第5節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值

考試要求1.理解函數(shù)最值與極值的關(guān)系.2.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.

3.了解最值在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.

■知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.函數(shù)人x)在區(qū)間［a,加上有最值的條件：

如果在區(qū)間3,加上函數(shù)y=/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大

值和最小值.

2.求y=/(x)在區(qū)間［a,加上的最大(小)值的步驟：

(1)求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,。上的極值;

(2)將函數(shù)y=/(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值血)，也)比較，其中最大的一個(gè)是最

大值，最小的一個(gè)是最小值.

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

1.若函數(shù)在開區(qū)間(a,與內(nèi)的極值點(diǎn)只有一個(gè)，則其極值點(diǎn)為函數(shù)的最值點(diǎn).

2.若函數(shù)在閉區(qū)間［a,切內(nèi)的最值點(diǎn)不是端點(diǎn)，則其最值點(diǎn)亦為其極值點(diǎn).

3.求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類討論，

不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值.

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)有極值的函數(shù)一定有最值，有最值的函數(shù)不一定有極值.()

(2)函數(shù)的極大值不一定是最大值，最小值也不一定是極小值.()

(3)函數(shù)人x)在區(qū)間(a,6)上不存在最值.()

(4)連續(xù)函數(shù)人x)在區(qū)間［a,加上一定存在最值.()

答案(1)X(2)V(3)X(4)V

解析(1)反例：有極值的函數(shù)不一定有最值，如圖所示，函數(shù)4x)有極值，但沒

有最值.(3)反例：兀0=/在區(qū)間(-1,2)上的最小值為0.

g,r\o/;.

7\Jb%

2.(選修二P98T6改編)已知火x)=/—12x+l,%e-1,1,則人功的最大值為

,最小值為..

134

答案方-10

解析/(X)=3X2-12=3(X-2)(X+2),

因?yàn)閤?—1,1,所以/(x)<0,

故於)在［―/1］上單調(diào)遞減，

所以五x)的最大值為(一；)=詈，最小值為五1)=—10.

3.函數(shù)人x)=$的最大值為.

答案

--%2—2x4nxi—

———%1—21nx

角牛析由越傳/(%)=~A=-3(%>0).

Ji人

令/(x)>0,解得0<x<#；

令/(x)<0,解得x>嗜.

所以函數(shù)Hx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,#),單調(diào)遞減區(qū)間為(嗜，+8),

所以函數(shù)人》)=￥的最大值人加)=呼=5.

4.若函數(shù)火x)=gx3—4x+機(jī)在［0,3］上的最大值為4,則加=.

答案4

解析了(%)=/—4,%e［0,3］,

當(dāng)%￡［0,2)時(shí),/(x)<0；

當(dāng)xG(2,3］時(shí)，f(x)>0,

所以人x)在［0,2)上單調(diào)遞減，在(2,3］上單調(diào)遞增.

又K0)=m,汽3)=—3+帆在［0,3］上，?max=X0)=4,

所以m=4.

■考點(diǎn)聚焦突破

考點(diǎn)一求已知函數(shù)的最值

例1(1)函數(shù)7(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2兀］上的最小值、最大值分別為

()

7171

A—2

C-1,升2D?-拳2+2

答案D

兀

解析/(%)=—sinx+sinx+(x+l)cos^=(x+l)cosx,令/(x)=0,解得x=］,x

=:或x=—1(舍去)，所以在區(qū)間(o,野和竹，2兀)上/(x)>0,於)單調(diào)遞增；在

區(qū)間(f，為上了(工)<0,汽x)單調(diào)遞減.

又五0)=<2兀)=2,用三+2,腭)=一仔+1)+1=一:，

所以於)在區(qū)間［0,2兀］上的最小值為一:，最大值為什2,故選D.

?X—CL

⑵已知函數(shù)火X)=^——Inx(aGR).

