CF史BE于點(diǎn)、G,求6月的長.

【答案】解：?.?菱形/比■。的邊長為4,ZBAD=60°,:.AB=BXCD=4,AB//CD,ZBAD=2

BCE=6G°,

?.?尸為的中點(diǎn)，H為BE的中息,：.EH=^BE,77/是△/斯的中位線，：.FH=\AB=2,FH//AB,

：.FH//AB//CD,

'：BEVAB,：.FHVBE,CD1BE,：.2FHE=2BEC=9G°,：.2CBE=9Q°-60°=30°,:.CE=

-BC^2,

2

:?BE=7BC2—CE2=S_22=2M,:.EH=WBE=M,:.FH=CE,

(NFHG=NCEG,

在△/WG和△C&?中，/NFGH=NCGE,

(FH=CE,

：./\FHG^ACEG(AAS),:.EG=GH=1EH=&,

22

22

在Rt△/7/G中，由勾股定理得GF='FH2+GW=^2+(^)=

【解析】

19.如圖，在△/6C中，ZACB=9G°,D,X分別為47,的中點(diǎn)，外〃宏交的延長線于點(diǎn)

F.

⑴求證：四邊形&汨尸是平行四邊形；

(2)當(dāng)N/=30°時(shí)，求證：四邊形石湖是菱形.

【答案】證明：￡分別為邊/C,四的中點(diǎn)，J.DE//BC,貨EF“BC.

義,：BF〃CE,

工四邊形反柄是平行四邊形.

(2)VZACB=90°,N)=30°,￡為48的中點(diǎn),

:.CB==AB,CE==AB,：.CB=CE.

又由⑴知，四邊形石湖是平行四邊形，

...四邊形￡漸是菱形.

【