2025年暑期新高一數(shù)學(xué)人教新版尖子生專題復(fù)習(xí)《一元二次方程》

選擇題（共10小題）

1.（2025春?界首市期中）若關(guān)于尤的一元二次方程（m+1）?-4%-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)

數(shù)機(jī)的值可以是（）

A.-6B.-5C.-1D.0

2.（2025春?昭平縣期中）關(guān)于x的一元二次方程/+e+"z-1=0的根的情況，下列說法正確的是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有實(shí)數(shù)根

D.沒有實(shí)數(shù)根

3.（2025春?瑤海區(qū)校級(jí)期中）若一元二次方程（左-2）/+3x+9-4=0的一個(gè)根為0,則左的值為（）

A.0B.2C.-2D.2或-2

4.（2025?青島模擬）如圖，M是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，過M作分別交42、AC于。,

E兩點(diǎn)，設(shè)DE—b,CE—c,關(guān)于x的方程辦2+版+o=0（）

A.一定有兩個(gè)相等實(shí)根

B.一定有兩個(gè)不相等實(shí)根

C.有兩個(gè)實(shí)根，但無法確定是否相等

D.無實(shí)根

5.（2024秋?大連期末）某校七年級(jí)組織一次籃球賽，各班均組隊(duì)參賽，賽制為每?jī)砂嘀g都比賽一場(chǎng),

共需安排21場(chǎng)比賽.設(shè)七年級(jí)共有x個(gè)班，則下列方程正確的是（）

1

A.x（x-1）=21B.-x（x-1）=21

1

C.x（x+1）=21D.-x（x+1）=21

6.（2025?臨滄模擬）今年“國(guó)慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個(gè)人都要發(fā)一個(gè)

紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動(dòng)，群內(nèi)所有人共收到

132個(gè)紅包，則該群一共有（

A.9人B.10人C.11人D.12人

7.（2025春?金安區(qū)校級(jí)期中）某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬個(gè)，八、九兩月共生產(chǎn)146萬個(gè)，設(shè)該廠八、

九月份平均每月的長(zhǎng)率為無，那么x滿足的方程是（）

A.50（1+無）2=146

B.50（1+x）+50（1+x）2=146

C.50+50（1+x）+50（1+x）2=146

D.50（1+x）+50（1+2無）=146

8.（2025春?青神縣期中）設(shè)xi,X2是方程/+2x-3=0的兩根，則好+據(jù)的值是（）

A.-2B.10C.2D.-10

9.（2025春?寧明縣期中）對(duì)于一元二次方程/+法+0=0（a=0）,下列說法：

①若a-b+c=0,貝!]b"-4acN0；

②若方程"2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程a^+bx+c=Q必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

2

③若xo是一元二次方程a^+bx+c—O的根，則塊—4ac=（2ax0+/?）.

其中正確的（）

A.只有①B.只有①②C.①②③D.只有①③

10.（2025春?利辛縣期中）將一元二次方程2d-12尤-1=0配方成（無+。）2=6的形式，則°,6的值為

A.〃=3,b=10B.a=-3,b=lQ

19

C.a=3/=~2D.a=-3/b=~2~

二.填空題（共5小題）

11.（2025春?東平縣期中）若關(guān)于x的方程m^+（2加+1）x+m-1=0有實(shí)數(shù)根，貝!Jm的取值范圍

為.

12.（2024秋?望奎縣期末）若a,b是方程7+x-2025=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值是.

112

13.（2025春?青神縣期中）a,0是關(guān)于x的方程x2-2龍+根=0的兩實(shí)數(shù)根，且一+7=-：;，則機(jī)的值

aP3

為.

14.（2025?汕頭校級(jí)模擬）對(duì)于字母相、w,定義新運(yùn)算機(jī)☆"=冽"-相-"，若方程d+Bx+lu。的解為a、

b,則?！?+2的值為

15.(2024秋?常德期末)已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是2和3,第三邊的長(zhǎng)是方程/-以+3=0的一個(gè)根，

則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為.

三.解答題(共5小題)

16.(2025春?寧明縣期中)解方程：

(1)/+x-1=0；

(2)x2-6x=3(6-x).

