第11練對數(shù)

羔課后培優(yōu)練

培優(yōu)第一階一一基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題

1.有下列說法：

①零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；

②任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式；

③以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)；

④以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù).

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】①利用對數(shù)的概念即可判斷；

②當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時不可以，比如：（-2）3；

③根據(jù)常用對數(shù)的概念即可判斷；

④利用自然對數(shù)的定義即可判斷.

【詳解】對于①，零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，正確；

對于②，任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式，錯誤，當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時不可以,

比如：（-2）3；

對于③，以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，正確；

對于④，以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，正確.

綜上所述，正確命題的個數(shù)為3個，

故選C.

2.已知log3a=2,則a等于（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)的定義即可求出.

【詳解】把log3<2=2化為指數(shù)式，有0=32=9.

故選D.

3.下列各式(各式均有意義)不正確的個數(shù)為()

log.M

@loga(MAO=\ogaM+\ogaN；②loga(M—N)=；@(am)n=amn；⑤log。"=—Mogab.

log*；③*金

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)指對數(shù)的運算性質(zhì)、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的互化判斷即可得出答案.

【詳解】Vlog,M+log,N=log。(MN).???①正確;

logc

.?產(chǎn)7=log/"?②不正確；

log/

nj

,*am=.—.③正確；

也r

???(〃”)〃=優(yōu)叱?,?④不正確；

log力=工log”6.，⑤不正確.

n

不正確的有3個：②④⑤

故選：B.

4.設(shè)a=2°5,6=(g)。*,c=log20.5,則()

A.c<a<bB.a<b<c

C.c<b<aD.a<c<b

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較〃和4在根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的值域比較。和c

【詳解】a=20-5>b=2^>0,

c—log20.5<log2l=0,

:.a>b>c.

故選：C.

5.已知2*=24y=3,則會一的值為()

孫

A.1B.0C.-1D.2

【答案】C

【分析】利用指數(shù)與對數(shù)互化的公式表示出x=log?3,y=log243,再利用換底公式和對數(shù)的運算性質(zhì)化簡計

算.

【詳解】因為2"=24，=3,所以％=log2，y=log243,由換底公式和對數(shù)的運算性質(zhì)可得

3y-x3131—c101c1…181I1

-----=--------=-------------------=3log32-log324=log38-log324=log3—=log3-=-l.

xyxylog23log243243

故選：C

6.若Iog5；-log36,k>g6尤=2,則x等于（）

A.9B.-

9

C.25D.——

25

【答案】D

【分析】本題首先可通過換底公式得出謂?譬?譬=2,然后通過計算即可得出結(jié)果.

lg5lg3lg6

1

【詳解】由換底公式可得logs：鬃g36log6x=^-t^^J=2,

3lg5lg3lg6

則lgx=-21g5=lg5T,x=5-=g,

故選：D.

7.若a、b、。均為正數(shù)，且3a=5"=45。，則

.112「112「112「112

A.-------=—B.-------=-C.--------=—D.-------=一

abcbcacabcba

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，設(shè)3"=5〃=45。=左，根據(jù)指對數(shù)互化，求得。,仇。的值，根據(jù)對數(shù)運算得出

士：與工之間的關(guān)系式.

abc

【詳解】解：由題可知，a、b、c均為正數(shù)，設(shè)3"=5“=45。=%，

貝（ja=log3k,b=log5k,c=log45k,

則，=log?3,1=log,5,-=log,45,

abc

119

所以—-7=log&45-log.5=logk9=2log.3=—,

cbtaA

112

n即n：----=一.

cba

故選：D.

8.log4（3?+2Z?）=log2Vo&,則a+2b的最小值是（）

A.8+46B.8+2指C.7+4抬D.7+2若

【答案】A

【分析】先由Iog4(3a+2b)=log2而得到?,利用基本不等式“1的妙用”即可求出最小值.

【詳解】Hlog4(3a+2b)=log2\fab,log4(3tz+2Z?)=log2=log4(yfab^，

32

所以a>0,Z?>0且3a+2b=〃/?,即:+―=1,

ba

32

所以Q+2Z?=(〃+2b)x—+—

ba

c3〃4Z?,

2+——+——+6

ba

\3a4。

>8+2,—x—

ba

=8+4百

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=竺時，即a=2君+2,b=出+3時等號成立.故選：A

ba

二、多選題

9.下列四個等式正確的是()

A.lg(lglO)=OB.lg(lne)=O

C.若lgx=10,貝!!x=10D.若lnx=e,則了=/

【答案】AB

【分析】根據(jù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化，對數(shù)的運算對各選項作出判斷.

