第四章曲線運動

曲線運動

安徽卷T9—[2024k「北京卷T7

一江西卷T14

至國乙倉11b-

運動的合,-----.一甘肅卷T8

遼寧卷T1-—(2023]—空卜-黑吉遼T2

成與分解

江蘇卷T10一

一江蘇卷T8、T11

—(2022p

遼寧卷T1-廣東卷T5

湖北卷T3一,_____,廠全國甲卷T17

—

北京卷T19f圓周運動

考江蘇卷口3

浙江1月選考T8一

—(2024]->一全國甲卷T14

海南卷T3->

情,----->一河北卷T10

T2022k_,

廣西卷T8一―1―遼寧卷T13

新課標卷T15一

分-北京卷T8

H2023卜一平拋運動:

浙江6月選考T3」J

析

實驗：探(20」231^I浙江、6月選考T16IQ)

廣東卷T6一1——.

f—究平拋運—

北東卷T17「一動的特點J2021)——全國乙卷T22

山東卷T12-實驗：探究

江西卷T8-—(2024]->向心力大小T2024)——海南卷T14

江蘇卷T4-—與半徑、角—

」2023)—浙江1月選考T161⑵

速度、質(zhì)量

山東卷T15f

的關(guān)系

湖南卷T2——(2023)—T斜拋運動］-

江蘇卷T15一

山東卷T11一—(2022p

生活中的拋體運動，自行車、汽車、火車轉(zhuǎn)彎等動力學及臨界問題，水流星，體育

試生活實踐類

運動中的圓周運動問題

題

小船渡河模型，繩、桿速度分解模型，與斜面或圓弧面有關(guān)的平拋運動，圓周運動

情

學習探究類的傳動問題，圓錐擺模型，水平面內(nèi)、豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題，圓周運動中

境

的輕繩、輕桿模型

第17課時曲線運動運動的合成與分解

【目標要求】1.理解物體做曲線運動的條件，掌握曲線運動的特點。2.會用運動的合成與分解處理小船渡河、

關(guān)聯(lián)速度等問題。3.理解運動的合成與分解是處理曲線運動的一種重要思想方法。

考點一曲線運動的條件和特征

L速度的方向：質(zhì)點在某一點的速度方向，沿曲線在這一點的切線方向。

2.曲線運動的性質(zhì)：做曲線運動的物體，速度的方向時刻在改變，所以曲線運動一定是變速運動。

（1）。恒定：勻變速曲線運動;

（2）。變化：非勻變速曲線運動。

3.做曲線運動的條件:

