第27講復數(shù)

鏈教材夯基固本

激活思維

1.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=R，則Z的虛部為（B）

A.0B.-1

C.-iD.1

【解析】因為z=L=2（1_1）=]_j,所以z的虛部為一1.

1+i（l+i）（l-i）

2.（人A必二P94復習參考題1（2））復數(shù)工的共軻復數(shù)是（B）

i—2

A.2+iB.-2+i

D.2-i

【解析】因為二5(—2—。2-i,所以復數(shù)工的共扼復數(shù)是一2+i.

i-2(-2+i)(-2-i)1—2

,若Z=一■+”

3.已知i是虛數(shù)單位則/=(D)

22

R1g

B.--------1

22

n1應

D.------1

22

【解析】由題可知Z=—-冷

所以z23_

42422

4.（人A必二P80練習T3改）（多選）下列各式計算正確的是（AC）

1+i.

A.-----=i

1-i

B.i(2-i)(l-2i)=2i

C."=1一

3+4i

D.(7+。"=1-3]

-i

【解析】對于A,—=(1+1)(1+1)=i,故A正確.對于B,i(2-i)(l-2i)=(2i-i2)(l

1—i(1—i)(l+i)

-2尸…）（-5,故B錯誤；對于C,

(—l+i)(2+i)—3+i(—3+i)i

一i,故C正確；對于D,l-3i,故D錯誤.

—i—i-i2

5.已知i為虛數(shù)單位，且zo=f,復數(shù)z滿足|z—zo|=l,則復數(shù)z對應點的軌跡方程

l+2i

為(C)

A.(X-1)2+3+1)2=4

B.(x-l)2+(y-l)2=4

C.(x+l)2+(y+1)2=1

D.(x-l)2+(y-l)2=l

【解析】zo=^——幻?！猘1=—1—j.由題意知區(qū)―z()|=1,設z=x+yi,x,yGR,

1+2i5

則復數(shù)Z對應點的軌跡方程為(尤+1)2+。+1)2=1.

聚焦知識

1.復數(shù)的有關概念

(1)定義：形如。+及(a,6CR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2=—l,_a_

叫做實部，_力叫做虛部，復數(shù)集記作C,即?="區(qū)=。+4，a,6GR}.

(2)復數(shù)相等：復數(shù)zi=a+6i與Z2=c+t/i(a,b,c,dGR)相等u>a=c且6=d.

(3)共輾復數(shù)：如果兩個復數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，那么這兩個復數(shù)叫做互

為共輾復數(shù)，即復數(shù)z=a+歷的共輾復數(shù)為z=。一歷.

2.復數(shù)的分類

對于復數(shù)z=a+6i(a,6GR),則z是實數(shù)=6=0；z是虛數(shù)Q6W0；z是純虛數(shù)Qa=0

且6W0.

3,復數(shù)的幾何意義

(1)復平面：建立平面直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面.在復平面內(nèi)，x軸叫

做實軸，y軸叫做虛軸.顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示虛數(shù).

(2)幾何意義：復數(shù)z=a+歷一二些復平面內(nèi)的點Z(a,田二二圾向量5k

(3)復數(shù)的模：設方=。+歷，則向量衣的模叫做復數(shù)。+歷的模，記作團或|a+歷］.由模

的定義知上=|a+6i|=_\/a2+62_.

4.復數(shù)的代數(shù)運算

已知兩個復數(shù)2i=a+bi與Z2=c+di(〃，b,c,d￡R),那么：

Z1±Z2=(Q±c)+3±t/)i；

z\'zi=(ac—bd)+(ad+bc)\；

z\_a-\~bi(a。+砌

bd)+3c-ai(Z2WO).

z?c+dic2+cP

5.常用結(jié)論

(1)(1士i)2=±2i,三=i,E=-i.

1—11+1

(2)i4w=l,i4w+1=i,i4w+2=-l,i4w+3=-i,i4?+i4w+1+i4?+2+i4w+3=0(?FN*).

