第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市德強高級中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.某公交車上有6位乘客，沿途4個車站，乘客下車的可能方式有(

)A.64種 B.46種 C.24種 D.2.觀察下列散點圖，其中兩個變量的相關(guān)關(guān)系判斷一定正確的是(

)

A.圖1中y與x呈正相關(guān)

B.圖2中y與x不相關(guān)

C.圖3中y與x的線性相關(guān)系數(shù)小于0

D.圖1中y與x的線性相關(guān)系數(shù)小于圖2中y與x的線性相關(guān)系數(shù)3.無人機飛行最大距離是無人機性能的一個重要指標(biāo).普宙S2000系列是我國生產(chǎn)的一款民用無人機，其飛行的最大距離X(千米)服從正態(tài)分布X～N(15,σ2)，記P(X>15?σ)=a，P(15?σ<X<15)=b，當(dāng)σ變小時，則A.a變大 B.b變小 C.a+b不變 D.a?b變小4.將12個相同的小球全部放入4個不同的盒子里，每個盒子至少放2個小球，則不同的放法共有(

)A.24種 B.35種 C.56種 D.70種5.二項式定理與組合數(shù)聯(lián)系十分緊密，我們可以借助二項式來研究組合數(shù)中的某些性質(zhì)，進(jìn)而得到一些結(jié)論，例如，對于n次二項式(1+x)n=i=0nCnixA.42024+44048 B.24048+6.若隨機變量X～B(10,0.6)，則D(2X?1)=(

)A.4.8 B.2.4 C.9.6 D.8.67.已知某校包含甲、乙、丙在內(nèi)的7名同學(xué)參加了某次數(shù)學(xué)競賽，并包攬了前7名(排名無并列)，若甲、乙、丙中的兩人占據(jù)前兩名，且丙不是最后兩名，則這7名同學(xué)獲獎的名次情況共有(

)A.524種 B.564種 C.624種 D.664種8.端午將至，超市特推出“粽情一夏，情濃端午”為主題的甲乙兩款端午粽子禮盒，但是由于工作人員分裝時的疏忽，禮盒內(nèi)的粽子發(fā)生了錯亂，此時甲款禮盒內(nèi)已有一個肉粽，乙款禮盒內(nèi)有三個肉粽和三個甜粽，現(xiàn)從乙款禮盒內(nèi)隨機取出β個粽子，其中含γ個肉粽，放入甲款禮盒后，再從甲款禮盒內(nèi)隨機取出一個粽子，記取到肉粽的個數(shù)為α，其中α，β∈N?，下列說法正確的是(

)A.隨著β的增大，E(α)增加，D(α)增加 B.隨著β的增大，E(α)增加，D(α)減小

C.隨著β的增大，E(α)減少，D(α)增加 D.隨著β的增大，E(α)減小，D(α)減小二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知A?，B?分別為隨機事件A，B的對立事件，P(A)>0，P(B)>0，則(

)A.當(dāng)A，B獨立時，P(A|B)=P(A)

B.當(dāng)A，B互斥時，P(A|B)=P(B|A)

C.P(B|A)+P(B?|A)=P(A)10.已知離散型隨機變量X的分布列如下表：X0125Pa2a+0.2a+0.22a則下列說法正確的是(

)A.a=0.2 B.E(X)=2 C.D(X)=2.6 D.E(2X+6)=911.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子(六個面上的數(shù)字是1、2、3、4、5、6)，拋擲兩次.設(shè)事件A：“兩次向上的點數(shù)之和大于7”，事件B：“兩次向上的點數(shù)之積大于20”，事件C：“兩次向上的點數(shù)之和小于10”，則(

)A.事件B與事件C互斥 B.P(AB)=572

C.P(B|A)=25 D.事件三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.二維碼的圖案主要由黑、白兩種小正方形組成.現(xiàn)對由4個小正方形組成的“”進(jìn)行涂色，每個小正方形隨機涂成黑色或白色，則恰好涂成兩個黑色和兩個白色的概率為______．13.要把6本不同的課外書分別裝到三個相同的手提袋里，一共有______種不同的裝法．14.一質(zhì)點落在三棱錐A?BCD的頂點A處，每次均以相同的可能性沿著某條棱移動到另一個頂點處，記事件Ei(i∈N?)表示“該質(zhì)點第i次落在頂點A”，Ei?為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知(x2?1x)n的展開式中第3項的系數(shù)與第5項的系數(shù)之比為314．

16.(本小題15分)

2024年10月30日，我國神舟十九號載人飛船順利升空，并與中國空間站成功對接.為弘揚航天精神，某大學(xué)舉辦了一次“逐夢星辰大海一一航天杯”知識競賽.競賽分為初賽和決賽，初賽規(guī)則為：每位參賽者依次回答5道題，連續(xù)答錯2道題或5道題都答完，則比賽結(jié)束.假定大學(xué)生張某答對這5道題的概率依次為45,34,12,12,12，且各題是否答對互不影響．17.(本小題15分)

為響應(yīng)國家促進(jìn)消費的政策，某大型商場舉辦了“消費滿減樂翻天”的優(yōu)惠活動，顧客消費滿800元(含800元)可抽獎一次，抽獎方案有兩種(顧客只能選擇其中的一種)．