物體的加速度方向跟速度

運動學

二方向不在同一直線上

角度

、角度合力的方向跟物體速度

動力學二方向不在同一直線上J匕定律）

角度

4.速率變化的判斷

HW］~［物體的速率增大）

合力方向與速

-（W）~［物體的速率減?。?/p>

度方向的夾角

I物體的速率不均

■判斷正誤------------------------------------------------------------------

1.速度發(fā)生變化的運動，一定是曲線運動。（X）

2.做曲線運動的物體的位移一定小于路程。（q）

3.做曲線運動的物體受到的合力一定是變力。（X）

4.做曲線運動的物體所受合力方向與速度方向有時可以在同一直線上。（x）

【例1】（來自教材改編）在演示“做曲線運動的條件”的實驗中，有一個在水平桌面上向右做直線運動的

小鋼球，第一次在其運動路線的正前方放置條形磁鐵，第二次在其運動路線的旁邊放置條形磁鐵，如圖

所示，虛線表示小鋼球的運動軌跡。觀察實驗現(xiàn)象，以下敘述正確的是（）

A.第一次實驗中，小鋼球的運動是勻速直線運動

B.第二次實驗中，小鋼球的運動類似平拋運動，其運動軌跡是一條拋物線

C.該實驗說明做曲線運動的物體的速度方向沿軌跡的切線方向

D.該實驗說明物體做曲線運動的條件是物體受到的合力的方向與速度方向不在同一直線上

答案D

解析第一次實驗中，小鋼球受到沿初速度方向的磁鐵的吸引力作用，做直線運動，并且隨著距離的減小，

吸引力變大，加速度變大，故小鋼球做非與變速直線運動，選項A錯誤；第二次實驗中，小鋼球所受的磁鐵

的吸引力方向總是指向磁鐵，是變力，故小鋼球的運動不是類平拋運動，其軌跡也不是一條拋物線，選項B

錯誤；該實驗說明物體做曲線運動的條件是物體受到的合力的方向與速度方向不在同一直線上，但是不能說

明做曲線運動的物體的速度方向沿軌跡的切線方向，選項C錯誤，D正確。

【例2】(2023?全國乙卷-15)小車在水平地面上沿軌道從左向右運動，動能一直增加。如果用帶箭頭的線段

表示小車在軌道上相應位置處所受合力，下列四幅圖可能正確的是()

AB

CD

答案D

解析小車做曲線運動，所受合力指向曲線的凹側(cè)，故A、B錯誤；小車沿軌道從左向右運動，動能一直增

加，故合力方向與運動方向的夾角始終為銳角，C錯誤，D正確。

總結(jié)提升曲線運動中速度方向、合力方向與運動軌跡之間的關(guān)系

L速度方向與運動軌跡相切；

2.合力方向指向曲線的“凹”側(cè)；

3.運動軌跡一定夾在速度方向和合力方向之間。

考點二運動的合成與分解

1.基本概念

(1)運動的合成：已知分運動求合運動。

(2)運動的分解：已知合運動求分運動。

2.遵循的法則

位移、速度、加速度都是矢量，故它們的合成與分解都遵循平行四邊形定則。

3.運動分解的原則

根據(jù)運動的實際效果分解,也可采用正交分解法。

4.合運動與分運動的關(guān)系

(1)等時性：合運動和分運動經(jīng)歷的時間相等,即同時開始、同時進行、同時停止。

(2)獨立性：一個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進行,不受其他分運動的影響。

(3)等效性：各分運動的規(guī)律疊加起來與合運動的規(guī)律有完全相同的效是。

■判斷正誤------------------------------------------------------------------

1.合運動的速度一定比分運動的速度大。(x)

2.只要兩個分運動為直線運動，合運動一定是直線運動。(x)

3.曲線運動一定不是勻變速運動。(x)

【例3】(多選)(2024?安徽卷.9)一傾角為30。足夠大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立。移直角

坐標系，如圖甲所示。從r=0開始，將一可視為質(zhì)點的物塊從。點由靜止釋放，同時對物塊施加沿x軸

正方向的力R和尸2，其大小與時間/的關(guān)系如圖乙所示。已知物塊的質(zhì)量為1.2kg,重力加速度g取10

m/s2,不計空氣阻力。貝?。?)

甲乙

A.物塊始終做勻變速曲線運動

B./=ls時，物塊的y坐標值為2.5m

c.r=ls時，物塊的加速度大小為5V3m/s2

D/=2s時，物塊的速度大小為10V2m/s

答案BD

解析根據(jù)題圖乙可得R=4—*N),F2=3f(N),故兩力的合力為尼=4+2t(N)

物塊在y軸方向受到的力不變，為加gsin30。，x軸方向受到的力氏在改變，合力在改變，故物塊做的不是勻

變速曲線運動，故A錯誤；

沿y軸方向物塊做勻加速直線運動，加速度為

的=mg：i30=gsin30°=5m/s2

故r=ls時，物塊的y坐標值為

2

y=^ayt-=2.5m,故B正確；

t=ls時，F(xiàn),=6N,故&專=56

222

貝ija=ax+ay=5V2m/s

故C錯誤；

沿x軸正方向，對物塊根據(jù)動量定理得

Fxt=mvx-O

由于已與時間，成線性關(guān)系，故可得

(4+2X0)+(4+2X2)X2=1^

解得4=10m/s

此時y軸方向速度大小為

Oy=gsin30°7=5X2m/s=10m/s

故此時物塊的速度大小為

22

v=Jv%+vy=10V2m/s

故D正確。

總結(jié)提升判斷兩個直線運動的合運動性質(zhì)的方法

1.分別把兩個直線運動的初速度和加速度合成，然后根據(jù)合加速度特點以及合加速度與合初速度的方向關(guān)系

判斷合運動的性質(zhì)。

2.常見的情況：

兩個互成角度的分運動合運動的性質(zhì)

