第25講正弦定理與余弦定理

［課標(biāo)要求］掌握正弦定理、余弦定理，并能解一些簡單的三角形度量問題.

為基固本|回歸教材授課提示：聽課手冊P101

■l知識梳理*

1.正弦定理與余弦定理

(1)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的―正弦的比―相等,并且

都等于夕卜接圓的直徑一，即—^=^=2R.

sinAsinBsinC

(2)余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊

與它們夾角的—金弦—的積的兩倍，即：

Q2=力2+。2-2+c】OH&；

b1=g2+c2-2acjo§旦；

c2=.2+"—2a6cosc_.

由余弦定理，可以得到如下推論：

Z72+c2-a2

cosA=--------------；

-2bc-

cos5=c2+i

2cq-

cosC=—

—lab一

2.三角形常用面積公式

(1)品/8C=；。兒(其中總表示邊a上的高);

⑵S“BC=—absinC=-6c_sin_4=—ac_sin_￡_

(3)S^ABC=+b+c)r(r為三角形內(nèi)切圓的半徑).

常用結(jié)論

1.三角形邊角關(guān)系

(1)三角形三邊的關(guān)系：①三角形任何兩邊之和大于第三邊；②三角形任何兩

邊之差小于第三邊.

(2)三角形邊角關(guān)系：①三角形中，大邊對大角；②三角形中，大角對大邊.

(3)三角形三角關(guān)系：4+5+。=兀.

2.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

(l)sin(4+5)=sinC；

(2)cos(A+B)=—cosC；

A~\~BC

(3)sm------=cos—；

22

/八4+5.C

(4)cos---=sm—.

3.三角形中的射影定理

在△4SC中，6z=/?cosC+ccosB；

b—acosC+ccosA；c—bcosA+acosB.

4.解三角形的四種基本類型

(1)已知兩角及任一邊，求另一角和兩邊；

(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊及另兩角;

(3)已知兩邊和它們的夾角，求另一邊及另兩角；

(4)已知三邊，求三角.

：■熱身練習(xí)”

I.在A/BC中，"sin/=l”是“/=匹”的()

26

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

解析：C在△48C中，若sin/=L

2

所以“sin/=l"是'7=支”的必要不充分條件.故選C.

26

2.（2024?高三江蘇泰州期中）在△/BC中，角4,B,C所對的邊分別為a,

b,c,若a=2,A=-,cosB=^^,則b=（）

64

A.，B.1

3

C.2D.23

解析：B因為COS5=T^,BC（0,兀），所以sinB=41^00^8=：,

ch2b

由正弦定理一9一,即=7,解得6=1.故選B.

sin4sinBsin--

64

3.（教材母題必修6.4.3練習(xí)Tl）在△45。中，角4B,C的對邊分別是

2

b,c,右6=1,c=3,cosA=~,貝!J〃=（）

3

A.#B.2/

C.D.V14

解析：A在△45C中，b=lc=3,cosA=-

93f

由余弦定理得q2=b2+c2-2bcCOS^=1+9-2X1X3X-=6,

3

所以Q=?.故選A.

4.（2024?廣東茂名模擬）在△45。中，角4B,C的對邊分別為Q,b,c.

且層十02—62=QC,QC=4,貝必5?BC=（）

A.A/5B.—A/5

C.2D.-2

—I—「2—A21jj-

解析：D由余弦定理得cos5=-------------=二又因為B￡(0,7i),所以

lac23

故AB?BC=accos（兀-5）=—2.故選D.

5.（2024?山西晉城三模）△ZBC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已

知Z=30。，拄+。2一層=43，則△45。的面積為.

解析：1因為4=30。，b2+c2—a2=4\[3,所以2bccos4=d5bc=43,所以

bc=4,

所以△45C的面積為-besin^4=1.

2

導(dǎo)點探究|舉一反三授課提示：聽課手冊P102

探究點1正弦定理和余弦定理

【例1】（1）在/、，臺。中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為Q,b,c,已知。=bcosC

+csinB,則B等于（）

B.K

4

2兀

C-3D.