【詳解】對于A,因為lglO=l,所以lg(lglO)=O,故A正確；

對于B,因為lne=l,所以lg(lne)=。，故B正確；

對于C,若班=10,貝鼠=m。，故C錯誤；

對于D,若lnx=e,則無=0，,故D錯誤.

故選：AB.

10.已知10"=2,10〃=3,則()

a+b

A.Ig6=a+bB.log34=—C.log,12=-D.lg—

bala

【答案】ABC

【分析】通過換底公式，再結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】由題意，a=lg2,6=lg3,所以lg6=lg2+lg3=a+6,A正確；

lg421g22a

logs4=或=而=了B正確;

.lgl2Ig3+21g22a+b

12「C正確;

?°g2=lg27=—lg2—=--a-

3

lg-=lg3-lg2=/>-a,D錯誤.

故選：ABC.

11.歷史上數(shù)學(xué)計算方面的三大發(fā)明為阿拉伯?dāng)?shù)字、十進(jìn)制和對數(shù)，常用對數(shù)曾經(jīng)在化簡計算上為人們做

過重大貢獻(xiàn)，而自然對數(shù)成了研究科學(xué)、了解自然的必不可少的工具.現(xiàn)有如下四個關(guān)于對數(shù)的運算，其中

正確的是（）

A.Ine2=2B.Igl25=3-31g2

C.log34xlog32=log38D.log23xlog34xlog42=l

【答案】ABD

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則逐個判斷即可

【詳解】由對數(shù)運算規(guī)律可知，Ine?=2,所以A正確；

Igl25=lg53=31g5=3-31g2,所以B正確；

log34+log32=log38,所以C錯誤；

log23xlog34xlog42=^|x^|x^|=l,所以D正確.

1g21g3lg4

故選ABD.

12.已知牙=3，b=log321則（）

A.a-\-b>2B.ab=l

D.盛產(chǎn)”

C.3b+3-b=—

92a

【答案】ABD

【分析】先求出a=log?3,即可求出成=1,再基本不等式判斷A,D項先將原式化簡即可；直接計算可判

斷C.

【詳解】由20=3,^a=log23.

aZ?=log23xlog32=l,故B正確;

由。，b>0,且a1b得a+b>2踴=2,故A正確;

3〃+3-"=3啕2+3一幅2=3log32+31O832=2+-=-,故C錯誤;

〃(Z?+1)+1ab+a+l2+Q11

=log32+log3=log32^3=log912,故D正確.

laa2

故選ABD.

三、填空題

13.(lg2)2+lg5xlg20+(V2016)+0.027^x

【答案】102

【分析】本題考查指數(shù)對數(shù)的運算，只需熟悉常用的對數(shù)運算性質(zhì)和指數(shù)運算性質(zhì)，逐一運算即可.

【詳解】（lg2y+lg5xlg20+（V2O16）0+0.027卷xW

=(lg2)2+Ig5x(21g2+lg5)+l+[(0.3)3『x9

=(lg2+lg5)2+l+—x9

、)0.09

=1+1+100

=102.

故答案為：102.

blo5

14.已知2。=3，=g8，貝U4a-3&=.

o

【答案】—##0.36

【分析】由指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)求解

【詳解】因為2。=3,所以。=log?3,又6=log85,所以b=；log25,

所以a-3Z>=log25,4"-奶=2"°%，

故答案為：:

15.(log43+log83)(log32+log92)=.

【答案】|

4

【分析】由對數(shù)的換底公式和對數(shù)的運算公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.

【詳解】由對數(shù)的換底公式和對數(shù)的運算公式，可得

zlog23log2311535

2

log24log28log23log23621og234

21

16.已知x〉0,y>0,且Ig2"+lg8,=lg2,則一+一的最小值為.