①討論;(x)的單調(diào)性；

②求人x)在7-e上的最大值g(a).

n—x

解①函數(shù)人勸的定義域?yàn)?0,+8),/(X)=T，

若aWO,則/(x)<0在(0,+8)上恒成立，

所以兀V)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

若t?>0,則當(dāng)x>a時(shí)，/(x)<0；

當(dāng)0<x<a時(shí)，/(x)>0,

所以人x)在(0,0上單調(diào)遞增，在(a,+8)上單調(diào)遞減.

?a-x

當(dāng)aW：時(shí)，八》)在T,e上單調(diào)遞減，

所以?r)max=心)=2—ae；

當(dāng):<a<e時(shí)，火x)在9，。上單調(diào)遞增，在［a,e］上單調(diào)遞減，

cL_D_

所以《/(%)max=/(〃)=-InCl；

當(dāng)aNe時(shí)，於)在T,e上單調(diào)遞增，

所以汽X)max=/(e)=一

ra、

〃與e,

-

綜上，g(〃)=<lna,c

2—〃e,.

ve

感悟提升求函數(shù)/(x)在［a,加上最值的方法

(1)若函數(shù)在區(qū)間［a,加上單調(diào)遞增或遞減，汽a)與五?一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小

值.

⑵若函數(shù)在閉區(qū)間［a,口內(nèi)有極值，要先求出［a,加上的極值，與人a),4。)比較，

最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.

訓(xùn)練1(1)函數(shù)八x)=e'—x(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間［—1,1］上的最大值是

答案e-1

解析f(x)=e-l,令/(x)>0,得無>0,令了(x)<0,得xVO,則函數(shù)為)在［-1,

0)上單調(diào)遞減，在(0,1］上單調(diào)遞增，且4-1)=院1+在Ol)=e-1,A-1)-/1)

=1+2-e<|+2-e<0,所以火1)〉火一1).

(2)已知函數(shù)人x)=@2-2x)ex(x?R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

①求函數(shù)人x)的單調(diào)區(qū)間；

②求函數(shù)人x)在區(qū)間［0,河上的最大值和最小值.

解①/(x)=(%2—2x)e》,

求導(dǎo)得了(x)ne，。2—2),ex>0,

令/(x)=ex(f—2)>0,即％2—2>0,

解得x<—表或x>^2.

令2)<0,即％2—2<0,

解得—巾＜x＜yj2.

所以函數(shù)1X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,—6）,（、R,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為（一6,

6

②（i）當(dāng)6時(shí)，因?yàn)槿薠）在［―/，啦］上遞減，所以五X）在區(qū)間［0,m］±

的最大值為汽0）=0,最小值為4m）=（加2—2機(jī)）e。

（ii）當(dāng)也＜mW2時(shí)，因?yàn)槲＃┰冢垡灰?，也］上遞減，於）在［也，+8）上遞增，且

?=/2）=0,

所以Xx）在［0,河上的最大值為X0）=0,最小值為4血）=（2—26）外「

（iii）當(dāng)機(jī)＞2時(shí)，因?yàn)槠鹸）在［一止，也］上遞減，人x）在［、”，+8）上遞增，且向功

＞0=?,所以於）在［0,刈上的最大值為角71）=（源一2加）即，最小值為4\"）=

（2—2-\［2）eyp.

考點(diǎn)二由函數(shù)的最值求參數(shù)

例2已知函數(shù)火%）=（4%2+4以+。2）5，其中。＜0.若H工）在區(qū)間［1,4］上的最小值

為8,求。的值.

(10x+a)(2x+a)

解a<09

由/（x）=0得x=一木或％=—2,

當(dāng)x?（0,一卷）和（―*+8）時(shí)，次X）單調(diào)遞增;

當(dāng)x?（一%,甘）時(shí)，加）單調(diào)遞減.

易知於）=（2%+科。＞0,且火一多=0.

⑴當(dāng)一畀1,即一2Wa＜0時(shí)，

人x）在［1,4］上的最小值為人1）,

由汽l）=4+4a+/=8,得。=±2陋一2,

均不符合題意.

(2)當(dāng)IV—畀4,即一8WaV—2時(shí)，於)在［1,4］上的最小值為八一多=0,不符

合題意.

