第四章曲線運動

第20課時圓周運動

【考情分析?探規(guī)律】

2024北京卷T7、2024江西卷T14、2024甘肅卷T8、

2024黑吉遼T2、2024江蘇卷T8、T11,2024廣東卷T5、

曲線運動2023?江蘇卷-TIO、2023?全國甲卷-T17、2023?遼寧卷?T1、

2022全國甲卷T14、2022河北卷T10、2022遼寧卷T13、

2022北京卷T8

生活中的拋體運動，自行車、汽車、火車轉彎等動力學及臨

試生活實踐類

界問題，水流星，體育運動中的圓周運動問題

題

小船渡河模型，繩、桿速度分解模型，與斜面或圓弧面有關

情

的平拋運動，圓周運動的傳動問題，圓錐擺模型，水平面內、

學習探究類

境豎直面內圓周運動的臨界問題，圓周運動中的輕繩、輕桿模

型

【知識梳理】

考點一圓周運動的運動學問題

1.描述圓周運動的物理量

定義、意義公式、單位

l.v=*定義式）=羿（與周期的

1.描述圓周運動的物體運動—的物理量

線速度（V）關系）

2.是矢量，方向和半徑____,和圓周____

2.單位:m/s

1g=取定義式）=年（與周期的

1.描述物體繞—轉動快慢的物理量關系）

角速度（。）

2.是矢量，但不研究其方向2.單位:rad/s

3.C0與v的關系:V=C9尸

i.r=—=?與頻率的關系）

VJ

周期⑺1.周期是做勻速圓周運動的物體沿圓周運

2.T的單位:s

轉速⑺動一周所用的時間，周期的倒數(shù)為頻率

n的單位:r/s、r/min

頻率（/）2.轉速是單位時間內物體轉過的—

/的單位:Hz

22

向心1.描述線速度—變化快慢的物理量1V24K

l.an=—=cor=—r=cov

加速度（〃n）2.方向指向____2.單位:m/s?

2.勻速圓周運動

（1）定義：如果物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處—，所做的運動叫作勻速圓周

運動。

（2）特點：加速度大小,方向始終指向,是變加速運動。

（3）條件：合外力大小,方向始終與方向垂直且指向圓心。

【小試牛刀】

【典例】LA、B兩艘快艇在水平湖面上做勻速圓周運動，在相同時間內（該時間小于

A、B的周期），它們通過的路程之比是4：3,運動方向改變的角度之比是3：2,則

它們（）

A.線速度大小之比為4:3

B.角速度之比為3：4

C.圓周運動的半徑之比為2：1

D.向心加速度大小之比為1：2

【典例】2.如圖所示，B和C是一組塔輪，即B和C半徑不同，但固定在同一轉軸

上，其半徑之比為RB：&=3：2,A輪的半徑大小與C輪相同，它與B輪緊靠在一

起，當A輪繞過其中心的豎直軸轉動時，由于摩擦力作用，B輪也隨之無滑動地轉

動起來。a、b、c分別為三輪邊緣的三個點，則a、b、c三點在運動過程中的（）

A.線速度大小之比為3：2：2

B.角速度之比為3：3：2

C.轉速之比為2：3：2

D.向心加速度大小之比為9：6：4

【典例】3.（多選）（2025?山東煙臺市校考）一位同學玩飛鏢游戲，已知飛鏢距圓盤為L,

對準圓盤上邊緣的A點水平拋出飛鏢，初速度為。o，飛鏢拋出的同時，圓盤繞垂直

于盤面且過盤心。點的水平軸勻速轉動。不計空氣阻力，重力加速度為g。若飛鏢

恰好擊中A點，下列說法正確的是（）

A.從飛鏢拋出到恰好擊中A點，A點一定轉動到最低點位置

B.從飛鏢拋出到恰好擊中A點的時間為上

%

C.圓盤的半徑為器

2

4V0

D.圓盤轉動的角速度一定滿足七生左=1,2,3,…）

考點二圓周運動的動力學問題

1.勻速圓周運動的向心力

（1）作用效果

向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的,不改變速度的o

⑵大小

?

