第五章平面向量、復數(shù)

第1節(jié)平面向量的概念及線性運算

考試要求1.了解向量的實際背景.2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的

含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.

5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.6.了解向量線性

運算的性質(zhì)及其幾何意義.

■知識

【知識梳理】

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,用有向線段表示，此時有向線段的方

向就是向量的方向.向量檢的大小就是向量的長度(或稱模)，記作曲.

(2)零向量：長度為0的向量,記作0.

(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.

(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a,萬平行，記作a〃4

規(guī)定：0與任一向量平行.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運算

向量運算定義法則（或幾何意義）運算律

C

a+y\b

(1)交換律：

A/a

a+b=

求兩個向量和

加法三角形法則

的運算BaQ

聲(2)結(jié)合律：

OA(a+A)+c=a+(A+c)

平行四邊形法則

求兩個向量差

減法aa~b=a+(—b)

的運算

三角形法則

規(guī)定實數(shù)A與（ma\=W\a\；

A(juci)=；

向量a的積是（2）當7>0時，加的方向

Q+〃)a=

一個向量，這與a的方向11回；當丸

數(shù)乘

種運算叫做向<0時，癡的方向與a

%(a+辦)=

量的數(shù)乘，記的方向相反；當7=0時,

作ka/la=0

3.共線向量定理

向量a（aWO）與8共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)九使歸四.

［常用結(jié)論與微點提醒］

1.中點公式的向量形式：若P為線段A3的中點，。為平面內(nèi)任一點，則舁而

+OB).

2.dA=AOB+//OC（A,〃為實數(shù)），若點A,B,C共線（。不在直線3c上），則丸+

〃=1.

3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更要考慮向量

的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.

【診斷自測】

1.思考辨析（在括號內(nèi)打“J”或“X”）

⑴⑷與向是否相等和m辦的方向無關(guān).()

(2)若a〃。，bile,貝！Ja〃c.()

(3)向量檢與向量詼是共線向量，則A,B,C,。四點在一條直線上.()

(4)當兩個非零向量a,方共線時，一定有反之成立.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)V

解析(2)若8=0,則a與c不一定平行.

(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A,B,C,。四點不一定在一

條直線上.

2.(多選)下列命題中，正確的是()

A.若a與〃都是單位向量，貝I]a=8

B.直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量

C.若用有向線段表示的向量加與前不相等，則點M與N不重合

D.海拔、溫度、角度都不是向量

答案CD

解析A錯誤，單位向量長度相等，但是方向不確定；

B錯誤，由于只有方向，沒有大小，故x軸、y軸不是向量；

C正確，由于向量起點相同，但長度不相等或方向不同，所以終點不同；

D正確，海拔、溫度、角度只有大小，沒有方向，故不是向量.

一13

3.(必修二P16例8改編)已知a,8是兩個不共線向量，向量b—ta與乎一共線，

則實數(shù)t=.

答案3

解析由題意知，存在實數(shù)人使得

4.(必修二P14例6改編)在平行四邊形ABCD中，3C的中點為且協(xié)=a,AD

=b,用a,表示筋f=.

答案a+^b

解析AM=AB+BM=AB+^2

=AB+^AD=a-\-^b.

■考點聚焦突破

考點一平面向量的概念

例1（1）（多選）下列命題正確的有（）

A.方向相反的兩個非零向量一定共線

B.零向量是唯一沒有方向的向量

C.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同

口.''若4,B,C,。是不共線的四點，且檢=反"Q"四邊形ABCD是平行四

邊形”

答案AD

解析方向相反的兩個非零向量必定平行，所以方向相反的兩個非零向量一定共

線，故A正確；

零向量是有方向的，其方向是任意的，故B錯誤；

兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相

同的起點和終點，故C錯誤；

A,B,C,。是不共線的點，AB=DC,即模相等且方向相同，即平行四邊形A3CD

對邊平行且相等，反之也成立，故D正確.