⑶Z-Z=|z|2=|Z[2,|zE=|z"忸，國="0=限

(4)若0=一1±^i,貝Ijo3±=i/ez),?2+?+l=0.

(5)z=zQZGR.

(6)復數(shù)z的方程在復平面上表示的圖形

①aW|z|Wb表示以原點。為圓心，以。和6為半徑的兩圓所夾的圓環(huán);

②匕一(a+歷)尸&'>())表示以(a,6)為圓心，r為半徑的圓.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說法

目幀U復數(shù)的有關概念

例1(1)(2024?新鄉(xiāng)三模)已知z=(l-3i)(a+i)(aeR)為純虛數(shù)，貝Ua=(B)

A.3B.—3

C.一DTA.1

33

a+3=0,

【解析】依題意，z=(tz+3)+(1—3tz)i,由z是純虛數(shù)，得,所以a=一

1—3aW0,

3.

(2)(2024?婁底一模)已知復數(shù)2=生叨(aGR)的實部與虛部互為相反數(shù)，則復數(shù)z對應

2+i

的點在復平面內(nèi)位于(B)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

a2i

【解析】z=±=^+2i)(2-i)=2^z±2+4^.)其實部為％±2,虛部為口，由題

2+i55555

得瞪+瞪=°,解得6’所以

z=-2+2i,其對應的點為(-2,2),位于第二象限.

<總結(jié)提煉A

解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項

(1)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件

問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.

(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為a+歷(a,bdR)的形式，以確定實部和虛部.

變式1(1)(2025?南京零模)(多選)已知復數(shù)z,下列結(jié)論正確的是(AB)

A.若z+lGR,則zGR

B.若z+iGR,則z的虛部為一1

C.若團=1,則2=±1

D.若Z2￡R,則Z￡R

【解析】對于A,設z=a+bi,由z+1=(〃+l)+bi￡R得6=0,那么2=a+bi也是

實數(shù)，故A正確；對于B,設2=a+bi,由z+i=a+(b+l)i￡R得b=—1,那么z的虛部

為一1,故B正確；對于C,若2=力則閭=1,此時zW±l,故C錯誤；對于D,若2=。

Z2=i2=—1為實數(shù)，所以Z不一定是實數(shù)，故D錯誤.

(2)(2024?滄州二模)已知(1+。22=2+力則2的虛部為(A)

A.1B.i

C.-D.-i

22

2+i2+i=(2+i)(i)」—2i」j,則%=1+

【解析】由(l+i)2z=2+i,得z

(1+i)22i2i(-i)222

i,所以z的虛部為1.

目幀已復數(shù)的運算

例2(1)(2023,全國乙卷理)設z<,貝Iz=(B)

l+i2+i5

A.l-2iB.l+2i

D.2+i

2+i2+ii(2+i)2i-1

【解析】由題意可得z1—2i,則z=l+2i.

l+i2+i51-1+ii2-1

7

(2)(2024?新高考I卷)若——=l+i,則z=(C)

z—1

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

(3)(2025?青島期初)已知復數(shù)2滿足(l+2i)2=4+3i,則z的虛部為(A)

A.1B.-1

D.-i

＜總結(jié)提煉A

(1)復數(shù)的乘法：復數(shù)乘法類似于多項式的乘法運算.

(2)復數(shù)的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共相復數(shù).

變式2(1)(2023?新高考I卷)已知2=上，貝ijz-z=(A)

2+2i

A.-iB.i

C.0D.1

【解析】因為所以"%z一z=-i.

⑵(2025?臨沂期中)(多選)已知z為復數(shù),且z2+z+l=0,則(AD)

A.z3=lB.z+z=1

C.z-z=1D.z-z=1

【解析】設z=〃+bi,a,故(。+歷)2+〃+歷+1=0,即4+2。歷一抉+a+bi+

_1

a=—,

a2—扶+。+1=0,2

2=

1=Q2—ba1+(2ab+b)\0,故解得‘或

2〃b+b=0.

