第六章數(shù)列（測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.等比數(shù)列｛q｝的前“項和S"=4"T+f,貝曠=（）

A.—1B.—C.—D.—

423

【答案】B

【解析】若等比數(shù)列｛““｝的公比為1,

因為S]=t,S2=4+t,S3=16+1,

貝ij4+1=2，,16+1=3,，矛盾，故qwl

設等比數(shù)列｛%｝公比為q（q中1），則S“=j"）

1-q1-q1-q

即等比數(shù)列｛%｝的前〃項和S"要滿足S"=AB"-A（AB豐0）,

又因為S=4"T+f=：x4"+f,所以"-二

44

故選：B

2.已知等差數(shù)列｛%｝中，的是函數(shù)/（x）=sin（2x-1）的一個極大值點，則tan（%+%）的值為（）

A.gB.73C.±73D.-73

【答案】D

【解析】由正弦函數(shù)性質(zhì)知，當2x-￡='+2E,即匯=4+配林2時，函數(shù)/（x）=sin（2x-看）取得極大值,

TT2兀

則%=5+也,%￡2,由等差數(shù)列性質(zhì)，a5+a9=2a7=—+Iku.kGZ,

27r27T7L7Ll-

所以tan(%+a9)=tan(—+2foi)=tan—=tan(7i--)=-tanj=一，3.

故選：D

3.正整數(shù)1,2,3,…,w的倒數(shù)的和1+1+!+…+[已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和

23n

公式，只是得到了它的近似公式，當”很大時，1+=+:+…+,。111"+九其中/稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，

23n

7y0.577215664901...,至今為止都不確定?是有理數(shù)還是無理數(shù).設國表示不超過x的最大整數(shù)，用上式計

算[1+；+：+…+的值為()

(參考數(shù)據(jù)：ln2?0.69,ln3?1.10,lnl0?2.30)

A.10B.9C.8D.7

【答案】C

【解析】設%=l+]+：+L+L"CN*,則q產(chǎn)ln〃+7,

因為41+—+-+L+-----1+—+-+L+—

23n+1

可知數(shù)列｛。“｝為遞增數(shù)列，

且48oo?lnl800+/=ln2+21n3+21nl0+/?8.07,

。2048xIn2048+/=llln2+/?8.17,

可知8.07<〃2024<8」7,所以l+]+；+L+=[。20241=8.

故選：C.

4.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，若。2。4+2%%+。4。6=16,則生+。5=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】由。2a4+2生%+。4。6=16得a；+2/。5+《=16,即(%+%)2=16,

因為等比數(shù)列｛4｝各項均為正數(shù)，所以%+%=4,

故選：D.

5.已知實數(shù)a,歷c構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，若abc=2,b<0,則d的取值范圍為()

A.(-oo,-A/3)u^73,+oojB.(-oo,-2)u[2,+<?)

C.卜8,-U[底+oo)D.(-<?,-3)u[3,+ao)

【答案】A

【解析】由實數(shù)a,b,c構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，所以設a=b—d,c=b+d,

則Hc=6伊一罐)=2,所以儲=/；2_：伍<0),

構(gòu)造函數(shù)/■⑸=匕2_10<0),/3=2僅：+1),

bb2

當be(-8,-l)時，f'(b)<0,所以此時/?(6)單調(diào)遞減，

當b?-l,O)時,f'(b)>0,所以此時/修)單調(diào)遞增,

所以的最小值為〃-1)=3,

當6趨近于時，/(6)趨近于+8,當6從負方向趨近于0時，八匕)也趨近于+8,

所以/43,+?),所以北(口,-碼也"+8).

故選：A.

6.已知凡=”?(§*,則數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項中最大項為()

A.qoB.。8C.。6D.。4

【答案】D

4a(〃+1)4產(chǎn)4,+1

【解析】數(shù)列｛4｝中，。"=小(當"+2,則」包=——-5—=-x——，

5an”.(為"+25n

4H+1

令一X--------->1,解得〃<4,則當〃<4時，a>a,即

5nn+ln

同理當w>4時，an+1<an,即%而當〃=4時，%=%，

所以數(shù)列｛g｝的偶數(shù)項中最大項為的.