Fn=m^=mrco-=m^-r=mmVo

⑶方向

始終沿半徑方向指向—，時刻在改變，即向心力是一個變力。

2.勻速圓周運動中向心力的來源

運動模型向心力居的來源（圖示）

3

汽車在水平路面轉彎/汽車

無咆

勺'囚

水平轉臺（光滑）

Fn=FT=/nBg

圓錐擺

mg

Fn=mgtan0

r=/sin0

^L/

飛車走壁

Fn=mgtan6

喔

;二＞

飛機水平轉彎

居=mgtan0

火車轉彎

叫tan0

3.離心運動和近心運動

⑴離心運動：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需向

心力的情況下，就做的運動。

（2）受力特點（如圖）

①當產(chǎn)=0時，物體沿.方向飛出，做勻速直線運動。

②當時，物體逐漸圓心，做運動。

③當Q〃獷小時，物體逐漸，做運動。

⑶本質：離心運動的本質并不是受到離心力的作用，而是提供的力—做勻速圓周運動

需要的向心力。

【小試牛刀】

【典例】1.(多選)如圖所示，雜技演員進行表演時，可以懸空靠在以角速度。勻速轉

動的圓筒內壁上而不掉下來。設圓筒半徑為廣，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。重力

加速度為g,雜技演員與圓筒內壁間的動摩擦因數(shù)為〃，則該演員()