2

21-2，所以

一招=—1,Z—z1

2222

+?=亞z，z

」血1=—1,2—zZ

2

目標閭復數(shù)的幾何意義

例3(1)(2023?新高考II卷)在復平面內(nèi)，(l+3i)(3—i)對應的點位于(A)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解析】因為(l+3i)(3—i)=3+8i—3i2=6+8i,則該復數(shù)對應的點為(6,8),位于第

一象限.

(2)(2024?泰州2月調(diào)研)若復數(shù)z滿足|2—l|=|2+i|,則|z—1］的最小值為(B)

B,也

A-2

2

C.1D.也

【解析】設2=%+川，X,y￡R.由|z-11=區(qū)+i|得A/R—ly+j?=W+g+i'ny=1%,

所以|z—11=\l(x~l)2+y2=\lx2—2x+l+x2=\l2x2~2x+l因此當x=1時,

22

|z—1|取最小值?.

＜總結(jié)提煉A

復數(shù)的幾何意義體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運用.處理這類問題常用兩種方法：一是利用復

數(shù)的代數(shù)形式進行求解，即“化虛為實”，思路自然清晰，但運算較復雜；二是利用復數(shù)的

幾何意義進行求解，簡潔明快.另外，關于復數(shù)模的問題，一般可化為復平面內(nèi)兩點間的距

離來解決.

變式3(1)(2024?青島一模)(多選)已知復數(shù)z,下列說法正確的是(AC)

A.若z—z=0,貝Hz為實數(shù)

B,若z2+z貝！Jz=z=0

C.若|z—i|=L則|z|的最大值為2

D.若區(qū)一可=閡+1,則z為純虛數(shù)

【解析】設z=a+6i(a,6GR),則z—a—bi,若z—z=0,即(a+歷)一(a—bi)=2bi

=0,即6=0,則Z為實數(shù)，故A正確；若Z2+Z2=0,即m+人評+5―所)2=0,化簡可得

a2-Z>2+2aM+a2—Z>2—2a/>i=0,BPa2=b2,即a=±6.當a=b時，z=a+ai,z=a-a\,此

時不一定滿足z=z=().當°=一%時，z—a—ai,z—a+ai,此時不一定滿足2=z=0,

故B錯誤.若|z—i|=1,即|a+(6—l)i|=\ja2-\-(b—I)2=1,所以<72+(6—1)2=1,即z表不

以(0,1)為圓心，以1為半徑的圓上的點，且團表示圓上的點到原點的距離，所以團的最大

值為2,故C正確.若|z—i|=|z|+l,即|z—i|=|a+(Z)—1)i|=~\ja2~\~(b—I)2,|z|+1=~\ja2-\-b2+

1,即—層+(6—i)2=yq2+62+],化簡可得6=一1層+4,則0=0且6W0,此時z可能為

實數(shù)也可能為純虛數(shù)，故D錯誤.

(2)(2024?麗水、湖州、衢州二模)若復數(shù)z滿足網(wǎng)=l(i為虛數(shù)單位)，則匕-4+3i|的最

小值是(B)

A.3B.4

C.5D.6

【解析】設2=》+訓%,yGR),則iz=i(x+yi)=xi—y,|iz|=|-y+xi\=^x2+(—j^)2=

42+了2.又阿=1,所以出彳7=1,即/+產(chǎn)=1,所以z對應的點(x,y)在以原點為圓心，

1為半徑的圓上.匕-4+3i|=|x+yi—4+3i|=Y(x—4y+(y+3)2表示圓x2+y2=1上的點(x,

y)到點(4,—3)的距離，所以|z—4+3i|的最小值是寸(4—0)2+(—3—0)2—1=4.