17.(2025春?界首市期中)如圖，用長(zhǎng)為20相的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度為11m)圍成中

間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃.為了方便出入，在建造籬笆花圃時(shí)，在2C邊上用其他材料做了寬為1根

的兩扇小門.若花圃的面積恰好為40〃2

(1)求此時(shí)花圃A8邊的長(zhǎng)；

(2)花圃的面積能達(dá)到50病嗎？若能，求出邊的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由.

墻長(zhǎng)11m

B---------|lm|----------------11m|-------C

18.(2025?青島模擬)已知xi,X2是關(guān)于尤的一元二次方程(m+2)x2+2(m-2)尤+7”+10=0的兩實(shí)數(shù)根.

(1)求機(jī)的取值范圍;

(2)已知等腰△ABC的底邊BC=4,若尤1,X2恰好是△ABC另外兩邊的邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

(3)閱讀材料：若△A8C三邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,那么可以根據(jù)秦九韶-海倫公式可得：S“BC=

Jp(p-a)(p-b)(p-c),其中p=￡磬，在(2)的條件下，若/BAC和/ABC的角平分線交于點(diǎn)I,

根據(jù)以上信息，求△B/C的面積.

19.(2025春?青神縣期中)已知關(guān)于x的一元二次方程"u2-4x+l=0.

(1)若該方程有實(shí)數(shù)根，求機(jī)的取值范圍；

(2)若1是該方程的一個(gè)根，求相的值.

20.(2025春?昭平縣期中)山東濰坊風(fēng)箏節(jié)期間，王大伯決定銷售一批風(fēng)箏，計(jì)劃第一次購(gòu)進(jìn)熊貓和金魚

兩種風(fēng)箏共300個(gè)，熊貓風(fēng)箏進(jìn)價(jià)為20元，售價(jià)定為23元，金魚風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為30元，售價(jià)定為36

元.

(1)若王大伯將這批風(fēng)箏全部售完，要求總獲利不低于1500元，求王大伯最多購(gòu)進(jìn)熊貓風(fēng)箏多少個(gè)？

(2)王大伯第二次購(gòu)進(jìn)熊貓風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)不變.由于銷量火爆，王大伯決定購(gòu)進(jìn)熊貓風(fēng)箏的數(shù)量在(1)

中的最多進(jìn)貨量的基礎(chǔ)上增加50m個(gè)，售價(jià)比第一次提高加元，最終這批熊貓風(fēng)箏全部銷售完后獲利

1000元，求相的值.

2025年暑期新高一數(shù)學(xué)人教新版尖子生專題復(fù)習(xí)《一元二次方程》

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案DCCABDBBCD

選擇題（共10小題）

1.（2025春?界首市期中）若關(guān)于X的一元二次方程（m+1）X2-4尤-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)

數(shù)%的值可以是（）

A.-6B.-5C.-1D.0

【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】在與一元二次方程有關(guān)的求值問題中，必須滿足下列條件：（1）二次項(xiàng)系數(shù)不為零；（2）在有

不相等的實(shí)數(shù)根下必須滿足△=廿-4?c>0.

【解答】解：二.關(guān)于x的一元二次方程（m+1）/-4x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

"l（-4）2+4（m+l）>0，

解得：YYI>-5且mW-1,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這

一隱含條件.

2.（2025春?昭平縣期中）關(guān)于尤的一元二次方程/+蛆+根-1=0的根的情況，下列說法正確的是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有實(shí)數(shù)根

D.沒有實(shí)數(shù)根

【考點(diǎn)】根的判別式.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】先計(jì)算判別式，再配方得到A=(m-2)2,然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到A\0,再根據(jù)判別

式的意義即可得到方程有實(shí)數(shù)根.