兩個勻速直線運動勻速直線運動

一個勻速直線運動、一個與變速直線運動勻變速曲線運動

兩個初速度為零的與加速直線運動勻加速直線運動

如果。合與a合共線，為與變速直線運動

兩個初速度不為零的與變速直線運動如果。合與。合不共線，為勻變速曲線運

動

考點三小船渡河模型

【例4】（多選）（2025?山東威海市檢測）如圖，小船以大小為5m/s、船頭與上游河岸成0=60。角的速度

。1（在靜水中的速度）從A處渡河，經(jīng)過一段時間正好到達正對岸3處。已知河寬d=180m,則下列說法

中正確的是（）

A.河中水流速度為2.5V3m/s

B.小船以最短位移渡河的時間為248s

C.小船渡河的最短時間為24s

D.小船以最短時間渡河時到達對岸的位移大小是90V5m

答案BD

解析河中水流速度為y2=uicos600=2.5m/s，選項A錯誤；小船以最短位移渡河的時間為￡=」不=當

%sin60。5x%

s=24V3s,選項B正確；當船頭方向指向正對岸時渡河時間最短，則小船渡河的最短時間為加面=2=警s

V15

=36s,選項C錯誤；小船以最短時間渡河時到達對岸沿水流方向的位移大小是x=O2bin=2.5X36m=90

m則總位移大小s=m選項D正確。

拓展

1.若船頭正對河岸渡河時，河水速度突然增大，渡河時間變化嗎？

答案渡河時間不變，渡河時間與河水速度無關(guān)。

2.若在A處下游180bm后為危險水段，要使船安全到達對岸，船的最小速度為多少？

答案設(shè)船恰好到達危險水域邊緣，圖示方向船速最小，

危險水域

Av2

ui,=U2sina,tana=^=/，得ot=3O。，所以船的最小速度為o/=O2sin30。=1.25m/s。

總結(jié)提升小船渡河的兩類情況

i水

，min，

/mind,笠船

_d

%min

/船a"水

cos3=—A”船

17船cos0=—

D水

考點四繩（桿）連接物的關(guān)聯(lián)速度

【例5】（2025?湖南衡陽市開學考）質(zhì)量為m的物體P置于傾角為仇的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定

滑輪分別連接著P與小車，P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率。水平向右做勻速直線運動。當

小車與滑輪間的細繩和水平方向所成夾角為仇時（如圖），下列判斷正確的是（）

A.P的速率為v

B.P的速率為osin02

C.P處于超重狀態(tài)

D.P處于失重狀態(tài)