隨堂內(nèi)化

5(l+i3)

1.(2023?全國甲卷文)=(C)

(2+i)(2-i)

A.-1B.1

C.1-iD.1+i

5(中)=5(1—i-j

【解析】

(2+i)(2-i)5,'

2.(2024?湖北八市3月聯(lián)考)設復數(shù)1+i是關于x的方程ax2-2ax+b=0(a,Z?eR)的一

個根，貝女D)

A.a+2b=0B.a—26=0

C.2a+b=0D.2a-b=0

【解析】將1+i代入方程得q(l+評-2Q(1+i)+b=0,得-2a+b=0,即2a—b=0.

3.（2024?承德、衡水二模）（多選）已知z￡C,z是2的共輛復數(shù)，貝lj（AB）

ATZ=M，則Z=一

B.若z為純虛數(shù)，則z2<0

C.若z—（2+i）>0,則z>2+i

D.若"={z||z+3i|W3},則集合"所構(gòu)成區(qū)域的面積為6兀

l+3i_(l+3i)2~4+3i—4—7;

【解析】若z則z=4Ji,故A正確.由z為

l-3i(l-3i)(l+3i)55

純虛數(shù)，可設z=6i（6GR,6W0）,所以z2=〃i2,因為j2=—1且6W0,所以z2<0,故B

正確.由z-（2+i）>0,得2=a+:1（0>2）.因為z=a+i（a>2）與2+i均為虛數(shù)，所以二者之

間不能比較大小，故C錯誤.設復數(shù)z=a+6i,a,bGR,所以z+3i=a+（6+3）i,由|z+

3i|<3,得02+（6+3）2W9,所以集合/所構(gòu)成的區(qū)域是以（0,—3）為圓心，3為半徑的圓，

所以面積為9兀，故D錯誤.

4.（2025?南京、鹽城期末）（多選）設zi,Z2為復數(shù)，則下列說法中正確的有（BD）

A.\ZI\+\Z2\~\Z1+Z2\

B.Zl+Z2=Z1+Z2

C.若|Z1|=|Z2>則z，=z3

D.若z?<0,則zi為純虛數(shù)

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I

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一、單項選擇題

1.(2024?全國甲卷)若z=5+i,則i(z+z)=(A)

A.lOiB.2i

C.10D.2

2.（2025?泉州期初）若復數(shù)2滿足（1+次=。一1（其中1是虛數(shù)單位，Q￡R）,則“|Z|=1

是“。=1”的（B）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解析】由得?如=］，所以

+1,解得a=l或a=—1.故“閡=1”是“a=l”的必要不充分條件.

3.（2024?淮安、連云港期末）若復數(shù)z滿足（l+i）z=i（i是虛數(shù)單位），則z的虛部為

（A）

AB

-2-4

■

【解析】因為(l+i)z=i,所以2='=」口「=匚￡=0=1+\，所以復數(shù)Z

1+i(l+i)(l-i)1-i21+122

的虛部為上

2

4.（2025?濟南期初）若復數(shù)z滿足（l+2i）-z=2—4i,則|z|=（C）

A.-

2

C.2D.4

2—4i(2—4i)(l—2i)68.

【解析】因為（1+2i>z=2—4i,所以z------1，所以|z|=

l+2i(l+2i)(l-2i)55

郅

th5j=2.

5.（2024?漳州三檢）若復數(shù)2=^4T，則反一2z|=（C）

B.2

5i5i(3+4i)則所以七=一

【解析】z——-+-i,z=_4_3j,—2z

3-4i(3-4i)(3+4i)555555

1+

+-+-i=l+-i,所以|iz—2z|=?

