第04講圓與圓的對稱性

兇【學習目標】

1.在探索過程中認識圓，理解圓的本質(zhì)屬性；

2.了解圓及其有關(guān)概念，理解弦、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、同心圓、等圓、等弧等與圓有關(guān)的概念，理解

概念之間的區(qū)別和聯(lián)系；

@【基礎(chǔ)知識】

一.圓的認識

(1)圓的定義

定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓.固

定的端點。叫做圓心，線段。4叫做半徑.以。點為圓心的圓，記作“OO”，讀作“圓.

定義②：圓可以看做是所有到定點。的距離等于定長r的點的集合.

(2)與圓有關(guān)的概念

弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等.

連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意

一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣

弧.

(3)圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性.②中心對稱性.

垂徑定理

(1)垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(2)垂徑定理的推論

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

三.垂徑定理的應(yīng)用

垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：

(1)得到推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題.

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方法一定要掌握.

四.圓心角、弧、弦的關(guān)系

（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余

各組量都分別相等.

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧

或劣弧.

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推

二”，一項相等，其余二項皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與

原圖形完全重合.

（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分.

五.點與圓的位置關(guān)系

（1）點與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。。的半徑為r,點P到圓心的距離。尸=d,則有：

①點P在圓外=d>r

②點P在圓上=d=r

①點P在圓內(nèi)=40

（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該

點與圓的位置關(guān)系.

（3）符號“=”讀作“等價于”，它表示從符號的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端.

W【考點剖析】

一.圓的認識（共5小題）

1.（2022?興化市模擬）如圖所示，MN為。。的弦，NN=52°,則NM0N的度數(shù)為（）

A.38B.52°C.76°D.104°

2.（2020秋?東麗區(qū)期末）已知。。的半徑是6CM,則。。中最長的弦長是（）

A.6cmB.12cmC.16cmD.20cm

3.（2020秋?白云區(qū)校級期中）如圖，在RtZkABC中，以點C為圓心，8C為半徑的圓交AB于點。，交

AC于點E,ZBCD=4Q°，則/A=.

4.（2019秋?宜興市期中）如圖所示，為的直徑，C￡）是。。的弦，AB,C。的延長線交于點E,

已知ZAEC=20°.求/AOC的度數(shù).

C

5.（2021春?巨野縣期末）已知的半徑是60",則。。中最長的弦長是cm.

二.垂徑定理（共3小題）

6.（2022?南沙區(qū)一模）如圖，O。的直徑為10,弦A2=8,尸是弦A8上一動點，那么。尸長的取值范圍

7.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，A8是。。的直徑，弦COLA8于點E,若BE=5,CD=6,求AE

的長.

8.（2022?南京一模）如圖，在平面直角坐標系中，一個圓與兩坐標軸分別交于A、B、C、。四點.已知A

3）,則點。的坐標為

9.（2020秋?伊通縣期末）在直徑為200c機的圓柱形油箱內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖（油面在圓心下）：

則油的最大深度為.

10.（2021秋?姜堰區(qū)期末）《九章算術(shù)》記載：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸

道長一尺，間徑幾何？翻譯：現(xiàn)有圓柱形木材，埋在墻壁里（如圖①），不知道其直徑的大小，于是用

鋸子（沿橫截面）鋸它（如圖②），當量得深度CE為1寸時，鋸開的寬度為1尺，問木材的直徑

CD是寸.（1尺=10寸）

圖①圖②

11.（2021?裕華區(qū)校級模擬）如圖所示，某地欲搭建一座圓弧型拱橋，跨度AB=32米，拱高C0=8米（C

為的中點，。為弧的中點）.

（1）求該圓弧所在圓的半徑；

（2）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩環(huán)支撐，求橋墩的高度.

四.圓心角、弧、弦的關(guān)系（共3小題）

12.（2021秋?臨邑縣期末）如圖，是。。的直徑，點C、。是上的點，若/CAB=25°,則NAZJC

13.（2021秋?鼓樓區(qū)校級月考）下列說法中，不正確的是（）

A.在同圓或等圓中，若兩弧相等，則他們所對的弦相等

B.在同一個圓中，若弦長等于半徑，則該弦所對的劣弧的度數(shù)為60°

C.在同一個圓中，若兩弧不等，則大弧所對的圓心角較大

D.若兩弧的度數(shù)相等，則這兩條弧是等弧

14.（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，E1是邊上的點，以AE為直徑的。。與AB,BC,AC分

別交于點尸，D,G,且。是用的中點.