1y

【答案】5+2A/6##2A/6+5

2121

【分析】由Ig2"+lg8'=lg2可得％+3y=l,貝n!!l一十—=—+—（元+3y）化簡后利用基本不等式可求得答案

%yxy

【詳解】因為lg2、+lg8y=lg2,所以Ig(2"8)=lg2i=lg2,

所以％+3y=l,

因為％>0,y>°,

所以2+工=[2+■l](x+3y)

xyyj

=2+叟+±+3

xy

25+2但上=5+2斯,

當(dāng)且僅當(dāng)曳=2,即X=C-2,y=三避時取等號，，

%y3

21L

所以一+一的最小值為5+2卡，

xy

故答案為：5+2e

四、解答題

17.計算：

（1）（log33；）2+logo.25—+91og5y[5~log班1;

21g2+lg3

（2）11..

l+-lg0.36+-lgo8

23

【答案】（1）f;（2）1.

【分析】（1）利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡即得解；

（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)先化簡分母，再化簡分式即得解.

【詳解】解：；（1）（log33i）2+logo,25—+91og5>/5-log1

=（-）2+l+9x|-0=-+l+-=—.

22424

21g2+lg3

（2）1.?,1.0

l1+-lg0.3Q6+-lg8

21g2+lg3

=1921o3

l+2lg0.6+ilg2

_21g2+lg3_21g2+lg3

—l+lg0.6+lg2—l+lg6-lgl0+lg2

21g2+lg3_21g2+lg3

「Ig6+lg2-Ig2+lg3+lg2

=-21-g2-+-lg-3=I,

21g2+lg3,

18.計算：（1）已知log23=〃,3"=7,試用表示logi256；

2

（2）lg25+|lg8+lg5-lg20+（lg2）.

【答案】（1）也2.（2）3

a+2

1,log,7+31og,2

【分析】（1）由題設(shè)可得6=log37,-=log32,由換底公式及對數(shù)的性質(zhì)可得bg“56=甘、~十,

a1+ziog3z

從而可用表示log1256.

(2)利用對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)的性質(zhì)可將原式化為2+lg5+lg2(lg5+lg2),利用Ig5+lg2=l可得所求的

值.

【詳解】(1)由3:7,得人=1%7

由1。8,3=。得工=10832,

a

（）

log56Iog37x23

10gl256=3

當(dāng)

log3121*0><

logs7+3logs2_"3x°_ab+3

l+21og32\+2X「K

a

（2）原式=lg（25x4）+lg5（l+lg2）+（lg2）2

=2+lg5+Ig2（lg5+Ig2）=2+lg5+lg2=3.

19.(1)已知a—〃T=1,求--3)的值;

a-a

(2)計算(1g2)3+31g24g5+(lg5)3的值.

【答案】(1)0；(2)1.

【分析】(1)利用完全平方公式求得2=3,代入后解得值為0；

(2)先利用立方和公式，再利用完全平方公式求解.

【詳解】(1)。一。7=1，兩邊平方得：=/-2+。-°=1,所以標(biāo)+a-2=3,

6二(dP+Q3)(/+〃2—3)(d+〃，(3—3)_

所以戶彳=八-=0,

(2)(1g2戶+31g2-lg5+(lg5P

=(lg2+lg5)(lg22+lg25-lg21g5)+31g21g5

=lg22+lg25+21g21g5

=(lg2+lg5)2=1.

20.候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進(jìn)行大規(guī)模遷徙，研究某種候鳥的專家發(fā)現(xiàn)，該種候鳥的飛行速度v(單

位：加小)與其耗氧量。之間的關(guān)系為丫=。+加強3K(其中。、。是常數(shù)).據(jù)統(tǒng)計，該種鳥類在靜止時

的耗氧量為30個單位，而其耗氧量為90個單位時，飛行速度為Im-s1.若這種候鳥為趕路程，飛行的速度

不能低于2m-st求其耗氧量至少要多少個單位.

【答案】270個單位

八30c

?+^log3—=0

【分析】由題意得出解出。、6的值，然后令v22,可得出。的取值范圍，由此得出候

八90,

a+blog?布=1

鳥在飛行時速度不低于2m.S-時的最低耗氧量.

"+61og3]0-O(a+b=0[a--\Q

【詳解】由題意，知90，即a+25T'解得67，所以人T+g(

。+加嗎記=111

要使飛行速度不能低于2mE，則有心2,即-1+1嗨222,即log3s23,

解得得227,即。2270,所以耗氧量至少要270個單位.

培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練

一、單選題

L1。)(3-2夜)等于(I

A.12B.-4C.2D.4

【答案】A

【分析】先把真數(shù)化為3-2A/2=(、歷+1廠的形式后再根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)求解.