555

6.（2024?汕頭一^莫）在復數(shù)范圍內(nèi)，下列命題是真命題的為（D）

A.若zWO,貝ijz—z是純虛數(shù)

B,若z2=—閡2,則Z是純虛數(shù)

C.若z?+z9=0,則Z1=O且Z2=0

D.若Zi,Z2為虛數(shù)，則Z1Z2+Z]Z2￡R

【解析】對于A,取z=l,則Z=1,所以z—z=0,此時z-Z不是純虛數(shù)，A錯

誤；對于B,取z=0,則z2=—|z|2成立，但z不是純虛數(shù)，B錯誤；對于C,取Zi=i,Z2

=1,則z[+zg=0,但Z1W0且Z2W0,C錯誤；對于D,若Zi,Z2為虛數(shù)，設Zi=a+6i,z?

=c+di(%b,c,d￡R),貝Uzi=a—bi,z2=c—di,所以Z1Z2+ZiZ2=(〃+bi)(c—di)

+(Q—Z?i)(c+di)=(ac+bd)+(be—ad)\+(ac+bd)+(ad—bc)i=2(ac+bd)R,D正確.

7.(2024?濟南、青島、棗莊三模)已知復數(shù)zi,Z2,Z1WZ2,若zi,Z2同時滿足|z|=1和|z

-l|=|z-i|,則|Z1—Z2|=(C)

A.1B,3

C.2D.23

【解析】設z=x+yi(x,y￡R),則z—l=(x—l)+yi,z—i=x~\-(y—l)i,由團=1和|z

—1|=|z—i\,所以%2+j?=1且(x—I)2-\~y2=(y—l)2+x2,即x2-hy2=1且x=y,解得

所以zi

Z2=Xi]⑺

21=也十啦i（或

2222J,則zi~.Z2=--1--i-

22

Z2=一72—旭。，所以|zi—Z2|=Y（/y+（m）2=2.

二、多項選擇題

8.（2025?肇慶期初聯(lián)考）已知復數(shù)z=02—i+（a+i）i,°GR,則下列結(jié)論正確的是

（BC）

A.若z為純虛數(shù)，貝Ua=±l

B.若z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，則1）

C.若a=0,則z=-1—i

D.若a=0,則團=1

【解析】對于A,若Z為純虛數(shù)，即02—1=0且則。=1,故A錯誤；對于

.一K0,

B,若z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，貝小解得一即°e（—1,

a+l>0,

1）,故B正確；對于C,若a=0,則z=—1+i,z=—I—。故c正確；對于D,若a=0,

則故D錯誤.

9.（2025?德州期初）若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為（1,加）（mdR）,且z-i（i為虛數(shù)單位）

的實部為2,則（BD）

A.復數(shù)z的虛部為一2i

B.復數(shù)z對應的點在第一象限

C.復數(shù)z的模為5

D.若復數(shù)zo滿足|zo|=l,貝收一zo|的最大值為m+1

【解析】因為復數(shù)Z在復平面內(nèi)對應的點為(1,m),所以z=l+冽i,所以Z?i=i(l+加)

2

=i+mi=—m+i9所以加=—2,所以z=l—2i.對于A,復數(shù)z的虛部為一2,故A錯誤；

對于B,復數(shù)z=l+2i,其對應的點為(1,2)在第一象限，故B正確；對于C,復數(shù)2的

模為|z|='7+(—2)2=示,故C錯誤；對于D,設復數(shù)z,Z0在復平面內(nèi)對應的點分別為Z,

(

Zo,則Z(l,-2),|OZ0|=1,|00=112+—2)2=/,由復數(shù)的幾何意義可知，Zo,Z在以

原點為圓心，分別以1,七為半徑的圓上運動，故45—1W|Z—ZO|W75+1,所以|z—zo|的最

大值為南+1,故D正確.

