第4節(jié)復數(shù)

考試要求1.理解復數(shù)的基本概念.2.理解復數(shù)相等的充要條件.3.了解復數(shù)的代

數(shù)表示法及其幾何意義.4.會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算.5.了解復數(shù)代數(shù)形式

的加、減運算的幾何意義.

■知識

【知識梳理】

1.復數(shù)的有關(guān)概念

(1)定義：我們把集合C={a+"i|a,6?R}中的數(shù)，即形如。+歷(a,5GR)的數(shù)叫

做復數(shù)，其中a叫做復數(shù)z的實部,b叫做復數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).

⑵分類：

滿足條件(a,b為實數(shù))

。+歷為實數(shù)Q0=0

復數(shù)的

a+bi為虛數(shù)QbWO

分類

a+bi為純虛數(shù)Qa=0且6七0

(3)復數(shù)相等：a+"i=c+diQ4=c且b=d(a,b,c,dGR).

(4)共軻復數(shù)：a+其與c+di共輾Qa=c,b=—d(a,b,c,dGR).

(5)模：向量花的模叫做復數(shù)z=a+bi的模，記作|a+歷|或|z|,即|z|=|a+歷尸

2.復數(shù)的幾何意義

復數(shù)z=a+Oi與復平面內(nèi)的點迎回及平面向量定=(a,b)(a,5GR)是---對

應(yīng)關(guān)系.

3.復數(shù)的運算

(1)運算法則：設(shè)zi=a+6i,Z2=c+di,a,b,c,d?R.

P__JZ\±z?K(Q+6i)土(c+di)=?±c)+(6±d)[

二!z「Z2人(。+歷)(c+di)=(a」-1d)+(6c+ad)L

人入鬻力+的"

(2)幾何意義：

復數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.

如圖給出的平行四邊形0Z1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義，即反

—&￡\~|-,ZiZ?=&￡\.

[常用結(jié)論與微點提醒]

Li的乘方具有周期性

[4八二]|4?+1—?[4〃+2=—]|4n+3——j_|_14n+1_|_14n+2_|_14H+3—Q〃￡N*

1+i1-i

2.(l±9i)2=±2i,-~7=i,T—7=-i.

1—11+1

3.復數(shù)的模與共扼復數(shù)的關(guān)系Z'=|Z|2=|?2.

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“?”或“X”)

⑴復數(shù)z=o+歷(a,6GR)中，虛部為歷.()

⑵復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大小.()

(3)原點是實軸與虛軸的交點.()

(4)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應(yīng)的

向量的模.()

答案(1)X(2)X(3)V(4)V

解析(1)虛部為。；(2)虛數(shù)不可以比較大小.

2.(必修二P69例1改編)若復數(shù)z=m+l+(m-l)i為純虛數(shù)，則m=.

答案-1

fm+1=0,

解析由題意知1解得加=—I.

m—1^0,

3.(必修二P94T1改編)復數(shù)號的共輾復數(shù)是..

答案一2+i

..55(—2—i).

解析r(-2+i)(-2-i)=-2-1>

故其共軻復數(shù)是一2+i.

4.已知z=l—3i,貝！J|z—i|=.

答案小

解析由z=l—3i,得z—i=l+3i—i=l+2i,

故Iz—i|=，T=小.

■考點聚焦突破

考點一復數(shù)的概念

例1(1)(2023?全國甲卷)若復數(shù)(a+i)(l—ai)=2,a￡R,則a=()

A.-2B.-lC.lD.2

答案C

解析因為(a+i)(l—ai)=2o+(l—/)i=2,

所以2a=2且1一/=0,解得q=i.

(2)(2024?西安質(zhì)檢)已知復數(shù)zi=a—3i,Z2=2+i(i為虛數(shù)單位).若zg是純虛數(shù),

則實數(shù)。=()

33...