【解答】解：A—m2-4Cm-1)

=m-4m+4

=(m-2)220,

???方程總有實(shí)數(shù)根.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根的判別式，一元二次方程辦2+bx+c=O(aWO)的根與A=62-4ac有如下關(guān)

系：

①當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)A<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

3.(2025春?瑤海區(qū)校級(jí)期中)若一元二次方程(4-2)/+3x+F-4=0的一個(gè)根為0,則上的值為()

A.0B.2C.-2D.2或-2

【考點(diǎn)】一元二次方程的解；一元二次方程的定義.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】一元二次方程根的定義，由一元二次方程根的定義可得必-4=0,即得左=±2,再根據(jù)A-2

#0即可求解.

【解答】解：由條件可知好-4=0,

：.k=+2,

2#0,

：.k^2,

:.k=-2,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

4.(2025?青島模擬)如圖，M是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，過M作。ELAM,分別交A3、AC于。,

E兩點(diǎn)，BD—a,DE—b,CE—c,關(guān)于尤的方程狽2+紜+,=0(

A

A.一定有兩個(gè)相等實(shí)根

B.一定有兩個(gè)不相等實(shí)根

C.有兩個(gè)實(shí)根，但無法確定是否相等

D.無實(shí)根

【考點(diǎn)】根的判別式；角平分線的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；創(chuàng)新意識(shí).

【答案】A

【分析】〃是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，過M作。則得出即可

得出△DBMs^MBC,再求出△BMCs△朋EC,ADBMs^EMC,即可得出：ac=^b2,即可求解.

【解答】解：平分NA4C,DELAM,

11

???ZADM=ZAEM.MD=ME=^DE=為

1

ZBDM=ZMEC=90°+^ZBAC,

1

：.ZBMC=90°+/BAC,

，ZBDM=ZMEC=/BMC,

??,M是△ABC的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，

?MDBMsdMBC,

同理可得出：MBMCSAMEC,

ADBMS^EMC,

.BDMD

??ME-CE'

；?BD?EC=MD?ME,

即：〃C=，?2,

即A=/?2-4ic=0,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出

ZMEC=/BMC是解題關(guān)鍵.

5.（2024秋?大連期末）某校七年級(jí)組織一次籃球賽，各班均組隊(duì)參賽，賽制為每?jī)砂嘀g都比賽一場(chǎng)，

共需安排21場(chǎng)比賽.設(shè)七年級(jí)共有了個(gè)班，則下列方程正確的是（）

1

A.x（x-1）=21B.-x（x-1）=21

1

C.x（x+1）=21D.—x（x+1）=21

【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】利用比賽的總場(chǎng)次數(shù)=七年級(jí)的班級(jí)數(shù)X（七年級(jí)的班級(jí)數(shù)-1）+2,即可得出關(guān)于尤的一元

二次方程.

1

【解答】解：依題意得：~x（x-1）=21.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

6.（2025?臨滄模擬）今年“國(guó)慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個(gè)人都要發(fā)一個(gè)

紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動(dòng)，群內(nèi)所有人共收到

132個(gè)紅包，則該群一共有（）

A.9人B.10人C.11人D.12人

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】設(shè)該群一共有x人，則每人收到（尤-1）個(gè)紅包，根據(jù)群內(nèi)所有人共收到132個(gè)紅包，即可得

出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)該群一共有x人，則每人收到（尤-1）個(gè)紅包，

依題意列方程得：x（尤-1）=132,

整理得，/-X-132=0,

解得尤1=12,XI--11（不符合題意，舍去）.

則該群一共有12人,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

7.(2025春?金安區(qū)校級(jí)期中)某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬個(gè)，八、九兩月共生產(chǎn)146萬個(gè)，設(shè)該廠八、

九月份平均每月的長(zhǎng)率為無，那么x滿足的方程是()

A.50(1+無)2=146

B.50(1+x)+50(1+x)2=146

C.50+50(l+.r)+50(1+尤)2=146

D.50(1+龍)+50(1+2%)=146

【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用.

【答案】B

【分析】如果該廠八、九月份平均每月的增長(zhǎng)率為尤，那么可以用x分別表示八、九月份的產(chǎn)量，然后

根據(jù)題意可得出方程.

【解答】解：依題意得八、九月份的產(chǎn)量為50(1+x)、50(1+x)2,

.'.50(1+x)+50(1+x)2=146.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，增長(zhǎng)率問題，一般形式為a(1+尤)2=b,。為起

始時(shí)間的有關(guān)數(shù)量，。為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量.