⑶當(dāng)一44,即a<—8時(shí)，危)在［1,4］上的最小值可能在x=l或x=4處取得，

而人1)W8,

由次4)=2(64+16。+/)=8得

?=—10或a=-6(舍去)，

當(dāng)a=-10時(shí)，加)在口,4］上單調(diào)遞減，

兀0在［1,4］上的最小值為C4)=8,符合題意.

綜上，a——10.

感悟提升若所給函數(shù)人x)含參數(shù)，則需通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)

性，從而得到函數(shù)人x)的最值.

訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)?x)=lnx+ta存在最大值0,則。=.

答案一)

解析因?yàn)榱?x)=J+a,x>0,

所以當(dāng)。三0時(shí)，〃x)>0恒成立，故人X)單調(diào)遞增，不存在最大值，

當(dāng)。<0時(shí)，令/(x)=0,得》=一十，

所以當(dāng)x?(0,一《J時(shí)，/(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)工?［一1,+8)時(shí)，/(沙<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

所以?max={-^=ln［-^-l=0,

得a=一

(2)函數(shù)兀0=—1%3+x在(a,10—次)上有最大值,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是..

答案L2,1)

解析由于/(%)=—/+1,

易知汽X)在(一8,—1)和(1,+8)上單調(diào)遞減，在(—1,1)上單調(diào)遞增，

故若函數(shù)兀r)在(a,10—/)上存在最大值，

"VI,

則｛10-?2>1,即一2Wo<L

1/(1)討(a),

考點(diǎn)三生活中的優(yōu)化問題

例3我國是一個(gè)人口大國，產(chǎn)糧、儲(chǔ)糧是關(guān)系國計(jì)民生的大事.現(xiàn)某儲(chǔ)糧機(jī)構(gòu)擬

在長100米，寬80米的長方形地面建立兩座完全相同的糧倉(設(shè)計(jì)要求：頂部為

圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑為1：10,糧倉高為50米，兩座糧倉

連體緊靠矩形一邊)，已知稻谷容重為600千克每立方米，糧倉厚度忽略不計(jì)，估

算兩個(gè)糧倉最多能儲(chǔ)存稻谷(兀取近似值3)()

A.105000噸B.68160噸

C.157000噸D.146500噸

答案A

解析由于糧倉高50米，頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑為

1：10,

設(shè)糧倉頂部圓錐形的高為x米，底面直徑為10x米，圓柱的高為(50—力米，兩座

糧倉總的容積為V=27i(5x)2-(50—x)+5(5x)2》=1,，2(75一%).

’20xW100,

若靠矩形長邊建造,

、10xW80,

所以0<xW5；

20xW80,

若靠矩形寬邊建造,

IOXWIOO,

所以0<xW4.

因?yàn)椴?100兀(50x—X2),當(dāng)0Vx<50時(shí)，U(x)>0,V(x)在(0,50)上單調(diào)遞增，

所以x=5時(shí)，V(x)取最大值I''；。。",

兩個(gè)糧倉最多能儲(chǔ)存稻谷175；0°"*0.6=105000(噸).

感悟提升解決最優(yōu)化問題，應(yīng)從以下幾個(gè)方面入手：

⑴設(shè)出變量，找出函數(shù)關(guān)系式，確定定義域；

(2)在實(shí)際應(yīng)用問題中，若函數(shù)加0在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則它就是最值點(diǎn).

訓(xùn)練3某海上油田A到海岸線(近似直線)的垂直距離為10海里，垂足為3,海岸

線上距離B處100海里有一原油廠C,現(xiàn)計(jì)劃在BC之間建一石油管道中轉(zhuǎn)站M.