10.已知復數(shù)Zi,Z2,Z3，下列說法正確的有(ACD)

A.若ziZ1=Z2Z2,則阮尸㈤

B.若z?+z夕=0,則zi=Z2=0

C.若Z1Z2=Z1Z3，貝|JZl=0或Z2=Z3

則日

z1

D.若Z2WO,

z2

【解析】對于A,若Z1Z1=Z2Z2,則㈤2=。|2，所以忻|=析,故A正確.對于B,

令Zi=i,Z2=l,滿足條件z++z3=—1+1=0,但Z1WZ2,且均不為0,故B錯誤.對于C,

因為Z1Z2=Z1Z3,所以Z1(Z2—Z3)=0,所以Zl=0或22—Z3=0,即Zl=0或Z2=Z3,故C正確.對

工rea+6i(a+6i)(c—山)(ac+bd)+(bc-ad)i匕二l_I(ac+bd)—(be—ad)i

J-D，因為(i~~，/TT以~~'-，

Z2c+di(c+di)(c-di)/+，，+解

一歷=(a—6i)(c+di)=(ac+6㈤一(6c—所以圖=二故D正確

2

z2c~di(c—di)(c+di)c+(fz2

11.(2024?石家莊二模)設z為復數(shù)(i為虛數(shù)單位)，下列命題正確的有(BC)

A.若(l+i)2=-i,則團=1

B.對任意復數(shù)zi,Z2,\ziZ2\=\zi\,\Z2\

C.對任意復數(shù)Zl,Z2,Z1，Z2=Z].Z2

D.在復平面內(nèi)，若/={z||z—2|W2},則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為6兀

=—i=—iX(l—i)=T—i

【解析】對于A,由(1+i)z=-i,故|z|=

l+i-(l+i)(l-i)2

T'故A錯誤；對于B，設zi=a+bi(q,b￡R),Z2=c+di(c,d￡R),

貝U\ziZ2\=|(。+Z?i)(c+di)\=\ac—bd+(ad+bc)i\=\j(ac—bd)2+(ad+be)2=

\la2c2—2abcd+Z?26/2+a2cP+labed+b2c2=yjc^c2+b1^+c^d1+b2c2,|zi|-|z2|

=Y(Q2+/72)(02+4)=2c2+名屋十。2"+62c2,故匕]Z2]=匕11，區(qū)|,故B正確；對于C,設Z1

=a+6i(a"￡R),Z2=c+di(c,d￡R),有zrz2=(a+bi)(c+di)=ac~bd+(ad+bc)i,則Zi'Z2

=ac-bd一(ad+6c)i,zrz2=(〃-Z>i)(c-di)=ac-bd一(〃d+6c)i,故z「22=zz故

C正確；對于D,設z=x+yi(x,y￡R),則有(x—2)2+/<4,集合M所構(gòu)成區(qū)域是以(2,0)

為圓心，2為半徑的圓，故5=兀戶=4兀，故D錯誤.

三、填空題

12.(2024?廣東大灣區(qū)二模)設9￡R,i為虛數(shù)單位，定義ei&=cos6+i?sin仇則復數(shù)

+i的模為回

【解析】依題意，￡+i=cos匹+i-sin匹+i=^+：i,所以復數(shù)￡+i的模為

6622

13.(2025?杭州一模)已知復數(shù)zi,Z2的實部和虛部都不為0,且滿足：①圖=2；②區(qū)

=2,則zi=g+Si(答案不唯一),(答案不唯一).(寫出滿足條件的一組

Z1和Z2)

17?

【解析】設Zi=。+bi,Z2=c+di(abcdWO,a,b,c,d￡R),則包=----;=

Z2c+di

(QC+bd)+(be—ad)\

Z1Z2=(a+6i)(c+di)=acbd+(ad+bc)i.由

,+建

|Z1.Cac+bd\?(be—adV

kl=VL2+^J+lc2+^J

22212222

_N(ac+bd^+(be-aeTji2_整理/日tzc+b^+iP-c+ad=4(c+cP),

寸a2c2_|_"摩+62c2+q2/=4,

―c2+^一'

\ziZ2\=\l(ac—bd)2+(ad+be)2=2,

21

日口1層+扶=4(。2+理)，\c+d=l,可取a