（1）求證AB=AC；

（2）連接。F,當。尸〃AC時，若AB=10,8c=12,求CE的長.

五.點與圓的位置關(guān)系（共3小題）

15.（2021秋?沐陽縣期末）若的直徑為10,點A到圓心0的距離為6,那么點A與。。的位置關(guān)系

是（）

A.點A在圓外B.點A在圓上C.點A在圓內(nèi)D.不能確定

16.（2022?常州模擬）如圖，A,B,C是某社區(qū)的三棟樓，若在AC中點。處建一個5G基站，其覆蓋半

徑為300%，則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）

A.A,B,C都不在B.只有8

C.只有A,CD.A,B,C

17.（2021秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在△A8C中，AB=AC=2&，8c=4,點。是AB的中點，若以點。

為圓心，7?為半徑作OD,使點8在。。內(nèi)，點C在。。外，試求，的取值范圍.

0【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2021?江蘇泰州市?）的半徑為4cm，點尸到圓心。的距離為5cm，點尸與O。的位置關(guān)系是（）

A.點尸在OO內(nèi)B.點P在。。上C.點P在OO外D.無法確定

2.（江蘇泰州市?八年級期中）如圖，。。的弦AB=6,M是AB上任意一點，且0M最小值為4,。。的半徑

為（）

A.5B.4C.3D.2

3.（2020?射陽縣第二初級中學）平面內(nèi)，若。。的半徑為3,0P=2,則點P在（）

A.。。內(nèi)B.O0±C.。。外D.以上都有可能

4.（2020?江蘇宿遷市?八年級期中）直角三角形三邊垂直平分線的交點位于三角形的（）

A.三角形內(nèi)B.三角形外C.斜邊的中點D.不能確定

5.（2020?鎮(zhèn)江市江南學校八年級月考）在平面直角坐標系內(nèi)點A、點B的坐標是分別為（0,3）、（4,3）,

在坐標軸上找一點C,使AABC是等腰三角形，則符合條件的點C的個數(shù)是（）

C.7個D.8個

6.（2020?蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示,

若水面寬AB=48cm,則水的最大深度為（）

A.8cmB.10cmC.16cmD.20cm

7.（2020?江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學校八年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0,1）、

B（0,3）、C（0,-1）、D（4,4）,點P為平面內(nèi)一點且滿足PCLPB,則線段PD的最大值為（）

二、填空題

8.（2020?射陽縣第二初級中學）下列說法①直徑是弦；②圓心相同，半徑相同的兩個圓是同心圓；③兩

個半圓是等??；④經(jīng)過圓內(nèi)一定點可以作無數(shù)條直徑.正確的是填序號.

9.（2020?江蘇蘇州市?蘇州草橋中學八年級期中）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，以點尸（3,3）為圓心，5

為半徑作圓，則該圓與了軸分別交于點A8,則三角形上鉆的面積為.

y

10.（2021?江蘇泰州市?）如圖，。。的直徑AB=26,弦垂足為E,OE:BE=5:8,則。的

長為______

11.（2021?江蘇鹽城市?景山中學八年級期末）如圖，。。的半徑是2,是。。的弦，?是弦力6上的動

點，且1WOW2,則弦所對的圓心角的度數(shù)是.

12.（2020?揚州市江都區(qū)國際學校八年級期中）如圖是一個俱樂部的徽章.徽章的圖案是一個金色的圓圈,

中間是一個矩形，矩形中間又有一個藍色的菱形，徽章的直徑為10cm,則徽章內(nèi)的菱形的邊長為cm.

13.（2020?蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學）如圖，AB為。。的直徑，弦于點〃,若AB=10,CD=8,

則明的長度為.

14.（2020?蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學）已知。。的半徑為13金，弦46的長為10c燈，則圓心。到46的

距離為cm.