（2）設(shè)a,8都是非零向量，下列四個條件中，使合=省成立的充分條件是（）

A.a=~bB.a//b

C.a=2bD.a〃辦且|a|=|A|

答案c

解析因為向量言的方向與向量a方向相同，向量g的方向與向量萬方向相同，

eab

且而二而

所以向量a與向量8方向相同，故可排除選項A,B,D.

a

W2bb

與a=2b時，而=而二而，

故a=2b是六=焉成立的充分條件.

感悟提升平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

⑵共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)

圖象的平移混淆.

(4)非零向量。與合的關(guān)系：言是與a同方向的單位向量.

訓練1(1)下列命題中正確的是()

A.向量協(xié)的長度與向量威的長度相等

B.向量a與8平行，則a與8的方向相同或相反

C.a與8同向，且|a|〉|〃|,貝

D.兩個終點相同的向量，一定是共線向量

答案A

解析對于A,向量協(xié)與向量威的長度相等，方向相反，故A正確；

對于B,向量a與萬平行，且a或萬為零向量時，不滿足條件，故B錯誤；

對于C,因為向量是既有大小又有方向的量，

所以任意兩個向量都不能比較大小，故C錯誤；

對于D,兩個終點相同的向量，不一定是共線向量，故D錯誤.

(2)如圖所示，。是正六邊形A3CDER的中心，則與病相等的向量為()

A.BAB.CD

C.ADD.OD

答案D

解析A,B選項均與病方向不同，C選項與病長度不相等，D選項與比方向相

同，長度相等.

考點二平面向量的線性運算

例2(1)(2024.太原模擬)在矩形A3CD中，E為A3邊的中點，線段AC和DE交于

2」,lr-

D.1

答案D

解析如圖，取CD的中點G,連接3G,交AC于點H.

,JBE//DG,BE=DG,

四邊形3EDG為平行四邊形，：.BG//DE.

又E為A3的中點，

AF=FH,同理可得CH=FH,

**.AF=|AC=1(AB+Ab).

：.BF=RA+AF=-AB+^AB+MJ)

(2)(2024.安慶調(diào)研)如圖，等腰梯形A3CD中，點E為線段

CD上靠近C的三等分點，點歹為線段5c的中點，則在=()

A.-+A-AC

1olo

c.—D.-^AB+^AC

答案A

解析由題圖得

FE=FC+CE=|BC+|cb

=-H協(xié)+/?

感悟提升平面向量線性運算的常見類型及解題策略

(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.

(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值.

訓練2(1)(2024?南充診斷)如圖，在△ABC中，BD=^DC,則量)=()

答案A

解析因為發(fā))=4比,

所以45—油=4(慶一疝)，

所以5與)=屈+4戢:，即助=|■協(xié)+會.

⑵(2024.河南部分學校聯(lián)考)已知不共線向量近=a,/=4點M關(guān)于點A的對

稱點為S,點S關(guān)于點3的對稱點為N,則說V=()

A.2a~2bB.2a+2。

C.i2a—2bD.12a~\~2b

答案D

解析如圖，由為=a,仇點般關(guān)于點A的對稱點為S,點S關(guān)于點3的

對稱點為N,可知AB是△SMN的中位線，

所以說V=2協(xié)=2(油一為)

=2b—2a=-2a+2b.

考點三共線向量定理的應(yīng)用

例3(1)(2024.長沙質(zhì)檢)已知向量a,力不共線，且C=M+》,d=a+(2x—1)加若C

與d共線，則實數(shù)x的值為()

A.1B.12

C.1或一2D.-1或一2

答案C

解析因為c與d共線，

所以存在左?R,使得d=Z:c,

即a~\-(2x—l)b=kxa~\-kb.

1

因為向量a,8不共線，所以，,

[k=2x-l,

整理可得x(2x—1)=1,即Zr2—x—1=0,

解得x=—g或x=l.

