第4章水動力學基礎4.1理想液體元流的能量方程4.2實際液體元流的能量方程4.3實際液體總流的能量方程4.4恒定總流動量方程4.5理想液體運動微分方程及其積分4.6實際液體運動微分方程4.7恒定平面勢流§4.1理想液體元流的能量方程

取過水斷面1–1及2–2為控制面液體從斷面1–1流向斷面2–2。4.1.1理液體元流的能量方程兩斷面之間沒有匯流或分流

元流1–2段所具有的動能可視為1–1′段和1′–2段的動能之和。

元流1′–2′段所具有的動能可視為1′–2段和2–2′段的動能之和。由動能增量公式：

經(jīng)過時段后，元流段的動能增量即為2–2′段和1–1′段液體動能之差等效為：得§4.1理想液體元流的能量方程元流段在時段內(nèi)重力所做的功為

作用于元流段上的力包括質(zhì)量力和表面力。質(zhì)量力只考慮重力，表面力只有動水壓力。重力所做功：動水壓力所做功：元流段在時段內(nèi)壓力所作的功為根據(jù)動能定理§4.1理想液體元流的能量方程可建立下列關系式：整理得：對單位重量液體而言，各項都除以

元流的任意過水斷面，即：

常數(shù)§4.1理想液體元流的能量方程常數(shù)為均質(zhì)不可壓縮理想液體恒定元流的能量方程。

是由瑞士科學家伯努利（Bernoulli）于1738年首先推導出來的，所以又稱為理想液體恒定元流的伯努利方程。由于元流的過水斷面面積很小，所以沿元流的伯努利方程對流線同樣適用。4.1.2理想液體元流能量方程的意義⒈物理意義伯努利方程中各項具有能量的意義。是由不同外力做功得出的，因此§4.1理想液體元流的能量方程由水靜力學基本方程可知是單位重量液體所具有的勢能，其中代表位能；單位重量液體所具有的壓能。是單位重量液體所具有的動能。

因為質(zhì)量為的液體質(zhì)點，若流速為該質(zhì)點所具有的動能為§4.1理想液體元流的能量方程則單位重液體所具有的動能為就是單位重量液體所具有的總機械能，通常用來表示。所以

上式表明：在不可壓縮理想液體恒定流情況下，元流中不同的過水斷面上，無論這三種形式的能量如何轉(zhuǎn)換，單位重液體所具有的總機械能始終保持不變。⒉幾何意義水力學中常用水頭表示某種高度。

§4.1理想液體元流的能量方程從幾何意義來看，理想液體元流的伯努利方程的各項是分別表示不同的幾何高度，可以用幾何線段表示。在水靜力學中已經(jīng)闡明:

代表位置水頭代表壓強水頭表示測壓管水頭。從物理學可知，它表示在不計外界阻力的情況下，§4.1理想液體元流的能量方程代表了總水頭。

表明：在不可壓縮理想液體恒定流情況下，在元流不同的過水斷面上，位置水頭、壓強水頭和速度水頭之間可以互相轉(zhuǎn)化，但其之和為一常數(shù)，即總水頭沿程不變。液體質(zhì)點以鉛垂向上的速度所能到達的高度，故稱為速度水頭?！?.1理想液體元流的能量方程4.1.3畢托管測流速原理

畢托管是一種常用的測量液體點流速的儀器，其測量流速的原理就是液體的能量轉(zhuǎn)換和守恒原理。A點處的水流質(zhì)點沿頂端處的小孔進入內(nèi)套管。

代表了A點的動水壓強代表了A點處水流的總能量

根據(jù)伯諾里方程可得：代表了A點的水流的總能量

§4.1理想液體元流的能量方程外套管B處的水流質(zhì)點垂直流入套管。整理可得：實際液體具有粘滯性，能量轉(zhuǎn)化時有損失。畢托管頂端小孔與側(cè)壁小孔的位置不同。畢托管放入水流中所產(chǎn)生的擾動影響。加以修正后，得A的速度為：