15.（2017?江蘇鹽城市?東臺市實驗中學八年級月考）如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,點A、

C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動.在運動過程中，點B到原點的最

16.（2019?沐陽縣修遠中學八年級期末）已知以點C（a,6）為圓心，半徑為r的圓的標準方程為（x—a）

2+（y—6）2=/.例如：以2（2,3）為圓心，半徑為2的圓的標準方程為（x—2）2+（y—3）2=4,則以

原點為圓心，過點尸（1,0）的圓的標準方程為一.

17.（2019?江蘇揚州市?八年級期中）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,P是直線AB上的

動點（不與點B重合），將4BCP沿CP所在的直線翻折，得到^B/CP,連接?A,B/A長度的最小值是m,BZA

長度的最大值是n,則m+n的值等于.

18.（2021?江蘇八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，48,0）,8（0,6）,以點A為圓心，長為半

徑畫弧，交了軸的負半軸于點C,則點C的坐標為

19.（2021?江蘇鹽城市?）如圖，在矩形紙片ABCD中，邊AB=12,AD=5,點P為DC邊上的動點（點P不

與點D,C重合，將紙片沿AP折疊，則CD'的最小值為

三、解答題

20.（2020?蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學）已知四邊形4?切為菱形，點￡、F、G、〃分別為各邊中點，判

斷￡、F,G、〃四點是否在同一個圓上，如果在同一圓上，找到圓心，并證明四點共圓；如果不在，說明理

由.

D

21.（2020?蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學）如圖，在4ABC中，已知/ACB=130°,ZBAC=20°,BC=2,以

22.（2020?蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學）如圖，26是。。的直徑，弦CDLAB,垂足為￡,如果26=10,

CD=3,求線段/￡的長.

B

23.（2019?江蘇揚州市?八年級期中）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1,點A為一動點，點B和點C為兩個定點，且

BC=a,AB=b.(a>b)

填空：當點A位于時，線段AC的長取得最小值，且最小值為（用含a,b的式子表示）

（2）應(yīng)用：點A為線段BC外一動點，且BC=3,AB=1,如圖2所示，分別以AB,AC為邊，作等邊三角形

ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.

①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由;

②直接寫出線段BE長的最小值.

③如圖3所示，分別以AB,AC為邊，作正方形ADEB和正方形ACFG,連接CD,BG.圖中線段CD,BG的關(guān)系

是,線段BG的最大值是.

24.（2021?江蘇鹽城市?景山中學八年級期末）我們知道，直角坐標系是研究“數(shù)形結(jié)合”的重要工具.請

探索研究下列問題：

（1）如圖1,點2的坐標為（-5,1）,將點/繞坐標原點（0,0）按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,得對應(yīng)點

k

若反比例函數(shù)）=-（無>。）的圖像經(jīng)過點4,求A的值.

x

k

（2）將（1）中的y=-（x>0）的圖像繞坐標原點（0,0）按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°,如圖2,旋轉(zhuǎn)后的圖像與

X

X軸相交于點昆若直線下3底與旋轉(zhuǎn)后的圖像交于點。與點〃求46口的面積.

（3）在（2）的情況下，半徑為6的?！ǖ膱A心〃在x軸上，如圖3,若要使48切完全在。〃的內(nèi)部，求。〃

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第04講圓與圓的對稱性

N【學習目標】

1.在探索過程中認識圓，理解圓的本質(zhì)屬性；

2.了解圓及其有關(guān)概念，理解弦、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、同心圓、等圓、等弧等與圓有關(guān)的概念，理解

概念之間的區(qū)別和聯(lián)系；

?【基礎(chǔ)知識】

—圓的認識

(1)圓的定義

定義①：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓.固

定的端點。叫做圓心，線段叫做半徑.以。點為圓心的圓，記作“O?！?，讀作“圓O”.

定義②：圓可以看做是所有到定點。的距離等于定長r的點的集合.

(2)與圓有關(guān)的概念

弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等.

連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意

一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣

弧.

(3)圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性.②中心對稱性.

