第四章三角函數(shù)、解三角形

第1節(jié)任意角、弧度制和三角函數(shù)的概念

考試要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.

3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

■知識(shí)診斷自測(cè)

【知識(shí)梳理】

1?角的概念的推廣

(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的遙點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.

八次!按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角w.

Q)分類［按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

(3)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S

={￡V=a+k360。,左GZ}.

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：長(zhǎng)度等于坐屋的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad.

(2)公式

1引=:(弧長(zhǎng)用1表示)

角a的弧度數(shù)公式

角度與弧度的換算1°—1801rad—

弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l=\a\r

扇形面積公式5=..=、。|戶

3.任意角的三角函數(shù)

⑴定義

如圖，設(shè)a是一個(gè)任

P（X,y）

前提意角，它的終邊與單

位圓交于點(diǎn)P(x,y)

正弦L叫做a的正弦函數(shù)，記作sina,即sina=y

余弦工叫做a的余弦函數(shù),記作cosa,即cosa=4

2叫做a的正切函數(shù)，記作tana,即tana='

正切XX

定義(x#0)

正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位

三角函數(shù)圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函

數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)

(2)定義的推廣

設(shè)P(x,y)是角a終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為《廠＞0),那么sina

yxy

=；cosa=—,tana=(%W0).

Y丫X

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

1.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.角度制與弧度制可利用180。=兀m(1進(jìn)行互化，半徑為R,圓心角為廢的扇形的

弧長(zhǎng)公式和面積公式分別為/=喘，S=畸

3.象限角

第一象限角］卜麻宣＜0(＜24宣+/,fcGZ

{a12*ar+學(xué)<a<2kTT+TT,A:Gz}

角第二象限角

的

(a|2A:TT+IT<a<2kir+Ay^-,

第三象限角

第|a版TT+^-<a<2kTT+2TT,A:GZj

4.軸線角

軸

線

角

的

集

合

終邊落在坐標(biāo)軸上的角J{oc\a=^,kez］

【診斷自測(cè)】

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)小于90。的角是銳角.()

⑵銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角.()

⑶角a的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān).()

(4)若a為第一象限角，則sina+cosa>L()

答案(1)X(2)X(3)V(4)V

解析(1)銳角的取值范圍是(o,9.

(2)第一象限角不一定是銳角.

n

2.(必修一Pl76T7(2))已知a是第一象限角，那么2是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或二象限角D.第一或三象限角

答案D

解析易知2EVaV/+2防I,

..a兀?

所以為是第一或第三象限角.

3.(必修一P180T3改編)已知角6的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(—12,5),則sin6>+cos0=

7

答案一15

?5?—12

解析由三角函數(shù)的定義可得sin0+cos。=「-、-?彳+「—、》G

N(-12)2+*5652V(-12)2+52

5127

13-13=一膏

4.已知扇形的圓心角為30。，其弧長(zhǎng)為2兀，則此扇形的面積為.

答案1271

7T2,71

角窣析Va=30°=7l=ar,/.r=—=12,

o?71

6

???扇形面積S=，r=；X2兀*12=1271.

■考點(diǎn)聚焦突破

考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角

例1(1)(多選)下列命題正確的是()

A.終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為{a|a=2foi,左?Z}

B.終邊落在y軸上的角的集合為{30（=90。+也，k《Z}

C.第三象限角的集合為1a|?i+2EWaw￥+2防i,左?zj

D.在一720。?0。范圍內(nèi)所有與45。角終邊相同的角為一675。和一315。

答案AD

解析A項(xiàng)顯然正確；

TT

B中，終邊落在y軸上的角的集合為{a[a=]+E,左GZ},角度與弧度不能混用,

故錯(cuò)誤；

C中，第三象限角的集合為]a|7i+2E<a（爭(zhēng)+2而，左故錯(cuò)誤；

D中，所有與45。角終邊相同的角可表示為

￡=45°+左S60°,左GZ,

令一720°W45°+左SGOOVO。（左?Z）,

171

解得一hWkv—6/wz）,

OO

從而當(dāng)上=—2時(shí)，△=—675。；

當(dāng)k——1時(shí)，0=—315°,故正確.

（2）已知角。在第二象限，且sin^=—sin3，則角萬(wàn)在（）

A.第一象限或第三象限

B.第二象限或第四象限

C.第三象限

D.第四象限

答案C

解析???角。是第二象限角，

...6?（2防1+今2左兀+兀），左?Z,

/.-el左ez,

.?.角?在第一或第三象限.