【詳解】：3—2拒=2—2應(yīng)+1=（0）2—2&+y=（a—1）2==（&+1產(chǎn)

幅可）（3-2應(yīng)）=bg網(wǎng)（應(yīng)+r=2

故選A.

2.已知3x=5v=a,且—+—=2,則a的值為（）

xy

A.V15B.15C.±715D.225

【答案】A

【分析】把指數(shù)式化為對數(shù)式，再利用對數(shù)的運算法則即可得出答案

【詳解】y=5y=a

.-.xlg3=ylg5=lg<2

,I=jg3_L=Jlg5

xIgay\ga

則2」+L里士更一些

xyIgaIga

Iga2=lgl5,-.a>Q

a=s/15

故選A

3.計算（log、2+log?3y-限：；的值是（）

log23log32

A.Iog26B.Iogs6

C.2D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算公式和對數(shù)的換底公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.

【詳解】根據(jù)對數(shù)的運算公式，化簡可得：

2e2222

(1°§32+log,3)--=(logs2)+2log32log,3+(log23)-(log32)-(log23)-

log23log32

=210g3210g23=21og32--^—=2.

log32

故選：c.

4.已知〃=logs3,b=log22A/2,c=log2^3A/3,則〃，b,c的大小關(guān)系為（）

A.c>b>aB.b>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

【答案】A

【分析】先將。，A。分別與1比較大小，得b>。，再利用對數(shù)運算法則化簡。，比較。力的大小.

【詳解】因為a=log53<l,Z?=log22^>l,c=log2^3A/3>1,所以加，c>a,

因為。=1。殳應(yīng)36=log827=log23>/?=log22>/2,所以c>b>a.

故選：A

5.若近9=100,則坨尤的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】化簡暇-y=100,求得關(guān)于lgx與lgy的等式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得igxJgy的最大值.

【詳解】對近h=100等號兩邊同時取對數(shù)，得lg（&y）=lgl00=2,

即:lgx+lgy=2,令t=lgy?eR）,貝！|lgx=8-4r,

所以lgx-lgy=（8-4r?=-4產(chǎn)+8f=Y（f-l）2+444,

即Igx/gy的最大值是4（此時f=l,對應(yīng)y=10,x=l（）4）.

故選：D

6.為了衡量星星的明暗程度，公元前二世紀(jì)古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯提出了星等這個概念.星等的數(shù)值越小,

星星就越亮.1850年，由于光度計在天體光度測量的應(yīng)用，英國天文學(xué)家普森又提出了亮度的概念，天體的

明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足町-色=25（1螞-IgEj,其中星等為強的星

的亮度為E“無=1,2）.已知小熊座的“北極星”與大熊座的“玉衡”的星等分別為2.02和L77,且當(dāng)國較小時，

10x?l+2,3x+2.7x2,貝『'玉衡”與“北極星”的亮度之比大約為（）

A.1.28B.1.26C.1.24D.1.22

【答案】B

E.

【分析】理解題意，把已知數(shù)據(jù)代入公式計算皆即可.

￡2

E

【詳解】由題意2.02—1.77=2.5（坨￡2-坨耳），可得3言=°」，

匕2

012

A=io?1+2.3X0.1+2.7X0.1=1.257?1.26

E2

故選：B.

7.已知log?3=切，腕37="，則1084256=（）

mn+3m+n+3-mn+3mn+3

------B.----------C.----------D.

mn+12m+〃+1mn+m+lmn-m+1

【答案】c

【分析】由換底公式和對數(shù)運算法則進(jìn)行化簡計算.

【詳解】由換底公式得：Iog27=log23-log37=m〃，log72=Llog4256=log427x8=log427+log勒8,其中

mn

_1111mn

OQ7--------=---------=-----------------=-----------=-----------

-log7421+log761+log72+log73j\\mn+m+1，

mnn

333,,,mn3mn+3

,og?8=31og-2=^,RX10g4256=I—

log26+log271+m+mnmn+m+\1+m+mnmn+m+l

故選：C

8.設(shè)a=ln3,貝Ij/?=lg3,則（）

A.a-\rb>a—b>abB.a+b>ab>a—bC.a—b>a-\-b>abD.a-b>ab>a-\rb

【答案】A

【解析】根據(jù)換底公式可得6=耳，再化簡。+仇。-),他，比較ln3,lnl0-l,lnl0+l的大小，即得答案.

