考點(diǎn)規(guī)范練37空間直線、平面的垂直

一、基礎(chǔ)鞏固

1.若平面a_L平面夕，平面aCl平面0=直線/，則（）

A.垂直于平面P的平面一定平行于平面a

B.垂直于直線/的直線一定垂直于平面a

C.垂直于平面/3的平面一定平行于直線/

D.垂直于直線/的平面一定與平面a/都垂直

HjD

解析:對于A,垂直于平面P的平面與平面a平行或相交，故A錯(cuò);對于B,垂直于直線/的直線與平面a垂直、

斜交、平行或在平面a內(nèi)，故B錯(cuò);對于C,垂直于平面力的平面與直線/平行或相交，故C錯(cuò);易知D正確.

2.已知a/是兩個(gè)不同的平面工機(jī)，"是三條不同的直線,在下列條件中，可以得到l±a的是（）

A./J_m,/-L?,wca,nca

a

C.a_L￡,/〃￡

D./〃m,mVa

ggD

解析由a/是兩個(gè)不同的平面工機(jī),w是三條不同的直線，知：

對于，/J_wj〃ua,wua,則/與a相

交、平行或/ua,故A不可以；

對于a,則/與a相交、平行或/ua,故B不可以；

對于C,a_LQ,/〃以則/與a相交、平行或/ua,故C不可以；

對于D,/〃根,《j_La，則/J_a，故D可以.

3.如圖，在四面體D-48c中，若是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

D

A.平面4BC_L平面ABD

B.平面ABZ）_L平面BDC

C.平面ABC_L平面8DE,且平面AZ）CJ_平面BDE

D.平面A8C_L平面AOC,且平面4。（7_1_平面BDE

解析因?yàn)锳8=CB,且E是AC的中點(diǎn)，所以BE_L4c.同理有￡>E_L4C,于是AC_L平面BOE.因?yàn)锳C在平面

ABC內(nèi)，所以平面A8C_L平面8ZJE又因?yàn)锳Cu平面ACD,所以平面ACQ_L平面BDE,故選C.

4.如圖,42為圓錐底面直徑,C是底面圓。上異于48的動點(diǎn).已知。4=百，圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為百it

的扇形，則當(dāng)尸8與8C所成角為方時(shí),8與AC所成角為（）

A』B-7C-7D丹

3646

ggc

解析:設(shè)圓錐母線長為/,貝'I/?遍n=2V5n,解得1=2.

：P8=PC,且PB與8C所成的角ZPBC^,：.BC=2.

又04=信?.在RSA8C中,AC=2&.

如圖，作BD〃AC與圓。交于點(diǎn)。，

連接A。,則RtAACB義RtABZM,從而BD=AC=2五,

連接PD,則ZPBD為PB與AC所成角.

在APBD中,尸。=尸2=2,8。=2/,可得PD±PB,：./PBD=]

5.已知/,機(jī)箱是三條不同的直線,a/是不同的平面，則a'B的一個(gè)充分條件是（）

A./ua,相u及且l_Lm

B.lua,inu￡,riu0,且/_L九/_L〃

C.mua,nu0,m〃九，且ZXm

D./ua,/〃九且mA-p

解析:\,機(jī)_L.,/〃m,l,L/3.又/ua,.\a_LA故選D.

6.如圖，在斜三棱柱ABC-A/iG中,N5AC=90°,BG，AC,則點(diǎn)G在底面ABC上的射影〃必在)

B

tA

賢G

4

A.直線AB上B.直線3C上

C.直線AC上D.A48C內(nèi)部

fgA

解析：|連接ACi,由BG_LAC,BA_LAC,得ACJ_平面ABCi,

所以平面48C_L平面ABG,

所以G在底面ABC上的射影X在直線AB上.

7.如圖，在四棱錐P-ABCD中,PAL底面AB。,且底面各邊都相等，〃是PC上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足

時(shí)，平面M3。，平面PCD（只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）

WAB

|答案:|￡>M_LPC（或BM±PC）

|解析：|連接AC.：PC在底面ABC。上的射影為AC,且AC_LB￡）,，8O_LPC.

當(dāng)_LPC（或尸。時(shí)，即有PCL平面MBD,而PCu平面尸。,...平面MBD_L平面PCD.

8.如圖，在棱長為2a的正方體ABCD-AiBiCiDi中，〃是AC的中點(diǎn)，則平面MBJ與平面CBCi的夾角的正切

值為.

_C,

fl

ggV2

解析：|連接MDMM是2。的中點(diǎn)，連接OG,取BCi的中點(diǎn)E,連接CE,DE加圖.

已知正方體ABC￡)-Ai3CiDi的棱長為2a,則BD=DCi=BCi=142a,

CCi=BC=2a,又E是BCi的中點(diǎn),.,.OE_LBCi,CEJ_8G.

...NOEC或其補(bǔ)角就是平面O8G與平面CBG的夾角，即平面與平面CBCi的夾角.

又DC_L平面CBCi,：.DC±CE.