二.垂徑定理

(1)垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(2)垂徑定理的推論

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

三.垂徑定理的應(yīng)用

垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：

(1)得到推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

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（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題.

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方法一定要掌握.

四.圓心角、弧、弦的關(guān)系

（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余

各組量都分別相等.

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧

或劣弧.

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推

二”，一項相等，其余二項皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與

原圖形完全重合.

（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分.

五.點與圓的位置關(guān)系

（1）點與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)的半徑為廠，點尸到圓心的距離OP=d,則有：

①點尸在圓外。1〉廠

②點尸在圓上Qd=r

①點尸在圓內(nèi)

（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該

點與圓的位置關(guān)系.

（3）符號讀作“等價于”，它表示從符號“Q”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端.

【考點剖析】

圓的認識（共5小題）

1.（2022?興化市模擬）如圖所示，為的弦，NN=52°,則NA/ON的度數(shù)為（）

A.38°B.52°C.76°D.104°

【分析】根據(jù)半徑相等得到0M=ON,則/M=/N=52°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算NM0N的

度數(shù).

【解答】W：'：OM=ON,

17/50

:./M=/N=52°,

；./MON=180°-2X52°=76°.

故選：C.

【點評】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、

等弧等）.

2.（2020秋?東麗區(qū)期末）已知。。的半徑是6aw,則。。中最長的弦長是（）

A.6cmB.12cmC.16cmD.20cm

【分析】利用圓的直徑為圓中最長的弦求解.

【解答】解：???圓的直徑為圓中最長的弦，

AOO中最長的弦長為12cro.

故選：B.

【點評】本題考查了圓的認識：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、

等圓、等弧等）.

3.（2020秋?白云區(qū)校級期中）如圖，在中，以點C為圓心，8C為半徑的圓交A8于點。，交

AC于點E,ZBCD=4Q°,則/A=20°.

【分析】由半徑相等得CB=CQ,則在根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出N8=180°-/BCD）

=70°,然后利用互余計算/A的度數(shù).

【解答】解：

：.ZB=ZCDB,

VZB+ZC￡>B+ZBCD=180°,

:（180°-ZBCD）=；（180°-40°）=70°,

VZACB=90°,

ZA=90°-ZB=20°.

故答案為20°.

【點評】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、

等弧等）.也考查了三角形內(nèi)角和定理.

4.（2019秋?宜興市期中）如圖所示，為O。的直徑，是。。的弦，AB,的延長線交于點E,

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【分析】連接0D如圖，由AB=2。。得到OD=￡>E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得/￡>OE=N

E=20°,再利用三角形外角性質(zhì)得到NCDO=40°,加上/C=/ODC=40°,然后再利用三角形外角

性質(zhì)即可計算出NAOC.

【解答】解：連接。。，如圖，

?；AB=2DE,

而AB—2OD,

：.OD=DE,

:./DOE=NE=20°,

ZCDO=ZDOE+ZE=40°,

而OC=OD,

；.NC=NO￡）C=40°,

AZAOC=ZC+ZE=60°.

【點評】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、

等弧等）.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

5.（2021春?巨野縣期末）已知。。的半徑是6aw,則。。中最長的弦長是12cm.

【分析】利用圓的直徑為圓中最長的弦求解.

【解答】解：：圓的直徑為圓中最長的弦，

,。。中最長的弦長為2X6=12（cm）.

故答案為：12.

【點評】本題考查了圓的認識：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、

等圓、等弧等）.

二.垂徑定理（共3小題）

6.（2022?南沙區(qū)一模）如圖，。。的直徑為10,弦AB=8,尸是弦A8上一動點，那么。尸長的取值范圍

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是3WOPW5

P7B

【分析】因為O。的直徑為10,所以半徑為5,則OP的最大值為5,OP的最小值就是弦AB的弦心距

的長，所以，過點。作弦的弦心距OM,利用勾股定理，求出OM=3,即。尸的最小值為3,所以3

WOPW5.

【解答】解:如圖：連接04,作。與",

：。0的直徑為10,

半徑為5,

的最大值為5,

；OA/_L4B與

；AB=8,

：.AM=4,

在RtZXAOM中，0M=付-42=3,

OM的長即為OP的最小值，

.?.3WOPW5.