方案1：從裝有5個紅球，3個藍(lán)球(形狀、大小完全相同)的抽獎盒中，有放回地依次摸出3個球，每摸出1次紅球，立減150元，若3次都摸到紅球，則額外再減200元(即總共減650元)；

方案2：從裝有5個紅球，3個藍(lán)球(形狀、大小完全相同)的抽獎盒中，不放回地依次摸出3個球，中獎規(guī)則為：若摸出3個紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球，則打5折；其余情況無優(yōu)惠．

(1)顧客A選擇抽獎方案2，求他能夠享受優(yōu)惠的概率．

(2)顧客B恰好消費了800元，

①若他選擇抽獎方案1，求他實付金額的分布列和期望(結(jié)果精確到0.01)；

②試從實付金額的期望值分析顧客B選擇何種抽獎方案更合理．18.(本小題17分)

一盒子中有大小與質(zhì)地均相同的20個小球，其中白球n(3≤n≤13)個，其余為黑球．

(1)當(dāng)盒中的白球數(shù)n=6時，從盒中不放回地隨機取兩次，每次取一個球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求P(B|A)和P(B)，并判斷事件A與B是否相互獨立；

(2)某同學(xué)要策劃一個抽獎活動，參與者從盒中一次性隨機取10個球，若其中恰有3個白球，則獲獎，否則不獲獎，要使參與者獲獎的可能性最大、最小，該同學(xué)應(yīng)該分別如何放置白球的數(shù)量n？

(3)若n=9，參與者從盒子中有放回的隨機取m次球，若其中取到白球的個數(shù)為ξ，ξ=k(k=0,1,2,…,m)，則m為何值時，概率P(ξ=6)的值最大？19.(本小題17分)

已知某商店出售商品A，根據(jù)統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)顧客對商品A的需求量相對穩(wěn)定，每周內(nèi)對商品A的不同需求量(單位：個)與概率的數(shù)據(jù)如下：對A的需求量0123概率P1111若以商品A的庫存作為供給量，為了改善經(jīng)營，該商店決定每周末對商品A進(jìn)行盤點存貨：如果商品A都售出了，則在周末及時采購2個新的商品，只要商品A還有1個存貨，就不采購新的商品.記xn為該商店第n周開始時商品A的供給量，假設(shè)X1=2．

(1)求x2的分布列；

(2)證φn=(P(Xn=1),P(Xn=2))為第n周開始時供給量Xn的概率向量，隨著n的增大，若φn+1=φn，則φ參考答案1.B

2.D

3.C

4.B

5.B

6.C

7.C

8.C

9.ABD

10.BC

11.AC

12.3813.90

14.496115.解：(1)由題設(shè)，得Cn2(?1)2：Cn4(?1)4=314，

則n(n?1)2n(n?1)(n?2)(n?3)4?3?2=16.(1)用Mi(i=1,2,3,4,5)表示張某第i道題答對，用Mi?(i=1,2,3,4,5)表示張某第i道題答錯，

由題意得P(M1)=45，P(M2)=34，P(M3)=12，P(M4)=12，P(M5)=12，

記張某得到直升卡為事件K，

則P(K)=P(M1X2345P11353所以E(X)=2×117.(1)若顧客A選擇方案2，設(shè)事件M表示“能夠享受優(yōu)惠”，

若顧客A選擇方案2，他能夠享受優(yōu)惠包含兩種情況：連摸三個紅球，享受免單或摸出兩個紅球和一個藍(lán)球，享受打五折優(yōu)惠；

盒中共有8顆球，不放回依次摸三個球，總情況有C83=56種；

享受免單，恰從5顆紅球中摸了3個球，總情況有C53=10種；

恰摸出兩個紅球1個藍(lán)球的情況有C52?C31=30種，

所以P(M)=C53+C52?C31C83=10+3056=57．

(2)①設(shè)顧客B選擇抽獎方案1時實付金額為X元，

從裝有5X800650500150P27135225125實付金額的期望為E(X)=800×27512+650×135512+500×225512+150×125512=240600512≈469.92；

②設(shè)顧客B選擇抽獎方案2時實付金額為Y元，

當(dāng)摸出0個紅球或1個紅球時，P(Y=800)=C33C83+C5118.(1)一盒子中有大小與質(zhì)地均相同的20個小球，其中白球n(3≤n≤13)個，其余為黑球，

當(dāng)盒中的白球數(shù)n=6時，從盒中不放回地隨機取兩次，每次取一個球，

用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，

當(dāng)n=6時，盒中有6個白球，14個黑球，

則P(A)=620=310，P(B|A)=519，P(B|A?)=619，

∴P(B)=P(AB)+P(A?B)=P(A)P(B|A)+P(A?)P(B|A?)

=310×519+710×619=310，

則P(B|A)≠P(B)，

∴事件A與B相互不獨立．

(2)參與者從盒中一次性隨機取10個球，若其中恰有3個白球，則獲獎，否則不獲獎，

從20個球中取10個球，恰有3個白球的概率P=Cn3C20?n7C2010，3≤n≤13，

設(shè)f(n)=Cn3C20?n7，

當(dāng)3≤n≤12時，f(n+1)f(n)=Cn+13C19?n7Cn3C20?n7=(n+1)!3!(n?2)!?(19?n)!7!(12?n)!n!3!(n?3)!?(20?n)