在RtADCE中,￡)C=2a,CE=>/^a,

tanXDEC-^2.

故平面AffiG與平面CBG的夾角的正切值為四.

9.設(shè)a/是空間兩個(gè)不同的平面,加,"是平面a及6外的兩條不同直線.從“①相_1_%②a。;③〃_1_夕；④相，靖中

選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:.(用序號表示)

答案①③④n②(或②③④n①)

解機(jī)逐一判斷.若①②③成立，則機(jī)與a的位置關(guān)系不確定，故①②③=④錯(cuò)誤;同理①②④=③也錯(cuò)誤;①③

④今②與②③④今①均正確.

10.如圖①，在平面五邊形ABCDE中,A8〃CE,且AE=2,ZAEC=60°,CD=ED=V7,cos/EDC=*將ACDE沿

CE折起，使點(diǎn)D到點(diǎn)尸的位置，且AP=,，得到如圖②所示的四棱錐P-ABCE.

圖①圖②

(1)求證:4尸_1平面ABCE-

(2)記平面PA8與平面PCE相交于直線/,判斷直線4B與/的位置關(guān)系,并說明理由.

(1)|證明：|連接AC,如圖所示.

在ACOE中，

,?CD=ED=^H,

cosZEZ)C=|,

由余弦定理得CE=2.

'：CE=AE=2,ZAEC=60°,：.AC=2.

又4尸=百,，在/\出￡中,尸42+4序=尸層,即APLAE.

同理/P_LAC.

,.?ACrUE=A"u平面ABCE,AEu平面ABCE,

；.AP_L平面ABCE.

(2)闞48〃/.理由如下：：AB〃CE,且CEu平面PCE/3C平面PCE,

〃平面PCE.又平面PABCl平面PCE=/,A8u平面PAB,：.AB//l.

11.己知三棱錐P-ABC,PA^PB=AB=3,BC=4AC=5,D為AB的中點(diǎn).

⑴若PC=3,求異面直線尸。與BC所成的角的余弦值;

⑵若二面角P4B-C為30°,求AC與平面PAB所成的角的正弦值.

阿⑴如圖，取AC的中點(diǎn)E,連接DE,PE「：D為AB的中點(diǎn)，

：.DE為AABC的中位線,.,.DE//BC.

；./尸?！昊蚱溲a(bǔ)角為PD馬BC所成的角.

由已知可得PE=^,DE^2,PD=^,

Con2711

PD2+DE2-PE?_片+4二_4V3

cosZPDE=

2PDDE2X^X2-9

：.PD與BC所成角的余弦值為手.

（2）如圖，在△P￡>￡中，過點(diǎn)E作EH1PD于點(diǎn)H,連接

；PA=PB,D為AB的中點(diǎn),，P￡）_L48

：AB=3,BC=42C=5,；.NABC=90°.

又為二面角尸-AB-C的平面角，即/POE=30°.

：AB_L平面PDE,EHc平面PDE,

：.EH±AB.

又EHLPD,PDHAB=D,

平面PAB.

...//ME為AC與平面所成的角.

在RtAAHE中,：EH=1/E=|,

2

sinXHAE=-.

；.AC與平面PAB所成角的正弦值為|.

二、綜合應(yīng)用

12.（2022全國〃，理7）在長方體ABCZXAiBCiA中，已知3。與平面ABCD和平面A4向2所成的角均為

30°,則（）

A.AB=2AD

B.AB與平面ABCiD所成的角為30°

C.AC^CBi

D.SO與平面BBiGC所成的角為45°

答案:|D

解析枷圖，連接3D

田。與平面ABCD所成的角為ZBiDB,BiD與平面AA^B所成的角為/。8自,則/囪。8=/。8自=30°,設(shè)

田。=2,貝UAO=B7=1.由81。2=4。2+。2+8由2,得&8=（7。=&,從而A8=&AD,A錯(cuò);過點(diǎn)8作8E_LA8i,垂足

為點(diǎn)瓦因?yàn)锳O_L平面A4向民所以ADLBE,又ADAABi=A,所以BEL平面ASC。,所以AE為AB在平面

ABiCiD內(nèi)的射影，則AB與平面ABiCiD所成的角為又42=或，所以tanZBiAB=^-=2=乎，所以

N81A毋30°,B錯(cuò);因?yàn)锳C=V5,C2I=V^,所以AC￥C5,C錯(cuò);由OC_L平面BBiGC,知5C為2。在平面

BBiCiC內(nèi)的射影,8。與平面881cle所成的角為/DBC又sinZDBiC=^-=*，則/。囪。=45°,故選D.

B]D2

13.已知三棱錐P-A8C的四個(gè)頂點(diǎn)都在球0的球面上，尸A,平面A8CAABC是邊長為2的等邊三角形，若球

。的體積為苧n,則直線PC與平面PAB所成的角的正切值為（）

人3VT1口2VT1廠3V10卜VTo

A.—-—D.―――。“cD.--

11111010

建1=1案?RC

解析櫥圖，設(shè)A48C的中心為為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)0作OO_LPA,則。為PA的中點(diǎn).