【點評】解決本題的關(guān)鍵是確定。尸的最小值，所以求0P的范圍問題又被轉(zhuǎn)化為求弦的弦心距問題，

而解決與弦有關(guān)的問題時，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半

徑為r,弦長為。，這條弦的弦心距為d,則有等式戶=/+(-)2成立，知道這三個量中的任意兩個，

就可以求出另外一個.

7.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期末)如圖，是O。的直徑，弦CDLAB于點E,若BE=5,8=6,求AE

的長.

D

20/50

【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出圓的半徑，進而求出AE的長即可.

【解答】解：如圖，連接0C,

'：CD±AB,A8是直徑，

1

:.CE=DE=芳￡)=3,

在Rt^COE中，設(shè)半徑為r,貝UOE=5-r,OC=r,由勾股定理得,

OE2+CE2=OC2,

即(5-r)2+32=r,

解得r=3.4,

：.AE^AB-BE=3AX2-5=1.8,

答：AE的長為1.8.

C

____/

【點評】本題考查垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理和勾股定理是正確解答的前提.

8.(2022?南京一模)如圖，在平面直角坐標系中，一個圓與兩坐標軸分別交于A、B、C、。四點.已知A

(6,0),8(-2,0),C(0,3),則點D的坐標為(0,-4).

【分析】設(shè)圓心為P,過點P作PE±AB于點E,PFLCD于點F,先根據(jù)垂徑定理可得EA=EB=4,

FC=FD,進而可求出OE=2,再設(shè)P(2,他)，即可利用勾股定理表示出PC2,PA2,最后利用

列方程即可求出，"值，進而可得點D坐標.

【解答】解：設(shè)圓心為尸，過點尸作尸EU8于點E,刊UCO于點R則￡4=班=等=4,FC=FD,

21/50

：.E(2,0),

設(shè)P(2,777),則F(0,tn),

連接PC、PA,

在RtZsCP尸中，Pd=(3-m)2+22,

在RtZXAPE中，B42=m2+42,

\"PA=PC,

(3-m)2+22=m2+42,

m=土:(舍正)，

：.F(0,一：)，

17

?,a=r>B=3_(_*=§

AOD=OF+DF=-+-=4,

22

：.D（0,-4）,

故答案為：（0,-4）.

【點評】本題考查垂徑定理，涉及到平面直角坐標系，勾股定理等，解題關(guān)鍵是利用半徑相等列方程.

三.垂徑定理的應(yīng)用（共3小題）

9.（2020秋?伊通縣期末）在直徑為200a〃的圓柱形油箱內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖（油面在圓心下）：

若油面的寬AB=160cm,則油的最大深度為40c〃z.

22/50

【分析】連接0A,過點。作0ELA2,交AB于點M,由垂徑定理求出AM的長，再根據(jù)勾股定理求出

0M的長，進而可得出ME的長.

【解答】40cm解：連接OA,過點O作OELAB,交AB于點M,

?直徑為200c〃z,AB—160cm,

OA=OE—100cm,AM=S0cmf

/.OM=VOA2-AM2=V1002-802=60（771,

：.ME=OE-OM=100-60=40cm.

故答案為40cm.

【點評】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

10.（2021秋?姜堰區(qū)期末）《九章算術(shù)》記載：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸

道長一尺，間徑幾何？翻譯：現(xiàn)有圓柱形木材，埋在墻壁里（如圖①），不知道其直徑的大小，于是用

鋸子（沿橫截面）鋸它（如圖②），當量得深度CE為1寸時，鋸開的寬度為1尺，間木材的直徑

圖①圖②

【分析】連接。4,設(shè)OO的半徑為無寸，則。E=（x-1）寸，由垂徑定理得寸，再

在Rt^AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：連接。4,如圖：

設(shè)。。的半徑為x寸，則OE=（x-1）寸，

23/50

,JOELAB,AB=10寸,

：.AD=BD=^AB=5(寸)，

在RtZiAOE中，由勾股定理得：/=(x-1)2+52,

解得：x=13,

；.O。的直徑AC=2x=26(寸)，

即木材的直徑8是26寸，

故答案為：26.