3

(2)(2024?重慶模擬預(yù)測)記△/8C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,

若3=g,b=6,a2+c2=3ac,則△/BC的面積為()

A.竭B.?

44

c”D.2

22

解析：⑴B由已知a=bcosC+csin5及正弦定理得sin4=sin5cosC+sinCsinB,

又sin4=sin(B+C)=sin5cosC+cosBsinC,

所以sinBcosC+cosBsinC=sin5cosC+sinCsinB,

化簡可得sin5=cos5,即tan5=1.

因為5為三角形的內(nèi)角，所以5=四.故選B.

4

（2）A由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB,

即36=a2+c2+ac=3ac+ac=4ac,

解得ac=9,

所以/\ABC的面積為IQCsinB=1X9義置=6故選A.

2224

j^KI^EK以8B

（1）解三角形的基本類型有四類，已知△4BC中的邊、角的某三個（至少包括一

邊），就可求出此三角形的其他邊和角.

（2）已知兩邊和其中一邊的對角（如6,c,3）應(yīng)用正弦定理時，有一解、兩解和

無解的情況，可根據(jù)三角函數(shù)的有界性、三角形內(nèi)角和定理或“三角形中大邊對

大角”來判斷解的情況，做出正確取舍.

（3）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一條邊時，常采用余弦定理.

變式探究

1.（2024?吉林模擬預(yù)測）在△/2C中，角B,。所對的邊分別為a,b,c,

"acos5=6cos/"是“4=B"（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：C由acos8=6cos/,根據(jù)正弦定理得sin/cos3=sin8cos”,顯

然A,BF,則tan/=tanB,因為/,8為三角形內(nèi)角，則/=8,則充分性成立；

2

當(dāng)N=3時，因為/,8為三角形內(nèi)角，則不會存在N=B=&的情況，則

2

B*—,則tan=tan5,則sin^cosB=sinBcos才艮據(jù)正弦定理得qcosB=bcos

2

A,故必要性成立.

故cosB=6cosZ”是的充要條件.故選C.

2.（2024?山東煙臺段考）在斜三角形/BC中，A,B,C的對邊分別為Q,b,

C,4加asin2c=3（/+〃—c2）sin8,6=4,點。為5c邊的中點，點。為/。的

中點，且cosZCAO^-,則△43C的面積為.

解析：2、“5因為4\basin2c=3(°2+62—c2)sin5,

由余弦定理得8^6asinCeosC=6a6cosC,sinB,

又因為△/BC是斜三角形，所以cosC/0,

所以4#sinC=36sin8,

由正弦定理得4加c=3Z>2,

因為點。為3c邊的中點，點。為AD的中點，如圖所示,

所以蕊+就=2AD=4AO,

即43=4/。一/。,

貝IAB2=16AO2+AC2-2X4Ad-AC,

-*■-?1

所以24=16/O2+i6—2X4X4X|/O|Xj

即2|4O|2—140|-1=0,

—?1

解得卬=1或一本舍去），

所以品40c=1-AO-AC-sinZCAO=-X1義4又近=足，

2242

所以SA，BC=2SA"D=4SA*C=4X個=2而.

探究點2正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

【例2】（2024?新課標(biāo)I卷）記△/2C內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c

已知sinC=/cosB,a2+b2—c2=yf2ab.

（1）求5;

（2）若△NBC的面積為3+3，求c

角星析：（1）由已知a2+b2—c2=\l2ab,

―用a2+b2~c2也ab也

可行cosC=-----=一,

2ab2ab2

因為。￡（0,7i）,所以sinOO,

]_（也）2=也

從而sinC=\1-cos2C=

又因為sinC=/cos5,所以cos§=；，

因為36（0,兀），所以3=；.

（2）由（1）可得8=；,cosC=y,Ce（0,n）,

>I丁/兀.JC7i57r

從而C=一,A=TI---------=—,

43412

工?4.5兀..71.71.也也上啦1加十也

而sin^4=sin-=sin（—-1-一）=—X---F—X-=----------

124622224

abc

由正弦定理有?Z="=—

-37r兀r.

sm—sm-sin三'

1234

..匚\（6+\[2c噓+1人電人a

從而Q=--------?\2c=--------C,b=—?A/2c=-c,

4222

由三角形面積公式可知，△49。的面積可表示為

S0=1absinC=1也;一

222228

可得±8c2=3+3,所以c=2也.