故選：D

7.如圖所示的一系列正方形圖案稱為“謝爾賓斯基地毯”，在4個大正方形中，著色的小正方形的個數(shù)依次

構(gòu)成一個數(shù)列｛%｝的前4項.記5='+'+???+」一，則下列結(jié)論正確的為()

%〃24100

【答案】C

【解析】由圖分析可知4=1，%=8q+1=8+1,

%=8a2+1=8(8+1)+1=82+8+1,

9897

依次類推，6Z100=8"+8+8+...+8+1,

…21一1

所以+…-I------------------------------------------------------

s=899+898+897+…+8+1

“l(fā)oo8+18+8+1

100

1.1-

00

<141181Y8

+1-iJ<—,

88277

8

故選：C.

8.給定函數(shù)/（%）,若數(shù)列｛乙｝滿足當+1=%則稱數(shù)列卜“｝為函數(shù)/（X）的牛頓數(shù)歹U.已知卜“｝為

f'M'

/(x)=X?-X-2的牛頓數(shù)列,an=In，且%=1,Xa>2（〃eN+）,數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾".則$2023

xn+l

)

A.22023-1B.22024-1

20222023

c.I-1D.1

【答案】A

片f2_片+2

【解析】由〃力=%2一％_2可得/<%)=2工一1,xn+l=xn

2%〃一12七一1

片+2

-----------乙凡-2丫

x〃+i—22%-1S±iZ^ln^^

,則兩邊取對數(shù)可得In=2

%+i+lX；+2?]加+1%+1.

2"1

即。用=2〃〃，所以數(shù)列｛4｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)歹

lx(l-22023

所以$2023==22023-1.

1-2

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S.，e是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.當機EN‘時，S”，S2m,S3加是等差數(shù)列

B.數(shù)列付"｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列，是等差數(shù)列

D.當p,q均為正整數(shù)且。片4時，上紇=」~工

P+QP-Q

【答案】BCD

【解析】對于A,令m=l,則S?—$1=。2,S3-S2-a3,

當dw0時，&/%，即邑—S尸邑—邑，

所以52,反不是等差數(shù)列，故A錯誤；

對于B,設｛%｝的公差為d,則丁=e%+i=e"（定值），

所以付”｝是公比為屋的等比數(shù)列，故B正確；

〃（〃—1）,fC'IJ

對于C,S=na、+^^dd,故1是公差為￡的等差數(shù)列，故C正確;

/、(p+q)(p+q—l)1

s(0+4)q+----------o----------d

對于D,p+q=______________________2________d.、d,

=-^P+(l)+a\--

P+Qp+q

pa—J)d-q%+迤/d

p-qP-Q

(p—q)。］id/、d

=%+gp+―(p+”-.

sS-S

所以上"=」~M,故D正確.

p+qp-q

故選：BCD.

10.記數(shù)列｛%｝的前〃項和為",3=42+8,43為常數(shù).下列選項正確的是（）

A.若A+5=l,則4=1B.若A=2,貝!J%=2

C.存在常數(shù)A、B,使數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列D.對任意常數(shù)A、B,數(shù)列｛。"｝都是等差數(shù)列

【答案】ABC

【解析】對于A,若A+3=l,則%=S]=A+8=1,A正確；

對于B,若A=2,貝！J%=邑一，=（2A+B）-（A+B）=A=2,B正確；

對于C,由=A幾+5得q=S]=A+8,

當2時，a〃=Sn-Sn_T=（A〃+B）—[A（n—l）+B]=A,

所以，當2=0,Aw。時，數(shù)列｛%｝是公比為1的等比數(shù)列，C正確；

對于D,由上知，當"22時O"=A,若B￥。,貝lj%-q=A-（A+3）=-3力%-%=。，

此時，數(shù)列｛0｝不是等差數(shù)列，D錯誤.