A.l2B，2C.16D.6

答案A

解析因為2122=(。-3i)(2+i)=(2〃+3)+(〃-6)i是純虛數(shù)，

3

所以2〃+3=0且〃一6W0,可得

-1+i

(3)(多選)(2024.惠州調(diào)研)已知復數(shù)z=^^,則下列結(jié)論正確的是()

A.z的虛部為1

B.|z|=2

C.z2為純虛數(shù)

D.z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限

答案AC

一1+ii2+i

角牛析對于A,z==-?—=]+i,

則z的虛部為1,故A正確；

對于B,因=也，故B錯誤；

對于C,z2=2i為純虛數(shù)，故C正確；

對于D,z=l—i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,-1),位于第四象限，故D錯誤.

感悟提升解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項

⑴復數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的

條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即

可.

(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為歷(a,5?R)的形式，以確定實部和虛部.

訓練1(1)(2023?全國乙卷)|2+i2+2i3|=()

A.lB.2C.3D.5

答案C

解析|2+i2+2i3|=|2-l-2i|=|l-2i|=V5.

(2)(2024?遼寧名校模擬)已知復數(shù)z=2—i,且z—az+b=i,其中a,6為實數(shù),則

a-b=()

A.-2B.OC.2D.3

答案C

解析由題意得==2+i,則代入原式得

2+i—a(2—i)+~=i,

即(2—2a+Z?)+(l+a)i=i,

2—2t?+Z?=0,<7=0,

所以解得，

1+。=1,b=~2,

所以a-b=2.

⑶已知復數(shù)Z滿足|z|=|z—1|=1,且復數(shù)Z對應(yīng)的點在第一象限，則下列結(jié)論正

確的是()

A.復數(shù)z的虛部為一坐

n1也

1

B.z—2—2

C.z2=z+1

D.復數(shù)z的共輾復數(shù)為3―坐

答案D

解析設(shè)復數(shù)z=。+歷(a,Z??R),

因為|z|=|z—1|=1,且復數(shù)Z對應(yīng)的點在第一象限,

1層+戶=1,(2=-,

所以｛(a—1)2+/=1,解得r

l<7>0,b>Q,b—2>

即z=T+坐I

A/3

對于A,復數(shù)2的虛部為竽，故A錯誤；

對于B,z=；+坐i,故B錯誤；

對于C,因為z2=，+坐i)=—；+坐iW?+l,故C錯誤;

對于D,復數(shù)z的共輾復數(shù)為g—坐i,故D正確.

考點二復數(shù)的四則運算

例2(1)(2023?新高考I卷)已知2=￡得，則Z—Z=()

A.-iB.iC.OD.l

答案A

a+G用%1_i_______(1——________1.

解析因為z―2+2i—2(1+i)(1-i)~~2lf

所以z=；i,

所以z—z二_gi—；i=-i.

2+i—

(2)(2023?全國乙卷)設(shè)2=]m21聲則z=()

A.l-2iB.l+2i

C.2-iD.2+i

答案B

印上L2+i2+i—i(2+i)

斛析Z=l+ii2+i5=l-l+i=一二？一

=1—2i,所以z=l+2i.

感悟提升1.復數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算；

2.復數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輾復數(shù).

5（1+i3）

訓練2（1）（2023?全國甲卷）（2+i）（2—i）=（）

A.-lB.lC.l-iD.l+i

答案C

5(1+i3)5(1-i)5(1-i)

解析由題意知,(2+i)(2-i)=22-i2=5

?2025

（2）（2024.寧波調(diào)研）已知i為虛數(shù)單位，則口=.

答案-|+|i

i2025i2024.i(i4)506-i__ii(1+i)

解析1-i=--=1^=(1-i)(1+i)

（3）（2023?天津卷）已知i是虛數(shù)單位，化簡意普的結(jié)果為

答案4+i

5+14i(5+14i)(2—3i)

解析2+3i=(2+3i)(2—3i)

10-15i+28i+4252+13i,

=13=13=4+i.

考點三復數(shù)的幾何意義

例3(1)(2023?新高考II卷)在復平面內(nèi)，(l+3i)(3—i)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

解析因為(l+3i)(3—i)=3—i+9i—3i2=6+8i,

所以該復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為(6,8),位于第一象限，故選A.