co

A.受到4個力的作用

B.所需的向心力由彈力提供

C.角速度越大，人受到的摩擦力越大

D.圓筒的角速度戶

【典例】2.(2023福建卷15)一種離心測速器的簡化工作原理如圖所示。細桿的一端固

定在豎直轉軸上的。點，并可隨軸一起轉動。桿上套有一輕質彈簧，彈簧一端

固定于O點，另一端與套在桿上的圓環(huán)相連。當測速器穩(wěn)定工作時，圓環(huán)將相對細

桿靜止，通過圓環(huán)的位置可以確定細桿勻速轉動的角速度。已知細桿長度L=0.2m,

桿與豎直轉軸的夾角a始終為60°,彈簧原長xo=O.lm,彈簧勁度系數(shù)上=100N/m,

圓環(huán)質量"=1kg；彈簧始終在彈性限度內，重力加速度大小取10m/s2,摩擦力可

忽略不計。

(1)若細桿和圓環(huán)處于靜止狀態(tài)，求圓環(huán)到。點的距離；

(2)求彈簧處于原長時，細桿勻速轉動的角速度大??；

(3)求圓環(huán)處于細桿末端尸時，細桿勻速轉動的角速度大小。

【典例】3.（多選）四個完全相同的小球A、B、C、D均在水平面內做圓錐擺運動。如

圖甲所示，小球A、B在同一水平面內做圓錐擺運動（連接B球的繩較長）；如圖乙所

示，小球C、D在不同水平面內做圓錐擺運動，但是連接C、D的繩與豎直方向的夾

角相等（連接D球的繩較長），則下列說法正確的是（）

A.小球A、B角速度大小相等

B.小球A、B線速度大小相等

C.小球C、D向心加速度大小相等

D.小球D受到繩的拉力與小球C受到繩的拉力大小相等

【限時訓練】（限時：60分鐘）

【基礎必刷題】1~6題每小題8分，共48分

1.（多選）（2024?甘肅卷?8）電動小車在水平面內做勻速圓周運動，下列說法正確的是（）

A.小車的動能不變

B.小車的動量守恒

C.小車的加速度不變

D.小車所受的合外力一定指向圓心

2.（2024?黑吉遼2）“指尖轉球”是花式籃球表演中常見的技巧。如圖，當籃球在指尖上

繞軸轉動時，球面上P、Q兩點做圓周運動的（）

A.半徑相等

B.線速度大小相等

C.向心加速度大小相等

D.角速度大小相等

3.（2021?全國甲卷J5）“旋轉紐扣”是一種傳統(tǒng)游戲。如圖，先將紐扣繞幾圈，使穿過紐

扣的兩股細繩擰在一起，然后用力反復拉繩的兩端，紐扣正轉和反轉會交替出現(xiàn)。拉動

多次后，紐扣繞其中心的轉速可達50r/s,此時紐扣上距離中心1cm處的點向心加速度

大小約為（）

A.10m/s2B.100m/s2

C.1000m/s2D.10000m/s2

4.如圖所示是《天工開物》中牛力齒輪的圖畫及其原理簡化圖，牛拉動橫桿驅動半徑為

品的大齒輪勻速率轉動，大齒輪與半徑為R2的中齒輪垂直咬合，中齒輪通過橫軸與半

徑為尺3的小齒輪相連，小齒輪驅動抽水桶抽水，已知牛拉橫桿轉一圈需要時間為t,則

抽水桶的運動速率約為（）

大齒輪

A2.與述3B2曲

1?21R2R3t

「R1R3DR±R3t

U，

^'2nR2t2TIR2

5.（多選）如圖為質點尸以。為圓心做勻速圓周運動的軌跡圓，角速度為。，圓周上水平

虛線BD與虛線AC垂直，若質點從C點開始運動的同時在。點正上方有一小球自由下

落,重力加速度為g,要使小球與質點P相遇，則小球下落時離。點的高度可能為（）

c

A㈣

4a)2B震c誓D?誓

6.（2024?廣東卷-5）如圖所示，在細繩的拉動下，半徑為r的卷軸可繞其固定的中心點O

在水平面內轉動。卷軸上沿半徑方向固定著長度為/的細管，管底在。點。細管內有一

根原長為g、勁度系數(shù)為左的輕質彈簧，彈簧底端固定在管底，頂端連接質量為相、可

視為質點的插銷。當以速度。勻速拉動細繩時，插銷做勻速圓周運動。若。過大，插銷

會卡進固定的端蓋，使卷軸轉動停止。忽略摩擦力，彈簧在彈性限度內。要使卷軸轉動

不停止，v的最大值為（）

【鞏固必刷題】7、8題每小題9分，9題16分，10題18分，共52分

7.（多選）（2021?河北卷-9）如圖，矩形金屬框MNQP豎直放置，其中MN、PQ足夠長，且

PQ桿光滑，一根輕彈簧一端固定在“點，另一端連接一個質量為機的小球，小球穿過

PQ桿，金屬框繞跖V軸分別以角速度。和。勻速轉動時，小球均相對PQ桿靜止，若

co,Xo,則與以。勻速轉動時相比，以〃勻速轉動時（）

A.小球的高度一定降低

B.彈簧彈力的大小一定不變

C.小球對桿壓力的大小一定變大

D.小球所受合外力的大小一定變大

8.（2025?山東省模擬）如圖所示，一半徑為R的光滑圓環(huán)處于豎直平面內，圓環(huán)上套有質

量為m的小球，一原長為L5R的輕質彈簧一端系于球上另一端固定于圓環(huán)最低點O'o

當圓環(huán)繞過圓心的豎直軸OO轉動時，小球相對圓環(huán)靜止在P點，NPOO-30。,已知彈

簧的勁度系數(shù)上翳，重力加速度為g,則圓環(huán)轉動的角速度大小為（)