.e?°??*

Xvsin2=—sm..sin/〈0，

...角I在第三象限.

感悟提升1.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出

與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)集合中的參數(shù)上/CZ）賦值來(lái)求得

所需的角.

2.確定—依?N*）的終邊位置的方法

先寫(xiě)出ka或號(hào)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定ka或3的終邊所在的位置.

KK

7T7T

訓(xùn)練1⑴集合｛alfai+zWaWfai+i，攵?Z｝中的角所表示的范圍（陰影部分）是

（）

答案C

解析當(dāng)左取偶數(shù)時(shí)，比如左=0,此時(shí)全故角的終邊在第一象限或y軸

正半軸；

當(dāng)上取奇數(shù)時(shí)，比如攵=1,此時(shí)彳WaW：-，

故角的終邊在第三象限或y軸的負(fù)半軸.

綜上，角的終邊在第一象限或第三象限或y軸上.

⑵終邊在直線上，且在［—2兀，2兀）內(nèi)的角a的集合為.

答案「|兀，一|兀,$14

解析在坐標(biāo)系中畫(huà)出直線丁=小羽可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角為生在［0,2兀）內(nèi)，

終邊在直線y=5x上的角有g(shù)和%;

25

在［-2兀，0）內(nèi)滿足條件的角有一邳和一空，

故滿足條件的角a構(gòu)成的集合為\!兀，一|兀，*I71｝-

考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用

例2已知一扇形的圓心角為a,半徑為凡弧長(zhǎng)為/（a>0）.

（1）已知扇形的周長(zhǎng)為10cm,面積是4cm2,求扇形的圓心角;

(2)若扇形的周長(zhǎng)為20cm,當(dāng)扇形的圓心角a為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最

大？

'2R+Ra=\Q,

R=4,

解得

故扇形的圓心角為去

(2)由已知,得/+2R=20.

所以S=1/7?=|(2O-27?)7?=10R—R2=-(7?-5)2+25,

所以當(dāng)R=5cm時(shí)，S取得最大值25cm2,

此時(shí)/=10cm,a=2.

感悟提升應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：

(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題.

(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

訓(xùn)練2(1)(2024.貴港模擬)圖①是杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，圖②

是會(huì)徽的幾何圖形，設(shè)弧AD的長(zhǎng)度是/1,弧3C的長(zhǎng)度是2扇環(huán)A5CD的面積

為Si,扇形30C的面積為S2.若，=3,則稱■=()

1202

19thAsianGames

Hangzhou2022

答案

因?yàn)樗杂?/p>

解析*3,=3

又因?yàn)镾扇形,

S扇形BOC=2B-\OB\,

S扇形4。。

所以y

S扁衫BOCh-\OB\~

S扇環(huán)ABCD噂

所以=8,=8.

S扇/BOC

⑵數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感.

萊洛三角形的畫(huà)法：先畫(huà)等邊△ABC,再分別以A,B,C為圓心，線段A3長(zhǎng)為

半徑畫(huà)圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長(zhǎng)為2兀，則其面積

是.

A

A

答案2兀一2陋

2兀

Ojr3

解析由條件可知，弧長(zhǎng)◎=比=念=于等邊三角形的邊長(zhǎng)AB=3C=AC=9

3

12兀

=2,則以點(diǎn)A,B,C為圓心，圓弧A3,BC,AC所對(duì)的扇形面積為］X丁X2=

27T1

y,中間等邊△ABC的面積S=1X2xd§=Mi

27T

所以萊洛三角形的面積是3X行一2小=2兀一24.

考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

角度1三角函數(shù)的定義

例3（1）（2024.湖北新高考協(xié)作體考試）已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)0重合，始邊與

x軸的非負(fù)半軸重合.若P（cos$1）是角a終邊上一點(diǎn)，貝1Jsina=（）

A*B坐C.|D差

答案D

解析依題意，點(diǎn)Pg，1)，

則10Pl=\/g)+12=坐，

.._J__

..sina—后5.

2

⑵(2024.豫北名校聯(lián)考)已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，始邊與x軸的非負(fù)半

軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(—4m,3m)(m^0),則2sina+cosa的值為.

