4.數(shù)列、不等式板塊四考前回扣回歸教材易錯提醒內(nèi)容索引回扣訓(xùn)練回歸教材1.等差數(shù)列及其性質(zhì)(1)等差數(shù)列的判定：an＋1－an＝d(d為常數(shù))或an＋1－an＝an－an－1(n≥2).(2)等差數(shù)列的性質(zhì)12345678②若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d<0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列.③當(dāng)m＋n＝p＋q時，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時，則有am＋an＝2ap.④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列.答案12345678[問題1]

已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝12，S20＝17，則S30為________.152.等比數(shù)列及其性質(zhì)12345678(2)等比數(shù)列的性質(zhì)②Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(Sk≠0)成等比數(shù)列.[問題2]

(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整數(shù)，則a10＝_____.(2)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5·a6＝9，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.1234567851210答案3.求數(shù)列通項的常見類型及方法(1)已知數(shù)列的前幾項，求數(shù)列的通項公式，可采用歸納、猜想法.(2)如果給出的遞推關(guān)系式符合等差或等比數(shù)列的定義，可直接利用等差或等比數(shù)列的公式寫出通項公式.(3)若已知數(shù)列的遞推公式為an＋1＝an＋f(n)，可采用累加法.(4)數(shù)列的遞推公式為an＋1＝an·f(n)，則采用累乘法.12345678(6)構(gòu)造轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求通項公式.答案12345678[問題3]

已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立.數(shù)列{an}滿足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________.n·2n解析4.數(shù)列求和的方法(1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式；(2)分組求和法；(3)倒序相加法；(4)錯位相減法；(5)裂項法12345678(6)并項法數(shù)列求和時要明確：項數(shù)、通項，并注意根據(jù)通項的特點選取合適的方法.[問題4]

數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n項和，則S21的值為_____.答案123456785.如何解含參數(shù)的一元二次不等式解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：①二次項系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大小，也是分大于、等于、小于三種情況.在解一元二次不等式時，一定要畫出二次函數(shù)的圖象，注意數(shù)形結(jié)合.[問題5]

解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).12345678解答12345678當(dāng)a＝1時，不等式的解集為?.6.處理二次不等式恒成立的常用方法(1)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)用判別式法，當(dāng)x的取值為全體實數(shù)時，一般應(yīng)用此法.(2)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，如大于零恒成立可轉(zhuǎn)化最小值大于零.(3)能分離變量的，盡量把參變量和變量分離出來.(4)數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形進行分析，從整體上把握圖形.[問題6]

如果kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是________.答案解析12345678(－1,0]解析當(dāng)k＝0時，原不等式等價于－2<0，顯然恒成立，所以k＝0符合題意.當(dāng)k≠0時，由題意，得12345678解得－1<k<0.所以－1<k≤0.7.利用基本不等式求最值必須滿足三個條件才可以進行，即“一正，二定，三相等”.常用技巧：(1)對不能出現(xiàn)定值的式子進行適當(dāng)配湊.(2)對已知條件的最值可代入(常數(shù)代換法)或消元.(3)當(dāng)題中等號條件不成立時，可考慮從函數(shù)的單調(diào)性入手求最值.[問題7]

若log4(3a＋4b)＝

，則a＋b的最小值是__________.12345678答案解析12345678所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，8.解決線性規(guī)劃問題有三步(1)畫：畫出可行域(有圖象).(2)變：將目標函數(shù)變形，從中抽象出截距或斜率或距離.(3)代：將合適的點代入到原來目標函數(shù)中求最值.利用線性規(guī)劃思想能解決的幾類值域(最值)問題(1)截距型：如求z＝y(tǒng)－x的取值范圍.(2)條件含參數(shù)型：1234567812345678答案解析123456782解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，若z＝ax＋y的最大值為4，則最優(yōu)解為x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，經(jīng)檢驗知x＝2，y＝0符合題意，所以2a＋0＝4，此時a＝2.易錯提醒易錯點1忽視等比數(shù)列中q的范圍例1設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數(shù)列{an}的公比q＝________.答案1或－1解析①當(dāng)q＝1時，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，∴S3＋S6＝S9成立.②當(dāng)q≠1時，由S3＋S6＝S9，∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.例2若等差數(shù)列{an}的首項a1＝21，公差d＝－4，求Sn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.易錯分析要去掉|an|的絕對值符號，要考慮an的符號，對n不討論或討論不當(dāng)容易導(dǎo)致錯誤.易錯點2忽視分類討論解