1D.'2g

R

9.（16分）（2022?福建卷43）清代乾隆的《冰嬉賦》用“蹙蹩”（可理解為低身斜體）二字揭

示了滑冰的動作要領。500m短道速滑世界紀錄由我國運動員武大靖創(chuàng)造并保持。在其

創(chuàng)造紀錄的比賽中：

（1）（4分）武大靖從靜止出發(fā)，先沿直道加速滑行，前8m用時2s。該過程可視為勻加速

直線運動，求此過程加速度大??；

（2）（5分）武大靖途中某次過彎時的運動可視為半徑為10m的勻速圓周運動，速度大小為

14m/so已知武大靖的質量為73kg,求此次過彎時所需的向心力大?。?/p>

（3）（7分）武大靖通過側身來調整身體與水平冰面的夾角，使場地對其作用力指向身體重

心而實現(xiàn)平穩(wěn)過彎，如圖所示。求武大靖在（2）問中過彎時身體與水平面的夾角3的大小。

（不計空氣阻力，重力加速度大小取lOm*,tan22o=0.40、tan27o=0.51、tan32o=0.62、

tan37°=0.75）

10.(18分X2024.江西卷44)雪地轉椅是一種游樂項目,其中心傳動裝置帶動轉椅在雪地

上滑動。如圖(a)、(b)所示，傳動裝置有一高度可調的水平圓盤，可繞通過中心。點的

豎直軸勻速轉動。圓盤邊緣A處固定連接一輕繩，輕繩另一端8連接轉椅(視為質點)。

轉椅運動穩(wěn)定后，其角速度與圓盤角速度相等。轉椅與雪地之間的動摩擦因數(shù)為〃，重

力加速度為g,不計空氣阻力。

(a)圓盤在水平雪地(b)圓盤在空中

(1)(9分)在圖(a)中，若圓盤在水平雪地上以角速度助勻速轉動，轉椅運動穩(wěn)定后在水平

雪地上繞O點做半徑為n的勻速圓周運動。求A3與03之間夾角a的正切值。

(2)(9分)將圓盤升高，如圖(b)所示。圓盤勻速轉動，轉椅運動穩(wěn)定后在水平雪地上繞Q

點做半徑為r2的勻速圓周運動，繩子與豎直方向的夾角為仇繩子在水平雪地上的投影

AiB與。1B的夾角為員求此時圓盤的角速度。2。

第四章曲線運動

第20課時圓周運動

【考情分析?探規(guī)律】

2024北京卷T7、2024江西卷T14、2024甘肅卷T8、

2024黑吉遼T2、2024江蘇卷T8、T11,2024廣東卷T5、

曲線運動2023?江蘇卷-TIO、2023?全國甲卷-T17、2023?遼寧卷?T1、

2022全國甲卷T14、2022河北卷T10、2022遼寧卷T13、

2022北京卷T8

生活中的拋體運動，自行車、汽車、火車轉彎等動力學及臨

試生活實踐類

界問題，水流星，體育運動中的圓周運動問題

題

小船渡河模型，繩、桿速度分解模型，與斜面或圓弧面有關

情

的平拋運動，圓周運動的傳動問題，圓錐擺模型，水平面內、

學習探究類

境豎直面內圓周運動的臨界問題，圓周運動中的輕繩、輕桿模

型

【知識梳理】

考點一圓周運動的運動學問題

1.描述圓周運動的物理量

定義、意義公式、單位

l.v=*定義式）=羿（與周期的

1.描述圓周運動的物體運動快慢的物理量

線速度（V）關系）

2.是矢量，方向和半徑垂直,和圓周相切

2.單位:m/s

1g=取定義式)=年(與周期的

1.描述物體繞圓心轉動快慢的物理量關系)

角速度(。)

2.是矢量，但不研究其方向2.單位:rad/s

3.C0與v的關系:V=C9尸

i.r=—=?與頻率的關系)

VJ

周期⑺1.周期是做勻速圓周運動的物體沿圓周運

2.T的單位:s

轉速⑺動一周所用的時間，周期的倒數(shù)為頻率

n的單位:r/s、r/min

頻率(/)2.轉速是單位時間內物體轉過的圈數(shù)

/的單位:Hz

22

向心描述線速度方胞變化快慢的物理量1V24K

1.l.an=—=cor=—r=cov

加速度(〃n)2.方向指向圓心2.單位:m/s?

2.勻速圓周運動

(1)定義：如果物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相等,所做的運動叫作勻速圓周

運動。

(2)特點：加速度大小不變,方向始終指向圓心，是變加速運動。

(3)條件：合外力大小不變,方向始終與速度方向垂直且指向圓心。

【小試牛刀】

【典例】LA、B兩艘快艇在水平湖面上做勻速圓周運動，在相同時間內(該時間小于

A、B的周期)，它們通過的路程之比是4：3,運動方向改變的角度之比是3：2,則

它們()