In10

【詳解】6=坨3=1。當(dāng)°3=黑，

In10

.?Xn3+￡J3（mKM-3-g-3皿。-1）,

In10In10In10In10

.In3xIn3

ab=---------.

In10

ln3>0,lnl0>0,顯然a+〃:>〃一b.

3e<10,「.ln（3e）vlnlO,即ln3+l<lnl0,.\ln3<lnl0-l,

In3xln3ln3（ln10-l）

In10Inlo即ab<a-b.

綜上，a+b>a-b>ab.

故選：A.

二、多選題

9.若10a=4,10b=25,則（）

A.a+b=2B.b-a=1C.oi>>81g22D.b-a<lg6

【答案】AC

【分析】由指對互化求出6,進(jìn)而利用對數(shù)的運算法則求出。+6和b-a的值，可判斷ABD,且

a￡>=21g2x21g5=41g2-lg5>41g2-lg4,可判斷C.

【詳解】解：,.TO"=4,10"=25,，a=lg4,6=lg25,o+6=lg4+lg25=lgl00=2,所以選項A正確；

25

Z7-a=lg25-lg4=lgy>lg6,選項BD錯誤；"=21g2x21g5=41g2Jg5>41g2Jg4=81g22.所以C正確.

故選：AC.

10.若2工=3,3，=4,則下列選項正確的是（）

3

A.y>-B.C.xy=2D.x+y>2s/2

【答案】BCD

33

【分析】先將2，=3,3>=4化為對數(shù)式，然后比較x與bg"5的大小，及》與10&3^的大小可判斷A,B

的正誤；再分別計算孫及x+V,判斷C,D的正誤.

3o3

【詳解】由題設(shè)知％=1鯉23,=log,4,因為Iog34<log332=弓，iog03>k）g225=3，

22

3

所以y<],x>j,即A錯誤，B正確；

=log23xlog34=21og,3xlog32=2,故C正確；

X-r+y=log23+-^-->2A/2,

log23

故選：BCD.

11.已知正數(shù)無，》z滿足3工=4，=6二，則下列說法中正確的是（）

1112（下!rz

x2yzI2J

【答案】ACD

【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為對數(shù)的形式，利用對數(shù)運算、商比較法、基本不等式等指數(shù)對選項進(jìn)行分析,

從而確定正確答案.

【詳解】正數(shù)X,y,Z滿足3X=4，=6Z,設(shè)3'=平=67=《/>1),

則x=log31,y=log41,z=log61.

對于A,'+1=log,3+!log,4=log,6=」，故A正確；

x2y2z

對于B,3x=31og3r,4y=41ogJ,6z=61og6Z,

3x310g3，3

?.?一=-^-=??

-log6334<l,.3x<4yf

4y41og4r4

4y41ogr21.

=4=10g6r<14y<6z,.\3x<4y<6z,故B錯誤；

6z7610rg6^，T3-*-

對于C,由工二工十-1-〉？/一1-(尤*2y),兩邊平方，可得孫>2Z2,故C正確;

zx2y72xy

對于D,由xy>2z2,可得x+y>2j^>2V^=20z>[下-+0z(x*y),故D正確.

故選：ACD

12.已知正數(shù)x,y,z滿足3，=4>'=12，，則()

111,

A.—+—=-B.6z<3x<4yC.xy<4zD.x+y>4z

xyz

【答案】ABD

【分析】設(shè)3*=4，=12]=/,"1,求出％y，z,根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)及換底公式計算即可判斷A；利用作

商法即可判斷B；利用作差法即可判斷D；再根據(jù)AD即可判斷C.

【詳解】解：設(shè)3工=4V=12[=/,t>l,

貝I]x=log31,y=log41,z=log12/,

1111°1

所以1+7=兩+嬴Tbg'3+bg，4=bg/2=jA正確;

6z210g》

因為丁=則6z<3x,

log3f

3x_310g31_3log,4_log,64

貝

因為=log8i64<1,lJ3x<4y,

4y41og414log,3log,81

所以6z<3尤<4y,B正確;

因為

114log,3+log,44

y-4z=logt+log1-4log1=--------1--------------------

3412log,3log,4log,12log,3log,4log,3+log,4

(log,3-log,4)2

log,31og,4(log,3+logr4)

貝l|x+y>4z,D正確.