答案'2或2

解析由題意得，點(diǎn)尸與原點(diǎn)間的距離

r=yj(—4m)2+(3m)2=5|m|,

缶卜/-3m—4m

所以sm儀=而，cosa=而，

34

當(dāng)m>0時(shí)，sina=g,cosa=一予

2

故2sina+cosa=§；

34

當(dāng)m<0時(shí)，sina=一予cos0=予

2

故2sina+cosa=一亍

角度2三角函數(shù)值符號(hào)的判定

例4⑴(2024?成都石室中學(xué)模擬)若a是第三象限角，則下列各式中成立的是()

A.tana—sina>0B.sina+cosa>0

C.cosa-tan?>0D.tanasina>0

答案A

解析因?yàn)?。是第三象限角?/p>

所以sin?<0,cosa<0,tana>0,

對(duì)于A,tana—sina>0,故A正確;

對(duì)于B,sinot+cosa<0,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,cosa—tana<0,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,tanasma<0,故D錯(cuò)誤.

Y_

(2)(多選)(2024?衢州質(zhì)檢)若sinxcosx>0,sinx+cosx>0,則］可以是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案AC

角星析因?yàn)閟inxcosx>0,sinx+cosx>Q,

所以sinx>0,cosx>0,

故x是第一象限角，

兀

由2kn<x<2kTi+yk^Z,

r%JI

得左兀<5<左兀+不左￡Z,

當(dāng)左為偶數(shù)時(shí)，5是第一象限角，

當(dāng)X為奇數(shù)時(shí)，5是第三象限角，故選AC.

感悟提升1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用

(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)

的距離，確定這個(gè)角的三角函數(shù)值.

(2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過(guò)三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求

參數(shù)的值.

2.要判定三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根

據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定值的符號(hào).如果不能確定角所在象限，那就

要進(jìn)行分類討論求解.

訓(xùn)練3(1)已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若點(diǎn)尸(sina,

tana)在第四象限，則角a的終邊在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

解析,點(diǎn)P(sina,tana)在第四象限，

sina>0,tan?<0,

.?.角a的終邊在第二象限.

（2）（多選）（2024.青島調(diào)研）已知角a的始邊與入軸非負(fù)半軸重合，終邊在直線y=4x

.r,sin。一2cosa,,口

上，則tana的值可r能是（）

A2B逅

a6834

r_7^nnA/n

J68u-34

答案BD

解析由題意，若角a的終邊位于第一象限，

令x=l,則y=4,

_1__L

故"二小。=而

.4__4_一

sma一業(yè)2；42-忖tana—4,

sina—2cosaV17

則wttana=*;

若角a的終邊位于第三象限，

令x=-1,則y=-4,

11

故cosa=-d（—1）2+（―4）2=-而

.__________4____________4_

sina—一/-----z-；------z—-r-tai

q（-1）2+（-4）2vi79

sina—2cosa

大tana~34,

■課時(shí)

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.下列與角9詈7r的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（）

A.2E+45。（左?Z）

9兀

B.Z：-360o+y（Z：eZ）

CA360。-315°（左GZ）

,5n

D.ATT+4（左GZ）

答案C

QjrQjr

解析與角4?的終邊相同的角可以寫(xiě)成2E+彳（左GZ）或左.360。+45。（左GZ）,

但是角度制與弧度制不能混用，排除A,B,易知D錯(cuò)誤，C正確.

2.若sinacos0<0,需|>0，則角0是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案D

解析由鬻>°，得心>°，所以cosG0.

又sin6?cos又0,所以sin又0,

所以。為第四象限角.

（?南通質(zhì)檢）已知點(diǎn)（。在角。的終邊上，且。=—坐，則。的值

3.*2024Pl,sincos

4*11

--

C土D

33

答案A

解析由點(diǎn)P（l,/）在角。的終邊上，

知sin—冬啟T'

得/=—啦，可得角。為第四象限角，

S-向T3-

4.在平面直角坐標(biāo)系中，角a的終邊過(guò)點(diǎn)（一1,0）,將a的終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)?/p>

向旋轉(zhuǎn)120。與角B的終邊重合，則cos0=（）

A1R_10近D—立

答案A

解析由題意知儀=兀+24兀，

5兀

?“=至+2左兀，k￡Z,

故cosB=cos-y=2.

5.(2024.廣州調(diào)研)已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終

邊上有兩點(diǎn)A(l,m),B(m,4),則cosa=()

A興B坐C邛D.羋

答案B

解析記。為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意可知。(0,0),A(l,m),B(m,4)三點(diǎn)共線，則

加W0,

rn4

所以丁=而，解得機(jī)=±2，

又A,5兩點(diǎn)位于同一象限，

所以m=2,則A(l,2),

所以cosa=Rw=1=^.