⑵(2024?濰坊調(diào)研)已知點M為AABC中BC邊上的中點，點N滿足瓶=1■翁f,

過點N的直線與AB,AC分別交于P,Q兩點，且設(shè)修=用，AQ=yAC,則：+

(的值為()

A.5B.6C.9D.10

答案D

解析根據(jù)題意，得

A2V=|AAf=|x|(AB+AC)

d(屈+德=黑3那)

=插+古@

VP,N,。三點共線，

.*.77r+77T=l,即1+』=10.

10x10jxy

感悟提升利用共線向量定理解題的策略

(l)a〃方=a=^SW0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思

想的運用.

(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A,B,C三點共線0后,

公共線.

(3)若a與不共線且為=〃4則4=〃=0.

(4)dA=^OB+/zOC(A,〃為實數(shù))，若A,B,。三點共線(。不在直線3c上)，則

4十〃=1.

2

訓練3(1)如圖，△ABC中，點”是3c的中點，點N滿足俞=/，AM與CN

交于點。，AD=AAM,則2等于()

23D-l

A-3B-4

答案C

解析在△ABC中，因為點〃是3c的中點,

所以屐/=；協(xié)+3/，

則入5=九俞=彳通+彳0,

一-2一

又AN=gAB,

于是得45=冬加十/立，

因為點C,D,N共線，則有了十］=1,

4

解得7=亍

(2)(2024.棗莊質(zhì)檢)已知。為線段A3上的任意一點，。為直線A3外一點，A關(guān)

于點。的對稱點為C若歷=xB+y沆，則x—y的值為()

A.-lB.OC.lD.2

答案C

解析因為A關(guān)于點O的對稱點為C,

所以反=—內(nèi)，

又歷=疝?+y元

所以沆＞=xB—y為，

又因為A,B,。三點共線，

所以x-y=l.

■等和線拓展視野

等和(高)線定理

、B'

(1)由三點共線結(jié)論推導等和(高)線定理：如圖，由三點共線結(jié)論可知，若9=A

OA+juOB(A,〃?R),則4+〃=1,由4。43與△049相似，必存在一個常數(shù)上,

左GR,使得加=際,則5＞=左。＞=履以+切/，又。＞=%為+丁油(x,y?R),

.,.x+y=k(A+jU)=k；反之也成立.

(2)平面內(nèi)一組基底為，宿及任一向量。？，OP'=AdA+^dB(A,〃?R),若點P

在直線A3上或在平行于AB的直線上，則7+〃=網(wǎng)定值)；反之也成立，我們把

直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.

例給定兩個長度為1的平面向量為和油，它們的夾角為120。，如圖，點C在以

。為圓心的圓弧端上運動，若。C=xQ4+yO3,其中x,y?R,則x+y的最大值

是，

答案2

解析法一由已知可設(shè)。4為x軸的正半軸,。為坐標原點，建立直角坐標系（圖

其中A(l,0),2JC(cos仇

(其中NAOC=6,owew爸.

則有沆=(cos。，sin8)=x(l,0)+J

y

x-2=cose,

即q

A/3.0

2j=sm/

得x=*sin9+cos仇y=3sin。，

I41?夕_LH2s.

%十'=3sm"十cos"十3sm(j

=y[^sin8+cos6=2sin(e+1),

9jr

其中0W6W不，所以(x+y)max=2,

當且僅當時取得.

法二如圖，連接A3交OC于點D,

設(shè)歷=慶，

由于沅

所以沆＞=/（x而+y0h）.

因為D,A,3三點在同一直線上，

所以江+。=1,x+j=1,

由于15bl=7|反1=/,

當0"A5時t取到最小值3，

當點。與點A或點5重合時/取到最大值1,

故1Wx+yW2.故x+y的最大值為2.

法三（等和線法）連接A3,過C作直線/〃A3,則直線/為以為，麗為基底的平

面向量基本定理系數(shù)的等和線，顯然當/與圓弧相切于Q時，定值最大，

因為NAO3=120。，

所以灰\=為+沅?，

所以x+y的最大值為2.