圖②

【點評】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程

解決問題，屬于中考常考題型.

11.(2021?裕華區(qū)校級模擬)如圖所示，某地欲搭建一座圓弧型拱橋，跨度A8=32米，拱高CO=8米(C

為A8的中點，。為弧的中點).

(1)求該圓弧所在圓的半徑；

(2)在距離橋的一端4米處欲立一橋墩所支撐，求橋墩的高度.

【分析】(1)設(shè)弧AB所在的圓心為O,。為弧A8的中點，COLA8于C,延長。C經(jīng)過。點，設(shè)OO

的半徑為凡利用勾股定理求出即可；

(2)利用垂徑定理以及勾股定理得出A。的長，再求出所的長即可.

【解答】解：(1)設(shè)弧所在的圓心為。，。為弧A3的中點，于C,延長。C經(jīng)過。點，

設(shè)O。的半徑為兄

24/50

D

在RtZ\OBC中，OB2=OC2+CB2,

；.R2=（R-8）2+162,

解得R=20；

（2）OHLFE于H,則OH=CE=16-4=12,OF'=R=20,

在RtAOHF中，HF=V202-122=16,

\'HE=OC=OD-CD=20-8=12,EF=HF-HE=\6-12=4（米）,

在離橋的一端4米處，橋墩高4米.

【點評】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形結(jié)合勾股定理得出是解題關(guān)鍵.

四.圓心角、弧、弦的關(guān)系（共3小題）

12.（2021秋?臨邑縣期末）如圖，是。。的直徑，點C、。是。。上的點，若/CAB=25°,則NAOC

的度數(shù)為（）

A.65°B.55°C.60°D.75°

【分析】由為O。的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得NACB=90°,又由NC4B=25°,

得出的度數(shù)，根據(jù)同弧所對的圓周角相等繼而求得/ADC的度數(shù).

【解答】解：:AB為O。的直徑，

ZACB=90°,

'：ZCAB=25°,

AZABC=90°-ZCAB=65°,

/.ZADC=ZABC=65°.

故選：A.

【點評】本題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

13.（2021秋?鼓樓區(qū)校級月考）下列說法中，不正確的是（）

25/50

A.在同圓或等圓中，若兩弧相等，則他們所對的弦相等

B.在同一個圓中，若弦長等于半徑，則該弦所對的劣弧的度數(shù)為60°

C.在同一個圓中，若兩弧不等，則大弧所對的圓心角較大

D.若兩弧的度數(shù)相等，則這兩條弧是等弧

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理對各個選項進行判斷即可.

【解答】解：4、在同圓或等圓中，若兩弧相等，則他們所對的弦相等，正確；

2、在同一個圓中，若弦長等于半徑，則該弦所對的劣弧的度數(shù)為60°,正確；

C、在同一個圓中，若兩弧不等，則大弧所對的圓心角較大，正確；

。、若兩弧的度數(shù)相等，則這兩條弧不一定是等弧，錯誤.

故選：D.

【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的

弦也相等，注意在同圓和等圓中這個條件不能忽略.

14.(2022?玄武區(qū)一模)如圖，在△ABC中，￡是邊上的點，以AE為直徑的。。與AB,BC,AC分

別交于點RD,G,且。是吊的中點.

(1)求證AB=AC-,

(2)連接。尸，當。尸〃AC時，若AB=10,BC=12,求CE的長.

【分析】(1)連接A。，根據(jù)圓周角定理得到/ED4=90。，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得到NBA。

^ZCAD,進而證明NB=NC,根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論；

(2)連接ORDG,證明△AECs/^DGC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE,根據(jù)勾股定理求出。E,進

而求出CE.

【解答】(1)證明：連接

是。。的直徑，

：.ZEDA=90°,

是用的中點，

-,-FD=DG，

；./BAD=NCAD,

VZB+ZBAD=90°,ZC+ZCAD=90°,

:./B=/C,

：.AB=AC；

26/50

(2)解：連接ORDG.