已知△/8C的面積為3+3,

8

利用正、余弦定理求邊和角的方法

（1）根據(jù)題目給出的條件（即邊和角）作出相應(yīng)的圖形，并在圖形中標(biāo)出相關(guān)的

位置.

（2）選擇正弦定理或余弦定理或兩者結(jié)合求出待解問題.一般地，如果式子中

含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正

弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理

都有可能用到.

變式探究

3.已知△/BC的內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,且6cosN=2ccosC

—acosB.

(1)求角。的大?。?/p>

(2)若c=2,b2+c2=a2+46zccosA,求△45。的面積.

角星析：(1)由bcosA=2ccosC—acosB,

得sinBcosA=2sinCeosC—sinAcosB,

即sinBcosA+sinAcosB=2sinCeosC,

得sin(4+5)=2sinCeosC,

即sinC=2sinCeosC.

又C￡(0,7i),sinOO,

所以1=2cosC,即cosC=-,

2

又OvCv兀，所以C=匹.

3

(2)由b2+c2=a2+46zccosA,得加十。?一Q2=4QCCOS4,

/?2—「2—

由余弦定理得cosA=-------------,

2bc

得b2+c2—a2=2bccos4,

所以4accosA=2bccosA,

又cosZ手0,所以b=2a.

由(1)知，c=|,

由余弦定理得c2=02+62—2abcosC=a2+4a2—4a2,-=3a2,

2

又c=2,所以3a2=4,由a>0,解得°=個，

所以6=個，

故S^ABc=-absinc=1X四X通X^=

223323

d期期探究點3“爪形”三角形問題

【例3】(2024?江蘇南通月考)如圖，在△4BC中，48=心，0)=5,Z

48c=45°,ZACB=60°.

A

B

CD

⑴求4。的長;

(2)求△NBC的面積SAABC.

解析：(1)如圖，過點/作垂足為E.

A

_BECD

因為CD=5,NA8C=45。，ZACB=6Q°,

在RtZX/EB中，AE=ABsinB=^^義也=逑,

222

3^3

Ap7

在RtZUEC中，AC=一任一=4=3,

sinN4cB3

2

由余弦定理可得

AD2=AC2+CD2-2AC?CDcosZACD

=9+25-2X3X5X(-j

=49,

所以40=7.

(2)因為sinZ^C=sin(ZABC+ZACB)

=sinN45CeosZACB+cosN45csin/ACB

=也*1+也><也

2222

一4，

_1Ar,■/口“「J丫3比^N#+也_27+9\!3

所以SZUBC=—45?/CsinN5/C=—X----X3X

22248

爪形三角形問題的題設(shè)情境是三角形的某頂點與其對邊（或延長線）上一點將

該三角形分割為兩個三角形，題設(shè)條件與待求量分布在不同三角形內(nèi)，求解策略

是利用分界線兩側(cè)的兩內(nèi)角的互補關(guān)系，應(yīng)用余弦定理求解或應(yīng)用向量工具求解.

變式探究

4.（2024?四川綿陽模擬預(yù)測）△4BC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c.

已知&=匕%啰

asin4

（1）求角B的大??；

⑵若△/BC的面積等于韻，。為8C邊的中點，當(dāng)中線/D的長最短時，求

NC邊的長.

解析：（1）在△ABC中，由&=匕照4及正弦定理得，3sin2sin/=sin/

asin/

—sin4,cosB.

因為4￡（0,兀），sinZ力0,

所以加sinB=1—cosB,

所以M5sinB+cosB=2sin（5+四）=1,

6

又8G(0,71),則8+匹=2，所以8=".

663

(2)由(1)得S&i3c=5csin個=/。。=/，所以QC=4.