(2)(2024.廣州模擬)復數(shù)z=(a+2)—(a+3)i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點Z位于第二象限,

則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(—8,-2)B.(—3,-2)

C.(-2,+8)D.(—8,-3)

答案D

解析由復數(shù)z=(a+2)—(a+3)i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點Z位于第二象限,

a+2<0,

可得＜解得a<-3,

、一(。+3)>0,

故實數(shù)。的取值范圍為(一8,-3).

(3)18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數(shù)，使復

數(shù)及其運算具有了幾何意義.例如，|z|=|OZ|,即復數(shù)z的模的幾何意義為z在復平

面內(nèi)對應(yīng)的點Z到原點的距離.在復平面內(nèi)，若復數(shù)『二對應(yīng)的點為乙，Z

為曲線|z—3|=1上的動點，則Zi與Z之間的最小距離為.

答案4

—一4—4i

解析因為=_4i,所以Z](0,-4),

又因為曲線|z—3|=1表示以A(3,0)為圓心，1為半徑的圓，所以|AZi|=5,

故Zi與Z之間的最小距離為5-1=4.

感悟提升1.復數(shù)z=。+歷(a"?R)<…對應(yīng)>Z(a,b)<一一對應(yīng)>應(yīng)二(々,

b).

2.由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此解題時可運用數(shù)形結(jié)合

的方法，把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.

訓練3(1)(2024.重慶診斷)已知(l+i)2.z=5—2i,則z的共輾復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)

的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

5-2i5—2i(5—2i)i5i+25,小一,5.

斛析z=(i+i)2=2i=二T—=-2=-1-2bN」z=一[+]i,

??"在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為1—1,1J,位于第二象限.

(2)(2024.石家莊模擬)如圖，已知復數(shù)2在復平面內(nèi)所對應(yīng)的向量是圖中每個

7

小正方形網(wǎng)格的邊長均為1,則仁=()

A.l+2iB.l+3i

C.3+iD.2+i

答案D

解析由題圖可知屈=(3,1),

則z=3+i,z=3—i,

lHz3-i(3—i)(1+i)

因此FTFT----------1=2+i.

(3)已知復數(shù)z滿足|z+i|=|z—i|,則|z+l+2i|的最小值為.

答案2

解析設(shè)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z,

因為復數(shù)Z滿足Iz+i|=|z—i|,

所以由復數(shù)的幾何意義可知，點Z到點（0,—1）和（0,1）的距離相等,

所以在復平面內(nèi)點Z的軌跡為x軸，

又|z+l+2i|表示點Z到點（一1,—2）的距離，

所以問題轉(zhuǎn)化為x軸上的動點Z到定點（一1,—2）距離的最小值，

所以|z+l+2i|的最小值為2.

■課時|分層精練

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.（2024?金華質(zhì)檢）設(shè)復數(shù)z滿足z（l+i）=2,則|z|=（）

A乎B.lC.^2D.2

答案C

角星析由2（l+i）=2,得2=］+j=（］+i）（］_j）=1-i,所以憶|=^/5?

__.7

2.(2024.湖北名校聯(lián)考)在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應(yīng)的點為(一1,1),則市

A.-l+iB.-l-iC.iD.l+i

答案C

解析由題意可知z=-1+i,

斫I、/z—1+i(—l+i)(l—i)2i.

M以i+i=(i+i)(i—i)=5=L

3.(2024?邵陽模擬)已知復數(shù)z滿足(2z+3)i=3z,貝Uz=()

696,9

A「記-1?B「百十得

696,9

D-B+B1

答案A

解析因為(2z+3)i=3z,2zi+3i=3z,(3—2i)z=3i,

_3i_3i(3+2i)6+9i

所大Z~3-2i~(3-2i)(3+2i)~—13—

,_9_.

-13+己

缶i、/_69.

所以z=一百一!？?