A.線速度大小之比為4:3

B.角速度之比為3：4

C.圓周運動的半徑之比為2：1

D.向心加速度大小之比為1：2

【答案】A

【解析】由。=告知，時間相同,路程之比即線速度大小之比，為4：3,A項正確；由

署知，時間相同，運動方向改變的角度之比等于快艇與圓心連線掃過的圓心角之比，

即角速度之比，為3：2,B項錯誤；由知半徑之比為8：9,C項錯誤；由向心

加速度知，向心加速度大小之比為2：1,D項錯誤。

【典例】2.如圖所示，B和C是一組塔輪，即B和C半徑不同，但固定在同一轉軸

上，其半徑之比為RB：&=3：2,A輪的半徑大小與C輪相同，它與B輪緊靠在一

起，當A輪繞過其中心的豎直軸轉動時，由于摩擦力作用，B輪也隨之無滑動地轉

動起來。a、6、c分別為三輪邊緣的三個點，則a、b、c三點在運動過程中的（）

A.線速度大小之比為3：2：2

B.角速度之比為3：3：2

C.轉速之比為2：3：2

D.向心加速度大小之比為9：6：4

【答案】D

【解析】A、B靠摩擦傳動，則兩輪邊緣上。、b兩點的線速度大小相等，即為:vb=l：

1,選項A錯誤；B、C同軸轉動，則兩輪邊緣上b、c兩點的角速度相等，即,

轉速之比四=處="選項B、C錯誤；對〃、。兩點，由詼=。導皿=黑=|,對從

九c3clTCLbRA2

C兩點，由旬=〃「得生=粵="故Cla?Cl/j?Clc9?6?4,選項D正確。

【解題技巧】

同軸轉動皮帶傳動齒輪傳動

A、8兩點在同軸的一兩個輪子用皮帶連接，兩個齒輪輪齒嚙合,A、B

個圓盤上A、3兩點分別是兩個輪兩點分別是兩個齒輪邊緣

裝置B

子邊緣上的點上的點

ARce

特點角速度、周期相同線速度大小相等線速度大小相等

轉向相同相同相反

線速度與半徑成正比：角速度與半徑成反比：角速度與半徑成反比：B

3B

BR

VBR3丁1

規(guī)律

向心加速度與半徑成向心加速度與半徑成反向心加速度與半徑成反

正比：吆比：&=3比：吆=生

aBRaBRa-B丁1

【典例】3.（多選）（2025?山東煙臺市?？迹┮晃煌瑢W玩飛鏢游戲，已知飛鏢距圓盤為L,

對準圓盤上邊緣的A點水平拋出飛鏢，初速度為。0,飛鏢拋出的同時，圓盤繞垂直

于盤面且過盤心。點的水平軸勻速轉動。不計空氣阻力，重力加速度為g。若飛鏢

恰好擊中A點，下列說法正確的是（）

b—L—

。0

A.從飛鏢拋出到恰好擊中A點，A點一定轉動到最低點位置

B.從飛鏢拋出到恰好擊中A點的時間為專

C.圓盤的半徑為焉

D.圓盤轉動的角速度一定滿足色"（左=1,2,3,…）

【答案】ABC

【解析】飛鏢拋出后做平拋運動，則從飛鏢拋出到恰好擊中A點，A點一定轉動到了圓

盤最低點位置,故A正確，?飛鏢水平拋出,在水平方向做勻速直線運動,因此,

故B正確；飛鏢擊中A點時，A恰好在圓盤最低點，有2r=|g?,解得尸器，故C正

確；飛鏢擊中A點，則A點轉過的角度滿足6=cot=Tt+2kit（k=0,1,2,???）,故。=

當當啾仁0,1,2,…），故D錯誤。

【解題技巧】勻速圓周運動的周期性和多解性問題

勻速圓周運動基本特征之一就是周期性，即在做勻速圓周運動過程中，物體的空間位置

具有時間上的重復性。這一特點決定了勻速圓周運動問題的多解性。在分析勻速圓周運

動與其他運動（勻速直線運動、平拋運動等）相聯(lián)系的問題時，利用運動的等時性（同時發(fā)