已知海上修建石油管道的單位長度費(fèi)用是陸地上的3倍，要使從油田A處到原油

廠C修建管道的費(fèi)用最低，則中轉(zhuǎn)站〃到3處的距離應(yīng)為()

A.56海里：8.|吸海里

C.5就海里D.1M海里

答案B

解析設(shè)3M=x(0<x<100),并設(shè)單位長度的費(fèi)用為1,則4"="100+{,MC

=100—羽

所以總費(fèi)用為人為=3^/100+^+100-X,

3x

則/⑺

令/(x)>0,則歲<x<100,

即汽x)在陛，100)上單調(diào)遞增；

令/(x)<0，則0Vx〈工^,

即人x)在10,事上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=歲時(shí)，汽沙取得最小值，故選B.

~三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)微點(diǎn)突破

1.定義

定義1：形如人幻二^^+加^+5+或4中。)的函數(shù)，稱為"三次函數(shù)"；

定義2：三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/(x)=3af+2笈+c(aWO),把/=4廿一12ac叫做三次函

數(shù)導(dǎo)函數(shù)的判別式.

2.性質(zhì)

⑴單調(diào)性

一般地，當(dāng)屬一3acW0時(shí)，三次函數(shù)火jOua^+bf+cx+dlaWO)在R上是單調(diào)

函數(shù)；

當(dāng)b2—3ac>0時(shí)，三次函數(shù)兀^二^^+加^+?+或。。。)在R上有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.

(根據(jù)。>0,。<0兩種不同情況進(jìn)行分類討論)

⑵對稱中心

三次函數(shù)于(x)=tzx3+Z?%2+ex+d(a#O)關(guān)于點(diǎn)對稱，且對稱中心為點(diǎn)

證明：設(shè)函數(shù)兀^=④^+加^+仁元+或〃^。)的對稱中心為(加，n).

將函數(shù)的圖象進(jìn)行平移，

則所得函數(shù)y=fix+m)—n是奇函數(shù)，

所以機(jī))+/(—%+機(jī))-2〃=0,

代入化簡得：(3m6z+/?)x2+d!m3+Z2m2+cm+J—n=0,

上式對無金區(qū)恒成立，故3加〃+/?=0,

所以函數(shù)y(x)=ax3+bx2+cx+d(aW0)的對稱中心是(一七，/［一&).

⑶三次函數(shù)零點(diǎn)的問題

①當(dāng)/=4〃-12acW0時(shí)，由不等式/(x)20恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的(a>0),

所以三次函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)A=^b--12ac>0時(shí)，由方程/(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根xi,及，不妨設(shè)xi

<X2,可知，以。>0為例，XI為函數(shù)的極大值點(diǎn)，X2為函數(shù)的極小值點(diǎn)，且函數(shù)

y=/(x)在(一8,xi),(X2,+8)上單調(diào)遞增，在(xi,X2)上單調(diào)遞減，此時(shí)結(jié)合函

數(shù)圖象可知：

(i)若?！?：/(%2)>0,即函數(shù)y=/(x)的極大值和極小值同號(hào)，所以函數(shù)有且只有一

個(gè)零點(diǎn)；

(ii)^>i)->2)<0,即函數(shù)y=/(x)的極大值和極小值異號(hào)，函數(shù)圖象與x軸必有

三個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn);

(iii)^>l)->2)=0,則五XI)與火X2)中有且只有一個(gè)值為0,所以函數(shù)有兩個(gè)不同

零y占八、、?

一'三次函數(shù)的零點(diǎn)問題

例1已知函數(shù)兀十加:2—3x(a,6?R),且兀t)在x=l和x=3處取得極值.

(1)求函數(shù)五x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+/,若g(x)=/(x)+/有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

解(l?(x)=3ax2+2foc—3,

因?yàn)閄x)在x=l和x=3處取得極值，

(1+3=—芻2/?r_1

3aa—

所以x=l和x=3是方程/(x)=0的兩個(gè)根，貝H解得3,

1X3=一豆，[b=2

經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件，

所以兀v)=一尹③+2x2—3x.