如圖所示，在△45。中，由余弦定理可得

AD2=c2+(^)2-2c--?cos紐=/+(2)2+%2也=6,

223222

當(dāng)且僅當(dāng)c==即〃=2/，c=S時，等號成立，

2

。層作業(yè)|鞏固提升授課提示：訓(xùn)練手冊P357

fs硼過關(guān)

1.在△/8C中，a=3也,b=2?cosC=1，則△48C的面積為（）

3

A.3B.2加

C.33D.43

解析：D因為C為三角形的內(nèi)角，

所以sinC=^l—cos2C=^j^,

所以S=l06sinC=L><3出X2\{ix返=4出.故選D.

223

2.在中，若A8=V13,BC=3,ZC=120°,則/C=（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：A由余弦定理得/5M/C+BG-Z/OBCFOSC,即13=/（？+9

-2/CX3Xcosl20°,化簡得解得NC=1或NC=-4（舍去）.

故選A.

3.(2024?江西九江三模)在△48C中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,

已矢口2c—q=2bcosZ,貝!j5=()

解析：B因為2。一〃=2bcos/,

由正弦定理，得2sinC—sin4=2sin5cosA,

因為A+B+C=n,

所以2sin(4+5)—2sinBcos/=sin4,

展開化簡得2sin4cos5=sin4

因為sinA>0所以cosB=~,

92

又8G(0,n),所以8=g.故選B.

4.(多選)不解三角形，則下列對三角形解的個數(shù)的判斷中正確的是()

A.q=30,6=25,4=150°,有一解

B.Q=7,6=14,4=30°,有兩解

C.a=6,b=9,Z=45°,有兩解

D.a=\[3,b=?,4=60°,無解

解析：AD對于A,由正弦定理得/=*,X0<B<-,故3只

a126

有一個解，正確；

對于B,由正弦定理得又0<8<對，顯然2=三，只有一

a62

個解，錯誤；

對于C,由正弦定理得顯然8無解，錯誤；

a4

對于D,由正弦定理得sin5="亞/=?>1,顯然B無解，正確.故選AD.

a2

5.在△/BC中，角/,B,。所對的邊分別為a,b,c,且b=2a,2a2+b2

—c2,則sin3=()

A.-B.-

44

「亞八?U5

C.D.

44

222

解析：C由6=2Q,2a+b=cf得2a2+62=6〃2=°2,

圻力_a2+c2-b2_3a_\[6

所以cosBR=--------=—=一,

2ac2c4

又B￡(0,n),所以sin5=JI二?故選C.

6.在平面四邊形45c。中，ZADC=90°，N4=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cosZADB；

(2)若。C=2/，求5c

解析：⑴在中,

BDAB

由正弦定理得

sinZ.AsinNADB'

即一■=——-——，

sin45°sinNADB

A/2

所以sinNADB=".

5

由題設(shè)知，NADB<90°,

所以cosNADB="/1_2=必

V255

(2)由題設(shè)及(1)知，

也

cosZBDC=sinNADB=——.

5

在△BCD中，由余弦定理得

BC2=BD2+DC2~2BD?DC?cosNBDC

=25+8-2X5X2/x個=25,

所以3c=5.

7.(2024?天津紅橋一模)在△/8C中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,

JI

已知bsinZ=qcos(B-一).

6

(1)求角B的大??；

(2)若a=2,c=3,求sin(24—3)的值.

解析：(1)在△A8C中，由正弦定理得

sin5sin4=sin4cos(5——),

6

因為sinA>0所以sin5=cos(5——),

f6

可得sin5=—cosB+-sinB,

22

即sin5=Scos5,tan5=3.