生、同時結束）是解決此類問題的關鍵。

考點二圓周運動的動力學問題

1.勻速圓周運動的向心力

（1）作用效果

向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向,不改變速度的大小。

⑵大小

V224冗2

rn=m—=mrco=nir-^-r=mcoVo

⑶方向

始終沿半徑方向指向圓心，時刻在改變，即向心力是一個變力。

2.勻速圓周運動中向心力的來源

運動模型向心力居的來源（圖示）

▲

汽車在水平路面轉彎/汽車

F鵬

水平轉臺（光滑）

Fn=FT=mBg

［一尸三

圓錐擺

mg

Fn=mgtan0

r=/sin0

飛車走壁m鍵----/

Fn=mgtan3

飛機水平轉彎

F=mgtan3

火車轉彎

\

\mg

)二2gtan0

3.離心運動和近心運動

⑴離心運動：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需向

心力的情況下，就做逐漸遠離圓心的運動。

（2）受力特點（如圖）

F=00__

F=mr<i>2）

①當尸=0時，物體沿切線方向飛出,做勻速直線運動。

②當0<衣加。2時，物體逐漸遠離圓心,做離心運動。

③當歹>加時，物體逐漸向圓心靠近,做近心運動。

（3）本質：離心運動的本質并不是受到離心力的作用，而是提供的力小土做勻速圓周運動

需要的向心力。

【小試牛刀】

【典例】1.（多選）如圖所示，雜技演員進行表演時，可以懸空靠在以角速度。勻速轉

動的圓筒內壁上而不掉下來。設圓筒半徑為廠，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。重力

加速度為g,雜技演員與圓筒內壁間的動摩擦因數(shù)為〃，則該演員（）

(O

A.受到4個力的作用

B.所需的向心力由彈力提供

C.角速度越大，人受到的摩擦力越大

D.圓筒的角速度叵

【答案】BD

【解析】雜技演員受到重力、筒壁的彈力和靜摩擦力共3個力作用，A錯誤；由于雜技

演員在圓筒內壁上不掉下來，豎直方向根據(jù)平衡條件，有mg=Ft,筒壁的彈力提供向

心力,水平方向有F=mco2r,角速度越大，彈力變大，人受到的摩擦力不變，B正確，

C錯誤；要想不下滑,最大靜摩擦力需要大于等于重力，所以2mg,F=ms2r,解得

①/國，D正確。

【典例】2.(2023速昌建卷/5)一種離心測速器的簡化工作原理如圖所示。細桿的一端固

定在豎直轉軸00,上的。點，并可隨軸一起轉動。桿上套有一輕質彈簧，彈簧一端

固定于。點，另一端與套在桿上的圓環(huán)相連。當測速器穩(wěn)定工作時，圓環(huán)將相對細

桿靜止，通過圓環(huán)的位置可以確定細桿勻速轉動的角速度。已知細桿長度L=0.2m,

桿與豎直轉軸的夾角a始終為60°,彈簧原長配=0」m,彈簧勁度系數(shù)上=100N/m,

圓環(huán)質量機=1kg；彈簧始終在彈性限度內，重力加速度大小取10m/s2,摩擦力可

忽略不計。

(1)若細桿和圓環(huán)處于靜止狀態(tài)，求圓環(huán)到。點的距離；

(2)求彈簧處于原長時，細桿勻速轉動的角速度大??；

(3)求圓環(huán)處于細桿末端P時，細桿勻速轉動的角速度大小。

【答案】(1)0.05m(2-竽rad/s(3)10rad/s

【解析】(1)當細桿和圓環(huán)處于靜止狀態(tài)，對圓環(huán)受力分析得受彈簧彈力Fm=mgcosa

=5N

根據(jù)胡克定律F=k\x得&0=字=0。5m

k

彈簧彈力沿桿向上，故彈簧處于壓縮狀態(tài)，彈簧此時的長度即為圓環(huán)到。點的距離

-A%o-O.O5m

⑵若彈簧處于原長，則圓環(huán)僅受重力和支持力，其合力使得圓環(huán)沿水平方向做勻速圓周

運動。根據(jù)牛頓第二定律得等=加302廠

tana

由幾何關系得圓環(huán)此時做勻速圓周運動的半徑為r=%osina

聯(lián)立解得。0=竿rad/s

（3）圓環(huán)處于細桿末端尸時，圓環(huán)受重力、支持力、沿桿向下的彈力。

根據(jù)胡克定律得Fr=k（L-xo）=lON

對圓環(huán)受力分析并正交分解，豎直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力,

貝！J有mg+Freosa=F^sina,

Fysin（X+FNCOSa=mco2r'