8.(2025春?青神縣期中)設(shè)xi,X2是方程：+2x-3=0的兩根，則好+指的值是()

A.-2B.10C.2D.-10

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】先關(guān)鍵一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根和與兩根積，再利用完全平方公式求出答案即可.

【解答】解：,.”1,總是方程/+2x-3=0的兩根，

??—2,Xi*xi~~—3,

??(%1+%2)2=4,

2

x/+x2+2/—2=4,

22

%1+%2+2X(—3)=4,

22

%1+X2=10,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的

關(guān)系和完全平方公式.

9.(2025春?寧明縣期中)對(duì)于一元二次方程czS+bx+cu。QW0),下列說法：

①若a-b+c—O,則b2-4ac20；

②若方程?x2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ajr+bx+c=Q必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

2

③若xo是一元二次方程a^+bx+c—O的根，則-4ac=(2ax0+b).

其中正確的()

A.只有①B.只有①②C.①②③D.只有①③

【考點(diǎn)】根的判別式；等式的性質(zhì)；一元二次方程的解.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程實(shí)數(shù)根與根的判別式的關(guān)系，其中b2-Aac^Q有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、b1-4flc>0

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、戶-4ac<0無解，以及求根公式x=也弊還和等式的性質(zhì)逐個(gè)排除即可.

【解答】解：①若a-b+c=O,則尤=-1是原方程的解，即方程至少有一個(gè)根，由一元二次方程的實(shí)

數(shù)根與根的判別式的關(guān)系可知：b2-4ac^0,故①正確，符合題意；

②???方程辦2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

4oc>0，

b2-4〃c>0，

方程4ix2+Z?x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故②正確，符合題意；

③若xo是一元二次方程aj^+bx+c=O的根，

則根據(jù)求根公式得：XO=-b±g：—4ac,

2axo+6=+7b2—4ac

22

.".b—4ac=(2ax0+b~),

故③正確，符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的實(shí)數(shù)根與根的判別式的關(guān)系，以及根的定義和等式性質(zhì)，牢固掌

握相應(yīng)關(guān)系并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

10.（2025春?利辛縣期中）將一元二次方程2d-12尤-1=0配方成（x+o）2=6的形式，則°,6的值為

（）

A.〃=3,b=10B.a=-3,b=lQ

1919

C.a=3/=~2D.CL=—3/b=又

【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答

案.

【解答】解：2d-12x-1=0,

2x2-12尤=1,

21

x-6x=5，

貝！Jx2-6x+9=4+9,即（x-3）2=竽

?_19

??ci-3,b=2，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2025春?東平縣期中）若關(guān)于元的方程祖，+（2m+1）%+根-1=0有實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍為心

_1

O

【考點(diǎn)】根的判別式.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】m>

【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)機(jī)=0時(shí)，方程為尤-1=0是一元一次方程，②當(dāng)機(jī)W0時(shí)，方程是一

元二次方程，由方程有實(shí)數(shù)根，得到判別式A三0,即可求解.

【解答】解：①當(dāng)機(jī)=0時(shí)，方程為尤-1=0是一元一次方程，

解得尤=1，符合題意；

②當(dāng)機(jī)W0時(shí)，方程是一元二次方程，

.pnW0

*(J=(2m+l)2—4m(m—1)>0?

解得：加之一五且mWO,

o

1

??m的取值范圍為m>—五且mWO.

o

1

故答案為：心弋.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查根的判別式及一元二次方程的定義，根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

12.(2024秋?望奎縣期末)若a,6是方程/+尤-2025=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則晟+2。+6的值是2024.

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】2024.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的解可得出a+b=-1,a2+a-2025=0,再將cr+2a+b化

成/+°+Q+b),最后整體代入即可解答.

【解答】解：由題意可得：a+b—-1,cr+a-2025=0,

cT+la+b=a^+a+(a+b)=2025+(-1)=2024.