(2)由題意知g(x)=-F'+ZX?—3x~\~t,

g<x)=—%2+4x—3,

當(dāng)x>3或x<l時(shí)，g\x)<0,

當(dāng)l<x<3時(shí)，g，(x)>0,

所以函數(shù)g(x)在(一8,1),(3,+8)上遞減，在(1,3)上遞增，

所以g(x)極大值=g(3)=/,

4

g(x)極小值=g(D=L],

又X取足夠大的正數(shù)時(shí)，g(x)V0,x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，g(x)>0,

因此，為使曲線y=g(x)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合g(x)的單調(diào)性，

/、4

得：g(x)極大值=f<0或g(x)極小值——w〉°，

、4

.".t<0或?>2，

4

即當(dāng)/<0或/時(shí)，使得曲線y=g(x)與x軸有一個(gè)交點(diǎn).

二'三次函數(shù)的切線問題

例2已知函數(shù)八%)=—#-%2+肛+3,在x=0處取得極值.

⑴求m的值；

(2)若過(2,。可作曲線y=/(x)的三條切線，求才的取值范圍.

解(1)因?yàn)?0)=—#一》2+如:：+3,

所以/(%)=一環(huán)2—2x~\~m,

因?yàn)槲鍃)在x=0處取得極值，

所以了(0)=機(jī)=0?經(jīng)驗(yàn)證機(jī)=。符合題意.

(2)設(shè)切點(diǎn)A坐標(biāo)為(xo,一伊一近十3),

由y(x)=一/%3—N+3,得/(x)=—g2—2x,則/(xo)=-$8—2XO,

所以曲線在點(diǎn)A處的方程為y一(一—x§+3)=(一$8—2xo)(x—xo),

將(2,/)代入切線方程，得4xo+3.

3

令g(x)=x1—4x+3,則g，(x)=f—4,

則g[x)=x2—4=0,解得x=±2.

當(dāng)x<—2或x>2時(shí)，g'(x)>0,

所以g(x)在(一8,-2),(2,+8)上單調(diào)遞增;當(dāng)一2<x<2時(shí)，gr(x)<0,

所以g(x)在(一2,2)上單調(diào)遞減.

25

所以g(x)的極大值為g(—2)=不，

7

g(x)的極小值為g(2)=—.

因?yàn)橛腥龡l切線，

所以方程f=g(x)有三個(gè)不同的解，y=t與y=g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),

725

所以一至.

所以f的取值范圍是y）

三'三次函數(shù)的對稱問題

例3（多選）對于三次函數(shù)7（x）=ax3+0x2+cx+d（aW0）,給出定義：設(shè)y=/（x）是函

數(shù)y=/（x）的導(dǎo)數(shù)，1（x）是了（x）的導(dǎo)數(shù),若方程r（x）=0有實(shí)數(shù)解xo,則稱點(diǎn)（xo，汽xo））

為函數(shù)y=Hx）的“拐點(diǎn)”.探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一

個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心，設(shè)函數(shù)4x）=￥—#+注,

則以下說法正確的是（）

A.函數(shù)人x）的對稱中心是0）

B.函數(shù)人x）的對稱中心是'，1）

c［需）+孀力+…+d闔+｛制的值是99

口《擊）+/1專）+…+《S+d制的值是1

答案BC

解析/（'^）=3%3—2%2-^12=^/（x）=x2~x=>fff（x）=2x—1,

令,（x）=2x—1=0,解得x=g,/d）=3X（2）3—2X（D2+fl=l,

由題意可知：函數(shù)汽X）=gx3—；x2+1|的對稱中心為g,1）；

由上述可得汽X）+JQ—x）=2,

設(shè)S=/B5Hli疝…+儡+儡）,①

所以有s=（需）+《制+…+/（需+《擊），②

①+②得，2s=2+2H---F2+2=2X99=S=99,

即?｛擊）+孀。）+…+《制葡的值是"?