訓練如圖，在△ABC中，H為BC上異于B,C的任一點，航為AH的中點，若

AM=AAB+juAC,則4+〃=.

答案2

解析由等和線定理可知丸+〃=瑞總

■課時分層精練

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.化簡2（a—3方）一3（a+力的結(jié)果為（）

A.a+4Z>B.-a-9Z>

C.2a~\~bD.a—3b

答案B

解析2（a—3萬）一3（a+》）=2a—6萬一3a—3萬=—a—94

2.（多選）下列命題中正確的是（）

K.\<A+\b\=\a-b\^>a與b方向相反

B.在△ABC中，AB+BC+CA=O

C.若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等或相反

D.如果非零向量a,的方向相同或相反，那么a+b的方向與a,〃之一的方向一

定相同

答案BC

解析對于A,當a,萬之一為零向量時，不成立，故A錯誤；

對于B,首尾順次相接，B正確；

對于C,兩個單位向量互相平行，這兩個單位向量相等或相反（大小相等，方向相

反），故C正確；

對于D,當a+8=0時，零向量的方向是任意的，故D錯誤.

3.（多選）下列能化簡為超的是（）

A.QC-QP+CQ

B腦+（成+麗

C.（^+PC）+（BA-QC）

D.M+AB-BQ

答案ABC

解析對于A,QC-^+CQ=PC+CQ=PQ,符合題意；

對于B,A￡-\-^+BQ）=（^+AB）+BQ=PB+BQ=PQ,符合題意；

對于C,（檢+反：）+（就一因=（蕊+威）+（曲一次）=0+跖=應(yīng)，符合題意；

對于D,PA+AB-BQ=PB-BQ^PQ,不符合題意.

4.（2024?武漢質(zhì)檢）已知a,8是平面內(nèi)兩個不共線的向量，AB=a+^b,AC=/za+

b,A,〃@R,則A,B,C三點共線的充要條件是（）

A.A—〃=1B.2+〃=2

C.A//=1D.^=l

答案C

解析若A,B,C三點共線，則存在不為0的實數(shù)機，使得檢=版謝，即a+勸

=m(//a+Z>),

1=加〃，

可得，所以川=1.故選C.

z=m,

5.在邊長為1的正方形A3CD中，^^=a,AD=b,A<J=c,則|a—〃+c|等于（）

A.lB.2C.3D.4

答案B

解析因為四邊形A3CD是邊長為1的正方形，

AB=a,AD=b,AC=c,

所以a-h+c=AB-Ab+AC=AB-Ab+（AB+Ab）=2AB,

又曲=1,所以|a—b+c|=|2協(xié)|=2.

6.（2024.渭南調(diào)研）如圖，在四邊形ABCD中，E,R分別為A3,CD的中點，若廢）

=a,BC=b,則前=（）

A.呼B.于一的

1,313

C^a+^bD.'a——/力

答案A

解析由題意知

EF=EB+BC+&=EA+AD+^,

因為E,R分別為A3,CD的中點,

所以旗二一血，DF=-CF,

所以2律=45+比，即赤=%）+頡:，

因為Ab=a,BC=b,

所以前=5+*.

7.（2024.昆明診斷）在△ABC中，若AD為3c邊上的中線，點E在AD上，且AE

=2ED,則施=()

2一1一

A.|AB—|ACB.^AC—^AB

C.jAB-jAC7一5一

D.ToAC-ToAB

答案A

解析如圖所示.

A

BDC

在△ABC中，因為AD為3C邊上的中線,

所以。為3c的中點.

由平行四邊形法則，得病通+江）

又點E在AD上，且AE=2ED,

,2f

所以離=一產(chǎn)），

2

所以旗=高+屈=-^AD+AB

=-W*5（A_B+AC）+AB

=一—~^AC~\~AB

=|AB—1AC.

8.已知向量處辦不共線，且c=2a+2。，d=a+（2"3）辦，若c與d反向共線，則

實數(shù)2的值為.