由幾何關系得r-Lsina

聯(lián)立解得①=10rad/s。

【解題技巧1圓周運動中動力學問題的分析思路

［四列）——根據(jù)牛頓運動定律和圓周運動知識列彳幫

【典例】3.（多選）四個完全相同的小球A、B、C、D均在水平面內做圓錐擺運動。如

圖甲所示，小球A、B在同一水平面內做圓錐擺運動（連接B球的繩較長）；如圖乙所

示，小球C、D在不同水平面內做圓錐擺運動，但是連接C、D的繩與豎直方向的夾

角相等（連接D球的繩較長），則下列說法正確的是（）

A.小球A、B角速度大小相等

B.小球A、B線速度大小相等

C.小球C、D向心加速度大小相等

D.小球D受到繩的拉力與小球C受到繩的拉力大小相等

【答案】ACD

【解析】對題圖甲中A、B分析，設繩與豎直方向的夾角為e，繩長為I，小球的質量為

m，小球A、B到懸點0的豎直距離為h，則mgtan6>=m<?2/sinQ，解得，

所以小球A、B的角速度大小相等，A、B做圓周運動的半徑不同，則線速度大小不相

等，故A正確，B錯誤；對題圖乙中C、D分析，設繩與豎直方向的夾角為9，小球的

質量為m,繩上拉力為后，則有mgtan0=ma,Fcos9=mg,得a=gtan0,T

nTnF=C^O~Stz,

所以小球c、D向心加速度大小相等，小球C、D受到繩的拉力大小也相等，故C、D

正確。

【解題技巧】圓錐擺模型

2__________________

1.如圖所示，向心力尸向=nigtan0=mr^=mco2r且r=Lsin6聯(lián)立解得區(qū)=JgLtanesin",

co=g

LcosG

2,穩(wěn)定狀態(tài)下，。角越大，對應的角速度s和線速度0就越大，小球受到的拉力P=翳

和運動所需的向心力也越大。

【限時訓練】（限時：60分鐘）

【基礎必刷題】1~6題每小題8分，共48分

1.（多選X2024?甘肅卷?8）電動小車在水平面內做勻速圓周運動，下列說法正確的是（）

A.小車的動能不變

B.小車的動量守恒

C.小車的加速度不變

D.小車所受的合外力一定指向圓心

【答案】AD

【解析】做勻速圓周運動的小車速度大小不變，方向時刻在改變，故動能不變，但動量

不守恒，故A正確，B錯誤；

做勻速圓周運動的小車加速度大小不變，方向時刻在改變，故C錯誤；

小車所受的合外力一定指向圓心，故D正確。

2.（2024?黑吉遼2）“指尖轉球”是花式籃球表演中常見的技巧。如圖，當籃球在指尖上

繞軸轉動時，球面上P、Q兩點做圓周運動的（）

事

八

A.半徑相等

B.線速度大小相等

C.向心加速度大小相等

D.角速度大小相等

【答案】D

【解析】由題意可知，球面上尸、。兩點轉動時屬于同軸轉動，故角速度大小相等，故

D正確；由題圖可知，球面上P、Q兩點做圓周運動的半徑的關系為rp<rQ,故A錯誤；

根據(jù)。=丫3可知，球面上P、Q兩點做圓周運動的線速度的關系為,故B錯誤；

根據(jù)為=“2可知，球面上p、Q兩點做圓周運動的向心加速度的關系為ap<aQ,故C

錯誤。

3.（2021?全國甲卷45）“旋轉紐扣”是一種傳統(tǒng)游戲。如圖，先將紐扣繞幾圈，使穿過紐

扣的兩股細繩擰在一起，然后用力反復拉繩的兩端，紐扣正轉和反轉會交替出現(xiàn)。拉動

多次后，紐扣繞其中心的轉速可達50r/s,此時紐扣上距離中心1cm處的點向心加速度

大小約為（）

外力工廠外力

A.10m/s2B.100m/s2

C.l000m/s2D.10000m/s2

【答案】c