訓(xùn)練（1）設(shè)三次函數(shù)火的uar+Of+cx+l的導(dǎo)函數(shù)/（x）=3ax（x—1）,且a>2,

則函數(shù)人X）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.OB.1

C.2D.3

答案D

解析由/(x)=3ax(x—1)且。>2知，當(dāng)OVx<l時(shí),/(x)VO,當(dāng)x<0或x>l時(shí)，

r(x)>o,則函數(shù)式力在(一8,0),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，

又了(RMBaf+ZOx+cMBaxa—1),則6=一斗，c=0,則火的二4%3一拳?+1,

所以汽0)=1>0,火1)=。一號(hào)+1=1—?<0,

又火—1)=一|。+1<0,汽2)=2a+l>0,

所以函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).

(2)已知任意三次函數(shù)的圖象必存在唯一的對稱中心，若函數(shù)

且Mxo,而⑹)為曲線尸危)的對稱中心，則必有g(shù)，(xo)=O(其中函數(shù)g(x)=/(x)).

m3+6m2+13m=10>

若實(shí)數(shù)m,〃滿足4,.9.則m+n=()

.3+6n2+13九=-30,

A.-4B.-3

C.-2D.-1

答案A

解析令火工)=尤3+6/+13羽則/(X)=3X2+12X+13,

設(shè)h(x)=f(x)=3f+12x+13,

令砥x)=6x+12=0,解得x=—2,

又八-2)=(—2>+6X(-2)2+13X(—2)=-10,

函數(shù)五x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,—10)成中心對稱.

fm3+6m2+13m=10,

因?yàn)椤?+6〃2+13〃=-30,

所以人加)+五〃)=-20,

又/(X)=3/+12X+13=3(X+2)2+1>0,

所以函數(shù)人X)=》3+6X2+13X在R上單調(diào)遞增，

所以m+n=2X(—2)=—4.

(3)已知函數(shù)?r)滿足火工)+/(—x)=4,已知點(diǎn)

M是曲線y=/U)上任意一點(diǎn)，曲線在〃處的切線為/.

①求切線/的傾斜角a的取值范圍；

②若過點(diǎn)P(l,可作曲線y=/(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解①因?yàn)?)+/(—%)=4,則1——ax2+(a—l)x+2——一(a—1)%+2=4,

解得〃=0,

所以/(的二1%3—x+2,則/(1)=元2—1,故曲線八元)的切線斜率左三一1,

tana^—1,

「八兀)「3兀、

??0￡0,2ju彳，兀上

???切線/的傾斜角的a的取值范圍是[。，如停，J

②設(shè)曲線y=/(x)與過點(diǎn)尸(1,加)(冽三，的切線相切于點(diǎn)(xo,xo+2),

則切線的斜率為左=x8—1,

所以切線方程為y—[g*—xo+2)=(x3—l)(x—xo),

因?yàn)辄c(diǎn)P(l,在切線上，

所以m—[^x^—xo+=(x§—1)(1—xo),

2

即m=—1,

2

設(shè)g(x)=-尹3+f+i,則g'(x)=-2x2+2x=-2x(x-1),

令g<x)=O,解得x=0或x=l,

當(dāng)xVO或x>l時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)>0,

所以gQ)在(一8,0),(1,+8)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

故g(x)的極小值為g(0)=1,

4

極大值為g(D=]，

因?yàn)檫^點(diǎn)P(l,加)(心力可作曲線尸危)的三條切線，

所以方程m=g(x)有三個(gè)不同的解，y=m與y=g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

_4

所以\<m<y

4

-

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是113

■課時(shí)分層精練

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.已知定義在R上的函數(shù)五x),其導(dǎo)函數(shù)/(X)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正

確的是()

A.?>?>/c)

B.函數(shù)兀0在x=c處取得最大值，在x=e處取得最小值

C.函數(shù)火》)在x=c處取得極大值，在龍=e處取得極小值

D.函數(shù)火工)的最小值為人4

答案C

解析由題圖可知，當(dāng)xWc時(shí)，/(x)>0,

所以函數(shù)抵%)在(一8,c］上單調(diào)遞增，

又a<b<c,所以故A不正確；

因?yàn)榱?c)=0,/(e)=0,且當(dāng)xVc時(shí)，/(x)>0；

當(dāng)c<x<e時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>e時(shí)，f(x)>0.