答案C

解析將小車的速度。進行分解，如圖所示，則有op=ocos，選項A、B錯誤；

小車向右運動，/減小，。不變，則OP逐漸增大，說明物體P沿斜面向上做加速運動，處于超重狀態(tài)，選項

C正確，D錯誤。

針對訓練（2025?福建泉州市四校聯(lián)考）甲、乙兩光滑小球（均可視為質(zhì)點）用錢鏈與輕直桿連接，乙球處于

光滑水平地面上，甲球套在光滑的豎直桿上，初始時輕桿豎直，桿長為4m。無初速度釋放，使得乙球沿

水平地面向右滑動，當乙球距離起點3m時，甲球的速度為。1，乙球的速度為。2,如圖所示，下列說法

正確的是（）

A.oi:02=77:3

B.oi:02=377:7

C.甲球即將落地時，乙球的速度與甲球的速度大小相等

D.甲球即將落地時，乙球的速度達到最大

答案B

解析設(shè)當乙球距離起點3m時，輕桿與豎直方向的夾角為。，則5在沿桿方向的分量為V\木干=O1COS0,V2

在沿桿方向的分量為桿ssin夕，而。1桿02桿，由題意有cos9=亙,sin0=-,解得豈=竺，選項A錯

44v27

誤，B正確；甲球即將落地時，有8=90。，此時甲球的速度達到最大，而乙球的速度為零，選項C、D錯

送。

B總結(jié)提升

1.題型特點

與繩（桿）相連的物體運動方向與繩（桿）不在一條直線上。

2.明確合速度與分速度

合速度一繩（桿）拉物體的實際運動速度。一平行四邊形對角線

沿繩（桿）的速度為—J平行四邊

分速度??垂直于繩（桿）的速度火」~^形兩鄰邊

3.解題原則

把物體的實際速度分解為垂直于繩（桿）和平行于繩（桿）兩個分速度，根據(jù)沿繩（桿）方向的分速度大小相等求

解，常見的模型如圖所示。

課時精練

（分值：100分）

g’基礎(chǔ)落實練

1?7題每小題8分，共56分

1.（2024.吉林通化市模擬）關(guān)于曲線運動，下列說法正確的是（）

A.曲線運動一定是勻變速運動

B.物體做曲線運動時，加速度一定不為零

C.物體做曲線運動時，不可能受恒力的作用

D.物體做曲線運動時，加速度方向與速度方向可能在同一直線上

答案B

解析曲線運動加速度可以恒定，也可以不恒定，A錯誤；物體做曲線運動時，速度方向時刻改變，速度的

變化量一定不為零，則加速度一定不為零，B正確；物體做曲線運動時，可能受恒力的作用，例如平拋運

動，C錯誤；物體做曲線運動的條件是加速度方向與速度方向不在同一直線上，D錯誤。

2.（2023?遼寧卷⑴某同學在練習投籃，籃球在空中的運動軌跡如圖中虛線所示，籃球所受合力P的示意圖可能

正確的是（）

答案A

解析籃球做曲線運動，所受合力指向運動軌跡的凹側(cè)，故選Ao

3.跳傘表演是人們普遍喜歡的觀賞性體育項目，如圖所示，當運動員從直升機上由靜止跳下后，在下落過程

中將會受到水平風力的影響，下列說法中正確的是（）

孑

A.風力越大，運動員下落時間越長，運動員可完成的動作越多

B.風力越大，運動員著地時的豎直速度越大，有可能對運動員造成傷害

C.運動員下落時間與風力無關(guān)

D.運動員著地速度與風力無關(guān)

答案C

解析運動員同時參與了兩個分運動，豎直方向向下落的運動和水平方向隨風飄的運動，兩個分運動同時發(fā)

生，相互獨立，水平方向的風力大小不影響豎直方向的運動，即下落時間和著地時豎直方向的速度不受風力

影響，故A、B錯誤，C正確；水平風力越大，水平方向的速度越大，則落地時的合速度越大，故D錯誤。

4.（2024?浙江寧波市期中）大型的貨運站中少不了旋臂式起重機，如圖所示，該起重機的旋臂保持不動，可沿

旋臂“行走”的天車有兩個功能，一是吊著貨物沿豎直方向運動，二是吊著貨物沿旋臂水平運動。現(xiàn)天車吊

著貨物正在沿水平方向向右勻速行駛，同時又啟動天車上的起吊電動機，使貨物豎直向上做勻加速運動，此

時，我們站在地面上觀察到貨物運動的軌跡可能是下圖中的（）

答案B

解析貨物在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做與加速直線運動，根據(jù)平行四邊形定則，知合速