故答案為：2024.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，掌握一元二次方程

OJ?+bx+c—Q(aWO)的兩根之和等于-兩根之積等于一是解題的關(guān)鍵.

aa

112

13.(2025春?青神縣期中)a,0是關(guān)于x的方程x2-2%+m=0的兩實(shí)數(shù)根，且一+^=-一，則根的值

ap3

為-3.

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出a+B=2,。邛=如通分后代入，即可求出答案.

【解答】解：???〃，0是關(guān)于x的方程W-2x+小=0的兩實(shí)數(shù)根，

??.a+B=2,a*P=m,

112

aB3

.a+p2

??—,

af3

.22

??———,

m3

解得：機(jī)=-3,

故答案為：-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，能熟記根與系數(shù)的關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，如果a、0是一

元二次方程^（a、b、c為常數(shù)，aWO）的兩個(gè)根，那么a+0=式邛=2

14.（2025?汕頭校級(jí)模擬）對(duì)于字母辦n,定義新運(yùn)算機(jī)機(jī)-%若方程/+3x+l=0的解為。、

b,則a^b+2的值為6..

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】6.

【分析】判斷出a+b=-3,ab=l,再根據(jù)新定義計(jì)算即可.

【解答】解：：方程x，3x+l=0的解為a、b,

?.a+Z?=-3,ab=l,

a^b+l—ab-a-b+2—1+3+2—6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查根與系數(shù)關(guān)系，一元二次方程的解等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知

識(shí)解決問題.

15.（2024秋?常德期末）己知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是2和3,第三邊的長(zhǎng)是方程7-4x+3=0的一個(gè)根，

則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為8.

【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；三角形；運(yùn)算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先求出方程的解，再利用三角形的三邊關(guān)系可以判斷出三角形的第三邊長(zhǎng)是3,最后求出周長(zhǎng)

即可.

【解答】解：x2-4.r+3=0,

（x-1）（x-3）=0,

所以xi=LX2=3.

Vl+2>3不成立，

由三角形的三邊關(guān)系可知它的第三邊長(zhǎng)為3,

三角形周長(zhǎng)為2+3+3=8.

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出方程的解是解此題的關(guān)

鍵.

三.解答題(共5小題)

16.(2025春?寧明縣期中)解方程：

(1)x2+x-1=0；

(2)x2-6x=3(6-x).

【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】(1)XI=1；西,X2=；

(2)xi—6,Xi--3.

【分析】(1)利用公式法解方程；

(2)利用因式分解法解方程.

【解答】解：(1)/+尤-1=0,

這里。=1,b=l,c=-1,

：.A=12X4X1X(-1)=5>0,

._-1±V5_-1±V5

'?*—2x1-—2-'

.-1+V5-1-V5

??xi-2，X2=2；

(2)x2-6x=3(6-x),

x(x-6)=-3(x-6),

x(x-6)+3(x-6)=0,

(%-6)(x+3)=0,

.'.x-6=0或x+3=0,

??xi=6，X2=-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方

法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵.

17.(2025春?界首市期中)如圖，用長(zhǎng)為20機(jī)的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度為11m)圍成中

間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃.為了方便出入，在建造籬笆花圃時(shí)，在5c邊上用其他材料做了寬為1m

的兩扇小門.若花圃的面積恰好為40〃，.

（1）求此時(shí)花圃AB邊的長(zhǎng)；

（2）花圃的面積能達(dá)到50加2嗎？若能，求出邊的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由.

墻長(zhǎng)11m

B1mImC

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】（1）花圃邊的長(zhǎng)為4米；

（2）花圃的面積不能達(dá)到50病，理由見解析.

【分析】（1）設(shè)花圃A2邊的長(zhǎng)為無，則花圃的邊BC的長(zhǎng)為（22-3%）米，由墻的最大可用長(zhǎng)度為

可知導(dǎo)，再根據(jù)題意列一元二次方程求解即可；

（2）令尤（22-3x）=50,再運(yùn)用一元二次方程根的判別式判斷方程根的情況即可解答.

【解答】解：（1）設(shè)花圃邊的長(zhǎng)為無，則花圃的邊8C的長(zhǎng)為（22-3尤）米，

:墻的最大可用長(zhǎng)度為11m,

根據(jù)題意列一元一次不等式得，22-3xWll,

整理得,3x211,

解得：x>,，

由題意可列方程得：x（22-3無）=40,

整理得：3/-22x+40=0,

1011

解得：x=4或77（舍棄）?