'：AB=AC9ADA.BC,

:?BD=CD,

???A8=10,BC=U,

：.AC=10,CD=6,

由勾股定理得：AD=yjAC2-CD2=8,

'：DF//AC,

BFBD

：.—=—,

FADC

：.BF=FA,

在RtZXAOB中，A5=10,BF=FA,

：.DG=DF=^B=5,

:?DG=DF=5,

?:/C=/C,/CDG=/CAE,

：.AAEC^ADGC,

ACAE10AE

：.—=—,即n一=—,

DCDG65

解得：AE=—,

在RtZkAOE中，ZADE=90°,AO=8,

.___________7

???O任\/AE2-AD2=g，

?□

:.EC=CD-DE=手

【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定和性質(zhì)，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系,

根據(jù)△4ECs/\QGC求出4E是解題的關(guān)鍵.

五.點與圓的位置關(guān)系（共3小題）

15.（2021秋?沐陽縣期末）若。。的直徑為10,點A到圓心。的距離為6,那么點A與。。的位置關(guān)系

27/50

是（）

A.點A在圓外B.點A在圓上C.點A在圓內(nèi)D.不能確定

【分析】根據(jù)題意得。。的半徑為5CM,則點A到圓心。的距離小于圓的半徑，則根據(jù)點與圓的位置關(guān)

系可判斷點A在。。內(nèi).

【解答】解：:。。的直徑為10,

???OO的半徑為5,

而圓心。的距離為6,

...點A在O。外.

故選：A.

【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)。。的半徑為r,點尸到圓心的距離。尸=d,則有點P在圓

外=d>r；點p在圓上=d=r；點P在圓內(nèi)od<r.

16.（2022?常州模擬）如圖，A,B,C是某社區(qū)的三棟樓，若在AC中點。處建一個5G基站，其覆蓋半

徑為300口,則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）

A.A,B,C都不在B.只有B

C.只有A,CD.A,B,C

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理證得△ABC是直角三角形，可以根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得2D

的長，然后與300初比較大小，即可解答本題.

【解答】解："：AB=300cm,BC=400cm,AC=50Qcm,

:.AB2+BC1=AC1,

二.△ABC是直角三角形，

AZABC=90°,

:點。是斜邊AC的中點，

：.AD=CD=250cm,BD=14C=250cm,

V250<300,

...點A、B、C都在圓內(nèi)，

...這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是A,B,C.

故選：D.

28/50

【點評】本題考查點和圓的位置關(guān)系，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是求出三角形三個頂點到。點的

距離.

17.（2021秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在AABC中，AB=AC=2y[5,BC=4,點。是AB的中點，若以點。

為圓心，廠為半徑作使點B在。。內(nèi)，點C在。。外，試求廠的取值范圍.

【分析】連接CD,過點A作AELBC于點E.過點D作DFLBC于點F,顯然DF//AE,解直角三角形

求出CD,BD即可判斷.

【解答】解：連接C。，過點A作AELBC于點E.過點。作。尸，BC于點R顯然D尸〃AE,

?.,AB=AC=24，BC=4,

.\BE=^BC=2,

：.AE=yjAB2~BE2=4,

:點。是AB中點，即。尸是中位線

：.DF=^A￡=2,BF=^BE=1,

22

：.CF=3,

22

:.CD=VDF+CF=小，

又DB=^B=V5，

??.r的取值范圍是傷J云.

【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，點與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常

用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.

29/50

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2021?江蘇泰州市?）。。的半徑為4cm,點尸到圓心。的距離為5cm,點P與。。的位置關(guān)系是（）

A.點P在。。內(nèi)B.點P在。。上C.點尸在。。外D.無法確定

【答案】C

【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可得.

【詳解】解：，??5>4,

二點尸在。。外，

故選：C.

【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵.

2.（江蘇泰州市?八年級期中）如圖，。。的弦AB=6,M是AB上任意一點，且OM最小值為4,。。的半徑

為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】當OMLAB時值最小.根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解.

【詳解】解：根據(jù)直線外一點到直線的線段中，垂線段最短，知：當OM_LAB時，為最小值4,

連接0A,

根據(jù)垂徑定理，得：BM=yAB=3,

根據(jù)勾股定理，得：OA=序彳=5,

即。0的半徑為5.