又8G(0,n),可得

(2)在△NBC中，由余弦定理得62=a2+c2—2accosB=7,即6=47,

由6sin/=acos(2一立)，以及2=三，可得sin4=g,

63A/7

2

因為Q〈C,所以4是銳角，所以COS/=T，

2

因此sin24=2sin4cos4=%&cos2A=2cosA—l=-f

77

所以sin(24—5)=sin2Acos5—cos2AsinB=謔乂1-1乂*=2

727214

提升」

8.（2025?廣東廣州期中）在△NBC中，角/,B,。所對的邊分別為a,b,c

若,=也啰，則△N3C的形狀是（）

c2tanC

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

sing

解析：c由正弦定理得如學(xué)=出劣，

sin2csinC

cosC

而sin/>0,sinB>0,

整理得sinBcos5=sinCcosC,

即sin25=sin2C,

而0<B<n,0<C<n,

貝I0<2B<2n,0<2C<2n,

因此25=2?；?B+2C=n,

即B=C或5+。=三，

2

所以△45。是等腰三角形或直角三角形.故選C.

9.（2024?四川綿陽模擬預(yù)測）在①向量小=（b,E）,〃=（sinZ,-cos5）,

且帆J_〃，②廠"---=~T^—，③原+浮―62+2QC=2他6csin/這三個條件中任選

73cosBsinC

一個，補充在下面問題的橫線上，并加以解答.

已知△48。中，內(nèi)角4,B,。所對的邊分別為Q,b,c,.

(1)求角B的大??；

(2)若6=3,a~c=2,求△/5C的面積.

解析：(1)若選條件①，貝U膽?〃=6sin/一cosB=0,

根據(jù)正弦定理得sin5sinZ=d5sinZcos5,因為sin4手0,

所以sinB=3cos5,tan5=3,

因為0〈B〈n,所以5=三.

3

若選條件②，根據(jù)正弦定理得*^指一二理"二1,tanB=3,

73cosBsinC

因為Ov^vrt,所以5=三.

3

222

若選條件③，0a+c~b=2accosB9所以2QCCOS8+2QC=2A/56Csin4,

所以。cosB+a=y!3bsin^4,

根據(jù)正弦定理得sin/cos5+sin=A/3sinBsin/,

因為sin/WO,所以cos5+l=3sin5,sin(B—三)=1,

62

因為Ov^vrt,所以5=三.

3

(2)根據(jù)余弦定理得b2=a2+c2~2accosB=a2+c2—ac=(a—c)2+ac,

所以9=4+qc,所以QC=5,

所以△/BC的面積為Lzcsin5=-X5X^=^.

2224

10.已知△NBC中，a,b,c分別為內(nèi)角N,B,C的對邊，且2asin/=(26

+c)sin3+(2c+b)sinC.

(1)求角/的大小；

(2)設(shè)點。為BC上一點，4D是△/8C的角平分線，且40=2,6=3,求4

48C的面積.

解析：(1)在△45C中，由正弦定理及2asin/=(2b+c)sinB+(2c+6)sinC得

2d1—(2b+c)b+(2c+b)c,即b2+c2—a2=—bc,

由余弦定理得cos/=%~=—1

2bc2

又OvZvn,所以4=21].

3

(2)/。是A/iBC的角平分線，NBAD=NDAC=?,

由S^ABC—S^ABD+S^CAD可得

-bcsin=-cXADXsin—+-Z)X^Z)Xsin-,

232323

因為b=3,AD=2,即有3c=2c+6,c=6,

故S^ABC=~bcsin/=lx3X6X，=^^.

2222

I初戰(zhàn)簧應(yīng)用,

11.秦九韶是我國南宋時期的著名數(shù)學(xué)家，他在著作《數(shù)書九章》中提出,

已知三角形三邊長計算三角形面積的種方法“三斜求積術(shù)”，其公式為：

S"c=J(ab)2-(立)

1[/層+―一加2

=2\卜3(一^-).

a

若ac=2,cos5=《，a>b>c,則利用“三斜求積術(shù)”求△Z5C的面積為()

A.-B.-

44

C.-D.-

55

。2—I—「2—方2o

解析：D因為cosB=--------------=-,ac=2,

2ac5

31?

所以a2+c2—b2=4X-=一■,

55

則S""c)2-戶(寸

12.(2024?天津河西一模)在△48C中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,

c,且a(l+cos8)=36sin/.

(1)求角3的大小.

⑵設(shè)6=2由，a-c=2.

(i)求。的值；

(ii)求sin(2/+8)的值.