實際上，必須考慮下列影響因素：所以要對式§4.1理想液體元流的能量方程4.2.1一般表達式

實際液體存在著粘滯性，液體運動時克服摩擦阻力要消耗一定的機械能。因此，對實際液體而言：

為元流單位重量液體上游過水斷面1-1到下游過水斷面2-2的能量損失。則，根據(jù)能量守恒原理可得：§4.2實際液體元流的能量方程

在不可壓縮實際液體恒定流情況下，元流中不同的過水斷面上總能量是不相等的，而且是總能量沿流程減少。方程的物理意義是：

元流各過水斷面上單位重量液體所具有的總機械能沿流程減小，部分機械能轉(zhuǎn)化為熱能或聲能等而損失；同時，亦表示了各項能量之間沿流程可以相互轉(zhuǎn)化的關系。該式表明：4.2.2實際液體元流能量方程的意義§4.2實際液體元流的能量方程

將構(gòu)成總流的所有微小流束的能量方程式疊加起來，即為總流的能量方程式。均勻流或漸變流過水斷面上動能修正系數(shù),1.05~1.1取平均的hw§4.3實際液體總流的能量方程能量方程與連續(xù)性方程聯(lián)合應用，可以解決一維恒定流的許多水力學計算問題。

總流能量方程的物理意義是：總流的能量方程式揭示了水流運動中各種能量之間的相互轉(zhuǎn)化關系。總流各過水斷面上單位重量液體所具有的平均勢能與平均動能之和沿流程減小。亦即總機械能的平均值沿流程減小，水流在運動過程中部分機械能轉(zhuǎn)化為熱能而損失。

它反映了總流中不同過水斷面上值和斷面平均流速v的變化規(guī)律，能量方程是水動力學中三大基本方程之二，是分析水力學問題最重要最常用的公式?！?.3實際液體總流的能量方程4.3.2能量方程的圖示——水頭線能量方程沿流程用幾何線段圖形來表示。0–0為基準面水頭為縱坐標位置水頭:總流各斷面中心點距基準面的高度。測壓管水頭線:連接各斷面的測壓管水頭得到一條線。

總水頭線:連接各斷面的總水頭得到一條線。

§4.3實際液體總流的能量方程測壓管水頭線位于中心線以上，壓強為正；反之，壓強為負。實際液體，隨著流程的增加,水頭損失不斷增大，總水頭不斷減小。實際液體的總水頭線一定是沿流程下降的（除非有外加能量）。§4.3實際液體總流的能量方程當總水頭線是曲線時

水力學中把水力坡度規(guī)定為正值，因總水頭的增量沿流程始終為負值，為使J為正值。故在式中加負號。水力坡度J

：總水頭線坡度，單位流程上總水頭的降

低值或單位流程上的水頭損失。當總水頭線是直線時§4.3實際液體總流的能量方程

由能量守恒可知，動能和勢能之間可以互相轉(zhuǎn)化，因此測壓管水頭線沿流程可升可降，甚至可能是一條水平線。在斷面平均流速不變的流段，測壓管水頭線與總水頭線平行。

——測壓管水頭線坡度，沿流程下降為正，則沿流程測壓管水頭線可任意變化，因此值可正、可負或者為零?！?.3實際液體總流的能量方程4.3.3能量方程的應用條件⑴水流必須是恒定流，并且液體是均質(zhì)不可壓縮的。⑵作用于液體上的質(zhì)量力只有重力。⑶所取的過水斷面應在漸變流或均勻流區(qū)域，但兩個過水斷面之間可以是急變流。⑷所取的過水斷面之間，除了水頭損失以外，沒有其它機械能的輸入或輸出。⑸所取的過水斷面之間，沒有流量的匯入或分出，即總流的流量沿流程不變?！?.3實際液體總流的能量方程在實際工程中，常常會遇到流程中途有流量改變或外加機械能的情況。⒈有流量分出時的能量方程根據(jù)能量守恒原理又由得：§4.3實際液體總流的能量方程2.有流量匯入時的能量方程同理可得：§4.3實際液體總流的能量方程⒉有能量輸入或輸出時的能量方程管道系統(tǒng)所需的水泵揚程