故選：A.

【點睛】本題考查了垂徑定理，主要運用了垂徑定理、勾股定理求得半徑.特別注意能夠分析出0M的最小

值.

3.（2020?射陽縣第二初級中學）平面內(nèi)，若。。的半徑為3,OP=2,則點P在（）

30/50

A.。。內(nèi)B.O0±C.。。外D.以上都有可能

【答案】A

【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系；點與圓心的距離d>r時,

點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d<r時，點在圓內(nèi).

【詳解】V0P<3,

...點P在00內(nèi)部.

故選A.

【點睛】此題考查點與圓的位置關(guān)系的判斷.解題關(guān)鍵要記住若半徑為r,點到圓心的距離為d,則有：當

d>i"時，點在圓外；當d=i"時，點在圓上，當d<r時，點在圓內(nèi).

4.（2020?江蘇宿遷市?八年級期中）直角三角形三邊垂直平分線的交點位于三角形的（）

A.三角形內(nèi)B.三角形外C.斜邊的中點D.不能確定

【答案】C

【分析】垂直平分線的交點是三角形外接圓的圓心，由此可得出此交點在斜邊中點.

【詳解】???直角三角形的外接圓圓心在斜邊中點，

...直角三角形三邊垂直平分線的交點位于三角形的斜邊中點.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了三角形外接圓的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

5.（2020?鎮(zhèn)江市江南學校八年級月考）在平面直角坐標系內(nèi)點A、點B的坐標是分別為（0,3）、（4,3）,

在坐標軸上找一點C,使AABC是等腰三角形，則符合條件的點C的個數(shù)是（）

B.6個

C.7個D.8個

【答案】C

【分析】要使^ABC是等腰三角形，可分三種情況（①若AC=AB,②若BC=BA,③若CA=CB）討論，通過

畫圖就可解決問題.

【詳解】解：如圖：

31/50

①若AC=AB,則以點A為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標軸有4個交點；

②若BC=BA,則以點B為圓心，BA為半徑畫圓，與坐標軸有2個交點（A點除外）；

③若CA=CB,則點C在AB的垂直平分線上，

VA（0,3）,B（4,3），

；.AB〃x軸，

AAB的垂直平分線與坐標軸只有1個交點.

綜上所述：符合條件的點C的個數(shù)有7個.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、圓的定義、垂直平分線的性質(zhì)的逆定理等知識，還考查了動

手操作的能力，運用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵.

6.（2020?蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學）往直徑為52cM的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示,

若水面寬AB=48cm,則水的最大深度為（）

C.16cmD.20cm

【答案】C

【分析】過點。作ODLAB于。，交00于E,連接OA,根據(jù)垂徑定理即可求得4?的長，又由。。的直徑為52c〃z,

求得以的長，然后根據(jù)勾股定理，即可求得切的長，進而求得油的最大深度。E的長.

【詳解】解：過點。作切，居于〃交。。于￡,連接以，

由垂徑定理得：AD=-AB=-x48=24cm,

22

V00的直徑為52s,

OA=OE=26cm,

在RAAOD中，由勾股定理得：OD=7OA-5=反-242=10皿,

DE=OE-OD=26-10=16cmf

32/50

油的最大深度為16cm,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理的知識.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，構(gòu)造直角三

角形，利用勾股定理解決.

7.(2020?江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學校八年級月考)如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(0,1)、

B(0,3)、C(0,-1)、D(4,4),點P為平面內(nèi)一點且滿足PCJ_PB,則線段PD的最大值為()

A.10B.8C.7D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)點尸為平面內(nèi)一點且滿足尸依，得到點尸的運動軌跡是以點A為圓心，半徑是2的圓,

可得當線段PO過圓心時，PD的值最大，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：B,C三點的坐標為：(0,1),(0,3),(0,-1),

則有：AB=AC=2,

又：點尸為平面內(nèi)一點且滿足PC則點尸的運動軌跡是以點A為圓心，半徑是2的圓，

如圖示，當線段尸。過圓心時，尸。的值最大，

過D點作￡甲，X軸，交x軸于點尸，過A點作交。產(chǎn)