故選：ABC

ii.設等比數(shù)列｛4｝前〃項積為1,公比為q.若4>1,%哨的。24>1,夜空三<°,則下列結(jié)論正確的是

〃20241

()

A.0<q<iB.a2023a2025-1〉。

C.當〃=2023時，，取最大值D.使成立的最大自然數(shù)〃是4046

【答案】ACD

,:^^20231f~\、

【解析】A選項，％>1,~~<°,故。2023>L。2024<1或〃2023VL〃2024>，

“2024T

當“2023<I42024>1時，由“202302024>1可知。2024>1,0<^^2023<1，

所以0=*€(1,+8),但才022=如40,1),互相矛盾，舍去,

〃2023%

當〃2023>L〃2024<1時,又〃2023〃2024>1，所以〃2023>L。<〃2024<1，

故4=詠€(0,1)滿足要求，A正確；

“2023

B，^2023^2025一1="2024—1<°,B?昔I天；

C選項,因為。2023>1，。<〃2024<1，0<q<1,

故當〃=2023時，，取最大值，C正確;

D選項,由于q…>2023>1，故當14」44045時,

1億傳〈…優(yōu)。23〉月。246)￡)45

=611a2…。404404045

&46=卬生…^4045^4046=(。陷4046)=(4202302024)>1，

n047=卬“2'''"4046。4047=(q°4047)^^2024=(a2024)<匕

使(>1成立的最大自然數(shù)〃是4046,D正確.

故選：ACD

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

一1117一

12.已知在遞增的等比數(shù)列｛%｝中，01a2%=1，—+—+—=5，則數(shù)列｛%｝的通項公式為%=

【答案】2"-2(?GN*)

【解析】設等比數(shù)列｛%｝的公比為q,因為%。2。3=1，所以W=l，解得“2=1，

a,a.=1

1117”3

又一+一+―=3，所以有■｛11_5,

q%〃32------1=一

一[6a32

由｛為｝是遞增的等比數(shù)列，解得q=g,%=2,

所以4=強=2,即有a"」x2"T=2"-2.

“12

故答案為：2人〃eN）

13.設數(shù)列｛%｝的通項公式為=〃3-”,“eN*,該數(shù)列中個位數(shù)字為0的項按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)

列｛”｝，則b如7被7除所得的余數(shù)是.

【答案】0

【解析】因為1）（"+1）,所以當〃的個位數(shù)字為145,6,9,0時，

的個位數(shù)為0，則在數(shù)列｛%｝中，每連續(xù)10項中就有6項的個位數(shù)字為0,

而2017=336x6+1,由此推斷數(shù)列也｝中的第2017項相當于數(shù)列｛叫中的第3361項,

即3n7=%361=336^-3361,而3361=480x7+1,所以3361除以7余數(shù)為1,

而（7左+以=（74+3（7笈y+3（7左）+1,GeN*,所以336P除以7余數(shù)也為1,

而它們的差336F-3361一定能被7整除，所以九?被7除所得余數(shù)為0.

故答案為：0.

/、

a\\a\2a!3…a\n"u"12%…b1n

%]%2“23…02〃Hlb22b23…”2〃

14.已知數(shù)表A（〃,〃）=〃31032〃33…a3n,B（n,ri）=“31“32833…

^an\an2an3'..^nn'（Hlbn2%…bnn,

4C12C13Cln

。21C22C23…C2n

其中%.也,分別表示C（n,n）中第

C（n,n）=c31C32。33…C3n“i,jeN*,i,i

I%Cn2Cn3…Cnn7

行第」列的數(shù).若Gj=。也j+生2b2j+…+《也,則稱c（小〃）是5（〃,〃）的生成數(shù)表.若數(shù)表

J_2、

20

4（2,2）=：8（2,2）=16,且C（2,2）是A（2,2）,3（2,2）的生成數(shù)表，則C（2,2）=

55,

【答案】

12

【角牛]由思，1*導。1]=qMi+4202i=8xy+1x《=2,

12

。2]=%1"11+〃22”21=4x—+3X—=2,

+lx|=O,

c12=anbl2+%2b22=8x

c

22=a2ib]2+a22b22=4xfj+3x-|=3,

-2,2）=］：

故答案為：131

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知數(shù)列/｝為公差不為零的等差數(shù)列，其前w項和為S“，S7=49,且％,%,附成等比數(shù)列?

⑴求｛屐｝的通項公式；

⑵若數(shù)歹豈q+2｝是公比為3的等比數(shù)列，且4=22,求也｝的前"項和

【解析】（1）因為｛碑｝為等差數(shù)列，設公差為d,

由跖=49,得（％+；）義7=7%=49,=2=7即％+3d=7,

由%，生，知成等比數(shù)列得d=為“4，n（7+d）2=（7-2d）（7+10d）,（3分

化簡（7+d）2=（7-2d）（7+10d）得42_2d=0,因為1W。，所以d=2.