水泵的軸功率

水泵效率

水輪機的作用水頭水輪機的出力水輪機效率§4.3實際液體總流的能量方程能量方程在具體應用時應注意：⑴首先要弄清液體運動的類型，判別是否能應用能量方程。⑵盡量選擇未知量個數(shù)少的漸變流過水斷面，當與其它各項相比很小時，可以忽略不計。⑶基準面可任意選擇，但在同一方程中z值必須對應同一個基準面。⑷壓強一般采用相對壓強，亦可采用絕對壓強。但在同一方程中必須采用同一個標準。§4.3實際液體總流的能量方程⑸因為漸變流同一過水斷面上各點的（）值近似相等，具體選擇哪一點，以計算簡單和方便為宜。對于有壓管道水流通常取在管軸線上；對于明渠水流通常選在自由表面上。⑹嚴格地講，不同過水斷面上的動能修正系數(shù)值是不相等的，而且不等于1.0。但在實用上，對漸變流的多數(shù)情況?？扇　！?.3實際液體總流的能量方程應用能量方程式的注意點：（1）選取高程基準面；（2）選取兩過水斷面；所選斷面上水流應符合漸變流的條件，但兩個斷面之間，水流可以不是漸變流。（3）選取計算代表點；（4）選取壓強基準面；（5）動能修正系數(shù)一般取值為1.0。4.3.4能量方程式的應用§4.3實際液體總流的能量方程⒈判別水流運動方向解：已知：§4.3實際液體總流的能量方程

由于1-1斷面的總機械能高于2-2斷面的總機械能，該段管道水流是從1-1斷面流向2-2斷面。

據(jù)恒定總流的能量方程，水流一定是從總機械能高處流向總機械能低處。判別水流運動方向不能簡單地根據(jù)位置的高低，流速的大小來決定，應依據(jù)單位重量液體總機械能沿流程的變化規(guī)律來判別。說明：§4.3實際液體總流的能量方程⒉文丘里流量計總流的能量方程。即：§4.3實際液體總流的能量方程則，通過文丘里流量計的流量為

又若考慮水頭損失，得實際流量為：文丘里管流量系數(shù)壓差計中的液體為水銀時，當水管直徑及喉管直徑確定后，K為一定值，可以預先算出來?！?.3實際液體總流的能量方程依動量定律：即：單位時間內(nèi)，物體動量的增量等于物體所受的合外力。動量的變化:11221′1′2′2′t時刻t+△t時刻dA1u1u2dA2u1△t△t時段內(nèi)，動量的增量：又由可以看作是1'-2和2-2′兩個流段的動量之和即：

同理：§4.4恒定總流的動量方程式因流動是不可壓縮液體的恒定流，相應于兩個不同時刻的動量相同。所以1-2流段在時間內(nèi)的動量變化實際上可寫為流出液體的動量流入液體的動量。

就等于時段內(nèi)從控制體1-2流出液體的動量與流入液體的動量之差。在過水斷面1-1上時段內(nèi)由流入液體的動量為對面積積分，得總流1－1斷面流入液體的動量為§4.4恒定總流的動量方程式動量修正系數(shù)，代表了實際動量與按斷面平均流速計算的動量之比。令在漸變流過水斷面上，與方向一致。

故取決于過水斷面上流速分布的均勻程度?？烧淼茫和韯恿坎睿涸O為時段內(nèi)作用于總流1-2流段上所有外力之和?！?.4恒定總流的動量方程式當流入和流出各只有一個斷面時，這就是不可壓縮液體恒定總流的動量方程。

它表示兩個控制斷面之間的恒定總流，在單位時間之內(nèi)流出該段的液體所具有的動量與流入該段的液體所具有的動量之差，等于作用在所取控制體上各外力的合力。動量方程的投影表達式：可得：§4.4恒定總流的動量方程式適用條件：不可壓縮液體、恒定流、過水斷面為均勻流或漸變流過水斷面、無支流的匯入與分出。如圖所示的一分叉管路，動量方程式應為：§4.4恒定總流的動量方程式⑴首先要選取控制體。⑵全面分析控制體的受力情況。⑶實際計算中，一般采用動量方程的坐標投影形式。⑷方程式中的動量差，必須是流出的動量減去流入

的動量，兩者切不可顛倒。⑸動量方程只能求解一個未知數(shù)。當有兩個以上未

知數(shù)時，應借助于連續(xù)性方程及能量方程聯(lián)合求

解。設β１≈1，β２≈1。

4.4.2應用動量方程式的注意點：§4.4恒定總流的動量方程式下面舉例說明動量方程的應用1.確定水流對彎管的作用力已知：求：水流對彎管的作用力。（不計彎管的水頭損失）解