33

答：花圃邊的長(zhǎng)為4米；

（2）花圃的面積不能達(dá)到50”，，理由如下：

令x（22-3尤）=50,

整理得：37-22x+50=0,

因?yàn)椤?（-22）2-4X3X40=-116<0,

所以方程3?-22x+50=0無解，即花圃的面積不能達(dá)到50m2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題成為解題的關(guān)鍵.

18.（2025?青島模擬）已知xi,X2是關(guān)于尤的一元二次方程（〃z+2）f+2（“Z-2）尤+機(jī)+10=0的兩實(shí)數(shù)根.

(1)求他的取值范圍；

(2)已知等腰AABC的底邊BC=4,若xi,X2恰好是△ABC另外兩邊的邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

(3)閱讀材料：若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,那么可以根據(jù)秦九韶-海倫公式可得：S&ABC=

yjp(p-a)(p-b)(j)-c),其中p=a+J+c,在(2)的條件下，若/BAC和/ABC的角平分線交于點(diǎn)I,

根據(jù)以上信息，求△B/C的面積.

【考點(diǎn)】根的判別式；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；一元一次方程的解；一元二次方程的定義.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；線段、角、相交線與平行線；三角形；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算

能力；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)ANO,構(gòu)建不等式求解即可；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)可得一元二次方程兩根相等，利用A=0,構(gòu)建方程求解m值，即可得一元

二次方程，解方程可求解尤1,X2,進(jìn)而可求解△ABC的周長(zhǎng)；

(3)由海倫公式可求解△ABC的面積，過/分別作m_LBC,/E_LAC,垂足分別為凡D,E,

利用角平分線的性質(zhì)可得/F=/D=/E,結(jié)合△ABC的面積可求解的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)

算可求解.

【解答】解：(1)由題意得：A=b2-4ac=[2(m-2)]2-4(m+2)(w+10)20,且優(yōu)+2/0,

化簡(jiǎn)得：64m-64,

解得：mW-1且mW-2；

(2)由題意知：xi,X2恰好是等腰△ABC的腰長(zhǎng)，

??XI=X2f

Vxi,X2是關(guān)于x的一元二次方程(m+2)/+2(m-2)X+M+10=0的兩實(shí)數(shù)根，

A=/?2-4ac=[2(m-2)]2-4(m+2)(m+10)=0,

解得m=-1,

.*.x2-6x+9=0,

解得X1=X2=3,

VBC=4,

???△ABC的周長(zhǎng)為：3+3+4=10；

(3)由(2)知：△ABC的三邊長(zhǎng)為3,3,4,

3+3+4

；.p=^^=5c

S/\ABC=Jp(p—a)(P—b)(P—。)=J5x(5-3)x(5-3)x(5-4)=2A/5,

過/分別作〃ID±BCfIELAC,垂足分別為RD,E,

???/是△ABC角平分線的交點(diǎn),

：.IF=ID=IE,

[[[11

，4XSIF+^BC-ID+^AC-IE=^1D-(AB+BC+AC)=x(3+3+4)=SID=2遍,

S^ABC=乙乙乙乙乙

解得ID=等，

S/\Bic=,ZD=X4X

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性

質(zhì)，掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵.

19.(2025春?青神縣期中)已知關(guān)于x的一元二次方程"u2-4x+l=0.

(1)若該方程有實(shí)數(shù)根，求機(jī)的取值范圍；

(2)若1是該方程的一個(gè)根，求相的值.

【考點(diǎn)】根的判別式.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】(1)機(jī)W4且機(jī)W0；

(2)m—3.

【分析】(1)由一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則△》()，再解不等式即可得到答案;

(2)把尤=1代入原方程求出根的值即可.