所以函數(shù)兀0在X=c處取得極大值，但不一定取得最大值，在X=e處取得極小值，

不一定是最小值，故B不正確，C正確；

由題圖可知，當(dāng)dWxWe時(shí)，/(x)W0,所以函數(shù)<x)在［d,e］上單調(diào)遞減，從而五①

>?,所以D不正確.故選C.

2.函數(shù)4x+4在［0,3］上的最值是()

A.最大值是4,最小值是一件4B.最大值是2,最小值是44

C.最大值是4,最小值是一1D.最大值是2,最小值是一g

答案A

解析因?yàn)閥(x)=|x3—4x+4,

所以/(x)：%2—4,

由/(%)=%2—4>0,得x>2或》<一2,

由/(x)=f—4<0,得一2VxV2,

所以火x）在［0,2）上單調(diào)遞減，在（2,3］上單調(diào)遞增，

4

又人0）=4,H2）=—,八3）=1,

所以人x）在［0,3］上的最大值是4,最小值是一小故B,C,D錯(cuò)誤.

b

3.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)4x）=alnx+;取得最大值一2,則了（2）等于（）

A..1B.一3

C.1D.1

答案B

解析因?yàn)楹瘮?shù)4￥）的定義域?yàn)椋?,+°°）,

了⑴=—2

所以依題意可知《

/(1)=0,

/?=—2,a=一2

所以

a—b=0,[b=~2,

所以/（x）=_1+］=2（ljx）,

因此函數(shù)兀0在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減,

當(dāng)x=l時(shí)取最大值，滿足題意.

所以了（2）=—1+3=—3,故選B-

4.（多選）已知函數(shù)xGR.下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)人x）不存在最大值，也不存在最小值

B.函數(shù)八工）存在極大值和極小值

C.函數(shù)人x）有且只有1個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)人x）的極小值就是汽x）的最小值

答案BCD

解析/(x)=Ne*,xeR,

則/(x)=x(x+2)ex,

令/(x)<0=—2<x<0,

令/(x)>O=x<—2或x>0,

所以函數(shù)人乃在(一2,0)上單調(diào)遞減，在(一8,-2),(0,+8)上單調(diào)遞增，且

/(0)=0,y(x)=x2ex>0,如圖，所以Xx)min=/(0)=0,函數(shù)在x=—2處取得極大值，

在x=0處取得極小值，極小值汽0)即為最小值，且函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)0.

5.某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為

p⑦三20)元，銷售量為。件，銷售量。與零售價(jià)p有如下關(guān)系：0=8300—170“

-P2,則這批商品的最大毛禾U潤(毛利潤=銷售收入一進(jìn)貨支出)為()

A.30000元B.60000元

C.28000元D.23000元

答案D

解析設(shè)毛利潤為乙⑦)，

由題意知L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)=(8300-170/?~p2)(p-20)=-p3-150/?2+

11700p-166000,

所以L'(p)=-3p2-300p+ll700.

令)=0,解得夕=30或p=—130(舍去).

此時(shí)，￡(30)=23000.

因此當(dāng)20Wp<30時(shí)，L'(p)>0,當(dāng)2>30時(shí)，L'(p)<0,

所以L(30)是極大值，根據(jù)實(shí)際問題的意義知，L(30)也是最大值，即零售定價(jià)為

每件30元時(shí)，最大毛利潤為23000元.

6.函數(shù)外)=#一sinx,若危)在(0,舒上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,+8)B.(0,1)

C.(—8,0)D.(—1,0)

答案A

解析由題意，函數(shù)y(x)=Wx2—sinx,可得/(x)=ax—cosx,

若aWO,當(dāng)9時(shí)，可得了(x)<0,於)在［o,1上單調(diào)遞減，

此時(shí)函數(shù)1x)在(0,野沒有最小值，不符合題意；

若4>0,令1(%)=0,即QX—COSX=0,

畫出函數(shù)丁=狽與y=cosx的圖象，如圖所示，

可得存在xo?(o,習(xí),使得/(x())=0,

當(dāng)x?(0,xo)時(shí)，/(x)<0,於)單調(diào)遞減；當(dāng)x?(xo,舒時(shí)，/(x)>0,於)單調(diào)遞增,

此時(shí)函數(shù)兀0在(0,舒上有最小值，符合題意，

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,+8).