答案T

解析由于C與d反向共線，

則存在實數(shù)上使。=〃(攵＜0),

于是Aa-\-2b=k[a+(2A-3)b],

整理得Aa+2b=ka+(2Ak~3k)b.

2=左，

由于a,8不共線，所以有《

22k—3k=2,

整理得2行一32—2=0,

解得2=2或2=一

又因為左＜0,所以7＜0,故7=—去

9.若點0是AABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|麗一反|=|麗+沆一2以則

AABC的形狀為.

答案直角三角形

解析OB+dC-2dA=(dB-dA)+(dC-dA)=AB+AC,OB-dC=CB=AB-

AC,

：.\AB+AC\=\AB-AC\.

故A,B,C為矩形的三個頂點，AABC為直角三角形.

10.在△ABC中,P是3C上一點，若麗=2反：,屈=丸協(xié)+，則24+〃=.

4

答案3

解析在△ABC中，而=2斤，

則殍=屈+而=屈+1比

=AB+1(AC—AB)=|AB+|AC,

又辦=7協(xié)+〃戢:，且屈，病不共線，

12

則丸=不〃=]，

4

所以24+〃=1.

11.已知a,力不共線，OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,設(shè)如果

3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在實數(shù)1使C,D,笈三點在一條直線上？若

存在，求出實數(shù)/的值，若不存在，請說明理由.

解由題設(shè)知，CD=d—c—2b—3a,

CE—e—c—?—3)a+協(xié),

C,D,E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)左，使得度=左詼,

即(1—3)a+-=—3ka+2kb,

整理得?—3+3左)a—(2k—t)b.

因為用辦不共線，

t—3+3左=0,

所以有＜解得?=|.

2k一t=0,

故存在實數(shù)f=5使C,D,E三點在一條直線上.

12.如圖，在△ABC中，。為的四等分點，且靠近3點，E,R分別為AC,AD

的三等分點，且分別靠近A,。兩點，設(shè)通=a,AC=b.

⑴試用a,b表示前,AD,BE；

(2)證明：B,E,R三點共線.

(1)解在△ABC中，因為協(xié)=a,AC=b,

所以比二病一屈=8—a,

AD=AB+BD=AB+^C

131

=a-a)=平+@,

BE=BA+AE=—AB+|AC=—a+；Z>.

（2）證明因為防=-a+g。，

2

BF=BA+AF=-AB+^AD

=-a+聆+%）=-%+/

=莖—a+尉，

所以而=婭，即泳與防共線，且有公共點3,所以5,E,歹三點共線.

【B級能力提升】

13.（多選）下列命題正確的是（）

A.若A,B,C,。四點在同一條直線上，且A3=CD,則屈=詼

B.在△ABC中，若。點滿足為+沅?+沆=0,則。點是△ABC的重心

C.若a=（l,1）,把a向右平移2個單位，得到的向量的坐標為（3,1）

（,不入而、

D.在△ABC中，若次=丸——+——，則P點的軌跡經(jīng)過△ABC的內(nèi)心

llCAI\CB\）

答案BD

解析對于A,如圖，A,B,C,。四點滿足條件，但協(xié)力也，故A錯誤；

I______III

ABDC

對于B,設(shè)BC的中點為。，當為方+沅=0時，能得到近=—（5〉+元），

所以為=—2濟，所以。是△ABC的重心，故B正確.

對于C,向量由向量的方向和模確定，平移不改變這兩個量，故C錯誤.

對于D,根據(jù)向量加法的幾何意義知，以且，空為鄰邊所得到的平行四邊形是

ICAI\CB\

菱形，點P在該菱形的對角線上，由菱形的對角線平分一組對角，得尸點在NACB

的平分線所在直線上，故D正確.

14.（2024.湘豫名校聯(lián)考）如圖，在平行四邊形A3CD中，AB=2AE,第=彷，點

G為CE與3R的交點，則AG=（）

DC

A.|AB+|ACB.1AB+|AC

C.|AB+^ACD.^AB+|AC

答案A

解析由協(xié)=2屐，AF