6.(多選)下列說(shuō)法正確的有()

JT5

A.角］與角一家終邊相同

B.終邊在直線y=—x上的角a的取值集合可表示為{a|a=k360。一45。，左?Z}

C.若角a的終邊在直線y=—3x上，則cosa的取值為喀

3冗

口.?；苫《仁橇?/p>

673(/O

答案AD

解析角會(huì)與角一|兀相差2兀，終邊相同，故A正確；

終邊在直線y=—x上的角a的取值集合可表示為{a|a=A」80。一45。，左?Z},故

B錯(cuò)誤；

若角a的終邊在直線y=—3%上，

則cosa的取值為±*l，故C錯(cuò)誤；

3兀

67。30,化成弧度是⑥，故D正確.

7.(2023?西安二模)扇面是中國(guó)書(shū)畫(huà)作品的一種重要表現(xiàn)形式(如圖1),圖2為其結(jié)

構(gòu)簡(jiǎn)化圖.設(shè)扇面A,3間的圓弧長(zhǎng)為/,A,3間的弦長(zhǎng)為d,圓弧所對(duì)的圓心角

為仇則/,d和。所滿足的關(guān)系為（）

2sin&7

A______±_d

A-3~1

cee

2cos2dcos2d

c~~~1D--1

答案A

解析如圖，連接A3,取A3的中點(diǎn)為。，連接0D,

、、、一I/

O

由題意可得AD：//,/DOA=g,ODLAB,

°2d

設(shè)在中，彳=—,①

OA=r,RtAADOsin2r

又l=r。,②

i,c.e

,5d2sm5,

所以由①②可得、F，即

C7,C7C7I

sm2

8.（多選）已知點(diǎn)P（sinx—cosx,一3）在第三象限，則無(wú)可能位于的區(qū)間是（)

（5兀9兀）f713兀）

AgTjB\4,Tj

r2）D{4*4；

答案AD

解析由點(diǎn)P（sin%—cosx,—3）在第三象限，

可得sin%—cosx<0,即sinx<cosx,

3jrjr

所以一］+2Evx<a+2Z兀，左￡Z.

當(dāng)左=0時(shí)，X所在的一個(gè)區(qū)間是「竽，V，

當(dāng)左=1時(shí)，X所在的一個(gè)區(qū)間是件，竽；

9.若a=1560。，角。與a終邊相同，且一360。＜。＜360。，則。=.

答案120。或一240。

解析因?yàn)椤?1560。=4*360。+120。，

所以與a終邊相同的角為360。*左+120。，kGZ,

令左=—1或左=0,可得e=—240?；?=120。.

10.已知扇形的圓心角為120。，弧長(zhǎng)為2兀，則扇形面積為.

答案3兀

2冗I2

解析l=ar,_

V120°=3v./.r=a=ZY7i"=3,

T

/.=；X2兀X3=3兀.

11.（2021.北京卷）若P（cosasin。）與Q（cos（6+',sin（6+2））關(guān)于y軸對(duì)稱,寫(xiě)

出一個(gè)符合題意的0值為.

答案軟“=行十瓦k《Z,答案不唯一）

7T

解析由題意知，點(diǎn)P,Q都在單位圓上，且。+。+d=兀+2也，左?Z,所以0

=居+左兀，左GZ.

12.如圖，在RtAPBO中，ZPBO=90°,以0為圓心、0B為半徑作圓弧交0P

n

于點(diǎn)若圓弧等分△的面積，且則示■：=_____.

AA3P03NA03=a,idnex

D

答案I

解析設(shè)扇形的半徑為r,則扇形的面積為5月

在RtAPBO中，P5=rtana,

所以ZXPOB的面積為T△Hana.

由題意得g/tanct=2X^ctr2,

所以tana=2a,所以蕭^=去

【B級(jí)能力提升】

13.（多選）（2024.南開(kāi)中學(xué)質(zhì)檢）已知角a是第二象限角，則下列不等式一定成立的

是（）

aa

A.sin/<（）B.tan/>0

八.aac.aa

C.sm2>cos2D.sin>cos]

答案BD

.7T

解析由題設(shè)，2%兀+,<。<2攵兀+兀，