7.若函數(shù)4x)=ex(—■x2+2x+a)在區(qū)間(a,。+1)上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是()

B.(-l,2)

C.ID.三T

答案C

解析因?yàn)閒(x)=eA(—%2+2x+。―2x+2)=e%—f+a+2),且函數(shù)五工)在區(qū)間(a,

a+1)上存在最大值，故只需〃(x)=—/+。+2滿足/z(a)>0,/i(t/+l)<0,所以

—1

—Q2+Q+2>0,—(〃+1)?+〃+2V0,解得2VQ<2.

Y

8.函數(shù)火%)=短，x^［0,3］的最小值為.

答案0

解析由題意可得了(%)=亍.

當(dāng)xE［0,1)時(shí)，/(x)>0；

當(dāng)xG(l,3］時(shí)，/(x)<0.

所以函數(shù)兀0在［0,1)上單調(diào)遞增，在(1,3］上單調(diào)遞減.

3

又人0)=0,火3)=/,

所以/(X)min=/(0)=0.

9.設(shè)函數(shù)於）=lnx+ln（2~x）+ax（a>0）,若於）在（0,1］上的最大值為今貝！］a=

答案2

解析?.V(x)=ln%+ln(2—%)+〃%的定義域?yàn)?0,2),

,112x—2

a,

?W)=-+^+?=x(x-2)

VxG(0,1],a>0,

.2x—2

?\r(x)=x(尤—2)卜a>0,

???山）在（0,1］上單調(diào)遞增,

故汽X）在（0,1］上的最大值為<1）=。=；,

10.甲、乙兩地相距240km,汽車從甲地以速度o（km/h）勻速行駛到乙地.已知汽車

每小時(shí)的運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為160元，可變成本為

研

而麗元.為使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以___________km/h的速度行駛.

答案80

解析設(shè)全程運(yùn)輸成本為y元，

由題意，得丁=4［160+忌j=240解+溫面）°>0,

2P]

6400)

令y=o,得0=80.

當(dāng)。>80時(shí)，y>o；當(dāng)0<。<80時(shí)，y<o.

所以函數(shù)丁=11160+打而J在（0,80）上單調(diào)遞減，在（80,+8）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)0=80時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小.

11.（2024?湖北名校聯(lián)考）已知函數(shù)其中a?R.若人x）的圖象在

點(diǎn)（0,五0））處的切線方程為2x+勿+1=0.求：

（1）函數(shù)人x）的解析式；

（2）函數(shù)Hx）在區(qū)間［—3,1］上的最值.

解(1)依題意，汽0)=—1,切點(diǎn)(0,—1)在切線2x+勿+1=0上，則6=1,

/(x)=ev(2x2+ax—1)+e'(4x+a)=&I2%2+(a+4)x+a—l］,

而汽x)的圖象在點(diǎn)(0,10))處的切線斜率為一2,則/(0)=a—1=—2,解得a=-1,

所以J(x)=eJC(2x2—%—1).

(2)由(1)知，/(x)=e'Qx2+3x—2)=e\x+2)(2%-1),

由/(x)=0得x=~2或x=1,

當(dāng)一3Wx<-2或］<%^1時(shí)，/(x)>0,

當(dāng)—2<x<W時(shí)，/(x)<0,

所以人x)在［—3,-2),1］上單調(diào)遞增，在(一2,0上單調(diào)遞減，

-2091

又火—3)=苫，五一2)=下，虹|=一7,火1)=0,

91

所以人乃在［—3,1］上的最大值為盛，最小值為一唱.

12.某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個(gè)橋墩相距mm,余下的工程只需建

兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)預(yù)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元;距離為xm

的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+5)萬元/m.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋

墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素.記余下的工