【解析】根據(jù)勻速圓周運動的規(guī)律，

止匕曰寸a>=2?！?1OOnrad/s,

2

向心加速度大小。=。2匹1000m/s,故選Co

4.如圖所示是《天工開物》中牛力齒輪的圖畫及其原理簡化圖，牛拉動橫桿驅動半徑為

Ri的大齒輪勻速率轉動，大齒輪與半徑為4的中齒輪垂直咬合,中齒輪通過橫軸與半

徑為心的小齒輪相連，小齒輪驅動抽水桶抽水，已知牛拉橫桿轉一圈需要時間為/,則

抽水桶的運動速率約為（）

花齒輪

HS€憐哂享爐齒久,小

A2山?]7?3B2血1

R2t&R3t

C區(qū)通3口&R3t

'2nR2t2TI7?2

【答案】A

【解析】大齒輪的線速度大小為也=等，由題意可知，大齒輪和中齒輪的線速度大小

相等即怕它竽，中齒輪和小齒輪是同軸轉動具有相同的角速度根據(jù)。*可知詈=署,

LT”2尺3

解得巧=空詈，故選A。

5.(多選)如圖為質點尸以。為圓心做勻速圓周運動的軌跡圓，角速度為。，圓周上水平

虛線BD與虛線AC垂直，若質點從C點開始運動的同時在。點正上方有一小球自由下

落，重力加速度為g,要使小球與質點P相遇，則小球下落時離。點的高度可能為()

C5gn2

?4co2D得

【答案】BD

【解析】質點P經(jīng)過D點的時間為r=(n+i)T(n=0,1,2,3,-)，其中T=-,

4Ci)

要使小球與質點尸在。點相遇，則兩者運動時間相等，所以小球自由下落的高

度仁為戶:弱十瀘巴)2(〃=o,1,2,3,???),當n=0,有歷=碧，當〃=1,

NZ43o(i)

有岳=誓，故選B、Do

8a)z

6.(2024?廣東卷-5)如圖所示，在細繩的拉動下，半徑為r的卷軸可繞其固定的中心點O

在水平面內轉動。卷軸上沿半徑方向固定著長度為/的細管，管底在。點。細管內有一

根原長為5、勁度系數(shù)為左的輕質彈簧，彈簧底端固定在管底，頂端連接質量為機、可

視為質點的插銷。當以速度。勻速拉動細繩時，插銷做勻速圓周運動。若。過大，插銷

會卡進固定的端蓋，使卷軸轉動停止。忽略摩擦力，彈簧在彈性限度內。要使卷軸轉動

不停止，v的最大值為()

插銷多

細管

【答案】A

【解析】由題意可知當插銷剛卡進固定端蓋時彈簧的伸長量為,

根據(jù)胡克定律有尸=左心=￡

插銷與卷軸同軸轉動，角速度相同，對插銷，彈力提供向心力，則有F=ml^

對卷軸有v=ra）

聯(lián)立解得。=rR故選A。

【鞏固必刷題】7、8題每小題9分，9題16分，10題18分，共52分

7.（多選）（2021?河北卷-9）如圖，矩形金屬框MNQP豎直放置，其中MN、PQ足夠長，且

尸。桿光滑，一根輕彈簧一端固定在M點，另一端連接一個質量為根的小球，小球穿過

PQ桿，金屬框繞軸分別以角速度。和“勻速轉動時，小球均相對PQ桿靜止，若

（O'>CD,則與以。勻速轉動時相比，以“勻速轉動時（）

A.小球的高度一定降低

B.彈簧彈力的大小一定不變

C.小球對桿壓力的大小一定變大

D.小球所受合外力的大小一定變大

【答案】BD

【解析】對小球受力分析，設彈簧彈力為FT,彈簧與水平方向的夾角為6,則對小球豎

直方向有

Fsin0=mg,[foFt=k（上

Tcost?

可知。為定值，月不變，則當轉速增大后，小球的高度不變，彈簧的彈力不變，A錯誤，

B正確；

水平方向當轉速較小桿對小球的彈力背離轉軸時，則FTCOS。一萬Nf。2r即Fn=FtCOS

0—ma）2r

當轉速較大，桿對小球的彈力指向轉軸時，

a

則F