度的方向與合加速度的方向不在同一條直線上，軌跡為曲線，貨物的加速度豎直向上，因為加速度的方向指

向軌跡的凹側(cè)，可知B圖可能是貨物的運動軌跡。

5.如圖所示，一條小船從碼頭A過河，小船在靜水中的速度為。，船頭指向始終與河岸垂直（沿44方向）。當

水流速度為。I時，小船運動到河對岸的碼頭8靠岸，A3與河岸的夾角為a=60。。當水流速度為逅時，小船

運動到河對岸的碼頭C靠岸，AC與河岸的夾角為夕=30。。下列說法正確的是（）

A'BC

A.小船沿A3、AC過河的時間相等

B.小船沿AC過河的時間更長

Cm:。2=1:2

D.當水流速度為。1時，要使小船到達碼頭4,船頭應指向河的上游且與河岸夾角為60。

答案A

解析因船頭始終垂直于河岸，所以小船過河的時間為t=V-,即小船沿A3、AC過河的時間相等，選項A正

確，B錯誤；由題意可知tan60。=衛(wèi)，tan30°=-,解得5：6=1：3,選項C錯誤；當水流速度為s時，

V1v2

要使小船到達碼頭4,則合速度應該垂直于河岸，船頭應指向河的上游且與河岸夾角滿足cos=/,則

6W60。，選項D錯誤。

6.（2024?湖北省模擬）有一個質(zhì)量為4kg的質(zhì)點在xOy平面內(nèi)運動，在x方向的速度時間圖像和y方向的位移

時間圖像分別如圖甲、乙所示。下列說法正確的是（）

A.質(zhì)點做勻變速直線運動

B.質(zhì)點所受的合外力為22N

0=2s時質(zhì)點的速度大小為6m/s

D.零時刻質(zhì)點的速度大小為5m/s

答案D

解析由題圖可知，質(zhì)點在x軸方向上做勻加速直線運動，在y軸方向上做勻速直線運動，合力的方向沿尤

軸方向，在x軸方向上的初速度大小為3m/s,在y軸方向上的速度大小為4m/s,則初速度大小oo=

J32+42m/s=5m/s,初速度方向不沿x軸方向，所以質(zhì)點做勻變速曲線運動，故A錯誤，D正確；質(zhì)點在

2

x軸方向上的加速度為ax=1.5m/s2,y軸方向上的加速度為零，則合加速度為a=1.5m/s,所以合外力為F=

ma=4X1.5N=6N,故B錯誤；t=2s時質(zhì)點在x軸方向上的速度大小為vx=6m/s,在y軸方向上的速度大

22

小為vy=4m/s,則合速度大小為v=l6+4m/s>6m/s,故C錯誤。

7.（多選）（2024?湖南師范大學附屬中學期末）如圖所示，不可伸長的輕繩平行于斜面，一端與質(zhì)量為的物塊B

相連，B在光滑斜面上。輕繩另一端跨過滑輪與質(zhì)量為M的物塊A連接。A在外力作用下沿豎直桿以速度防

向下勻速運動，物塊B始終沿斜面運動且斜面始終靜止，當輕繩與桿的夾角為夕時，物塊B的速度大小為

。2。斜面傾角為a,重力加速度為g,下列說法正確的是（）

AA=—

'v2COS0

B.—=C0SP

V2

C.輕繩拉力一定大于mgsina

D.斜面受到地面水平向左的摩擦力

答案ACD

解析根據(jù)A、B沿繩方向的速度相等，有。ICOSQ=02,解得也=々，故A正確，B錯誤；由于A在外力

v2cosp

作用下沿豎直桿以速度s向下勻速運動，輕繩與桿的夾角逐漸減小，則B的速度大小。2逐漸增大，即B沿

斜面向上做加速運動，B的加速度沿斜面向上，對B進行受力分析可知輕繩拉力一定大于mgsina，故C正

確；B對斜面有斜向右下方的壓力，斜面在該壓力作用下有向右運動的趨勢，則斜面受到地面水平向左的摩

擦力，故D正確。

10能力綜合練

8?10題每小題9分，共27分

8.（2023?江蘇卷J0）達?芬奇的手稿中描述了這樣一個實驗：一個罐子在空中沿水平直線向右做勻加速運動，沿

途連續(xù)漏出沙子。若不計空氣阻力，則下列圖中能反映空中沙子排列的幾何圖形是（）

答案D

解析以罐子為參考系，沙子在水平方向向左做初速度為零的勻加速直線運動，在豎直方向做自由落體運

動，合加速度恒定，沙子在空中排列在一條斜向左下的直線上，故選D。

9.汽車發(fā)動機的工作原理如圖所示，輪軸與活塞通過連接桿連接，連接桿與輪軸的連接點為“，與活塞的連

接點為N,其中輪軸可繞圓心O做圓周運動,活塞可在汽缸內(nèi)做上下的直線運動，則下列說法正確的是

)

A.當OM與ON垂直時,若M點的速率為。0,則N點的速率小于oo

B.當與ON垂直時,若N點的速率為。0,則M點的速率小于內(nèi)

C.當MN與輪軸相切時,若“點的速率為。0,則N點的速率等于0。

D.當MN與輪軸相切時,若N點的速率為如則M點的速率小于0。

答案D

解析當與ON垂直時，設(shè)/MNO=a,若M點的速率為6,此時活塞的速度為。，將M的速度分解為

沿桿方向和垂直桿方向