【解答】(1)解：A=(-4)2-4,〃=16-4m,

若方程有實(shí)數(shù)根，則△》()，且機(jī)W0,

即16-4加20,且加W0,

解得：機(jī)W4且加力0；

(2)解：把％=1,代入一元二次方程g2_4x+l=0得：

m-4+1=0,

解得：m=3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的解，根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程aW+6x+c=0

(aWO)的根與△=/-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

20.(2025春?昭平縣期中)山東濰坊風(fēng)箏節(jié)期間，王大伯決定銷售一批風(fēng)箏，計(jì)劃第一次購(gòu)進(jìn)熊貓和金魚

兩種風(fēng)箏共300個(gè)，熊貓風(fēng)箏進(jìn)價(jià)為20元，售價(jià)定為23元，金魚風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為30元，售價(jià)定為36

元.

(1)若王大伯將這批風(fēng)箏全部售完，要求總獲利不低于1500元，求王大伯最多購(gòu)進(jìn)熊貓風(fēng)箏多少個(gè)？

(2)王大伯第二次購(gòu)進(jìn)熊貓風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)不變.由于銷量火爆，王大伯決定購(gòu)進(jìn)熊貓風(fēng)箏的數(shù)量在(1)

中的最多進(jìn)貨量的基礎(chǔ)上增加50,"個(gè)，售價(jià)比第一次提高機(jī)元，最終這批熊貓風(fēng)箏全部銷售完后獲利

1000元，求機(jī)的值.

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】(1)王大伯最多購(gòu)進(jìn)熊貓風(fēng)箏100個(gè)；

(2)m的值為2.

【分析】(1)設(shè)王大伯購(gòu)進(jìn)熊貓風(fēng)箏尤個(gè)，則購(gòu)進(jìn)金魚風(fēng)箏(300-%)個(gè)，根據(jù)總獲利不低于1500元，

列出不等式，解不等式即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)最終這批熊貓風(fēng)箏全部銷售完后獲利1000元，列出關(guān)于相的一元二次方程，解方程，再取

符合條件的值即可.

【解答】解：(1)設(shè)王大伯購(gòu)進(jìn)熊貓風(fēng)箏無個(gè)，則購(gòu)進(jìn)金魚風(fēng)箏(300-x)個(gè)，

根據(jù)題意列方程得：(23-20)x+(36-30)(300-%)21500,

整理得，3xW300,

解得xWlOO,

所以尤的最大值為100,

答：王大伯最多購(gòu)進(jìn)熊貓風(fēng)箏100個(gè)；

(2)根據(jù)題意列方程得：(100+50加)(23+m-20)=1000,

整理得：m2+5m-14=0,

解方程，得見=2,mi=-7,

儂=-7不合題意，舍去，

所以m—2,

答：機(jī)的值為2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到關(guān)系式.

考點(diǎn)卡片

1.等式的性質(zhì)

（1）等式的性質(zhì)

性質(zhì)1、等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；

性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式.

（2）利用等式的性質(zhì)解方程

利用等式的性質(zhì)對(duì)方程進(jìn)行變形，使方程的形式向x=a的形式轉(zhuǎn)化.

應(yīng)用時(shí)要注意把握兩關(guān)：

①怎樣變形；

②依據(jù)哪一條，變形時(shí)只有做到步步有據(jù)，才能保證是正確的.

2.一元一次方程的解

定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等.

3.一元二次方程的定義

（1）一元二次方程的定義：

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：

①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個(gè)未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高

次數(shù)是2"；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0"；“整式方程”.

4.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解

也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.這尤1,X2是一元二次方程辦

的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量.

axi2+bxi+c—O(a20),ax^+bxi+c—O(a#0).

5.解一元二次方程-配方法

（1）將一元二次方程配成（無+相）2=〃的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫

配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為^^bx+cn。QWO）的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1,并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方

程無實(shí)數(shù)解.

6.解一元二次方程-公式法

（1）把x=±J/~^竺（b2-4ac^0）叫做一■元二次方程以2+云+°=0（a/0）的求根公式.

（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a,b,c的值（注意符號(hào)）；

②求出戶-4℃的值（若廿一4此<0,方程無實(shí)數(shù)根）；

③在廬-4℃20的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①。/0；②/-4ac>0.

7.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩

個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一

元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得

到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

8.