4.(2024.湘潭模擬)在復平面內(nèi)，復數(shù)zi，Z2對應(yīng)的點分別是(2,-1),(0,5),則

復數(shù)扣虛部為()

A.2B.-2C.-2iD.2i

答案A

解析由題可知zi=2—i,Z2=5i,

則衛(wèi)=旦=——$=—

人212-i(2-i)(2+i)十'

所以復數(shù)孑的虛部為2.

Z1

5.設(shè)復數(shù)z滿足|z—i|=l,z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),則()

A.(x+l)2+y2=1B.(x—l)2+y2=l

C.f+G—1尸1D.f+(y+1產(chǎn)=1

答案C

解析因為z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),

所以z=x+yi(x,jGR).

因為|z—i|=l,所以|x+(y—l)i|=l,

所以f+(y—1)2=1.

3+4i

6.(2024,開封模擬)若丁是純虛數(shù)，則復數(shù)z可以是()

A.-3+4iB.3-4i

C.4+3iD.4-3i

答案D

解析設(shè)2=〃+bi(Q,6￡R),

由題意知/+/W0,

,3+4i3+4i(3+4i)(Q—bi)

大'za+bi/+廿

(3〃+4b)+(4〃-3b)i

c^+b1

3+4i

因為丁是純虛數(shù),

3a+4b=Q,

所以，

、4a—3b手

經(jīng)驗證可知，。=4,》=-3符合，

即復數(shù)z可以是4—3i.

2Ioi

7.（2024?衡水調(diào)研）設(shè)a?R,z=—則"a>l”是"|z|〉小”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分條件也不必要條件

答案A

2i-ci

解析由題意得z=-p—=a—2i,

所以|z|=y〃2+（—2）2=d〃2+4.

因為|z|>小，所以〃+4>5,

解得a<~\或a>l9

故、>1”是"|2|>小"的充分不必要條件.

8.棣莫弗公式（cosx+isinx）n=cosnx+isin其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學家

棣莫弗（1667—1754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復數(shù)&噴+15年17在復平

面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

解析由已知得

7

71...71奈

cosg+isin|=cos3+isin

兀兀..71

71+7J+isin（兀+落=

cosl6—cosism6

=_^3_L

—221-

復數(shù)&os'l+isin*在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標為[—坐，一g)，位于第三象

限.

9.(2023?上海卷)已知復數(shù)z=1+i,則11—i?z|=.

答案小

解析*.*z=1+i,1—i-z=1—i(l+i)=1—i+1=2—i,|1—i-z|=|2—i\=y[5.

10.(2022?新高考I卷改編)若i(l—z)=l,則z+z=1.

答案2

解析因為i(l—z)=l,

所以z=l—；=l+i,

所以z=l—i,

所以z+z=(l+i)+(l—i)=2.

11.(2024?桂林、崇左調(diào)研)已知i為虛數(shù)單位，若大=。+歷(a,人WR),則a+b

答案1

解析因為"^=。+歷，

所以歷=幣=(i+i)(if

—2—2十2卜

所以a=g,b=；,則a+6=；+；=l.

12.若2—3i是方程4x+a=0(a?R)的一個根，則其另外一個根是,a

答案2+3i13

解析設(shè)方程的另外一根為X,

則尤+2—3i=4,故x=2+3i,

a=(2—3i)(2+3i)=13.

【B級能力提升】

13.（多選）（2024?濟南調(diào)研）設(shè)復數(shù)zi=2—i,Z2=2i（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確

的為（）

A.Z2是純虛數(shù)

Ba—Z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限

C.|zi+z?|=3

D.zi=2+i

答案AD

解析對于A,Z2=2i,其實部為零，虛部不為零，是純虛數(shù)，故A正確；

對于B,zi-z2=2-3i,其在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為（2,-3）,位于第四象限，故B

錯誤；

對于C,zi+z2=2+i,則0+22|=4市=小，故C錯誤；

對于D,zi=2—i,則zi=2+i,故D正確.故選AD.

14.（多選）（2024?南通質(zhì)檢）已知復數(shù)zi=-2+i（i為虛數(shù)單位），復數(shù)Z2滿足團一1

+2i|=2,Z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為y）