所以=%+（〃—4”=2〃-1（〃￡?4*）.

綜上?！?2〃—l（nwN*）.（6分）

（2）由〃〃=2fl-1知。［=1,%=5,

又｛凡+2｝為公比是3的等比數(shù)列，4=22,

所以的+4=（4+4）x9=5+22=27,即q+〃=1+4=3,

n

所以4+么=3x3〃T=3〃，bn=3-（2n-l）,（〃￡N*）（10分）

所以7；二4+打+仇+…+a=3i+32+33+-+3〃一［l+3+5+―+（2〃-l）］

3x（1-3"）（l+2n—l）n3n+1—3

=---------------------=--------n2-

1-322

綜上至士一（13分）

“2

16.（15分）

已知數(shù)列｛q｝的首項巧=3,且滿足%+1=2為一1（〃eN*）.

⑴求證：數(shù)列｛q-1｝為等比數(shù)列；

⑵記〃=log,(4-l),求數(shù)列;的前"項和S,,并證明

〔她+J2

【解析】(1)由%=2an-l(neN*)得為口-1=2(a—1),(〃eN*),

又q-l=2,所以｛%-1｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.(6分)

(2)由(1)知，a“-l=2x2i=2",所以以=log2(an-1)=A

1111

所以〃〃_=，加=----77，(10分)

bnbn+in(n+1)nn+1

s“=4+瓦+4+…+4

223nn+ln+1n+1

當“eN”時，S?=l--匚單調(diào)遞增，

（15分）

n+12

17.(15分)

已知正項數(shù)列｛a,,｝的前"項和為S.,且滿足％=1,S“=.試求：

⑴數(shù)列｛%｝的通項公式；

1,I2

（2）記c,,=a,“，數(shù)歹"——的前”項和為當時，求滿足條件的最小整數(shù)".

cc

[??+l\9

【解析】（1）因為s.=安,

當〃=1時，4=n%=2,

當幾之2時，（3分）

因為S,=4件,

兩式相減得，〃〃吟（%+1-?！?1）,

因為%>0,所以2=%+i-4_i,（6分）

所以｛⑸一/，｛%｝均為等差數(shù)列，%.1=2〃-1，a2n=2n.

所以（7分）

112〃.2：+1)T-,

（2）由題意得,

"〃+1a2na2(n+\)

所以雹=J_(1」+▲」+!二+???+4—一—)=-(1———)=---,（10分）

〃1叢”422334nn+14n+14(〃+1)'

2

因為北>6，

y

n2

所以4(〃+1)>9'

解得〃>8.所以滿足條件的最小整數(shù)”為9.(15分)

18.(17分)

已知｛。,｝是等差數(shù)列，公差1*0,%+%=8,且％是%與%的等比中項.

(1)求｛屐｝的通項公式

⑵數(shù)列也｝滿足與含=2%,且偽=1

°n°n+\/

(i)求也｝的前W項和S“.

(ii)是否存在正整數(shù)加，n(祇?！?，使得S2m,S2,,成等差數(shù)列，若存在，求出相，”的值;

若不存在，請說明理由.

【解析】(1)因為｛“為等差數(shù)列，且q+%=8,所以％=4.

又能是%與%的等比中項，所以即16=(4—2d)(4+4d).

化簡得cP—4=0,解得d=l或d=0(舍),

所以4=<23+e-3)xl=〃+l.(5分)

(2)⑴由：［*'=2。“，得J--；=2a“，所以;=2%-i("22),又4=3，

她+1bzbnbnbn_x2

上11rli)(11)(11)1

bnI"".J［々-I2.2J1%bl)4

=2az+2%-2-?2%+—=4(zz-l)+——~~—x2+2=n(w+l),

11/八

又偽=也適合上式，所以廠=M"+1),

乙“n

則或一〃+n+l

N---l-f------7]=1----7=---7?（9分）

所以

11〃n+1）n+1n+\

(ii)假設存在正整數(shù)ms幾,使得S?m,邑〃成等差數(shù)列，

+1[=2（1],整理得2根—9-----,

則54+邑，=252“，即1—

C*+12〃+112m+1）〃+3

顯然〃+