因為！='+'='貝ij3^=x+y>4z,所以孫>4z?,C錯誤.

z尤y孫z

故選：ABD.

填空題

13.lg25+lg2-lg50=.

【答案】1

【分析】將lg50變形為lg50=l+lg5,去括號后提公因式，然后利用對數(shù)的運算性質(zhì)即可計算出所求代數(shù)

式的值.

【詳解】原式

=lg25+lg2-(lg5+lglO)=lg25+lg2-(lg5+l)=lg25+lg2-lg5+lg2=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=l.

故答案為：1.

r\3x

14.已知X=log23,求1———=_______.

2%—2%

91

【答案】y

【分析】利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化，代入即可求解.

【詳解】由X=log23,得2x=3,；.2-x=L=

23

23%=(2x)3=33=27,2-3%=,

77--c

?2^-2_3X_27_27-1_728_91

2X-2-X~&1_3x27-9-72-9,

j—

3

01

故答案為：—

15.E^Dlog4(x+4y)=l+log2j^,則x+2y的最小值為.

【答案】|+應(yīng)

【分析】根據(jù)對數(shù)得運算性質(zhì)可得x+4y=4盯，則：+A=1，再根據(jù)x+2y=(x+2y)結(jié)合基本不

等式即可得解.

【詳解】解：H>glog4（x+4y）=l+log27^,

所以腕4（尤+4y）=1+log4xy=log4（4xy）,

所以尤+4y=4.p,故工+；=1,且x>0,y>0,

x4y

所以心=（心）卜小=|+?+亍|+2^^二產(chǎn)

當(dāng)且僅當(dāng)幺=F，即》=2±2叵,丫=1±1時，取等號，

尤4y24

所以無+2y的最小值為T+

故答案為：-1+^2.

4

16.已知實數(shù)。，夕滿足ae0=e3,^（ln^-l）=e,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則3=—

【答案】e"

【解析】對等式兩邊取e為底的對數(shù)，變形可得c+lna-3=0,ln，-l+ln（ln/-l）-3=0,從而可知所以a

和In尸-1是方程天+山左-3=0的根，結(jié)合方程有唯一根可得a=In夕-1,再結(jié)合a+lna-3=0,即可得

lna+ln/?=4,即可求出加.

【詳解】實數(shù)a,/滿足彘。=?3,0（111￡-1）=/，,

所以e+lna=3,ln，+ln（ln，-1）=4,

即e+lna-3=0,ln/7-l+ln（ln；0-l）-3=O,

所以a和In乃—1是方程彳+Inx—3=0的根，

由于方程x+lnx—3=0的根唯一，

所以a=ln夕一1,所以3-lna=ln〃一l,整理得lna+ln￡=4,

所以=/.

故答案為：/

四、解答題

17.已知x,y,z為正數(shù)，3x=4y=6z,且2x=py.

（1）求p的值；

4111

(2)求證：—一—二---.

zx2y

【答案】(1)210g34；(2)證明見解析.

【詳解】(1)設(shè)洋=4y=6z=k(顯然k>0,且k，l),則x=log3k,y=log4k,z=k)g6k.

由2x=py,得==p

log34

Vlogsk^O,

/.p=21og34.

…1111,一一，

(2)證明：--------------------=logq6T*ga3=1廠

zxlog<klog；k

又,??￡-=glog,4=log、2,

111

-------------.

Ig8+lgl25-lg2Tg5

“igA/io-igo.i

(3)己知”,6,c為正實數(shù)，x=by=cz,-+-+-=0,求/c的值.

axyz

【答案】(1)2；(2)T；(3)abc=\

【解析】（1）根據(jù)指數(shù)幕的運算，化簡即可得解.

（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，化簡即可得解.

（3）根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，結(jié)合對數(shù)的運算與換底公式化簡即可得解.

【詳解】（1）根據(jù)指數(shù)塞的運算性質(zhì)化簡可得

=?1+2=2

（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)化簡可得

Ig8+lgl25-lg2-lg5

Ig^lgO.l

Ig(8xl25)-lg(2x5)

jlglOxlglO1

=JT=-4

2X(-1)

xyz

(3)a,6,c為正實數(shù)，a=b=c,

^ax=by=cz=k>0>

由指數(shù)與對數(shù)的互換，結(jié)合換底公式化簡可知

lgk

ax=k所以工二匕81女二"；-，

lgk

by=k，所以>=iogb%=r"r，

ig。

lgk

cZ=k，所以Z=10gc左=")—,

Ige

,111c

因為―+—+—=0,

xyz

Ig￡+lg&+]gc=0⑶Iga+lgb+lgclg"，

'lg^IgkIgk，IgkIgk

所以Iga6c=0,

即abc—1.