an＝21－4(n－1)＝25－4n.令an≥0，得n≤6，n∈Z.當(dāng)n≤6時，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝－2n2＋23n；當(dāng)n≥7時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋an)＝2n2－23n＋132.例3已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項an.易錯分析an＝Sn－Sn－1成立的條件是n≥2，若忽略對n＝1時的驗證則出錯.易錯點3已知Sn求an時忽略n＝1解因為an＋1＝2Sn，因為S1＝a1＝1，所以數(shù)列{Sn}是首項為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn＝3n－1(n∈N*).所以當(dāng)n≥2時，an＝2Sn－1＝2×3n－2(n≥2)，易錯點4數(shù)列最值問題忽略n的限制易錯分析求解數(shù)列{an}的前n項和Sn的最值，無論是利用Sn還是利用an來求，都要注意n的取值的限制，因為數(shù)列中可能出現(xiàn)零項，所以在利用不等式(組)求解時，不能漏掉不等式(組)中的等號，避免造成無解或漏解的失誤.答案第7項或第8項所以此數(shù)列的最大項是第7項或第8項.易錯點5裂項法求和搞錯剩余項易錯分析裂項相消后搞錯剩余項，導(dǎo)致求和錯誤.一般情況下剩余的項是對稱的，即前面剩余的項和后面剩余的項是對應(yīng)的.易錯點6線性規(guī)劃問題最優(yōu)解判斷錯誤例6

P(x，y)滿足|x|＋|y|≤1，求ax＋y的最大值及最小值.易錯分析由ax＋y＝t，得y＝－ax＋t，欲求t的最值，要看參數(shù)a的符號.忽視參數(shù)的符號變化，易導(dǎo)致最值錯誤.解

P(x，y)滿足的線性區(qū)域如圖所示.①當(dāng)a<－1時，直線y＝－ax＋t分別過點(－1,0)與(1,0)時，ax＋y取得最大值與最小值，其值分別為－a，a.②當(dāng)－1≤a≤1時，直線y＝－ax＋t分別過(0,1)與(0，－1)時，ax＋y取得最大值與最小值，其值分別為1，－1.③當(dāng)a>1時，直線y＝－ax＋t分別過點(1,0)與(－1,0)時，ax＋y取得最大值與最小值，其值分別為a，－a.例7函數(shù)y＝

的最小值為________.易錯分析應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值，當(dāng)?shù)忍柍闪⒌臈l件不成立時，往往考慮函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，同時注意函數(shù)的定義域.易錯點7運用基本不等式忽視條件回扣訓(xùn)練答案解析1234567891011121.不等式>1的解集是________.解析∵不等式>1，∴2x2＋x－1<0，即(2x－1)(x＋1)<0，解析答案±21234567891011122.已知等差數(shù)列{an}的公差為d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差為8，則d的值為________.3.已知數(shù)列{an}滿足

＝9·(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，則(a5＋a7＋a9)＝________.答案解析123456789101112－3解析

由已知

，所以an＋1＝an＋2，所以數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，a5＋a7＋a9＝(a2＋3d)＋(a4＋3d)＋(a6＋3d)＝(a2＋a4＋a6)＋9d＝9＋9×2＝27，(a5＋a7＋a9)＝

＝－3.答案解析解析當(dāng)a＝0時，－2≤0，不等式顯然成立；1234567891011124.若命題“?x∈R，ax2－ax－2≤0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________.[－8,0]綜上可知，－8≤a≤0.答案解析12345678910111220解析設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則an＝nd＋2－d，所以d＝2，故a10＝20.解析答案123456789101112(－4,0]123456789101112解析由z＝2x－y，得y＝2x－z，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域(陰影部分)如圖，平移直線y＝2x－z，由圖象可知當(dāng)直線y＝2x－z經(jīng)過點A(－2,0)時，直線y＝2x－z的截距最大，此時z最小.當(dāng)直線y＝2x－z經(jīng)過點O(0,0)時，直線y＝2x－z的截距最小，此時z最大.所以z的最小值為－4，最大值為0.即－4<z≤0.7.(2018·南通、徐州、揚州等六市模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a8＝3，則a5的值為________.解析答案123456789101112－6解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.∵S3，S9，S6成等差數(shù)列，∴2S9＝S3＋S6，且q≠1.123456789101112即2q6－q3－1＝0.解析答案123456789101112[27,30]所求可轉(zhuǎn)化為t＝3x＋8y.123456789101112123456789101112所以tmin＝27，即t的取值范圍為[27,30].123456789101112123456789101112解析答案123456789101112－2123456789101112方法二因為a＋b＝2，b>0，123456789101112故當(dāng)a<－2時，f′(a)<0；當(dāng)－2<a<0時，f′(a)>0，故f(a)在(－∞，－2)上是減函數(shù)，在(－2,0)上是增函數(shù)，解析答案123456789101112123456789101112解析由于a，b均為正實數(shù)，顯然有m>0，b≥a，12345678910111211.已知函數(shù)f(x)＝(1)若f(x)>k的解集為{x|x<－3或x>－2}，求k的值；解答123456789101112解

f(x)>k?kx2－2x＋6k<0.由已知{x|x<－3或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的兩根是－3，－2.解答123456789101112(2)對任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范圍.12.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足8Sn＝

＋4an