解析：(1)由正弦定理可得

sin4(l+cosB)=\l3sinBsin^4,

因為sin4力0,所以l+cos5=A/3sin5,

則yfisin5—cos5=2sin(B——)=1,

6

所以sin(B―—

62

因為0<5<n,所以8—三==，故5=三.

663

〃2—I——2—方2

(2)(i)由余弦定理得cos5=--------------,

2ac

由b=2由,5=三，q—c=2,

3

得(a—c)2+2ac—b2=2accosB,

所以QC=24,

解得Q=6,c=4.

(ii)由余弦定理得

3出

所以sin2/=2sinAcosA

14，

13

cos2A=2cos24—1=—

14'

所以sin(2/+2)=sin(2^+y)

=sin24cos+cos2Asin三=-5\3

3314

第26講正、余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用

［課標(biāo)要求］1.進(jìn)一步掌握正弦定理、余弦定理的應(yīng)用2能利用正弦定理、余

弦定理解決有關(guān)實際應(yīng)用問題.3.能利用正弦定理、余弦定理解決與面積、三角恒

等變換相關(guān)的三角形問題.

為基固本|回歸教材授課提示：聽課手冊Pg

知識梳理*

1.判斷三角形的形狀特征

必須從研究三角形的邊角關(guān)系入手，充分利用正、余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化

邊為角或化角為邊，邊角統(tǒng)一.

在△4BC中，設(shè)/為最大角，則：

(1)等腰三角形:b—c或B—C.

(2)直角三角形:62+02=02或/=90。.

⑶鈍角三角形:口2>加+0或90°</<180°.

(4)銳角三角形:a2<62+c2或0。</<90。.

2.在△/2C中，常用的一些基本關(guān)系式

(1乂+2+。=_匹_；

(2)sin(B+C)—sin/,cos(2+0=—cos4,tan(B+Q——二

tan^4；

“B+CA

(3)sin----=cos—；

2~~~2~~

(4)cos紇±C=sin-

2——~2-

(5)tanA+tan5+tanC=￡tan_C.

3.解三角形在實際應(yīng)用中的相關(guān)角的概念

(1)仰角和俯角

與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和一旦揚—視線的夾角，目標(biāo)視線

在水平視線—上方一時叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線—工友—時叫做俯角(如圖

1所示).

(2)方位角

從某點的指北方向線起按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位

角.如2點的方位角為a(如圖2所示).

圖1圖2

(3)方向角

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)XX

度.

4.解三角形在實際問題中的應(yīng)用

(1)三角形的實際應(yīng)用題實質(zhì)還是求解三角形，應(yīng)掌握實際問題中常用角(方向

角、方位角、仰角、俯角等)的概念，并掌握求解實際問題的一般步驟和方法.

（2）用正、余弦定理解決實際問題的一般步驟

①審題：理解題意，分清已知和未知，畫出示意圖.

②建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與未知量盡量集中在有關(guān)的三

角形中，建立一個解三角形的數(shù)學(xué)模型.

③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.

④檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解.

5.三角形條件下有關(guān)最值的解決策略

首先建立目標(biāo)函數(shù)（可能是一元，也可能是二元），然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的特點選

擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鲎钪?

：■熱身練習(xí)黑

1.（2024?江蘇連云港模擬預(yù)測）在中，角N,B,C的對邊分別為。，

b,c,若a=l,bcosA=l+cosB,則邊6的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（1,2）

C.（0,2）D.（2,3）

解析：B由a=l,6cos/=l+cosB得，6cos/=a+acos3,

由正弦定理可得

sinBcosA=sinA+sinAcosB,

即sinBcos/—sin/cos3=sinA,

所以sin（8一4）=sin/,

所以或2—/+/=兀（舍去），

所以3=24

^4m組,asin2sinZ4c.

由正弦定理得b=--------=--------=2cos/,

sinAsinA

而0<A<TI,0<B=2A<it,0<C=n—3A<it,

rr1

所以0<A<-,所以—cosA<\,

32

所以b=2cos4￡（l,2）,所以6的取值范圍為（1,2）.故選B.