「△ABC是邊長為2的等邊三角形,

OD=AE=1CM=^-,

?.?”。P=嚕...。?=/，

:.PA=2PD=2\OP2-OD2=當(dāng).

：.PM=y/PA2+AM2;"

?,/3VI1

..tanZCPM=—=—.

14.（多選）如圖所示，已知六棱錐尸-A3C0EF的底面是正六邊形,PA_L平面A8C,PA=2A凡下列選項(xiàng)結(jié)論正確的

是（）

A.PB1AE

B.平面PAE_L平面PDE

C.異面直線PD與BC所成角為30°

D.直線PD與平面PAB所成角的余弦值為平

4

答案：|ABD

解析:如圖，連接80.根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得瓦因?yàn)镻A_L平面A8C,AEu平面ABC,

所以PALAE.

因?yàn)镻A,AB為平面PAB內(nèi)兩相交直線,

所以AE_L平面PAB.

因?yàn)镻Bu平面PAB,

所以尸3_LAE,故A正確；

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得。E_LAE,因?yàn)镻A_L平面ABC,DEc平面ABC,所以PA_LDE.

因?yàn)镻AAE為平面PAE內(nèi)兩相交直線，所以DEL平面PAE.

因?yàn)镈Eu平面PDE,所以平面PAE_L平面PDE,故B正確；

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得AZ）〃BC,所以/PD4為異面直線尸。與8C所成角，因?yàn)镻A=2A8=A。,所以/

尸叫.

即異面直線尸。與8C所成角為45°,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)锳E_L平面PAB.BD//AE,

所以平面PAB,

所以/￡）尸3為直線PD與平面P4B所成角，

因?yàn)镻A=2AB,所以可得PD5PA,PB=^PA,

所以cos/QPB嗡=焉=乎，故D正確.

15.如圖，在矩形ABCD中/2=3/。=2,2/分別為線段CRAB上的點(diǎn)，且整=第=；，現(xiàn)將MOE沿AE翻折成

DALUj

(1)證明:4石_1尸尸；

(2)求直線PB與平面PAE所成角的正弦值.

(1火正明連接DF文AE于點(diǎn)M,連接EF,如圖.

?在矩形ABCD中,42=34)=2,篙=霖=

DACU5

四邊形所為邊長為2的正方形.

：.AELDF,S.DM=MF=V2.

在四棱錐PA8CE中,AE_LPM,AE_LM￡P(guān)MTIMF=M,

：.AE±平面PMF,又PEu平面PMF,

C.AELPF.

⑵解設(shè)點(diǎn)P到平面PAE的距離為由,點(diǎn)8到平面PAE的距離為d,由⑴知是二面角P-AE-B的平面

角，

ZPMF^.

平面平面PAE,；.平面平面PAE.過點(diǎn)下作于點(diǎn)H.

:平面PM/TI平面PAEnPM.'W，平面PAE.

由(1)知在APMF中,

ZFPM=7，PF=V6,

6

??"1=切=步尸=當(dāng)

在RtA4PM中，可得PA=2,在△PAP中，有PF2=PA2+FA2-2PA-FA-COSZPAF,

在APAB中，有PB2=PA2+AB2-2PAABCOSZPAF,

解得PB=V10.

直線尸8與平面PAE所成角的正弦值為黨.

16.在直三棱柱ABC-A1B1G中,48=4。=1,/血。=90°,且異面直線48與29所成的角等于60°,設(shè)

AAi=a,

⑴求。的值；

(2)求直線BiCi到平面AiBC的距離.

回⑴〃囪G,

ZAiBC或其補(bǔ)角就是異面直線AiB與BiCi所成的角.

如圖，連接AC,

;在直三棱柱ABC-A向G中,AB=AC=1,

AAJBA^AAICA,

.,.AIB-AIC.

...N43C為銳角，即NAiBC=60°.

A41BC為等邊三角形.

'：AB=AC^l,ZBAC=90°，:.BC=^,

.".AiB=Vl+a2=V2,.'.a=l.

(2)易知BCi〃平面ABC,此時(shí)設(shè)直線81cl上的任意一點(diǎn)到平面4BC的距離為d,且等于點(diǎn)歷到平面AiBC

的距離.連接BiC,

'：CA±ArA,CA±AB,AA^AB=A,

；.CA_L平面42出,并且AC=1.

,11

△A//的面積:S—iBiB='X1X1=5，

△48C的面積:S2口,=gxax或xsin60°=—,

ZAA-ibC22

???41-AiBC=

11

3'.AC二鼠S^AiBCd

,_V3

S

hA1BC3，

直線BiCi到平面ABC的距離為

三、探究創(chuàng)新

17.如圖①，在ZkABC中分別為A84C的中點(diǎn)為。E的中點(diǎn),A8=AC=2岔,BC=4.將AAOE沿折起到

△A0E的位置