19.(1)設(shè)lg6=a,lgl2=Z?,試用a,6表示lg24和lgl20；

(2)設(shè)lg6=a,lgl5=6,試用0,方表示lg24和lgl20.

313

【答案】(1)lg24=26—a,lgl20=&+l:(2)lg24=2。-6+1,lgl20=-a--Z>+-

一一'222

【分析】根據(jù)對數(shù)的基本公式求解即可

102

【詳解】(1)1g24=1g——=21gl2-lg6=2&-a,lgl20=lg(12xl0)=lgl2+lgl0=&+l；

6

即lg24=26—a,lgl20=^+l

(2)因為lg6=a,故Ig2+lg3=a；

a+b—1

lg3=

Ig2+lg3=a2

又lgl5=b,^Igl5=lg3+lg5=lg3+lgy=lg3+l-lg2=fe,,故-

Ig3-lg2=Z>-1a—Z?+1

lg2=

2

felg24=lg(23x3)=31g2+lg3=3x6Z-Z?+1+^Z?-1=26i-Z?+l

22

2

lgl20=lgl2+lgl0=lg（2x3）+l=21g2+lg3+l=2x-^1^I-+^Azl+i=|a_l^+|gpig24=2a-Z?+l,

313

lgl20=-a——b+-

222

20.我們知道，聲音通過空氣傳播時會引起區(qū)域性的壓強值改變.物理學(xué)中稱為“聲壓”用P表示（單位：Pa

（帕））：“聲壓級”S（單位：dB（分貝））表示聲壓的相對大小.已知它與“某聲音的聲壓P與基準(zhǔn)聲壓

E=2xl（T5pa的比值的常用對數(shù)（以10為底的對數(shù)）值成正比"，^s=k\g—^—“是比例系數(shù)）.當(dāng)聲

??,2x10

壓級S提高60dB時，聲壓P會變?yōu)樵瓉淼?000倍.

（1）求聲壓級S關(guān)于聲壓P的函數(shù)解析式；

（2）已知兩個不同的聲源產(chǎn)生的聲壓尸/,巳疊加后得到的總聲壓P=,而一般當(dāng)聲壓級S<45dB時

人類是可以正常的學(xué)習(xí)和休息的.現(xiàn)窗外同時有兩個聲壓級為40dB的聲源，在不考慮其他因素的情況下，請

問這兩個聲源疊加后是否會干擾我們正常的學(xué)習(xí)？并說明理由.（參考數(shù)據(jù)：lg2M.3）

P

【答案】（1）S=201g丁行

（2）不會，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)已知條件代入具體數(shù)據(jù)即可求出參數(shù)上的值，從而確定解析式

（2）將聲壓級代入解析式求出聲壓，根據(jù)尸=而透求出疊加后的聲壓，代入解析式可求出對應(yīng)的聲壓

級，與45比較大小，判斷是否會干擾學(xué)習(xí)

（1）

pP（尸、

由題意得：左坨丁3+60=左1000P炮霽+3+lg--^,所以女=60歡=20,所以

2x102x102x10I2x10）

聲壓級S關(guān)于聲壓P的函數(shù)解析式為S=201g云幕

（2）

不會干擾我們正常的學(xué)習(xí)，理由如下：

ppP

將S=40代入S=201gTK得：恒「0=2,所以TK=102,解得：^=2x10^,即《=8=2、10-3

2x102x102x10

所以P=j￥+玲=04=20x10-3,代入s=201g:n-5得:

/X_Lu

S=201g笠第二=2Olg（0xl（）2）=4O+lOlg2土43<45,所以不會干擾我們正常的學(xué)習(xí).

培優(yōu)第三階——高考沙場點兵

一、單選題

1.（2021.天津.高考真題）若2。=5=10,則工+：=（）

ab

A.-1B.Ig7C.1D.log710

【答案】C

【分析】由已知表示出“力，再由換底公式可求.

【詳解】20=5*=10,.?.a=log210,Z>=log510,

1