2.（教材母題必修6.4例10改編）在100m高的樓頂A處，測得正西方向地面

上5,。兩點（5,。與樓底在同一水平面上）的俯角分別是75。和15。，則5,。兩

點之間的距離為（）

A

CB

A.200也mB.240也m

C.180\5mD.200^3m

解析：D由題意，SC=----------

tan15°tan75°

_tan75°-tan15°

=100x---------------------

tan15°tan75°

s八Jan60°(1+tan15°tan75°)

=100X------------------------------------,

tan15°tan75

sin15°sin75°

而tan15°tan75°

cos15°cos75°

sin15°cos15°,

cos15°sin15°

所以8c=100><23=2003（111）.故選D.

3.如圖，/點正北方向的。市受到臺風(fēng)侵襲，一艘船從/點出發(fā)前去實施救

援，以24nmile/h的速度向正北航行，在N處看到S島在船的北偏東15。方向，

船航行3h后到達(dá)8處，在3處看到S島在船的北偏東45。方向.此船從/點到C

4

市航行過程中距離S島的最近距離為（）

A.9A/2nmileB.9（也一l）nmile

C.9（3—l）nmileD.9（3一/）nmile

解析：C如圖，過點5作$￡，48于點E.

a

在△ZSB中，ZABS=135°,45=24X3=18,NA4s=15。，ZASB=180°-

4

NABS-/SAB=30。,

NS=AB

由正弦定理得

sinN/BSsinNZSB'

所以4s二/8^^—=18也（nmile）,

sin30°

所以船與S島的最近距離

SE=SA?sin乙”8=18也sin15。=18/義水二^=9（3一1）（11111次）.故選C.

4

4.滕王閣位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永徽四年,

因唐代詩人王勃詩句“落霞與孤鷲齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世.如圖，

小明同學(xué)為測量滕王閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物/應(yīng)高為12m,

在地面上的點河，。三點共線）測得樓頂4、滕王閣頂部C的仰角分別為15。

和60。，在樓頂4處測得閣頂部。的仰角為30。，則小明估算滕王閣的高度為（精

確至!J1m)()

A.42mB.45m

C.51mD.57m

解析：D由題意得，在RtZUBM中,

…AB

AM=-------

sin15°

在△4CN中，ZG4M=30°+15°=45°,

Z^MC=180°-15°-60°=105°,

所以N4CM=30。，

AMCM

由正弦定理-

sin/ACMsin/CAM'

板sinNG4M\(2AB

付CM=-------------->AM=------------,

sinZACMsin15°

又sin15°=sin(45°—30°)=也X*一也義"一也

22224

水AB

在RtZkCZW中，CD=CMsin60°=

2sin15°2X

4

故選D.

5.托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字

命名，該定理指出：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘

積.已知四邊形/BCD的四個頂點在同一個圓的圓周上，AC,是其兩條對角

線，BD=8,且△/CD為正三角形，則四邊形48CD的面積為.

解析：16也如圖，設(shè)/D=￡>C=NC=a,由托勒密定理知，AB?a+a?BC

=。?BD,

所以45+50=50=8.

又因為匹，ZCBD=ZCAD=-,

33

所以四邊形ABCD的面積為

S=S”BD+SNCD

=-AB?BDsin-+-BC?BDsin-

2323

=?（AB+BC）?BD=16也

與點探究|舉一反三授課提示：聽課手冊P107

探究點1三角形中的三角函數(shù)問題

【例1】記△N3C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c°s”

1+sin/

sin2B

1+cos2B

⑴若。=瑪求5;

3

1

(2)求n生2+子b的最小值.

C2-

你刀：匚cosAsin2B2sinBcosBsinB

解析：（l）因為i-------=1----------=---------;-----=-------,

1+sin/1+cosIB2cos25cosB

.2兀1

所以sin5=cos4cos5-sinZsin5=cos（4+5）=-cosC=_cos

而0<8〈匹，所以B=更.

36

⑵由⑴知，sin5=-cosOO,所以六。<兀，0<S<^,

而sin5=—cosC=sin（C—：）

所以8=C一匹，C=-+B,A=n-B-C